8.2 二項式定理（精練）（教師版）

8.2二項式定理（精練）1．（2023秋·北京）在的展開式中，的系數(shù)為，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．4【答案】B【解析】的展開式的通項公式為，.由已知得，得.故選：B2．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）的展開式中的系數(shù)為（

）．A． B． C．40 D．80【答案】D【解析】的展開式的通項為令得所以的展開式中的系數(shù)為故選：D3．（2023春·北京）若，則的值為（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】B【解析】取，得；再取，得，所以.故選：B.4．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）已知的展開式中的系數(shù)為，則正整數(shù)（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】二項式的通項公式為，因為的展開式中的系數(shù)為的展開式中的系數(shù)，所以有，顯然為正奇數(shù)，且為不小于的正整數(shù)，，故選：D5．（2023·山西太原·太原五中?？家荒＃┍?000除的余數(shù)是（

）A． B． C．1 D．901【答案】C【解析】，所以展開式中從第二項開始都是1000的倍數(shù)，因此被1000除的余數(shù)是1.故選：C6．（2022·全國·高三專題練習）的計算結(jié)果精確到個位的近似值為A．106 B．107 C．108 D．109【答案】B【解析】∵，∴.故選B7．（2023·全國·高三專題練習）的展開式中各項系數(shù)的最大值為（

）．A．112 B．448 C．896 D．1792【答案】D【解析】該二項式的通項公式為，由，可得．因為，所以展開式中各項系數(shù)的最大值為．故選：D8．（2023春·上海嘉定·高三上海市育才中學校考階段練習）已知二項式，的展開式中第四項的系數(shù)最大，則a的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】二項式展開式的通項公式為，其中，由（其中），即，，，依題意可知使上式成立，即，所以.故選：A9．（2023·陜西安康·統(tǒng)考三模）在的展開式中，下列說法正確的是（

）A．所有項的二項式系數(shù)和為1 B．第4項和第5項的二項式系數(shù)最大C．所有項的系數(shù)和為128 D．第4項的系數(shù)最大【答案】B【解析】對選項A：展開式所有項的二項式系數(shù)和為，錯誤；對選項B：展開式共有8項，故第4項和第5項二項式系數(shù)最大，正確；對選項C：令得所有項的系數(shù)和為，錯誤；對選項D：，，系數(shù)小于0，，系數(shù)大于0，D錯誤.故選：B10．（2023春·廣東東莞·）（多選）在的展開式中，下列說法正確的有（

）A．展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為128 B．展開式中所有項的系數(shù)和為C．展開式中含項的系數(shù)為 D．展開式中二項式系數(shù)的最大項為第四項【答案】AC【解析】選項A：展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和，故A正確；選項B：令，則展開式中所有項的系數(shù)和為，故B錯誤；選項C：展開式的通項為，則展開式中含的系數(shù)為，故C正確；選項D：因為n＝8，所以展開式中二項式系數(shù)的最大項為第5項，故D錯誤.故選：AC．11．（2023·安徽六安）（多選）在的展開式中，下列結(jié)論正確的是（

）A．第6項和第7項的二項式系數(shù)相等 B．奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256C．常數(shù)項為84 D．有理項有2項【答案】BC【解析】的展開式中共有10項，由二項式系數(shù)的性質(zhì)可得展開式中的第5項和第6項的二項式系數(shù)相等，故A錯誤；由已知可得二項式系數(shù)之和為，且展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等，所以奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，故B正確；展開式的通項為，令，解得．故常數(shù)項為，故C正確；有理項中x的指數(shù)為整數(shù)，故，2，4，6，8，故有理項有5項，故D錯誤．故選：BC12．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）（多選）已知二項式的展開式中所有項的系數(shù)的和為64，則（

）A．B．展開式中的系數(shù)為C．展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為32D．展開式中二項式系數(shù)最大的項為【答案】ACD【解析】令，則，可得，A對；，當時，，B錯；由原二項式的二項式系數(shù)和為，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為32，C對；由上知：二項式系數(shù)最大為，即，則，D對.故選：ACD13．（2023·遼寧·遼寧實驗中學校考模擬預測）（多選）已知，則（

）A．展開式中所有項的系數(shù)和為 B．展開式中二項系數(shù)最大項為第1012項C． D．【答案】AC【解析】選項A，令，則展開式的各項系數(shù)和為，A選項正確；選項B，因為，所以展開式中二項式系數(shù)最大項為第1012項與第1013項，B選項錯誤；選項C，令，則，令，則，所以，C選項正確；選項D，已知關(guān)系式兩邊同時取導，則，令，則，D選項錯誤；故選：AC.14．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學?？寄M預測）（多選）若，則（

）A．可以被整除B．可以被整除C．被27除的余數(shù)為6D．的個位數(shù)為6【答案】AB【解析】，可以被整除，故A正確；，可以被整除，故B正確；被27除的余數(shù)為5，故C錯誤；，個位數(shù)為，故D錯誤.故選：AB15．（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中學校聯(lián)考開學考試）（多選）對于的展開式，下列說法正確的是（

）A．展開式中各項系數(shù)之和為256B．展開式中各項系數(shù)絕對值之和為C．展開式中的奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128D．展開式中的常數(shù)項是1120【答案】BCD【解析】對于選項A：令，可得，所以展開式中各項系數(shù)之和為1，故A錯誤；對于選項B：因為展開式中各項系數(shù)絕對值之和與的系數(shù)和相等，令，可得，所以展開式中各項系數(shù)絕對值之和為，故B正確；對于選項C：展開式中的奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為，故C正確；對于選項D：因為的展開式為，令，解得，所以展開式中的常數(shù)項是，故D正確；故選：BCD.16．（2023秋·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）（多選）已知，則（

）A．的展開式中沒有常數(shù)項B．的展開式中系數(shù)最大的項是C．的展開式的二項式系數(shù)之和為128D．的展開式中各項的系數(shù)之和為1【答案】ABC【解析】對于選項的二項展開式的通項為，不滿足，故的展開式中沒有常數(shù)項，故正確；對于選項：由于的最大值為，故展開式中系數(shù)最大的項是，故B正確；對于選項C：展開式的二項式系數(shù)之和為，故C正確；對于選項：令，可得展開式中各項的系數(shù)之和為，故錯誤.故選：.17．（2023春·安徽滁州（多選））若，則（

）A．B．C．D．【答案】AC【解析】①，令，則，故A正確，易知，故B錯誤；令，則，故C正確；對①兩邊求導可得：②令，得，則，兩式相減得，所以，故D錯誤．故選：AC．18．（2023春·福建廈門）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】取，可得，故A正確；取，得，則，故C正確；取，得，故D錯誤；令，得，知，故B錯誤.故選：AC.19．（2023春·山西大同）（多選）若，則下列說法正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】AC【解析】依題意，，令，得，A選項正確.令，得，B選項錯誤.則，C選項正確.，則，D選項錯誤.故選：AC20．（2023春·河北石家莊）若n是正整數(shù)，則除以9的余數(shù)是.【答案】0或7【解析】根據(jù)二項式定理可知，，又所以當n為偶數(shù)時，除以9的余數(shù)為0；當n為奇數(shù)時，除以9的余數(shù)為7.故答案為：0或721．（2022秋·福建泉州·高三校考期中）的展開式中的系數(shù)為，則實數(shù)的值為．【答案】【解析】，令，得，故，由題意知，即，解得.故答案為：.22．（2023·湖南衡陽·校考模擬預測）的展開式中的系數(shù)為．【答案】5【解析】二項式的展開式通項公式為，當時，，當時，，因此展開式中含的項為，所以所求系數(shù)為5.故答案為：523．（2023·全國·學軍中學校聯(lián)考二模）在的展開式中，的系數(shù)是.【答案】【解析】，又的展開式的通項公式為，所以的展開式含項的系數(shù)為，含項的系數(shù)為，所以在的展開式中，的系數(shù)是，故答案為：.24．（2023·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預測）已知常數(shù)，的二項展開式中項的系數(shù)是780，則m的值為．【答案】3【解析】=，設其通項為，設的通項為，要求項的系數(shù)，只有為偶數(shù)，當，此時項的系數(shù)為，當，此時項的系數(shù)為，當，此時項的系數(shù)為，當，不合題意，故項的系數(shù)為.故答案為：325．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考模擬預測）的展開式中，的系數(shù)為．【答案】30【解析】表示5個因式的乘積，在這5個因式中，有2個因式選，其余的3個因式中有一個選，剩下的兩個因式選，即可得到含的項，即可算出答案．表示5個因式的乘積，在這5個因式中，有2個因式選，其余的3個因式中有一個選，剩下的兩個因式選，即可得到含的項，故含的項系數(shù)是.故答案為：3026．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學?？寄M預測）的展開式中的常數(shù)項為.【答案】29【解析】表示7個因式的乘積，在這7個因式中，有0個因式選x，有0個因式都選，7個因式都選1，相乘可得常數(shù)項；有1個因式選x，有1個因式都選，其余的5個因式都選1，相乘可得常數(shù)項；有2個因式選x，有2個因式都選，其余的3個因式都選1，相乘可得常數(shù)項；有3個因式選x，有3個因式都選，其余的1個因式都選1，相乘可得常數(shù)項，由多項式定理，得的展開式中的常數(shù)項為：故所求常數(shù)項為.故答案為：29.27．（2023·海南海口·海南華僑中學?？家荒＃┰诘恼归_式中，系數(shù)最大的項為.【答案】【解析】因為的通項為，的通項為，∵展開式系數(shù)最大的項為，展開式系數(shù)最大的項為，∴在的展開式中，系數(shù)最大的項為.故答案為：.1．（2023·湖北·模擬預測）展開式中無理項的個數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】由，則其通項為，其中，，若不是整數(shù)時，即得到展開式中的無理項，當，時，的值為；當，時，的值為；當，或時，的值為或；當，或時，的值為或；當，或或時，的值為或或；當，或或時，的值為或或，綜上，展開式中無理項的個數(shù)為8．故選：C．2．（2024·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預測）已知，則下列描述正確的是

（

）A． B．除以5所得的余數(shù)是1C． D．【答案】B【解析】對于A：令得：；令，得．，因此A錯誤；對于B：，因此B正確對于C：因為二項展開式的通項公式為，由通項公式知，二項展開式中偶數(shù)項的系數(shù)為負數(shù)，所以，由，令，得到，令，得到，所以，因此C錯誤對于D：對原表達式的兩邊同時對求導，得到，令，得到，令，得所以，所以選項D錯誤．故選：B3．（2023·江蘇鹽城·鹽城市伍佑中學?？寄M預測）若，則被8整除的余數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】在已知等式中，取得，取得，兩式相減得，即，因為因為能被8整除，所以被8整除的余數(shù)為5，即被8整除