7.3 空間角（精講）（教師版）

7.3空間角（精講）空間角的概念及范圍空間角解題思路夾角范圍線線角設(shè)兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為則線面角l為平面α的斜線，為l的方向向量，為平面α的法向量，φ為l與α所成的角，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))二面角平面α的法向量為，平面β的法向量為，〈，〉＝θ，設(shè)二面角大小為φ，則一．異面直線所成的角1.幾何法:平移法求異面直線所成的角(1)作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；（2）證：證明作出的角是異面直線所成的角；（3）求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．2.向量法(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對(duì)值.二．直線與平面所成角1.幾何法一作(找)角，二證明，三計(jì)算，其中作(找)角是關(guān)鍵，先找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足，然后把線面角轉(zhuǎn)化到三角形中求解.2.向量法（1）斜線的方向向量（2）平面的法向量（3）斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角（或鈍角的補(bǔ)角），取其余角就是斜線和平面所成的角.三．二面角1.幾何法方法一：定義法：找出二面角的平面角方法二：垂面法，即在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.2.向量法（1）找法向量：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小；（2）找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.考法一線線角【例1-1】（2023·河南洛陽）如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且各棱長均相等，E是PB的中點(diǎn)，則異面直線AE與PC所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】連接與交于點(diǎn)，連接，由題意得，，且平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)四棱錐各棱長均為2，則，，可得，則，設(shè)異面直線與所成角為，則．故選：A．【例1-2】（2023秋·陜西漢中）在三棱錐中，，的邊長均為6，P為AB的中點(diǎn)，則異面直線PC與BD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，取中點(diǎn)，連接，，

是中點(diǎn)，，，則是PC與BD所成角的平面角（或補(bǔ)角），在中，，，由余弦定理，，在中，，，同理，，在中，由余弦定理可得，，異面直線與所成角的余弦為.故選：C.【一隅三反】1．（2023·北京）如圖所示，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，連接，，則,

，分別是，的中點(diǎn)，，是異面直線與所成的角，且是等邊三角形，.故選：.2．（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，

，，四邊形為平行四邊形，，異面直線與所成角即為直線與所成角，即（或其補(bǔ)角）；，，，，即異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，底面為正方形，是正三角形，，平面平面，則與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭钦切危?，平面平面，平面平面，平面，所以平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，所以與所成角的余弦值為.

故選：A考法二線面角【例2-1】（2023秋·福建福州）如圖，在底面為菱形的四棱錐中，，．

(1)求證：平面平面ABCD；(2)已知，求直線BN與平面ACN所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：取AD的中點(diǎn)為O，連結(jié)OM，OB，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是為菱形，且，所以為正三角形，所以，且．因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，平面ABCD，平面ABCD所以平面ABCD，又因?yàn)槠矫鍹AD，所以平面平面ABCD．（2）由（1）知，OA，OB，OM兩兩垂直，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則，，，，，所以，，，設(shè)平面ACN的一個(gè)法向量為，則，即，取，則．因?yàn)椋瑒t，所以直線BN與平面ACN所成角的正弦值為．【例2-2】（2023秋·湖北）如圖，在四棱臺(tái)中，底面，M是中點(diǎn).底面為直角梯形，且，，.

(1)求證：直線平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，且，，則，又因?yàn)?，則，可知四點(diǎn)共面，由，，可得，，則四邊形是平行四邊形，故，且平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)榈酌?，底面，則，且，，平面，所以平面，由（1）可知：，則平面，且平面，所以平面平面，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連，平面平面，平面，所以平面，所以為與平面所成角，因?yàn)?，則，可得，所以直線與平面所成角的正弦值.

【一隅三反】1．（2022秋·陜西渭南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面，，，分別為，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明詳見解析(2)【解析】（1）連接，由于分別為，的中點(diǎn)，所以，由于平面，平面,所以平面.（2）由于底面，，所以底面底面，所以，由于，所以兩兩相互垂直，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面，即平面的法向量為，則，故可設(shè).設(shè)直線與平面所成角為，則.

2．（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，A，為底面圓上兩點(diǎn)，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.

(1)證明：平面平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）設(shè)圓O的半徑為r，在中，，，，故，又，故，在中，由余弦定理得，所以，即；圓錐中，底面，底面，故，又，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，有，即，解得，設(shè)直線與平面所成角為，則.

3．（2023春·北大附中校考期中）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，.

(1)設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)求證：平面；(3)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【解析】（1）證明：連接，根據(jù)題意可得，可得為的中點(diǎn)，又由為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）證明：取棱的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，且平面，所以平?（3）解：連接，由平面，可得是直線與平面所成的角，因?yàn)闉榈冗吶切?，，且為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，在直角中，，所以直線與平面所成的角的正弦值為.

考法三二面角【例3-1】（2023秋·廣東）如圖，在多面體ABCDE中，平面BCD，平面平面BCD，其中是邊長為2的正三角形，是以為直角的等腰三角形，.

(1)證明：平面BCD.(2)求平面ACE與平面BDE的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）取CD的中點(diǎn)F，連接EF，BF.因?yàn)槭沁呴L為2的正三角形，所以，且.因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，且平面平面，平面ECD，所以平面BCD.因?yàn)槠矫鍮CD，所以.因?yàn)椋运倪呅蜛BFE為平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫鍮CD，平面BCD，所以平面BCD.（2）過點(diǎn)B作，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，故，，，.設(shè)平面ACE的法向量為，則，令，得.設(shè)平面BDE的法向量為，則，令，得.設(shè)平面ACE與平面BDE的夾角為，則.【例3-2】（2023春·湖南永州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在正方體中，E、F分別是棱AB、CD的中點(diǎn).

(1)求證：面；(2)求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）由E、F分別是棱AB、CD的中點(diǎn)，得，又面，面，所以面；（2）由面，面，則，又，則為二面角的平面角，在直角三角形中，所以二面角的大小為.【一隅三反】1．（2023秋·山西呂梁·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)．(1)若，求證：平面平面；(2)若，，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）連接，取中點(diǎn)F，連接，如圖所示．因?yàn)?，，所以，，所以四邊形為平行四邊形．所以，則，所以，即．因?yàn)槠矫?，平面，所以，，，平面，所以平面，又平面，所以．又，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．所以，，，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，所以，得，令，，所以平面的一個(gè)法向量．因?yàn)椋?，又，所以，又，設(shè)平面的一個(gè)法向量，所以，得，令，得，所以平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面與平面的夾角為，所以．即平面與平面的夾角的余弦值為．2．（2023秋·陜西漢中·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，.

(1)證明：.(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：因?yàn)閭?cè)面為正方形，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，所以在直三棱柱中?所以，因?yàn)?，?cè)面為正方形，所以，，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以∽，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以,因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，?）解：由（1）可知兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為銳角，則，所以二面角的余弦值為

3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，已知平面，且.

(1)求的長；(2)若為線段的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.【答案】(1)2(2)【解析】（1）連接，因?yàn)槠矫妫矫?，則，又因?yàn)?，平面，所以平面，且平面，可得，因?yàn)闉槠叫兴倪呅危?，則為矩形，所以正方形，可得.（2）根據(jù)題意將三棱柱轉(zhuǎn)化為正四棱柱，取的中點(diǎn)，連接，則三點(diǎn)共線，且//，因?yàn)?/，可得//，所以平面即為平面，同理平面即為平面，因?yàn)?/，平面，則平面，且平面，則，所以二面角的平面角為，可得，在中，則，所以二面角的余弦值為.

.4．（2023秋·廣東深圳·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在四棱錐中，底面ABCD為正方形，.(1)證明：平面平面ABCD；(2)若，，求平面PAD與平面PBC夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）∵底面ABCD為正方形，∴，又∵，，AD，平面PAD，∴平面PAD，∵平面ABCD，∴平面平面ABCD.（2）（法一）取AD中點(diǎn)為O，連結(jié)PO，∵在中，，，∴，為等邊三角形.∵平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，∴平面ABCD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)底面正方形的邊長為2，∴，，，，，∴，，設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量，則，即，令，則，，∴，由（1）可知平面PAD的一個(gè)法向量，設(shè)平面PAD與平面PBC的夾角為，則，∴平面PAD與平面PBC夾角的余弦值為.（法二）設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l，∵，平面PAD，平面PAD，∴平面PAD，又∵平面PBC，∴，，∵平面PAD與平面PBC有一個(gè)交點(diǎn)P，∴l(xiāng)為過點(diǎn)P且與BC平行的一條直線，如下圖，取AD中點(diǎn)為O，取BC中點(diǎn)為M，連結(jié)PO，PM，OM，∵底面四邊形ABCD為正方形，O，M分別為AD，BC的中點(diǎn)，∴，又∵平面PAD，∴平面PAD，∵平面PAD，∴，∵在中，，O為AD的中點(diǎn)，∴，，又，PO，平面PAD，∴平面POM，∴，又∵為銳角，∴為平面PAD與平面PBC的夾角，設(shè)底面正方形ABCD的邊長為2，在中，，，∴平面PAD與平面PBC夾角的余弦值為.考法四動(dòng)點(diǎn)問題求角【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知直角梯形與，，，，AD⊥AB，，G是線段上一點(diǎn).(1)平面⊥平面ABF(2)若平面⊥平面，設(shè)平面與平面所成角為，是否存在點(diǎn)G，使得，若存在確定G點(diǎn)位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，點(diǎn)G為BF中點(diǎn)【解析】（1）因?yàn)?，，，AF、AB平面ABF，所以AD⊥平面ABF，又AD平面ABCD，所以平面⊥平面ABF.（2）由面⊥面，，面面，面，所以平面，AB在面ABCD內(nèi)，則，結(jié)合已知建立如下空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，得，平面的法向量為，又，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，故=，解得=，（舍），所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為，故存在點(diǎn)G為BF中點(diǎn)時(shí)使得.【一隅三反】1．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知四棱錐，底面為菱形平面，為上一點(diǎn).(1)平面平面，證明：；(2)當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，試確定點(diǎn)的位置.【答案】(1)證明見解析(2)點(diǎn)為棱中點(diǎn)【解析】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所?（2）取中點(diǎn)，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.所以，設(shè)，所以，設(shè)平面的法向量，則有，即令，則.平面的一個(gè)法向量為，所以.