7.2 空間幾何體積與表面積（精練）（教師版）

7.2空間幾何體積與表面積（精練）1．（2023春·山西大同）（多選）下列命題中不正確的是（

）A．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面B．正四棱錐的側(cè)面都是正三角形C．用一個(gè)平面去截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺(tái)D．平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形【答案】BC【解析】對(duì)于A，圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，正四棱錐的側(cè)面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺(tái)，而不是用一個(gè)平面去截圓錐，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于D，平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形，故選項(xiàng)D正確，故選：BC.2．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，一個(gè)水平放置的三角形的斜二測(cè)直觀圖是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周長(zhǎng)是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意可得：，由直觀圖可得原圖，如圖所示，可知：，可得，所以原三角形的周長(zhǎng).故選：B.3．（2023·山東濟(jì)南·一模）已知正三角形邊長(zhǎng)為2，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】正三角形的高為，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的知識(shí)可知，直觀圖的面積為.故選：B4．（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）下列命題正確的有（

）A．空間中兩兩相交的三條直線一定共面B．已知不重合的兩個(gè)平面，則存在直線，使得為異面直線C．有兩個(gè)平面平行，其他各個(gè)面都是平行四邊形的多面體是棱柱D．過(guò)平面外一定點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與平行【答案】BD【解析】對(duì)于A，空間中兩兩相交的三條直線交于同一點(diǎn)時(shí)，可能共面也可能不共面，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，不重合的兩個(gè)平面，可能平行或者相交，

不論是平行還是相交，都存在直線，使得為異面直線，B正確；對(duì)于C，如圖示幾何體滿足兩個(gè)平面平行，其他各個(gè)面都是平行四邊形，

但該幾何體不是棱柱，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于過(guò)平面外一定點(diǎn)，有且只有一條直線m與平面垂直，過(guò)點(diǎn)P有且只有一個(gè)平面與m垂直，則，故過(guò)平面外一定點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與平行，D正確，故選：BD5．（2023·吉林·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）已知圓臺(tái)的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為，母線長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）

A．圓臺(tái)的體積為 B．圓臺(tái)的側(cè)面積為C．圓臺(tái)母線與底面所成角為 D．在圓臺(tái)的側(cè)面上，從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)為5【答案】ACD【解析】對(duì)于A：圓臺(tái)的高為，則圓臺(tái)的體積，A正確；對(duì)于B：由題意，圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓環(huán)，

其面積為．故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：過(guò)作交底面于，則底面，所以即為母線與底面所成角．

在等腰梯形中，，所以．因?yàn)闉殇J角，所以．故C正確；對(duì)于D：如圖示，在圓臺(tái)的側(cè)面上，從到的最短路徑的長(zhǎng)度為．由題意可得：．由為中點(diǎn)，所以，所以．故D正確．

故選：ACD.6．（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）仿鈞玫瑰紫釉盤(pán)是收藏于北京故宮博物院的一件明代宣德年間產(chǎn)的瓷器．該盤(pán)盤(pán)口微撇，弧腹，圈足．足底切削整齊．通體施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不勝收．仿鈞玫瑰紫釉盤(pán)的形狀可近似看成是圓臺(tái)和圓柱的組合體，其口徑為15.5cm，足徑為9.2cm，頂部到底部的高為4.1cm，底部圓柱高為0.7cm，則該仿鈞玫瑰紫釉盤(pán)圓臺(tái)部分的側(cè)面積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：π的值取3，）

A． B． C． D．【答案】D【解析】方法1：設(shè)該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為l，高為h，兩底面圓的半徑分別為R，r（其中），則，，，所以，故圓臺(tái)部分的側(cè)面積為．

故選：D方法2（估算法）：若按底面直徑為15.5cm，高為3.4cm的圓柱估算圓臺(tái)部分的側(cè)面積得，易知圓臺(tái)的側(cè)面積應(yīng)大于所估算的圓柱的側(cè)面積，故此仿鈞玫瑰紫釉盤(pán)圓臺(tái)部分的側(cè)面積大于，對(duì)照各選項(xiàng)可知只有D符合．故選：D7．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知一個(gè)球內(nèi)接圓臺(tái)，圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為和，球的體積為，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)球的半徑為，則，所以，，取圓臺(tái)的軸截面，如下圖所示：

設(shè)圓臺(tái)的上、下底面圓心分別為、，則、分別為、的中點(diǎn)，連接、、、、、，則，由垂徑定理可知，，，所以，，，因?yàn)?，，，所以，，所以，，所以，，所以，，則，因此，圓臺(tái)的側(cè)面積為，故選：D.8．（2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，，，過(guò)點(diǎn)作截面，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖．沿著側(cè)棱把正三棱錐展開(kāi)在一個(gè)平面內(nèi)，如下圖所示：則即為的周長(zhǎng)的最小值，又因?yàn)?，所以，在中，，由勾股定理得：．故選：C．9．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）已知圓臺(tái)的上?下底面圓半徑分別為10和5，側(cè)面積為為圓臺(tái)的一條母線（點(diǎn)在圓臺(tái)的上底面圓周上），為的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，繞圓臺(tái)側(cè)面一周爬行到點(diǎn)，則螞蟻爬行所經(jīng)路程的最小值為（

）A．30 B．40 C．50 D．60【答案】C【解析】圓臺(tái)上底面半徑為，下底面半徑為，母線長(zhǎng)為，所以，解得：，將圓臺(tái)所在的圓錐展開(kāi)如圖所示，且設(shè)扇形的圓心為O.線段就是螞蟻經(jīng)過(guò)的最短距離，設(shè)，圓心角是，則由題意知①，②，由①②解得，，，∴，，則.故選：C.10．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖所示，正八面體的棱長(zhǎng)為2，則此正八面體的表面積與體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，由邊長(zhǎng)為2，可得的高，，則其表面積為.體積為.此正八面體的表面積與體積之比為.故選：D.11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）黃地綠彩云龍紋盤(pán)是收藏于中國(guó)國(guó)家博物館的一件明代國(guó)寶級(jí)瓷器.該龍紋盤(pán)敞口，弧壁，廣底，圈足.器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收.黃地綠彩云龍紋盤(pán)可近似看作是圓臺(tái)和圓柱的組合體，其口徑22.5cm，足徑14.4cm，高3.8cm，其中底部圓柱高0.8cm，則黃地綠彩云龍紋盤(pán)的側(cè)面積約為（

）（附：圓臺(tái)的側(cè)面積，，為兩底面半徑，為母線長(zhǎng)，其中的值取3，）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，兩底面圓半徑分別為，（其中），則，，，所以，故圓臺(tái)部分的側(cè)面積為，圓柱部分的側(cè)面積為，故該黃地綠彩云龍紋盤(pán)的側(cè)面積約為.故選：B.12．（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）位于徐州園博園中心位置的國(guó)際館（一云落雨），使用現(xiàn)代科技霧化“造云”，打造溫室客廳，如圖，這個(gè)國(guó)際館中3個(gè)展館的頂部均采用正四棱錐這種經(jīng)典幾何形式，表達(dá)了理性主義與浪漫主義的對(duì)立與統(tǒng)一.其中最大的是3號(hào)展館，其頂部所對(duì)應(yīng)的正四棱錐底面邊長(zhǎng)為19.2m，高為9m，則該正四棱錐的側(cè)面面積與底面面積之比約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．2 B．1.71 C．1.37 D．1【答案】C【解析】如圖，設(shè)H為底面正方形ABCD的中心，G為BC的中點(diǎn)，連接PH，HG，PG，則，，所以，則，故選：C.13．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）為了給熱愛(ài)朗讀的師生提供一個(gè)安靜獨(dú)立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個(gè)正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對(duì)側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長(zhǎng)的比為，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為，由題意正六棱柱的高為，因?yàn)檎忮F的高與底面邊長(zhǎng)的比為，所以正六棱錐的高為，正六棱錐的母線長(zhǎng)為，正六棱錐的側(cè)面積；正六棱柱的側(cè)面積，所以.故選：B.14．（2023春·安徽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）宿州市三角洲生態(tài)公園是多功能的綜合性公園，其標(biāo)志性雕塑“生命之源”為水滴形狀，寓意水是生命之源，此雕塑頂部可視為一個(gè)圓錐.已知此圓錐的高為，其母線與底面所成的角為60°，則此圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線長(zhǎng)為，由題意得，則，從而，所以，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積.故選：B15．（2023·全國(guó)·鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知菱形的邊長(zhǎng)為，則將菱形以其中一條邊所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖是所求的幾何體,該幾何體上部分為圓錐,下部分為在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)與上部分相同的圓錐,其中圓柱的高為，點(diǎn)到的距離為，所以該幾何體的體積為.故選:B.16．（2023·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖（扇形的一部分），若扇形的兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別是1和3，且，則該圓臺(tái)的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓臺(tái)上底面圓半徑為，下底面圓半徑為，依題意，，且，解得，而圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，因此圓臺(tái)的高，所以圓臺(tái)的體積.故選：C17．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在直三棱柱中，，，M為的中點(diǎn)，，則該直三棱柱的體積為（

）A． B．4 C． D．【答案】A【解析】在直三棱柱中，連接，如圖，由，得，而平面，平面，則，又平面，于是平面，平面，則，而，平面，因此平面，又平面，則，有，，則有，解得，所以該三棱柱的體積．故選：A18．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知為長(zhǎng)方體，對(duì)角線與平面相交于點(diǎn)，則為的（

）

A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心【答案】B【解析】如圖連接交于點(diǎn)，連接，連接、，，連接，由為長(zhǎng)方體，所以為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則、為的中線，平面平面，對(duì)角線與平面相交于點(diǎn)，則，平面平面，對(duì)角線與平面相交于點(diǎn)，則，所以為與的交點(diǎn)，所以為的重心.

故選：B19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P在棱長(zhǎng)為的正方體的外接球O的球面上，當(dāng)過(guò)A，C，P三點(diǎn)的平面截球O的截面面積最大時(shí)，此平面截正方體表面的截線長(zhǎng)度之和L為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)底面正方形的中心為，當(dāng)過(guò)A，C，P三點(diǎn)的平面截球的截面面積最大時(shí)，截面圓為大圓，截面過(guò)球心，故點(diǎn)P，O，三點(diǎn)共線，因?yàn)槠矫?，所以平面，此平面截正方體的截面即為正方體的面，所以．故選：A．20．（2023·河南·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直四棱柱的底面為正方形，，為的中點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)作平面，則該四棱柱的外接球被平面截得的截面圓的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知直四棱柱的外接球的半徑，如圖，取的中點(diǎn)，連接，易知四邊形為矩形，且平面即為平面，分別取的中點(diǎn)，連接，則易得四邊形為正方形，由四棱柱的對(duì)稱性可知，其外接球的球心即為正方形的中心，取的中點(diǎn)，連接，則平面，平面，所以平面，故球心到平面的距離與到平面的距離相等，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，易知面，面，故，又平面，所以平面，又，所以球心到平面的距離為，由球的性質(zhì)知，截面圓的半徑，所以截面圓的周長(zhǎng)為.故選：D.21．（2023·江西鷹潭·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若點(diǎn)平面，且平面，則平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】記的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接，由正方體性質(zhì)可知，平面，因?yàn)槠矫?，所以又為正方形，所以因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫砸驗(yàn)镻，E分別為的中點(diǎn)，所以，所以，同理可證，又，平面所以平面，所以三角形即為平面截正方體所得截面，易知三角形為正三角形，所以截面周長(zhǎng)為.故選：C

22．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在棱長(zhǎng)為的正方體的外接球的球面上，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，過(guò)，，三點(diǎn)的平面截正方體各面所得截線的長(zhǎng)度之和的值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)底面正方形的中心為，因?yàn)?，則當(dāng)點(diǎn)到的距離最大時(shí)，的面積最大，當(dāng)點(diǎn)P，O，三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)到的距離最大，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，點(diǎn)P，O，三點(diǎn)共線，因?yàn)槠矫妫云矫?，此時(shí)平面截正方體的截面即為矩形，所以．故選：A．22．（2023·四川巴中·南江中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）宋代是中國(guó)瓷器的黃金時(shí)代，涌現(xiàn)出了五大名窯：汝窯、官窯、哥窯、鈞窯、定窯．其中汝窯被認(rèn)為是五大名窯之首．如圖1，這是汝窯雙耳罐，該汝窯雙耳罐可近似看成由兩個(gè)圓臺(tái)拼接而成，其直觀圖如圖2所示．已知該汝窯雙耳罐下底面圓的直徑是厘米，中間圓的直徑是厘米，上底面圓的直徑是厘米，高是厘米，且上、下兩圓臺(tái)的高之比是，則該汝窯雙耳罐的側(cè)面積是______平方厘米．【答案】【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為，由題意可得，，，由圓臺(tái)的幾何性質(zhì)可知，在平面中，，，則四邊形為矩形，則，所以，，同理可得，由題意可知且，則，，從而，，故該汝窯雙耳罐的側(cè)面積為平方厘米．故答案為：.23．（2023·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)梯形OABC的直觀圖如圖所示，，，，軸，，為的三等分點(diǎn)，則四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體的體積為_(kāi)_____．

【答案】【解析】在直觀圖中，，所以在還原圖中，，如圖，

在直觀圖中，，為的三等分點(diǎn)，所以在還原圖中，，D為OA的三等分點(diǎn)，又在直觀圖中，軸，所以在還原圖中，軸，則，所以，則，故，，所以四邊形OABC是等腰梯形，所以四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間幾何體的體積等于一個(gè)圓臺(tái)的體積減去一個(gè)圓錐的體積，即．故答案為：.23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，過(guò)點(diǎn)作截面，則周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】如圖，沿著側(cè)棱把正三棱錐展開(kāi)在一個(gè)平面內(nèi)，如下圖所示：則即為的周長(zhǎng)的最小值，且，在中，由勾股定理得：．故答案為：24．（2023·青海海東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，P為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為_(kāi)_____．

【答案】2【解析】連接，在正方體中，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，而平面，平面，即有，又，平面，平面，則平面，而平面，因此，同理平面，又平面，即有，因?yàn)?，平?平面，所以平面．連接，設(shè)，連接OP，則OP是的中位線，所以，，所以O(shè)P⊥平面，即OP是三棱錐的高．因?yàn)?，所以?/p>

因?yàn)?，所以．故答案為?.25．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD為菱形，平面ABCD，，.

(1)求證：平面平面AFC；(2)記三棱錐的體積為，三棱錐的體積為，求的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以.因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以.又，，平面BDEF，所以平面BDEF.又平面AFC，所以平面平面AFC.（2）如圖，設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，連接OE，OF.由（1）可知，平面BDEF，平面BDEF，所以.設(shè)，則，，所以，所以.由（1）可知，平面ABCD，所以，所以.

25．（2023·陜西寶雞·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD是圓柱底面的內(nèi)接四邊形，AC是圓柱的底面直徑，PC是圓柱的母線，E是AC與BD的交點(diǎn)，.

(1)證明.(2)記圓柱的體積為，四棱錐P-ABCD的體積為，求；【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）證明：由已知得是等邊三角形，，是直徑，所以，即，則為等邊三角形的角平分線，所以，

又PC是圓柱的母線，則PC⊥平面ABCD，平面，所以又，平面，則BD⊥平面PCA，平面，所以（2）由已知得，，則，所以,,,于是，，所以.26．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）在斜三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱，頂點(diǎn)在平面的射影為邊的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】1）且為的中點(diǎn)，，又平面平面，平面.故平面，又平面，平面平面.（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，根據(jù)等體積公式可得，解得-27．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，AC與BD交于點(diǎn)O，底面ABCD，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，連接OE，OF，EF．(1)求證：平面平面PCD；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(2)【解析】（1）因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，AC與BD交于點(diǎn)O所以O(shè)為AC中點(diǎn)，點(diǎn)E是棱PA的中點(diǎn)，F(xiàn)分別是棱PB的中點(diǎn)，所以O(shè)E為三角形的中位線，OF為三角形的中位線，所以,，平面，平面，平面，平面，平面，平面，而,平面，平面，平面平面PCD.（2）因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)榈酌鍭BCD，底面ABCD，底面ABCD，所以，，所以和均為直角三角形，所以，，所以，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，根據(jù)體積相等法可知，所以，所以.，故三棱錐的體積為.28．（2023·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCP中，為邊長(zhǎng)為的正三角形，，將沿AC翻折，使點(diǎn)P到達(dá)的位置，若平面平面ABC，且．

(1)求線段的長(zhǎng)；(2)設(shè)M在線段上，且滿足，求三棱錐的體積．【答案】(1)(2)【解析】（1）如圖：

取BC中點(diǎn)O，連接AO，，因?yàn)闉榈冗吶切?，O為BC的中點(diǎn)，則，又平面，平而，．所以，即為等邊三角形，所以，又平面平面ABC，，所以平面，所以，又，所以（2）三棱錐的體積為三棱錐與三棱錐的體積之差.因?yàn)镸在線段上，且滿足，即，所以三棱錐的體積為三棱錐體積的.所以三棱錐的體積為三棱錐體積的.由（1）可知，，，而，所以平面，所以為三棱錐的高，所以三棱錐的體積為：.所以三棱錐的體積為：.29．（2023·四川成都·川大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示多面體中，平面平面，平面，是正三角形，四邊形是菱形，，，

(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭钦切?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，平面平面所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕忠驗(yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?

（2）因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，所以三棱錐和三棱錐的體積相等，所以，連接交線段與點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，，所以，，所以，由?）平面，，所以.30．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在幾何體中，，，點(diǎn)，在棱上，且，三棱柱是直三棱柱.(1)求證：平面平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）因?yàn)槿庵侵比庵云矫?，因?yàn)槠矫?，所以，又，，點(diǎn)，在棱上，且，則所以，顯然，所以，所以，則，所以，即，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面，所以平面，因?yàn)?，即，所以，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為.1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（多選）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長(zhǎng)均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，即球體的直徑小于正方體的棱長(zhǎng)，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的面對(duì)角線長(zhǎng)為，且，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為，且，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過(guò)的中點(diǎn)作，設(shè)，可知，則，即，解得，且，即，故以為軸可能對(duì)稱放置底面直徑為圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點(diǎn)為，可知：，則，即，解得，根據(jù)對(duì)稱性可知圓柱的高為，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；故選：ABD.2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？既＃ǘ噙x）已知正方體的棱長(zhǎng)為分別為的中點(diǎn)，為正方體的內(nèi)切球上任意一點(diǎn)，則（

）A．球被截得的弦長(zhǎng)為B．球被四面體表面截得的截面面積為C．的范圍為D．設(shè)為球上任意一點(diǎn)，則與所成角的范圍是【答案】BC【解析】如圖所示：

對(duì)于A，易知內(nèi)切球的半徑為1，且球心在正方體的中心，易得；設(shè)球被截得的弦為，在中，如下圖所示：

由對(duì)稱性可知，，且利用余弦定理可知，在中，，解得或（舍），則弦長(zhǎng)，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知四面體為正四面體，所以四個(gè)截面面積相同，由對(duì)稱性可知，球心即為正四面體的外接球（也是內(nèi)切球）球心，如下圖所示：

設(shè)為的中點(diǎn)，為球心在平面內(nèi)的攝影，易知正四面體的棱長(zhǎng)為，，易得，，由勾股定理可得；所以球心到截面距離，不妨設(shè)截面圓半徑為，則，所以截面面積為，故B正確；對(duì)于C，不妨設(shè)的中點(diǎn)為，則由選項(xiàng)A可知，，當(dāng)同向時(shí)，；當(dāng)反向時(shí)，；即的范圍為，即C正確；對(duì)于D，易知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，與所成的角最小為，取截面如下圖所示：

易知當(dāng)與球相切時(shí)，與所成的角最大，設(shè)最大角為，則，即，所以；即與所成角的范圍是說(shuō)法錯(cuò)誤，故D錯(cuò)誤；故選：BC3．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，為底面的中心，交平面于點(diǎn)，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則（

）

A．，，三點(diǎn)共線 B．異面直線與所成的角為C．點(diǎn)到平面的距離為 D．過(guò)點(diǎn)，，的平面截該正方體所得截面的面積為【答案】ACD【解析】因?yàn)闉榈酌娴闹行?，所以為和的中點(diǎn)，則，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，平面，所以點(diǎn)是平面與平面的公共點(diǎn)；顯然是平面與平面的公共點(diǎn)；因?yàn)榻黄矫嬗邳c(diǎn)，平面，所以也是平面與平面的公共點(diǎn)，所以，，三點(diǎn)都在平面與平面的交線上，即，，三點(diǎn)共線，故A正確；因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，即異面直線與所成的角為，故B不正確；根據(jù)證明的方法，同理可得，因?yàn)?，平面，所以平面，則的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到平面的距離，顯然為正三角形的中心，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以正三角形的邊長(zhǎng)為，所以，又，所以，即點(diǎn)到平面的距離為，故C正確；取的中點(diǎn)，連，，，，因?yàn)?，所以等腰梯形就是過(guò)點(diǎn)，，的平面截該正方體所得截面，如圖：

因?yàn)?，，，所以等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，即過(guò)點(diǎn)，，的平面截該正方體所得截面的面積為，故D正確.故選：ACD4．（2023浙江?。┮阎睦忮F中，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，，平面過(guò)PB，BC，PD的中點(diǎn)，則下列關(guān)于平面截四棱錐所得的截面正確的為（

）A．所得截面是正五邊形 B．截面過(guò)棱PA的三等分點(diǎn)C．所得截面面積為 D．截面不經(jīng)過(guò)CD中點(diǎn)【答案】C【解析】

在四棱錐中，，取中點(diǎn)分別為，連接，F(xiàn)G，GH，BD，AC，如圖，因底面為正方形，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，BC，PD的中點(diǎn)，則，所以四邊形EFGH是平行四邊形.對(duì)于A，令，有，在PA上取點(diǎn)，使，連接EI，HI，JI，則，因?yàn)辄c(diǎn)平面EFGH，有平面EFGH，所以點(diǎn)平面平面EFGH，因此五邊形EFGHI是平面截四棱錐所得的截面多邊形，而，所以截面不是正五邊形，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A選項(xiàng)分析，可知截面過(guò)棱PA的四等分點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，底面平面，則，而，則，又平面，因此平面平面，于是得，有，所以矩形EFGH面積等于，而，則邊EH上的高等于，所以，所以截面五邊形EFGHI面積為，C正確；對(duì)于D，截面經(jīng)過(guò)CD中點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：C5．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？计谥校┮阎拿骟wABCD為正四面體，AB=4，E，F(xiàn)分別是AD，BC中點(diǎn).若用一個(gè)與EF垂直，且與四面體的每一個(gè)面都相交的平面α去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】補(bǔ)成正方體，如圖，令截面為四邊形，則平面，，所以平面平面，而平面平面，平面平面，所以，同理可證，所以，同理，所以截面為平行四邊形.因?yàn)?，所以即同理可得可得，又，且，，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：D6．（2023春·湖北武漢·高三華中師大一附中校考期中）在正四棱臺(tái)中，，，M為棱的中點(diǎn)，當(dāng)正四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，平面截該正四棱臺(tái)的截面面積是（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，上底面和下底面的中心分別為，，過(guò)作,該四棱臺(tái)的高，在上下底面由勾股定理可知，．在梯形中，，所以該四棱臺(tái)的體積為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，．取,的中點(diǎn)，,連接,，顯然有，由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面．顯然，在直角梯形中，，因此在等腰梯形中，，同理在等腰梯形中，，在等腰梯形中，設(shè)，，則，，所以梯形的面積為，故選：C．7．（2023春·北京順義）如圖，在正方體中，點(diǎn)分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn).給出下面四個(gè)命題：①若直線與直線共面，則直線AF與直線CE相交；②若直線與直線相交，則交點(diǎn)一定在直線上；③若直線與直線相交，則直線與平面ACE所成角的正切值最大為；④直線與直線所成角的最大值是.其中，所有正確命題的序號(hào)是（

）

A．①④ B．②④C．①②③ D．②③④【答案】D【解析】在正方體中，點(diǎn)分別為棱上的動(dòng)點(diǎn)，對(duì)于①中，如果點(diǎn)在點(diǎn)，在點(diǎn)時(shí)，滿足直線與直線共面，此時(shí)直線與直線是平行線，所以直線與直線不一定相交，所以①不正確；對(duì)于②中，如圖所示，若空間3個(gè)平面兩兩相交有3條交線，則交線相互或交于一點(diǎn)，設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，且直線，所以平面，同理可證平面，又因?yàn)槠矫嫫矫妫灾本€，所以交于一點(diǎn)在直線上的一點(diǎn)，所以②正確；

對(duì)于③中，如圖所示，連接交于點(diǎn)，再連接，在正方體中，可得平面平面，角即為直線與平面所成角，可得，因?yàn)椋援?dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，則直線與平面所成角的正切值最大，此時(shí)在直角中，可得，即直線與平面所成角的正切值最大為，所以③正確；

對(duì)于④中，如圖所示，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，則即為直線與直線所成的角，在等腰中，可得，在直角中，可得，因?yàn)?，所以直線與直線所成角取得最大時(shí)，即點(diǎn)與重合時(shí)，在等邊中，可得直線與直線所成角為，所以④正確.故選：D.

8．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在正四棱柱中，，，為中點(diǎn)，為正四棱柱表面上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在正四棱柱中，連接，如圖，，平面，因?yàn)槠矫?，則，又平面，，則平面，又平面，則，取中點(diǎn)，連接，在平面內(nèi)過(guò)作，交于，顯然，而平面，則平面，有，又平面，，于是平面，而平面，因此，因?yàn)槠矫?，，從而平面，連接，則點(diǎn)的軌跡為平面與四棱柱的交線，即，因?yàn)?，即有，又，于是，有，，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為.故選：A9．（2023·江西·江西省豐城中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為4和6，側(cè)棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包含邊界），且AP與平面所成角的正切值為，則所有滿足條件的動(dòng)點(diǎn)P形成的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，延長(zhǎng)正三棱臺(tái)側(cè)棱相交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則有，所以的延長(zhǎng)線必過(guò)點(diǎn)且，過(guò)點(diǎn)作，則四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，如圖所示：

在中，，即，解得，所以，所以為邊長(zhǎng)為6等邊三角形，所以，，所以，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為3的等邊三角形且為中點(diǎn)，所以，，在中，由余弦定理變形得，，在中，由余弦定理變形得，，解得，所以，所以，由平面，可得平面，又平面，所以，由，，，平面，可得平面，因?yàn)锳P與平面所成角的正切值為，所以，解得，，所以點(diǎn)在平面的軌跡為以為原點(diǎn)的圓被四邊形所截的弧，設(shè)的長(zhǎng)度為，則，所以所有滿足條件的動(dòng)點(diǎn)P形成的軌跡長(zhǎng)度為.故選：A.10．（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，二面角的大小為，已知A、B是l上的兩個(gè)定點(diǎn)，且，，，AB與平面BCD所成的角為，若點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影H在的內(nèi)部（包括邊界），則點(diǎn)H的軌跡的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示：因?yàn)锳B與平面BCD所成的角為，且點(diǎn)A在平面BCD上的射影H，，所以，所以點(diǎn)H在以點(diǎn)B為球心，以為半徑的球面上，又點(diǎn)H在以AB為軸，以AH為母線的圓錐的側(cè)面上，所以點(diǎn)H的軌跡為以點(diǎn)B為球心，以為半徑的球與以AB為軸，母線AH與軸AB成的圓錐側(cè)面交線的一部分，即圖中扇形EOF的弧EF，且扇形所在平面垂直于AB，因?yàn)槎娼铅俩?﹣β的平面角的大小為，所以，又，所以點(diǎn)H的軌跡的長(zhǎng)度等于，故選：D.11．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？既＃ǘ噙x）如圖所示，四邊形是由斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面四邊形水平放置的直觀圖，其中，，，點(diǎn)在線段上，對(duì)應(yīng)原圖中的點(diǎn)，則在原圖中下列說(shuō)法正確的是（

）A．四邊形的面積為14B．與同向的單位向量的坐標(biāo)為C．