蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典專題2.5等腰三角形的軸對(duì)稱性(1)特訓(xùn)(原卷版+解析)

【講練課堂】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題2.5等腰三角形的軸對(duì)稱性（1）：等腰三角形【名師點(diǎn)睛】1.等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．2.等腰三角形的判定判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．【簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊】說(shuō)明：①等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來(lái)底邊的高線也可以作未來(lái)頂角的角平分線，但不能作未來(lái)底邊的中線；④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用．【典例剖析】【例1】（2021秋?南陽(yáng)期末）在△ABC中，AB＝AC．（1）如圖1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，則∠EDC＝．（2）如圖2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，則∠EDC＝．（3）思考：通過(guò)以上兩題，你發(fā)現(xiàn)∠BAD與∠EDC之間有什么關(guān)系？并給予證明．【變式1】．（2018秋?宜興市期中）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上．（1）求證：BE＝CE；（2）如圖2，若BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC＝45°，原題設(shè)其它條件不變．求證：AE＝BC．【例2】（2020秋?儀征市期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，點(diǎn)O在BC邊上運(yùn)動(dòng)（O不與B、C重合），連接AO．作∠AOD＝∠B，OD交AB于點(diǎn)D．（1）當(dāng)OD∥AC時(shí)，判斷△AOB的形狀并證明；（2）在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△AOD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)求出∠BDO的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式2】（2019秋?常熟市期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，邊AB的垂直平分線與邊AB交于點(diǎn)E，與邊BC交于點(diǎn)D．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）求證：△ACD為等腰三角形．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2022春?無(wú)錫期末）在△ABC中，∠C＝20°，∠A＝∠B，則∠A的度數(shù)是（）A．40° B．60° C．80° D．160°2．（2022?宿遷）若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3cm和5cm，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm3．（2022?崇川區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD為△ABC的角平分線，∠C＝70°，則∠BDC＝（）A．30° B．40° C．70° D．75°4．（2022?高郵市模擬）若一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為32，則該等腰三角形的腰長(zhǎng)x的取值范圍是（）A．0＜x＜32 B．0＜x＜16 C．8＜x＜16 D．8＜x＜325．（2021秋?梁溪區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE．若△ABC的周長(zhǎng)為20cm，則△CDE的周長(zhǎng)為（）A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm6．（2021秋?濱湖區(qū)期末）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝5，邊AC的垂直平分線分別交AC、BC于D、E，則△ABE的周長(zhǎng)是（）A．8 B．9 C．10 D．117．（2022?建湖縣一模）如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，A，B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，點(diǎn)C也是圖中小方格的頂點(diǎn)，并且△ABC是等腰三角形，那么點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2021秋?蘇州期中）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，A，B是兩個(gè)格點(diǎn)，連接AB，在網(wǎng)格中找到一個(gè)格點(diǎn)C，使得△ABC是以AB為腰的等腰三角形，滿足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．89．（2018秋?高郵市期末）如圖，在△ABC中，AB＝3cm、AC＝4cm、BC＝5cm，在△ABC所平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫的條數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．610．（2020秋?江陰市期中）如圖，在△ABC中，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，過(guò)點(diǎn)D作直線平行于BC，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，當(dāng)∠A大小變化時(shí)，線段EF和BE+CF的大小關(guān)系是（）A．EF＞BE+CF B．EF＜BE+CF C．EF＝BE+CF D．不能確定二．填空題（共8小題）11．（2022春?錫山區(qū)期中）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4cm、9cm，則它的周長(zhǎng)為．12．（2022春?鎮(zhèn)江期中）三角形的三邊長(zhǎng)為2，a，5，如果這個(gè)三角形中有兩條邊相等，那么它的周長(zhǎng)是．13．（2022?興化市一模）頂角為80°的等腰三角形的底角為．14．（2022春?靖江市校級(jí)月考）在△ABC中，∠A＝∠B，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CB交直線BC于點(diǎn)D，∠DAC＝36°，則∠C＝°．15．（2022?金壇區(qū)二模）如圖，在△ABD中，C是邊BD上一點(diǎn)．若AB＝AC＝CD，∠BAC＝40°，則∠D＝°．16．（2022?常州二模）如圖、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，連接AD，DC．則∠BDC的度數(shù)為°．17．（2019秋?崇川區(qū)校級(jí)期中）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直線BC上取一點(diǎn)P使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有個(gè)．18．（2022?秦淮區(qū)一模）如圖，M，N是∠AOB的邊OA上的兩個(gè)點(diǎn)（OM＜ON），∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若邊OB上有且只有1個(gè)點(diǎn)P，滿足△PMN是等腰三角形，則a的取值范圍是．三．解答題（共6小題）19．（2021秋?泗陽(yáng)縣期中）如圖，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．（1）求證：AB＝AC；（2）若點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，求證：AH⊥AD．20．（2021秋?鼓樓區(qū)期中）證明：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形．已知：如圖，在△ABC中，；求證：；證明：21．（2017秋?灌云縣期中）已知如圖，△ABC中，EF∥BC，交AB、AC于E、F，∠B的平分線交EF于O點(diǎn)．（1）求證：EO＝BE；（2）若EF＝BE+CF，求證：OC平分∠ACB．22．（2018秋?崇川區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在線段AB的反向延長(zhǎng)線上，過(guò)AC的中點(diǎn)F作線段GE交∠DAC的平分線于E，交BC于G，且AE∥BC．（1）求證：△ABC是等腰三角形．（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周長(zhǎng)．23．（2021秋?泗洪縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，角平分線BD，CE相交于點(diǎn)O，求證：OB＝OC．24．（2021秋?邗江區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線DE分別交AC、AB于點(diǎn)D、E．（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度數(shù)；（2）若AB＝7，△CBD周長(zhǎng)為12，求BC的長(zhǎng)．【講練課堂】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題2.5等腰三角形的軸對(duì)稱性（1）【名師點(diǎn)睛】1.等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．2.等腰三角形的判定判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．【簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊】說(shuō)明：①等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來(lái)底邊的高線也可以作未來(lái)頂角的角平分線，但不能作未來(lái)底邊的中線；④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用．【典例剖析】【例1】（2021秋?南陽(yáng)期末）在△ABC中，AB＝AC．（1）如圖1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，則∠EDC＝15°．（2）如圖2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，則∠EDC＝20°．（3）思考：通過(guò)以上兩題，你發(fā)現(xiàn)∠BAD與∠EDC之間有什么關(guān)系？并給予證明．【分析】（1）等腰三角形三線合一，所以∠DAE＝30°，又因?yàn)锳D＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝75°，所以∠DEC＝15°；（2）同理，易證∠ADE＝70°，所以∠DEC＝20°；（3）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，進(jìn)而得出∠BAD＝2∠CDE．【解析】（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝30°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠EDC＝15°；（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝40°，∴∠BAD＝∠CAD＝40°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝70°，∴∠EDC＝20°；（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）；理由如下：∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，即∠BAD＝2∠CDE．故答案為：15°；20°．【變式1】（2018秋?宜興市期中）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上．（1）求證：BE＝CE；（2）如圖2，若BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC＝45°，原題設(shè)其它條件不變．求證：AE＝BC．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD垂直平分BC，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得BE＝CE；（2）判斷出△ABF是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AF＝BF，根據(jù)同角的余角相等求出∠EAF＝∠CBF，然后利用“角角邊”證明△AEF和△BCF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD垂直平分BC，∴BE＝CE；（2）證明：∵BF⊥AC，∠BAC＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝BF，∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠EAF+∠C＝90°，∵BF⊥AC，∴∠CBF+∠C＝90°，∴∠EAF＝∠CBF，在△AEF和△BCF中，，∴△AEF≌△BCF（ASA），∴AE＝BC．【例2】（2020秋?儀征市期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，點(diǎn)O在BC邊上運(yùn)動(dòng)（O不與B、C重合），連接AO．作∠AOD＝∠B，OD交AB于點(diǎn)D．（1）當(dāng)OD∥AC時(shí)，判斷△AOB的形狀并證明；（2）在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△AOD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)求出∠BDO的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）先由等腰三角形的性質(zhì)得∠C＝∠B＝30°，則∠BAC＝120°，再由平行線的性質(zhì)得∠OAC＝∠AOD＝30°，求出∠BAO＝90°即可；（2）分三種情況，由等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠BDO的度數(shù)即可．【解析】（1）△AOB為直角三角形，理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝∠B＝30°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵OD∥AC，∠AOD＝∠B＝30°，∴∠OAC＝∠AOD＝30°，∴∠BAO＝120°﹣30°＝90°，∴△AOB是直角三角形；（2）△AOD的形狀可以是等腰三角形，理由如下：分三種情況：①DA＝DO時(shí)，∠OAD＝∠AOD＝30°，∴∠BDO＝∠OAD+∠AOD＝60°；②OA＝OD時(shí)，∠ODA＝∠OAD＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠BDO＝180°﹣75°＝105°；③AD＝AO時(shí)，∠ADO＝∠AOD＝30°，∴∠OAD＝120°＝∠BAC，點(diǎn)O與C重合，不合題意；綜上所述，∠BDO的度數(shù)為60°或105°．【變式2】（2019秋?常熟市期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，邊AB的垂直平分線與邊AB交于點(diǎn)E，與邊BC交于點(diǎn)D．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）求證：△ACD為等腰三角形．【分析】（1）由中垂線性質(zhì)知DB＝DA，據(jù)此知∠B＝∠DAB＝40°，利用三角形外角的性質(zhì)可得答案；（2）由∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣40°＝80°＝∠ADC，利用“等角對(duì)等邊”即可得證．【解析】（1）∵DE垂直平分AB，∴DB＝DA，∴∠B＝∠DAB，∵∠B＝40°，∴∠B＝∠DAB＝40°，∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝80°；（2）∵∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣40°＝80°＝∠ADC，∴CA＝CD，∴△ACD為等腰三角形．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2022春?無(wú)錫期末）在△ABC中，∠C＝20°，∠A＝∠B，則∠A的度數(shù)是（）A．40° B．60° C．80° D．160°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解析】∵∠C＝20°，∴∠A＝∠B＝（180°﹣20°）＝80°，故選：C．2．（2022?宿遷）若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3cm和5cm，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為3cm和5cm，而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【解析】當(dāng)3cm是腰長(zhǎng)時(shí)，3，3，5能組成三角形，當(dāng)5cm是腰長(zhǎng)時(shí)，5，5，3能夠組成三角形．則三角形的周長(zhǎng)為11cm或13cm．故選：D．3．（2022?崇川區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD為△ABC的角平分線，∠C＝70°，則∠BDC＝（）A．30° B．40° C．70° D．75°【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠DBC的度數(shù)，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BDC的度數(shù)．【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝70°，∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠DBC＝35°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣35°﹣70°＝75°，故選：D．4．（2022?高郵市模擬）若一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為32，則該等腰三角形的腰長(zhǎng)x的取值范圍是（）A．0＜x＜32 B．0＜x＜16 C．8＜x＜16 D．8＜x＜32【分析】首先用含x的式子表示底邊，并且底邊要大于零，得到關(guān)于x的不等式；利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊得到關(guān)于x的不等式．解不等式組即可．【解析】∵腰長(zhǎng)為x，且等腰三角形的周長(zhǎng)為32，∴底邊為32﹣2x，并且32﹣2x＞0，得x＜16，又∵x+x＞32﹣2x，解得x＞8，∴x的取值范圍是8＜x＜16．故選：C．5．（2021秋?梁溪區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE．若△ABC的周長(zhǎng)為20cm，則△CDE的周長(zhǎng)為（）A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm【分析】根據(jù)中點(diǎn)的定義得到DC＝BC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DE＝AC，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【解析】∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴DC＝BC，DE＝AC，∵△ABC的周長(zhǎng)為20cm，∴△CDE的周長(zhǎng)＝DE+EC+DC＝×20＝10（cm）．故選：A．6．（2021秋?濱湖區(qū)期末）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝5，邊AC的垂直平分線分別交AC、BC于D、E，則△ABE的周長(zhǎng)是（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE＝CE，進(jìn)而可得AE+BE＝BC＝5，進(jìn)而可得答案．【解析】∵邊AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，∴AE＝CE，∵BC＝5，∴BE+CE＝5，∵AB＝3，∴△ABE的周長(zhǎng)為3+5＝8．故選：A．7．（2022?建湖縣一模）如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，A，B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，點(diǎn)C也是圖中小方格的頂點(diǎn)，并且△ABC是等腰三角形，那么點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)“兩圓一線”畫圖找點(diǎn)即可．【解析】如圖，C點(diǎn)與P、Q、R重合時(shí)，均滿足△ABC是等腰三角形，故選：C．8．（2021秋?蘇州期中）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，A，B是兩個(gè)格點(diǎn)，連接AB，在網(wǎng)格中找到一個(gè)格點(diǎn)C，使得△ABC是以AB為腰的等腰三角形，滿足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，分別以A、B為圓心，AB為半徑作圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，即可得到點(diǎn)C的個(gè)數(shù)．【解析】如圖，以AB為等腰△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有5個(gè)．故選：A．9．（2018秋?高郵市期末）如圖，在△ABC中，AB＝3cm、AC＝4cm、BC＝5cm，在△ABC所平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫的條數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】首先根據(jù)勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別利用AC、BC為腰以及AB為底得出符合題意的圖形即可．【解析】如圖所示：AB＝3cm、AC＝4cm、BC＝5cm，∵32+42＝52，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°．當(dāng)AC1＝AC＝4，BC＝BC2＝3，BC＝CC3＝3，BC＝CC4＝3，C5A＝C5B，C6A＝C6C都能得到符合題意的等腰三角形．故這樣的直線最多可畫的條數(shù)為6．故選：D．10．（2020秋?江陰市期中）如圖，在△ABC中，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，過(guò)點(diǎn)D作直線平行于BC，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，當(dāng)∠A大小變化時(shí)，線段EF和BE+CF的大小關(guān)系是（）A．EF＞BE+CF B．EF＜BE+CF C．EF＝BE+CF D．不能確定【分析】由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得∠EBD＝∠EDB，則ED＝BE，同理可得DF＝FC，則EF＝BE+CF，可得答案．【解析】∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝BE，同理DF＝FC，∴ED+DF＝BE+FC，即EF＝BE+CF，故選：C．二．填空題（共8小題）11．（2022春?錫山區(qū)期中）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4cm、9cm，則它的周長(zhǎng)為22cm．【分析】根據(jù)題意，分兩種情況：①腰是4cm，②底是4cm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷，即可確定三角形的周長(zhǎng)．【解析】根據(jù)題意，分兩種情況：①腰是4cm，∵4+4＜9，∴腰是4cm不能構(gòu)成三角形，②底是4cm，∵9+9＞4，∴底是4cm滿足條件，則周長(zhǎng)為：9+9+4＝22（cm），故答案為：22cm．12．（2022春?鎮(zhèn)江期中）三角形的三邊長(zhǎng)為2，a，5，如果這個(gè)三角形中有兩條邊相等，那么它的周長(zhǎng)是12．【分析】根據(jù)已知的兩邊，則第三邊可能是2或5；再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊”，進(jìn)行分析．【解析】根據(jù)題意，得第三邊可能是2或5．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得當(dāng)三邊是2，2，5時(shí)，則2+2＜5，不能構(gòu)成三角形，應(yīng)舍去．當(dāng)三邊是2，5，5時(shí)，則2+5＞5，能構(gòu)成三角形．那么它的周長(zhǎng)是：2+5+5＝12，故答案為：12．13．（2022?興化市一模）頂角為80°的等腰三角形的底角為50°．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答即可．【解析】∵等腰三角形的頂角為80°，∴這個(gè)等腰三角形的底角＝（180°﹣80°）＝50°．故答案為：50°．14．（2022春?靖江市校級(jí)月考）在△ABC中，∠A＝∠B，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CB交直線BC于點(diǎn)D，∠DAC＝36°，則∠C＝54或126°．【分析】首先在直角△ACD中，分兩種情況利用三角形內(nèi)角和定理和鄰補(bǔ)角的定義求得∠BCA的度數(shù)．【解析】當(dāng)△ABC時(shí)銳角三角形時(shí)，如圖1．在直角△ACD中，∠ACB＝90°﹣∠DAC＝90°﹣36°＝54°；當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，如圖2．∠ACD＝90°﹣∠DAC＝90°﹣36°＝54°，則∠ACB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣54°＝126°．則∠ACB的度數(shù)是54°或126°．故答案為：54或126．15．（2022?金壇區(qū)二模）如圖，在△ABD中，C是邊BD上一點(diǎn)．若AB＝AC＝CD，∠BAC＝40°，則∠D＝35°．【分析】根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)解答即可．【解析】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠B＝∠ACB＝70°，∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠D+∠CAD＝70°，∵AC＝CD，∴∠D＝∠CAD＝35°．故答案為：35°．16．（2022?常州二模）如圖、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，連接AD，DC．則∠BDC的度數(shù)為130°．【分析】延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使得AE＝BC，證得DBC≌△CAE，設(shè)∠CDE＝∠CED＝α，表示出∠BDC＝∠ACE＝100°+α，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得已知角即可．【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝20°，∵BD＝AB，∴∠ADB＝∠DAB＝80°，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使得AE＝BC，∵BD＝AB＝AC，∠CAD＝∠DBC，∴△DBC≌△CAE（SAS），∴CD＝CE，∠BDC＝∠ACE，∴∠CDE＝∠CED＝α，∵∠ADB＝80°，∴∠BDE＝100°，∴∠BDC＝∠ACE＝100°+α，∴20°+100°+α+α＝180°，∴α＝30°，∴∠BDC＝130°，故答案為：130．17．（2019秋?崇川區(qū)校級(jí)期中）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直線BC上取一點(diǎn)P使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有4個(gè)．【分析】分別以A、B為圓心，以AB為半徑作圓，再作AB的垂直平分線，即可得出答案．【解析】以A為圓心，以AB為半徑作圓，與直線BC有一個(gè)交點(diǎn)；同理以B為圓心，以AB為半徑作圓，與直線BC有兩個(gè)交點(diǎn)；作AB的垂直平分線與BC有一個(gè)交點(diǎn)，即有1+2+1＝4個(gè)，故答案為4．18．（2022?秦淮區(qū)一模）如圖，M，N是∠AOB的邊OA上的兩個(gè)點(diǎn)（OM＜ON），∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若邊OB上有且只有1個(gè)點(diǎn)P，滿足△PMN是等腰三角形，則a的取值范圍是a＝4或a＞8．【分析】分兩種情況，①作線段MN的垂直平分線交OB于點(diǎn)P，連接PM，PN，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OB于點(diǎn)H，當(dāng)MH＝MN時(shí)，a＝8，即可求出a的取值范圍；②當(dāng)△PMN是等邊三角形時(shí)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得OM＝MP＝MN，求出a，即可確定a的取值范圍．【解析】①作線段MN的垂直平分線交OB于點(diǎn)P，連接PM，PN，如圖所示：則PM＝PN，此時(shí)△PMN是等腰三角形，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OB于點(diǎn)H，當(dāng)MH＞MN，滿足條件的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，∵M(jìn)N＝4，∠AOB＝30°，當(dāng)MH＝4時(shí)，OM＝2MH＝8，∴當(dāng)a＞8時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，②當(dāng)△PMN是等邊三角形時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，此時(shí)MN＝MP，∠NMP＝60°，∵∠AOB＝30°，∴∠MPO＝30°，∴OM＝MP＝MN＝4，∴a＝4，綜上，滿足條件的a的取值范圍：a＝4或a＞8，故答案為：a＝4或a＞8．三．解答題（共10小題）19．（2021秋?泗陽(yáng)縣期中）如圖，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．（1）求證：AB＝AC；（2）若點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，求證：AH⊥AD．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)即可得出∠ABC＝∠ACB，從而得證；（2）由（1）中得證△ABC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一，可知AH⊥BC，由于AD∥BC，即可得證．【解答】證明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠B，∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC，∴∠B＝∠ACB，∴AB＝AC．（2）∵AB＝AC，又∵點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，∴AH⊥BC，∵AD∥BC，∴AH⊥AD．20．（2021秋?鼓樓區(qū)期中）證明：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形．已知：如圖，在△ABC中，∠B＝∠C；求證：△ABC為等腰三角形；證明：【分析】根據(jù)題意易得已知，求證，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D．通過(guò)證明△ABD≌△ACD可得AB＝AC，進(jìn)而證明結(jié)論．【解答】∠B＝∠C，AB＝AC；證明：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在△ABD與△ACD中，∵∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形．21．（2017秋?灌云縣期中）已知如圖，△ABC中，EF∥BC，交AB、AC于E、F，∠B的平分線交EF于O點(diǎn)．（1）求證：EO＝BE；（2）若EF＝BE+CF，求證：OC平分∠ACB．