專題16解答中檔題型立體幾何中線面關(guān)系的證明

專題16解答中檔題型：立體幾何中線面關(guān)系的證明1．（2223高一下·江蘇無錫·期末）如圖，在四棱錐中，，，，是棱上一點(diǎn).

(1)若，求證：平面；(2)若平面平面，平面平面，求證：平面.【答案】見解析【分析】（1）利用平行線分線段成比例得到，從而利用線面平行的判定定理即可得證；（2）先利用面面垂直的性質(zhì)定理推得，，再利用線面垂直的判定定理即可得證.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，如圖，

因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，所以，又平面平面，所以平?（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?．（2223高一下·江蘇蘇州·期末）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是菱形，平面平面，，和分別是和的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求證：．【答案】見解析【分析】（1）取中點(diǎn)為，易證得四邊形為平行四邊形，得到，由線面平行的判定可證得結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)、面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可得，，由線面垂直的判定和性質(zhì)可證得結(jié)論.【詳解】（1）取中點(diǎn)為，連結(jié)，分別為中點(diǎn)，，，，，又為中點(diǎn)，，，，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面.（2）連結(jié)，四邊形是菱形，，平面平面，平面平面，平面，，平面，又平面，，，平面，平面，平面，.

3．（2223高一下·江蘇宿遷·期末）如圖，在三棱臺中，側(cè)面底面，且，，底面為正三角形．

(1)求三棱臺的體積；(2)過點(diǎn)作平面平行于平面，分別交，，于，，．求證：平面．【答案】(1)；(2)見解析【分析】（1）作交于，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，為三棱臺的高，由三棱臺體積公式計算可得答案；（2）連接，四邊形為平行四邊形，四邊形為菱形，由線面垂直的龐大的了可得平面．【詳解】（1）在三棱臺，因?yàn)榈酌鏋檎切?，所以也為正三角形，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，，所以四邊形為等腰梯形，作交于，則，所以梯形高為，

由側(cè)面底面，側(cè)面底面，，，所以平面，所以為三棱臺的高，由三棱臺體積公式得；（2）連接，因?yàn)槠矫嬗谄矫妫矫嫫矫?，平面平面，所以，同理：，由?/p>

則四邊形為平行四邊形，又，，得，所以為中點(diǎn)，同理為中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，，所以四邊形為菱形，所以?/p>

因?yàn)闉榱庑螌蔷€交點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，又，所以，又，則，

又，平面，平面，所以平面．

4．（2223高一下·江蘇淮安·期末）如圖，四棱錐的底面為正方形，平面.(1)求證：平面；(2)平面，平面交平面于，交底面于.求證：.【答案】見解析【分析】（1）由線面垂直的判定定理證明之；（2）由線面平行的性質(zhì)定理可得，，再由線線平行的傳遞性可得.【詳解】（1）∵底面為正方形，∴.∵平面，平面，∴.又∵，，平面，平面，∴平面.（2）∵，平面，平面平面，∴.同理有，∴.5．（2223高一下·江蘇泰州·期末）如圖,在直三棱柱中,,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),.求證:

(1)∥平面;(2).【答案】見解析【分析】（1）連接,根據(jù)三角形的中位線可得,再根據(jù)線面平行的判定定理證明即可;（2）根據(jù)已知條件證明平面,從而得到,再根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面,則四邊形為菱形即可得到結(jié)論.【詳解】（1）連接,如圖,

因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?所以為的中點(diǎn),又為的中點(diǎn),所以在中,,因?yàn)槠矫?平面,所以∥平面.（2）因?yàn)?即,又,且,平面,平面,所以平面,因?yàn)?所以平面,因?yàn)槠矫?所以,又平面,平面,所以平面,因?yàn)槠矫?所以,則四邊形為菱形,所以.6．（2223高一下·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，在棱長為1的正方體中，E為棱的中點(diǎn)，.

(1)求證：//平面EAC；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；（2）根據(jù)錐體的體積公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以F為BD中點(diǎn)因?yàn)镋為棱的中點(diǎn)，所以//，且平面，平面，所以//平面.（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，底邊ABCD為正方形則為直角三角形，且所以三棱錐的體積.7．（2223高一下·江蘇南通·期末）如圖，在三棱錐中，平面分別為的中點(diǎn)．

(1)證明：∥平面；(2)證明：平面平面．【答案】見解析【分析】（1）由三角形中位線定理可得∥，再由線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）由（1）知∥，而，則有，再由已知的線面垂直可得，則由線面垂直的判定定理可得平面，從而利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論.【詳解】（1）證明：在中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以∥．又因?yàn)槠矫嫫矫妫浴纹矫妫?）證明：由（1）可知∥，又因?yàn)?，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以．又因?yàn)槠矫?，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面?．（2223高一下·江蘇徐州·期末）如圖，四棱錐的底面為梯形，，，底面，平面平面，點(diǎn)在棱上，且.

(1)證明：平面；(2)證明：.【答案】見解析【分析】（1）過作交于點(diǎn)，連接，利用線面平行的判定定理證明即可.（2）利用線面垂直的性質(zhì)定理，面面垂直的性質(zhì)定理證明即可.【詳解】（1）在平面中，過作交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所?又，所以.又，所以，所以四邊形為平行四邊形.所以，又平面，平面，所以平面.

（2）因?yàn)榈酌?，平面，所?在平面中，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面平面，所以平面，又平面，所?又平面，平面，，所以平面.又平面，所以.9．（2223高一下·江蘇鹽城·期末）《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，是當(dāng)時世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.《九章算術(shù)》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”，已知四面體是“鱉臑”，，，，分別為，的中點(diǎn)，在線段上，且.(1)求證：平面；(2)求四面體內(nèi)切球的表面積.【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）連接與相交于點(diǎn)，連接、，依題意可得且，根據(jù)三角形相似得到，即可得到，從而得證；（2）依題意可得，，再判斷，即可得到平面，則，求出各個面的面積，利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，即可得解.【詳解】（1）連接與相交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，則且，所以，所以，又，所以，所以，則，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）由題意四面體是“鱉臑”，，，顯然可得，，，平面，所以平面，又平面，所以，又，，若，則，此時，則不是直角三角形，不符合題意，又，所以，，平面，所以平面，平面，所以，符合題意.則，所以，，，，又，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，所以，即，解得，所以.10．（2122高一下·江蘇南京·期末）如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為菱形，點(diǎn)F為側(cè)棱PC上一點(diǎn)．

(1)若PF＝FC，求證：PA∥平面BDF；(2)若BF⊥PC，求證：平面BDF⊥平面PBC．【答案】見解析【分析】（1）設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為O，所以PA∥OF，利用線面平行的判定定理即可證得結(jié)論；（2）由題意得BD⊥AC，BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC，則BD⊥PC，又BF⊥PC，所以PC⊥平面BDF，利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為O，連OF，

因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，且O為AC中點(diǎn)，PF＝FC，所以PA∥OF，又PA平面BDF，OF平面BDF，故PA∥平面BDF．（2）因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以BD⊥AC，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以BD⊥PA，又ACBD＝O，AC，BD平面ABCD，所以BD⊥平面PAC，又PC平面PAC，所以BD⊥PC，又BF⊥PC，BDBF＝B，BD，BF平面BDF，所以PC⊥平面BDF，又PC平面PBC，故平面BDF⊥平面PBC.11．（2122高一下·江蘇徐州·期末）如圖，已知在三棱錐中，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，且平面平面.

(1)求證：平面；(2)求證：.【答案】見解析【分析】（1）要證平面，只需證明；（2）要證，只需利用面面垂直的性質(zhì)證明平面.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，所以.又平面平面，所以平面.（2）因?yàn)?，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平?又平面，所以.12．（2122高一下·江蘇南通·期末）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，側(cè)面平面．(1)求證：；(2)設(shè)平面與平面的交線為l，的中點(diǎn)分別為，證明：平面．【答案】見解析【分析】（1）證明，繼而根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）延長交于點(diǎn)M，連接,證明平面，繼而說明直線l為直線，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）證明：，∵設(shè)，∴，，,∴，∴，∴，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴．（2）延長交于點(diǎn)M，連接,∵，∴D為的中點(diǎn)，∵的中點(diǎn)為E，∴，不在平面內(nèi),∵平面，∴平面，又平面，平面，∴平面平面，即直線l為直線，∴平面．13．（2122高一下·江蘇南通·期末）如圖，是正方形所在平面外一點(diǎn)，，且平面平面，，分別是線段，的中點(diǎn)．(1)求證：(2)求證：平面(3)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)【分析】（1）證明平面后由線面垂直的性質(zhì)定理得線線垂直；（2）取中點(diǎn)，連接，，證明后可得線面平行；（3）由體積法求點(diǎn)面距．【詳解】（1）因?yàn)檎叫?，又平面平面平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．?）取中點(diǎn)，連接，，在中，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槭钦叫芜呏悬c(diǎn)，所以，所以，即四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，故EF平面（3）如圖，設(shè)，連接，因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，故平面，即是三棱錐的高由正方形邊，所以因?yàn)?，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，即，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為．14．（2122高一下·江蘇蘇州·期末）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，為線段上的動點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).(1)若為線段的中點(diǎn)，證明：平面平面；(2)若平面，試確定點(diǎn)的位置，并說明理由.【答案】(1)見解析；(2)點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)處，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合線面垂直的性質(zhì)、判定定理可證平面，進(jìn)而證明結(jié)果；（2）利用線面平行的性質(zhì)定理理解分析．【詳解】（1）因?yàn)榈酌鏋檎叫?，，所?因?yàn)闉榫€段中點(diǎn)，所以在平面中，.因?yàn)榈酌娴酌妫?又平面平面，所以平面.因?yàn)槠矫妫?又平面平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）如圖，連接，交于點(diǎn)，連接.因?yàn)樵谡叫沃?，為線段中點(diǎn)，，所以，即.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以，所以，即，所以點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)處.15．（2122高一下·江蘇南通·期末）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別為棱AB，PC的中點(diǎn)，求證：(1)MN//平面PAD．(2)MN⊥CD．【答案】見解析【分析】（1）要證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為證明線線平行，取PD的中點(diǎn)E，證明四邊形是平行四邊形；（2）根據(jù)平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明，即證明平面PAD.【詳解】（1）取PD的中點(diǎn)E，連接．因?yàn)镋，N分別是的中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)?，M是AB中點(diǎn)，所以且，所以且，所以四邊形AMNE是平行四邊形，所以．

因?yàn)槠矫鍼AD，平面PAD，所以平面PAD（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，又，且，所以平面PAD，平面，所以，

又因?yàn)椋裕?6．（2122高一下·江蘇連云港·期末）如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠ABC＝90°，．求證：(1)AD∥平面PBC；(2)平面PBC⊥平面PAD．【答案】見解析【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)定理得線線平行，再由線面平行判定定理得結(jié)論；（2）由線面垂直得線線，然后又由線線垂直得線面垂直，從而證得面面垂直．【詳解】