北京市順義區(qū)第二中學2023-2024學年高二下學期期中考試數(shù)學試題

北京市順義區(qū)第二中學20232024學年高二下學期期中考試數(shù)學試題第一部分選擇題（共40分）一、選擇題（每小題4分，共10小題，滿分40分，下列各小題均有四個選項，其中只有一項是符合題意要求的．）1.一質點做直線運動，若它所經(jīng)過的路程與時間的關系為（的單位：m，的單位：s），則時的瞬時速度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導數(shù)求瞬時變化率.【詳解】，則，有，所以時的瞬時速度為16m/s.故選：A2.在的二項展開式中，二項式系數(shù)最大的項是（）A.第7項 B.第3和第4項 C.第4項 D.第3項【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用二項式系數(shù)的性質直接求出結論.【詳解】二項式的展開式有7項，所以二項式系數(shù)最大的項是第4項.故選：C3.已知函數(shù)，則在點處的切線斜率是（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率.【詳解】函數(shù)，求導得，所以所求切線的斜率為.故選：D4.下列函數(shù)求導運算中，錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則逐項求導判斷即可.【詳解】對于A，，A正確；對于B，，B正確；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：C5.已知隨機變量的分布列如表：（其中為常數(shù)）0123450.20.10.30.20.1則等于（）A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分布列概率和為1求得a,再根據(jù)互斥事件的概率和公式計算即可.【詳解】根據(jù)分布列概率和為1，可得,.故選：B.6.在0，1，2，3，4，5這6個數(shù)中任取4個，可組成無重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)（）A.240 B.300 C.320 D.360【答案】B【解析】【分析】由分步乘法原理計算可得.【詳解】分步完成，第一步，首位數(shù)字不能為零，有5種取法；第二步，其余三位數(shù)可以從剩下的五位數(shù)中任取三位，共有種取法；所以一共有種，故選：B.7.已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，那么對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.在上單調遞增 B.在上單調遞減C.在處取得最大值 D.在處取得極大值【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定函數(shù)圖像，判斷導數(shù)的正負時的取值范圍，再利用單調性逐項判斷即可.【詳解】由導函數(shù)圖像可知，當或時，，當，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故選項A，B錯誤；在處取得極大值，且，故C錯誤，D正確；故選：D.8.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調遞減的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性判斷A選項，根據(jù)二次函數(shù)單調性判斷C選項，結合導函數(shù)正負判斷B,D選項即可.【詳解】是單調遞增函數(shù)，A選項錯誤；,單調遞增，B選項錯誤；單調遞增，C選項錯誤；單調遞減,D選項正確.故選：D.9.若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，得到，令，利用導數(shù)與函數(shù)單調性間的關系，求出的單調區(qū)間，進而得出函數(shù)值的變化，即可求出結果.【詳解】令，得到，令，則，由得到，由，得到，所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，又，當時，，當時，，且時，，所以，當函數(shù)恰有2個零點時，，故選：A.10.對于上可導的任意函數(shù)，若當時滿足，則必有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定不等式，得到函數(shù)在、時的函數(shù)值變化關系，結合不等式性質推理得解.【詳解】由，得當，即時，，函數(shù)不單調遞減，則；當，即時，，函數(shù)不單調遞增，則；由不等式的性質得：.故選：C第二部分非選擇題（共110分）二、填空題（每小題5分，共5小題，滿分25分）11.已知函數(shù)，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)簡單復合函數(shù)的求導法則計算可得.【詳解】因為，所以.故答案為：12.袋子中有8個大小相同的小球，其中5個紅球，3個藍球，每次從袋子中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回，則在第1次摸到紅球的條件下，第2次摸到藍球的概率是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式及古典概型計算即可.【詳解】在第1次摸到紅球的條件下，袋子中有7個大小相同的小球，其中4個紅球，3個藍球，則第2次摸到藍球的概率是.故答案為：.13.已知，則______；______.（用數(shù)字作答）．【答案】①.41②.0【解析】【分析】利用賦值法，分別令、和，代入運算整理即可結果.【詳解】因為，令，可得；令，可得；所以；令，可得；則，所以.故答案：41；0.14.從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員1人組成3人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有__________種不同的選法.（用數(shù)字作答）【答案】216【解析】【分析】根據(jù)題意，分為1女2男和2女1男，再利用排列、組合求解每類的種數(shù)，結合計數(shù)原理，即可求解.【詳解】第一類，選1女2男，有種，這3人選2人作為隊長和副隊有種，故有種；第二類，選2女1男，有種，這3人選2人作為隊長和副隊有種，故有種，根據(jù)分類計數(shù)原理共有種，故答案為：21615.已知函數(shù)，下列命題中：①函數(shù)有且僅有兩個零點；②函數(shù)在區(qū)間和內各存在1個極值點；③函數(shù)不存在最小值；④，，使得；⑤存在負數(shù)，使得方程有三個不等的實數(shù)根.其中所有正確結論的序號是_______________.【答案】①④【解析】【分析】求出的定義域及導數(shù)，結合函數(shù)零點、極值點及最小值的意義逐一判斷各個命題得解.【詳解】函數(shù)的定義域為R，求導得，對于①，由，得或，函數(shù)有且僅有兩個零點，①正確；對于②，由，即，解得或，或時，，當時，，即是函數(shù)的極值點，而，②錯誤；對于③，顯然函數(shù)在上遞減，在上遞增，而當時，恒成立，又的極小值，因此是的最小值，③錯誤；對于④，由于，恒成立，當時，，因為，所以時，使得，④正確；對于⑤，顯然當或時，，而當時，遞減，當時，遞增，且當時，，因此直線與函數(shù)的圖象最多有兩個公共點，即方程最多有兩個不等的實數(shù)根，⑤錯誤，所以所有正確結論的序號是①④.故答案為：①④三、解答題（滿分85分）16.已知的二項式系數(shù)之和是64．（1）求展開式中含的項的系數(shù)；（2）寫出展開式二項式系數(shù)最大的項．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二項式系數(shù)之和為求出值，再根據(jù)二項式結構特征即可求出含的項，進而得系數(shù).（2）根據(jù)二項式系數(shù)的對稱性和最值性質可直接得知二項式系數(shù)最大的是第四項.【小問1詳解】因為二項式系數(shù)之和為，所以，故含的項為，所以展開式中含的項的系數(shù)為60.【小問2詳解】由（1）知展開式共有7項，根據(jù)二項式系數(shù)的單調性可知二項式系數(shù)最大的是第四項.17.已知函數(shù)在時取得極值．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（3）若有兩個零點，求的值．【答案】（1）遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；（2）（3）或【解析】【分析】（1）先求導，由可求出的值，進而確定導數(shù)，由導數(shù)正負即可得解.（2）由（1）可知函數(shù)單調性，根據(jù)單調性求出最低的端點值和極小值進行比較即可得解.（3）將函數(shù)零問題轉化成圖像交點問題結合函數(shù)單調性和極值情況即可求解.【小問1詳解】由題得，且定義域為.由函數(shù)在時取得極值，得，解得，此時，顯然是的變號零點，即是極值點，因此，所以當或時，，當時，，所以函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.【小問2詳解】由（1）知，函數(shù)，且在上單調遞增，在上單調遞減，又所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值是.【小問3詳解】因為，由（1）可知在上單調遞增，在上單調遞減，所以有極小值為，極大值為，由有兩個零點得直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，故或，所以或.18.從一批筆記本電腦共有臺，其中品牌臺，品牌臺．如果從中隨機挑選臺，（1）求臺電腦中恰好有一臺品牌的概率；（2）求這臺電腦中品牌臺數(shù)的分布列．【答案】（1）（2）分布列見解析【解析】【分析】（1）先求隨機挑選兩臺的取法共有種，再求2臺電腦種恰有一臺品牌電腦的取法有種即可；（2）由條件確定隨機變量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列.【小問1詳解】隨機挑選兩臺的取法共有種，2臺電腦種恰有一臺品牌電腦的取法有種2臺電腦種恰有一臺品牌電腦的概率是.【小問2詳解】2臺電腦種品牌的臺數(shù)為可能取值為．，，所以的分布列為：19.已知函數(shù)．（1）當時，求的單調區(qū)間．（2）若函數(shù)在時取得極值，求的值；（3）在第（2）問的條件下，求證：函數(shù)有最小值.【答案】（1）和，單調減區(qū)間是（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導，利用導數(shù)判斷的單調區(qū)間即可；（2）求導，根據(jù)極值點處導數(shù)值為0可得，并代入檢驗即可；（3）分和兩種情況，結合（2）中的單調性分析證明.【小問1詳解】因為的定義域為，當時，則，可得，令，解得或；令，解得；所以的單調增區(qū)間是和，單調減區(qū)間是.【小問2詳解】由題意可得：，若函數(shù)在時取得極值，則，解得：，當時，，當或時，；當時，；可知的單調增區(qū)間是和，單調減區(qū)間是，則是的極大值點，符合題意，綜上所述：.【小問3詳解】由（2）可知：，當時，恒成立；當時，由（2）可知：在上單調遞增，在上單調遞減，所以的取得最小值；綜上所述：在處取得最小值，最小值為.20.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求解即可；（2）解法一：由題意得在區(qū)間上恒成立，設，然后利用導數(shù)求出其最小值，使其大于等于零，從而可求出實數(shù)的取值范圍；解法二：由題意得在區(qū)間上恒成立，則在區(qū)間上恒成立，令，利用導數(shù)求出其最大值即可,【小問1詳解】當時，函數(shù)．令，得，即切點坐標為．，令，得，即切線斜率，故切線方程為，即．【小問2詳解】解法一：已知，可得，因為在區(qū)間上單調遞增，所以在區(qū)間上恒成立，設，可得，令，；①當時，，，，單調遞減，，不滿足題意；②當時，，時，，單調遞增；時，，單調遞減，由，，，得；③當時，，，，單調遞增，由，得，所以；綜上，.經(jīng)檢驗，滿足題意.所以實數(shù)的取值范圍為.解法二：．由題意，在區(qū)間上恒成立，因為，所以，所以在區(qū)間上恒成立．令，則，所以在區(qū)間上單調遞增，所以的最大值為，所以．經(jīng)檢驗，滿足題意.所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數(shù)的綜合應用，考查導數(shù)的幾何意義，考查利用導數(shù)解決函數(shù)單調性問題，解題的關鍵是將問題轉化為在區(qū)間上恒成立，然后分離參數(shù)，再構造函數(shù)，利用導數(shù)求其最值即可，考查數(shù)學轉化思想和計算能力，屬于較難題.21.已知函數(shù)，，其中.（1）求證：對任意的，總有恒成立；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（3）當時，求證：函數(shù)在區(qū)間上存在極值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）依題意可得對任意的恒成立，令，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的最小值，即可得證；（2）求出函數(shù)的導函數(shù)，分、兩種情況討論得到在上的單調性，再結合所給區(qū)間，分3種情況討論函數(shù)的最小值；（3）利用導數(shù)說明導函數(shù)的單調性，以及隱零點的思想證明即可.