7.2 空間幾何體積與表面積（精練）（教師版）

7.2空間幾何體積與表面積（精練）1．（2023春·山西大同）（多選）下列命題中不正確的是（

）A．圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面B．正四棱錐的側(cè)面都是正三角形C．用一個平面去截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺D．平行六面體的每個面都是平行四邊形【答案】BC【解析】對于A，圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，故選項A正確；對于B，正四棱錐的側(cè)面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故選項B錯誤；對于C，用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺，而不是用一個平面去截圓錐，故選項C錯誤，對于D，平行六面體的每個面都是平行四邊形，故選項D正確，故選：BC.2．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周長是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意可得：，由直觀圖可得原圖，如圖所示，可知：，可得，所以原三角形的周長.故選：B.3．（2023·山東濟南·一模）已知正三角形邊長為2，用斜二測畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】正三角形的高為，根據(jù)斜二測畫法的知識可知，直觀圖的面積為.故選：B4．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）（多選）下列命題正確的有（

）A．空間中兩兩相交的三條直線一定共面B．已知不重合的兩個平面，則存在直線，使得為異面直線C．有兩個平面平行，其他各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱D．過平面外一定點，有且只有一個平面與平行【答案】BD【解析】對于A，空間中兩兩相交的三條直線交于同一點時，可能共面也可能不共面，A錯誤；對于B，不重合的兩個平面，可能平行或者相交，

不論是平行還是相交，都存在直線，使得為異面直線，B正確；對于C，如圖示幾何體滿足兩個平面平行，其他各個面都是平行四邊形，

但該幾何體不是棱柱，C錯誤；對于D，由于過平面外一定點，有且只有一條直線m與平面垂直，過點P有且只有一個平面與m垂直，則，故過平面外一定點，有且只有一個平面與平行，D正確，故選：BD5．（2023·吉林·長春吉大附中實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）（多選）已知圓臺的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為，母線長為2，點為的中點，則（

）

A．圓臺的體積為 B．圓臺的側(cè)面積為C．圓臺母線與底面所成角為 D．在圓臺的側(cè)面上，從點到點的最短路徑長為5【答案】ACD【解析】對于A：圓臺的高為，則圓臺的體積，A正確；對于B：由題意，圓臺的側(cè)面展開圖為半圓環(huán)，

其面積為．故B錯誤；對于C：過作交底面于，則底面，所以即為母線與底面所成角．

在等腰梯形中，，所以．因為為銳角，所以．故C正確；對于D：如圖示，在圓臺的側(cè)面上，從到的最短路徑的長度為．由題意可得：．由為中點，所以，所以．故D正確．

故選：ACD.6．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）仿鈞玫瑰紫釉盤是收藏于北京故宮博物院的一件明代宣德年間產(chǎn)的瓷器．該盤盤口微撇，弧腹，圈足．足底切削整齊．通體施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不勝收．仿鈞玫瑰紫釉盤的形狀可近似看成是圓臺和圓柱的組合體，其口徑為15.5cm，足徑為9.2cm，頂部到底部的高為4.1cm，底部圓柱高為0.7cm，則該仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺部分的側(cè)面積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：π的值取3，）

A． B． C． D．【答案】D【解析】方法1：設(shè)該圓臺的母線長為l，高為h，兩底面圓的半徑分別為R，r（其中），則，，，所以，故圓臺部分的側(cè)面積為．

故選：D方法2（估算法）：若按底面直徑為15.5cm，高為3.4cm的圓柱估算圓臺部分的側(cè)面積得，易知圓臺的側(cè)面積應(yīng)大于所估算的圓柱的側(cè)面積，故此仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺部分的側(cè)面積大于，對照各選項可知只有D符合．故選：D7．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，已知一個球內(nèi)接圓臺，圓臺上、下底面的半徑分別為和，球的體積為，則該圓臺的側(cè)面積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)球的半徑為，則，所以，，取圓臺的軸截面，如下圖所示：

設(shè)圓臺的上、下底面圓心分別為、，則、分別為、的中點，連接、、、、、，則，由垂徑定理可知，，，所以，，，因為，，，所以，，所以，，所以，，所以，，則，因此，圓臺的側(cè)面積為，故選：D.8．（2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，，，過點作截面，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖．沿著側(cè)棱把正三棱錐展開在一個平面內(nèi)，如下圖所示：則即為的周長的最小值，又因為，所以，在中，，由勾股定理得：．故選：C．9．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）已知圓臺的上?下底面圓半徑分別為10和5，側(cè)面積為為圓臺的一條母線（點在圓臺的上底面圓周上），為的中點，一只螞蟻從點出發(fā)，繞圓臺側(cè)面一周爬行到點，則螞蟻爬行所經(jīng)路程的最小值為（

）A．30 B．40 C．50 D．60【答案】C【解析】圓臺上底面半徑為，下底面半徑為，母線長為，所以，解得：，將圓臺所在的圓錐展開如圖所示，且設(shè)扇形的圓心為O.線段就是螞蟻經(jīng)過的最短距離，設(shè)，圓心角是，則由題意知①，②，由①②解得，，，∴，，則.故選：C.10．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）如圖所示，正八面體的棱長為2，則此正八面體的表面積與體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，由邊長為2，可得的高，，則其表面積為.體積為.此正八面體的表面積與體積之比為.故選：D.11．（2023·全國·高三專題練習）黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國國家博物館的一件明代國寶級瓷器.該龍紋盤敞口，弧壁，廣底，圈足.器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收.黃地綠彩云龍紋盤可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，其口徑22.5cm，足徑14.4cm，高3.8cm，其中底部圓柱高0.8cm，則黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為（

）（附：圓臺的側(cè)面積，，為兩底面半徑，為母線長，其中的值取3，）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)該圓臺的母線長為，兩底面圓半徑分別為，（其中），則，，，所以，故圓臺部分的側(cè)面積為，圓柱部分的側(cè)面積為，故該黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為.故選：B.12．（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）位于徐州園博園中心位置的國際館（一云落雨），使用現(xiàn)代科技霧化“造云”，打造溫室客廳，如圖，這個國際館中3個展館的頂部均采用正四棱錐這種經(jīng)典幾何形式，表達了理性主義與浪漫主義的對立與統(tǒng)一.其中最大的是3號展館，其頂部所對應(yīng)的正四棱錐底面邊長為19.2m，高為9m，則該正四棱錐的側(cè)面面積與底面面積之比約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．2 B．1.71 C．1.37 D．1【答案】C【解析】如圖，設(shè)H為底面正方形ABCD的中心，G為BC的中點，連接PH，HG，PG，則，，所以，則，故選：C.13．（2023春·湖南長沙·高三校聯(lián)考階段練習）為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長的比為，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)正六邊形的邊長為，由題意正六棱柱的高為，因為正六棱錐的高與底面邊長的比為，所以正六棱錐的高為，正六棱錐的母線長為，正六棱錐的側(cè)面積；正六棱柱的側(cè)面積，所以.故選：B.14．（2023春·安徽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習）宿州市三角洲生態(tài)公園是多功能的綜合性公園，其標志性雕塑“生命之源”為水滴形狀，寓意水是生命之源，此雕塑頂部可視為一個圓錐.已知此圓錐的高為，其母線與底面所成的角為60°，則此圓錐的側(cè)面展開圖的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線長為，由題意得，則，從而，所以，圓錐的側(cè)面展開圖的面積.故選：B15．（2023·全國·鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知菱形的邊長為，則將菱形以其中一條邊所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖是所求的幾何體,該幾何體上部分為圓錐,下部分為在圓柱內(nèi)挖去一個與上部分相同的圓錐,其中圓柱的高為，點到的距離為，所以該幾何體的體積為.故選:B.16．（2023·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測）如圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若扇形的兩個圓弧所在圓的半徑分別是1和3，且，則該圓臺的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓臺上底面圓半徑為，下底面圓半徑為，依題意，，且，解得，而圓臺的母線長，因此圓臺的高，所以圓臺的體積.故選：C17．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在直三棱柱中，，，M為的中點，，則該直三棱柱的體積為（

）A． B．4 C． D．【答案】A【解析】在直三棱柱中，連接，如圖，由，得，而平面，平面，則，又平面，于是平面，平面，則，而，平面，因此平面，又平面，則，有，，則有，解得，所以該三棱柱的體積．故選：A18．（2023·全國·高三對口高考）已知為長方體，對角線與平面相交于點，則為的（

）

A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心【答案】B【解析】如圖連接交于點，連接，連接、，，連接，由為長方體，所以為的中點，為的中點，則、為的中線，平面平面，對角線與平面相交于點，則，平面平面，對角線與平面相交于點，則，所以為與的交點，所以為的重心.

故選：B19．（2023·全國·高三專題練習）已知點P在棱長為的正方體的外接球O的球面上，當過A，C，P三點的平面截球O的截面面積最大時，此平面截正方體表面的截線長度之和L為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)底面正方形的中心為，當過A，C，P三點的平面截球的截面面積最大時，截面圓為大圓，截面過球心，故點P，O，三點共線，因為平面，所以平面，此平面截正方體的截面即為正方體的面，所以．故選：A．20．（2023·河南·河南省實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知直四棱柱的底面為正方形，，為的中點，過三點作平面，則該四棱柱的外接球被平面截得的截面圓的周長為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知直四棱柱的外接球的半徑，如圖，取的中點，連接，易知四邊形為矩形，且平面即為平面，分別取的中點，連接，則易得四邊形為正方形，由四棱柱的對稱性可知，其外接球的球心即為正方形的中心，取的中點，連接，則平面，平面，所以平面，故球心到平面的距離與到平面的距離相等，過點作，垂足為，易知面，面，故，又平面，所以平面，又，所以球心到平面的距離為，由球的性質(zhì)知，截面圓的半徑，所以截面圓的周長為.故選：D.21．（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正方體的棱長為2，點為線段的中點，若點平面，且平面，則平面截正方體所得截面的周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】記的中點分別為E，F(xiàn)，連接，由正方體性質(zhì)可知，平面，因為平面，所以又為正方形，所以因為，平面，所以平面，因為平面，所以因為P，E分別為的中點，所以，所以，同理可證，又，平面所以平面，所以三角形即為平面截正方體所得截面，易知三角形為正三角形，所以截面周長為.故選：C

22．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點在棱長為的正方體的外接球的球面上，當?shù)拿娣e最大時，過，，三點的平面截正方體各面所得截線的長度之和的值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)底面正方形的中心為，因為，則當點到的距離最大時，的面積最大，當點P，O，三點共線時，點到的距離最大，則當?shù)拿娣e最大時，點P，O，三點共線，因為平面，所以平面，此時平面截正方體的截面即為矩形，所以．故選：A．22．（2023·四川巴中·南江中學(xué)校考模擬預(yù)測）宋代是中國瓷器的黃金時代，涌現(xiàn)出了五大名窯：汝窯、官窯、哥窯、鈞窯、定窯．其中汝窯被認為是五大名窯之首．如圖1，這是汝窯雙耳罐，該汝窯雙耳罐可近似看成由兩個圓臺拼接而成，其直觀圖如圖2所示．已知該汝窯雙耳罐下底面圓的直徑是厘米，中間圓的直徑是厘米，上底面圓的直徑是厘米，高是厘米，且上、下兩圓臺的高之比是，則該汝窯雙耳罐的側(cè)面積是______平方厘米．【答案】【解析】如圖，過點在平面內(nèi)作，垂足為，過點在平面內(nèi)作，垂足為，由題意可得，，，由圓臺的幾何性質(zhì)可知，在平面中，，，則四邊形為矩形，則，所以，，同理可得，由題意可知且，則，，從而，，故該汝窯雙耳罐的側(cè)面積為平方厘米．故答案為：.23．（2023·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知用斜二測畫法畫梯形OABC的直觀圖如圖所示，，，，軸，，為的三等分點，則四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體的體積為______．

【答案】【解析】在直觀圖中，，所以在還原圖中，，如圖，

在直觀圖中，，為的三等分點，所以在還原圖中，，D為OA的三等分點，又在直觀圖中，軸，所以在還原圖中，軸，則，所以，則，故，，所以四邊形OABC是等腰梯形，所以四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間幾何體的體積等于一個圓臺的體積減去一個圓錐的體積，即．故答案為：.23．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，，過點作截面，則周長的最小值為______．【答案】【解析】如圖，沿著側(cè)棱把正三棱錐展開在一個平面內(nèi)，如下圖所示：則即為的周長的最小值，且，在中，由勾股定理得：．故答案為：24．（2023·青海海東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，P為的中點，則三棱錐的體積為______．

【答案】2【解析】連接，在正方體中，因為四邊形為正方形，則，而平面，平面，即有，又，平面，平面，則平面，而平面，因此，同理平面，又平面，即有，因為，平面,平面，所以平面．連接，設(shè)，連接OP，則OP是的中位線，所以，，所以O(shè)P⊥平面，即OP是三棱錐的高．因為，所以．

因為，所以．故答案為：2.25．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，四邊形ABCD為菱形，平面ABCD，，.

(1)求證：平面平面AFC；(2)記三棱錐的體積為，三棱錐的體積為，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）因為四邊形ABCD為菱形，所以.因為平面ABCD，平面ABCD，所以.又，，平面BDEF，所以平面BDEF.又平面AFC，所以平面平面AFC.（2）如圖，設(shè)BD交AC于點O，連接OE，OF.由（1）可知，平面BDEF，平面BDEF，所以.設(shè)，則，，所以，所以.由（1）可知，平面ABCD，所以，所以.

25．（2023·陜西寶雞·校考模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是圓柱底面的內(nèi)接四邊形，AC是圓柱的底面直徑，PC是圓柱的母線，E是AC與BD的交點，.

(1)證明.(2)記圓柱的體積為，四棱錐P-ABCD的體積為，求；【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：由已知得是等邊三角形，，是直徑，所以，即，則為等邊三角形的角平分線，所以，

又PC是圓柱的母線，則PC⊥平面ABCD，平面，所以又，平面，則BD⊥平面PCA，平面，所以（2）由已知得，，則，所以,,,于是，，所以.26．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）在斜三棱柱中，是邊長為2的正三角形，側(cè)棱，頂點在平面的射影為邊的中點.

(1)求證：平面平面；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】1）且為的中點，，又平面平面，平面.故平面，又平面，平面平面.（2）設(shè)點到平面的距離為是邊長為2的正三角形，，根據(jù)等體積公式可得，解得-27．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，AC與BD交于點O，底面ABCD，，點E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點，連接OE，OF，EF．(1)求證：平面平面PCD；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明過程見詳解(2)【解析】（1）因為底面ABCD是菱形，AC與BD交于點O所以O(shè)為AC中點，點E是棱PA的中點，F(xiàn)分別是棱PB的中點，所以O(shè)E為三角形的中位線，OF為三角形的中位線，所以,，平面，平面，平面，平面，平面，平面，而,平面，平面，平面平面PCD.（2）因為底面ABCD是邊長為2的菱形，，所以為等邊三角形，所以，因為底面ABCD，底面ABCD，底面ABCD，所以，，所以和均為直角三角形，所以，，所以，所以，所以，設(shè)點到平面的距離為，根據(jù)體積相等法可知，所以，所以.，故三棱錐的體積為.28．（2023·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在四邊形ABCP中，為邊長為的正三角形，，將沿AC翻折，使點P到達的位置，若平面平面ABC，且．

(1)求線段的長；(2)設(shè)M在線段上，且滿足，求三棱錐的體積．【答案】(1)(2)【解析】（1）如圖：

取BC中點O，連接AO，，因為為等邊三角形，O為BC的中點，則，又平面，平而，．所以，即為等邊三角形，所以，又平面平面ABC，，所以平面，所以，又，所以（2）三棱錐的體積為三棱錐與三棱錐的體積之差.因為M在線段上，且滿足，即，所以三棱錐的體積為三棱錐體積的.所以三棱錐的體積為三棱錐體積的.由（1）可知，，，而，所以平面，所以為三棱錐的高，所以三棱錐的體積為：.所以三棱錐的體積為：.29．（2023·四川成都·川大附中校考模擬預(yù)測）如圖所示多面體中，平面平面，平面，是正三角形，四邊形是菱形，，，

(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）取中點，連接，因為是正三角形，所以，因為平面平面，平面，平面平面所以平面，又因為平面，所以，又因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.

（2）因為，平面，平面，所以平面，所以點與點到平面的距離相等，所以三棱錐和三棱錐的體積相等，所以，連接交線段與點，因為四邊形為菱形，，，所以，，所以，由（1）平面，，所以.30．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在幾何體中，，，點，在棱上，且，三棱柱是直三棱柱.(1)求證：平面平面；(2)若，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）因為三棱柱是直三棱柱，所以平面，因為平面，所以，又，，點，在棱上，且，則所以，顯然，所以，所以，則，所以，即，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）取的中點，的中點，連接，，設(shè)點到平面的距離為，因為，所以，因為平面平面，，平面平面，所以平面，因為，即，所以，所以，所以點到平面的距離為.1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體【答案】ABD【解析】對于選項A：因為，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；對于選項B：因為正方體的面對角線長為，且，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；對于選項C：因為正方體的體對角線長為，且，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；對于選項D：因為，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過的中點作，設(shè)，可知，則，即，解得，且，即，故以為軸可能對稱放置底面直徑為圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點為，可知：，則，即，解得，根據(jù)對稱性可知圓柱的高為，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；故選：ABD.2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考三模）（多選）已知正方體的棱長為分別為的中點，為正方體的內(nèi)切球上任意一點，則（

）A．球被截得的弦長為B．球被四面體表面截得的截面面積為C．的范圍為D．設(shè)為球上任意一點，則與所成角的范圍是【答案】BC【解析】如圖所示：

對于A，易知內(nèi)切球的半徑為1，且球心在正方體的中心，易得；設(shè)球被截得的弦為，在中，如下圖所示：

由對稱性可知，，且利用余弦定理可知，在中，，解得或（舍），則弦長，即A錯誤；對于B，易知四面體為正四面體，所以四個截面面積相同，由對稱性可知，球心即為正四面體的外接球（也是內(nèi)切球）球心，如下圖所示：

設(shè)為的中點，為球心在平面內(nèi)的攝影，易知正四面體的棱長為，，易得，，由勾股定理可得；所以球心到截面距離，不妨設(shè)截面圓半徑為，則，所以截面面積為，故B正確；對于C，不妨設(shè)的中點為，則由選項A可知，，當同向時，；當反向時，；即的范圍為，即C正確；對于D，易知當三點共線時，與所成的角最小為，取截面如下圖所示：

易知當與球相切時，與所成的角最大，設(shè)最大角為，則，即，所以；即與所成角的范圍是說法錯誤，故D錯誤；故選：BC3．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）如圖，已知正方體的棱長為1，為底面的中心，交平面于點，點為棱的中點，則（

）

A．，，三點共線 B．異面直線與所成的角為C．點到平面的距離為 D．過點，，的平面截該正方體所得截面的面積為【答案】ACD【解析】因為為底面的中心，所以為和的中點，則，，因為平面，平面，所以平面，平面，所以點是平面與平面的公共點；顯然是平面與平面的公共點；因為交平面于點，平面，所以也是平面與平面的公共點，所以，，三點都在平面與平面的交線上，即，，三點共線，故A正確；因為平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，即異面直線與所成的角為，故B不正確；根據(jù)證明的方法，同理可得，因為，平面，所以平面，則的長度就是點到平面的距離，顯然為正三角形的中心，因為正方體的棱長為1，所以正三角形的邊長為，所以，又，所以，即點到平面的距離為，故C正確；取的中點，連，，，，因為，所以等腰梯形就是過點，，的平面截該正方體所得截面，如圖：

因為，，，所以等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，即過點，，的平面截該正方體所得截面的面積為，故D正確.故選：ACD4．（2023浙江省）已知四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，，平面過PB，BC，PD的中點，則下列關(guān)于平面截四棱錐所得的截面正確的為（

）A．所得截面是正五邊形 B．截面過棱PA的三等分點C．所得截面面積為 D．截面不經(jīng)過CD中點【答案】C【解析】

在四棱錐中，，取中點分別為，連接，F(xiàn)G，GH，BD，AC，如圖，因底面為正方形，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，BC，PD的中點，則，所以四邊形EFGH是平行四邊形.對于A，令，有，在PA上取點，使，連接EI，HI，JI，則，因為點平面EFGH，有平面EFGH，所以點平面平面EFGH，因此五邊形EFGHI是平面截四棱錐所得的截面多邊形，而，所以截面不是正五邊形，A錯誤；對于B，由A選項分析，可知截面過棱PA的四等分點，B錯誤；對于C，底面平面，則，而，則，又平面，因此平面平面，于是得，有，所以矩形EFGH面積等于，而，則邊EH上的高等于，所以，所以截面五邊形EFGHI面積為，C正確；對于D，截面經(jīng)過CD中點，D錯誤.故選：C5．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？计谥校┮阎拿骟wABCD為正四面體，AB=4，E，F(xiàn)分別是AD，BC中點.若用一個與EF垂直，且與四面體的每一個面都相交的平面α去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】補成正方體，如圖，令截面為四邊形，則平面，，所以平面平面，而平面平面，平面平面，所以，同理可證，所以，同理，所以截面為平行四邊形.因為，所以即同理可得可得，又，且，，可得，當且僅當時取等號．故選：D6．（2023春·湖北武漢·高三華中師大一附中?？计谥校┰谡睦馀_中，，，M為棱的中點，當正四棱臺的體積最大時，平面截該正四棱臺的截面面積是（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，上底面和下底面的中心分別為，，過作,該四棱臺的高，在上下底面由勾股定理可知，．在梯形中，，所以該四棱臺的體積為，所以，當且僅當，即時取等號，此時，，．取,的中點，,連接,，顯然有，由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面．顯然，在直角梯形中，，因此在等腰梯形中，，同理在等腰梯形中，，在等腰梯形中，設(shè)，，則，，所以梯形的面積為，故選：C．7．（2023春·北京順義）如圖，在正方體中，點分別是棱，上的動點.給出下面四個命題：①若直線與直線共面，則直線AF與直線CE相交；②若直線與直線相交，則交點一定在直線上；③若直線與直線相交，則直線與平面ACE所成角的正切值最大為；④直線與直線所成角的最大值是.其中，所有正確命題的序號是（

）

A．①④ B．②④C．①②③ D．②③④【答案】D【解析】在正方體中，點分別為棱上的動點，對于①中，如果點在點，在點時，滿足直線與直線共面，此時直線與直線是平行線，所以直線與直線不一定相交，所以①不正確；對于②中，如圖所示，若空間3個平面兩兩相交有3條交線，則交線相互或交于一點，設(shè)直線與直線相交于點，因為平面，且直線，所以平面，同理可證平面，又因為平面平面，所以直線，所以交于一點在直線上的一點，所以②正確；

對于③中，如圖所示，連接交于點，再連接，在正方體中，可得平面平面，角即為直線與平面所成角，可得，因為，所以當點與重合時，則直線與平面所成角的正切值最大，此時在直角中，可得，即直線與平面所成角的正切值最大為，所以③正確；

對于④中，如圖所示，設(shè)直線與直線交于點，則即為直線與直線所成的角，在等腰中，可得，在直角中，可得，因為，所以直線與直線所成角取得最大時，即點與重合時，在等邊中，可得直線與直線所成角為，所以④正確.故選：D.

8．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學(xué)?？寄M預(yù)測）在正四棱柱中，，，為中點，為正四棱柱表面上一點，且，則點的軌跡的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在正四棱柱中，連接，如圖，，平面，因為平面，則，又平面，，則平面，又平面，則，取中點，連接，在平面內(nèi)過作，交于，顯然，而平面，則平面，有，又平面，，于是平面，而平面，因此，因為平面，，從而平面，連接，則點的軌跡為平面與四棱柱的交線，即，因為，即有，又，于是，有，，所以點的軌跡長為.故選：A9．（2023·江西·江西省豐城中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為4和6，側(cè)棱長為2，點P在側(cè)面內(nèi)運動（包含邊界），且AP與平面所成角的正切值為，則所有滿足條件的動點P形成的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，延長正三棱臺側(cè)棱相交于點，取中點，中點，連接，則有，所以的延長線必過點且，過點作，則四邊形是邊長為2的菱形，如圖所示：

在中，，即，解得，所以，所以為邊長為6等邊三角形，所以，，所以，因為是邊長為3的等邊三角形且為中點，所以，，在中，由余弦定理變形得，，在中，由余弦定理變形得，，解得，所以，所以，由平面，可得平面，又平面，所以，由，，，平面，可得平面，因為AP與平面所成角的正切值為，所以，解得，，所以點在平面的軌跡為以為原點的圓被四邊形所截的弧，設(shè)的長度為，則，所以所有滿足條件的動點P形成的軌跡長度為.故選：A.10．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）如圖，二面角的大小為，已知A、B是l上的兩個定點，且，，，AB與平面BCD所成的角為，若點A在平面BCD內(nèi)的射影H在的內(nèi)部（包括邊界），則點H的軌跡的長度為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示：因為AB與平面BCD所成的角為，且點A在平面BCD上的射影H，，所以，所以點H在以點B為球心，以為半徑的球面上，又點H在以AB為軸，以AH為母線的圓錐的側(cè)面上，所以點H的軌跡為以點B為球心，以為半徑的球與以AB為軸，母線AH與軸AB成的圓錐側(cè)面交線的一部分，即圖中扇形EOF的弧EF，且扇形所在平面垂直于AB，因為二面角α﹣1﹣β的平面角的大小為，所以，又，所以點H的軌跡的長度等于，故選：D.11．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？既＃ǘ噙x）如圖所示，四邊形是由斜二測畫法得到的平面四邊形水平放置的直觀圖，其中，，，點在線段上，對應(yīng)原圖中的點，則在原圖中下列說法正確的是（

）A．四邊形的面積為14B．與同向的單位向量的坐標為C．