專題10.2 統(tǒng)計案例（解析版）

專題10.2統(tǒng)計案例題型一相關(guān)關(guān)系與相關(guān)系數(shù)題型二回歸直線方程與樣本中心題型三線性回歸方程題型四非線性回歸方程題型五誤差分析題型六獨立性檢驗題型一 相關(guān)關(guān)系與相關(guān)系數(shù)例1．（2022春·河南省直轄縣級單位·高一濟(jì)源高中?？计谀┫铝袃蓚€變量具有相關(guān)關(guān)系的是（

）A．正方形的邊長與面積 B．勻速行駛的車輛的行駛距離與時間C．人的身高與視力 D．人的身高與體重【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)系及相關(guān)關(guān)系的定義判斷即可.【詳解】對于A，由正方形的面積與邊長的公式知，即正方形的邊長與面積具有函數(shù)關(guān)系，故A錯誤；對于B，勻速行駛車輛的行駛距離與時間為，其中為勻速行駛的速度，即勻速行駛的車輛的行駛距離與時間具有函數(shù)關(guān)系，故B錯誤；對于C，人的身高與視力無任何關(guān)系，故C錯誤；對于D，人的身高會影響體重，但不是唯一因素，即人的身高與體重具有相關(guān)關(guān)系，故D正確．故選：D．例2．（2023春·河南濮陽·高二統(tǒng)考期末）某公司對其產(chǎn)品研發(fā)的年投資額（單位：百萬元）與其年銷售量（單位：千件）的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，整理后得到如下統(tǒng)計表；123451.523.5815(1)求變量和的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷變量和的線性相關(guān)程度；（參考；若，則線性相關(guān)性程度很強(qiáng)；若，則線性相關(guān)性程度一般，若，則線性相關(guān)性程度很弱.）(2)求年銷售量關(guān)于年投資額的經(jīng)驗回歸方程.參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)；經(jīng)驗回歸方程中；參考數(shù)據(jù)【答案】(1)，變量和線性相關(guān)性程度很強(qiáng)(2)【分析】（1）根據(jù)公式求出相關(guān)系數(shù)約等于，從而得到答案；（2）根據(jù)公式計算出，，得到答案.【詳解】（1）由題意，，因為，所以因為，所以變量和線性相關(guān)性程度很強(qiáng).（2）根據(jù)得，所以年銷售量關(guān)于年投資額的經(jīng)驗回歸方程為.練習(xí)1．（2023春·山東·高三濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）在以下4幅散點圖中，所對應(yīng)的成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出線性相關(guān)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)點的分布情況直觀判斷是否有線性相關(guān)關(guān)系即可.【詳解】A、B中各點都有線性擬合趨勢，其中A樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)，B樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；C中各點有非線性擬合趨勢，D中各點分布比較分散，它們不具有線性相關(guān).故選：AB練習(xí)2．（2023秋·高三課時練習(xí)）相關(guān)系數(shù)r是衡量兩變量之間的線性相關(guān)程度的，對此有下列說法：①越接近于1，相關(guān)程度越大；②越接近于0，相關(guān)程度越?。虎墼浇咏?，相關(guān)程度越??；④越接近于0，相關(guān)程度越大．其中正確的是（

）A．①② B．②④ C．②③ D．①④【答案】A【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】由相關(guān)系數(shù)性質(zhì)：越接近于1，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，越接近于0，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱，可知①②正確；故選：A.練習(xí)3．（2023春·江蘇常州·高三常州高級中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）某學(xué)校一名同學(xué)研究溫差與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)（人）的關(guān)系，該同學(xué)記錄了5天的數(shù)據(jù)：x568912y1720252835經(jīng)過擬合，發(fā)現(xiàn)基本符合經(jīng)驗回歸方程，則下列說法正確的有（

）參考公式：相關(guān)系數(shù)公式A．樣本中心點為 B．C．當(dāng)時，殘差為 D．若去掉樣本點，則樣本的相關(guān)系數(shù)r增大【答案】ABC【分析】根據(jù)平均數(shù)公式計算可得A正確；由計算可得B正確；根據(jù)殘差的定義計算可得C正確；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式分析可得D不正確.【詳解】,，所以樣本中心點為，則A正確；由，得，則B正確；由B知，，當(dāng)時，，則殘差為，則C正確；因為，，，，所以，，，所以去掉樣本點后，相關(guān)系數(shù)的公式中的分子、分母的大小都不變，故相關(guān)系數(shù)的大小不變，故D不正確.故選：ABC練習(xí)4．（2023春·全國·高三衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）沃柑，因其口感甜柔、低酸爽口，且營養(yǎng)成分高，成為大家喜歡的水果之一，目前主要種植于我國廣西、云南、四川、湖南等地.得益于物流的快速發(fā)展，沃柑的銷量大幅增長，同時刺激了當(dāng)?shù)剞r(nóng)民種植沃柑的熱情.根據(jù)對廣西某地的沃柑種植面積情況進(jìn)行調(diào)查，得到統(tǒng)計表如下：年份t20182019202020212022年份代碼x12345種植面積y/萬畝814152028附：①樣本相關(guān)系數(shù)；②為經(jīng)驗回歸方程，，，.根據(jù)上表，下列結(jié)論正確的是（

）A．該地區(qū)這5年沃柑的種植面積的方差為212B．種植面積y與年份代碼x的樣本相關(guān)系數(shù)約為0.972（精確到0.001）C．y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為D．預(yù)測該地區(qū)沃柑種植面積最早在2027年能突破40萬畝【答案】BC【分析】根據(jù)樣本方差、相關(guān)系數(shù)、回歸方程等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】根據(jù)題意，得，，，A錯誤；由題意得，，，所以，B正確；所以，.所以y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為，C正確；令，得，所以最小的整數(shù)為8，，所以該地區(qū)沃柑種植面積最早在2025年能突破40萬畝，D錯誤.故選：BC練習(xí)5．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？计谥校└鶕?jù)國家統(tǒng)計局統(tǒng)計，我國2018—2022年的新生兒數(shù)量如下：年份編號12345年份20182019202020212022新生兒數(shù)量（單位：萬人）1523146512001062956(1)由表中數(shù)據(jù)可以看出，可用線性回歸模型擬合新生兒數(shù)量與年份編號的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)說明相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱；（，則認(rèn)為與線性相關(guān)性很強(qiáng)）(2)建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測我國2025年的新生兒數(shù)量.參考公式及數(shù)據(jù)：r=i=1【答案】(1)答案見解析；(2)，472.7萬人.【分析】（1）求出相關(guān)系數(shù)即得解；（2）利用最小二乘法求出關(guān)于的回歸方程，再預(yù)測我國2025年的新生兒數(shù)量.【詳解】（1），，故與的線性相關(guān)性很強(qiáng)..從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（2），.故，所以，所以關(guān)于的回歸方程為，將2025年對應(yīng)的年份編號代入回歸方程得所以我國2025年的新生兒數(shù)量約為472.7萬人.題型二 回歸直線方程與樣本中心例3．（2023春·上海寶山·高二上海市行知中學(xué)?？计谥校┮阎獂，y的對應(yīng)值如下表所示：02468113若y與x線性相關(guān)，且回歸直線方程為，則______．【答案】1【分析】根據(jù)線性回歸方程過樣本中心點直接計算即可.【詳解】根據(jù)表格可知，，，因為y與x線性相關(guān)，且回歸直線方程為，所以，得，解得.故答案為：1例4．（2023春·湖北武漢·高二武鋼三中?？茧A段練習(xí)）已知由樣本數(shù)據(jù)點集合，求得的回歸直線方程為，且，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)據(jù)點和誤差較大，去除后重新求得的回歸直線的斜率為，則去除后當(dāng)時，的估計值為__________【答案】/【分析】根據(jù)給定條件，求出去除前后的樣本中心點，求出新的回歸方程即可求解作答.【詳解】將代入得，即樣本中心點為，由數(shù)據(jù)點和知：，，因此去除這兩個數(shù)據(jù)點后，樣本中心點不變，設(shè)新的回歸直線方程為，則，即新的回歸直線方程為，當(dāng)時，的估計值為，所以的估計值為.故答案為：.練習(xí)6．（2023·上海奉賢·?？寄M預(yù)測）已知一組成對數(shù)據(jù)的回歸方程為，則該組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)__________（精確到0.001）．【答案】【分析】一組成對數(shù)據(jù)的平均值一定在回歸方程上，可求得，再利用相關(guān)系數(shù)的計算公式算出即可.【詳解】由條件可得，，，一定在回歸方程上，代入解得，，，，，故答案為：練習(xí)7．（2023春·山東聊城·高三山東聊城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）為研究變量的相關(guān)關(guān)系，收集得到如下數(shù)據(jù)：5678998643若由最小二乘法求得關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，則據(jù)此計算殘差為0的樣本點是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出回歸方程的樣本中心點，從而可求得，再根據(jù)殘差的定義可判斷.【詳解】由題意可得：，即樣本中心點為，可得，解得，所以，可得56789986439.27.664.42.80所以殘差為0的樣本點是.故選：C.練習(xí)8．（2023春·江蘇連云港·高三?？茧A段練習(xí)）某人工智能公司近5年的利潤情況如下表所示：第年12345利潤/億元23457已知變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)用最小二乘法建立的回歸直線方程為，預(yù)測該人工智能公司第6年的利潤約為____億元.【答案】7.8/【分析】分別求得，，又回歸直線方程必過樣本中心點，可得，將代入即可得出結(jié)果.【詳解】依題意，，因為回歸直線方程為必過樣本中心點，即，解得，則回歸直線方程為，當(dāng)時，即該人工智能公司第6年的利潤約為7.8億元.故答案為：7.8練習(xí)9．（2023春·山東青島·高三青島市即墨區(qū)第一中學(xué)統(tǒng)考期中）某研究性學(xué)習(xí)小組對春季晝夜溫差大小與某花卉種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行研究，據(jù)統(tǒng)計得出了晝夜溫差x（℃）與實驗室種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)y（顆）之間的線性回歸方程：，且對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：溫差x（℃）12345發(fā)芽數(shù)y/顆3781012如果晝夜溫差為13℃時，那么種子的發(fā)芽數(shù)大約是（

）A．20顆 B．29顆 C．30顆 D．36顆【答案】B【分析】根據(jù)給定的數(shù)表，求出樣本的中心點，進(jìn)而求出值，再代入計算作答.【詳解】依題意，，于是，解得，即線性回歸方程為，當(dāng)時，，所以晝夜溫差為13℃時，那么種子的發(fā)芽數(shù)大約是29顆.故選：B練習(xí)10．（2023春·江蘇淮安·高三淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）用模型擬合一組數(shù)據(jù)組，其中.設(shè)，變換后的線性回歸方程為，則_________.【答案】【分析】根據(jù)回歸直線方程，必過樣本點中心，再利用換元公式，以及對數(shù)運算公式，化簡求值.【詳解】因為線性回歸方程為恒過，因為，所以，，即，所以，即.故答案為：題型三 線性回歸方程例5．（2023春·重慶北碚·高三重慶市兼善中學(xué)?？茧A段練習(xí)）近年來隨著教育科研的不斷進(jìn)步，兼善中學(xué)教育質(zhì)量不斷提高，某知名機(jī)構(gòu)對近年來升入北京航天航空大學(xué)兼善學(xué)子人數(shù)作了如下統(tǒng)計年份20182019202020212022時間代號人數(shù)（人）附：回歸方程中，.(1)求關(guān)于t的回歸方程；(2)用所求回歸方程預(yù)測兼善中學(xué)2023年（t=6）升入北航的人數(shù)【答案】(1)(2)11人.【分析】（1）求線性回歸方程，先求出，再根據(jù)公式求出，即可.（2）將代入回歸方程即可.【詳解】（1）這里又從而1.2，.故所求回歸方程為.（2）將代入回歸方程（人）.故升入北航11人.例6．（2023春·陜西延安·高二陜西延安中學(xué)?？计谥校┠承Ｔ谝淮螐?qiáng)基計劃模擬考試后，從全體考生中隨機(jī)抽取52名，獲取他們本次考試的數(shù)學(xué)成績(x)和物理成績（y），繪制成如圖散點圖：

根據(jù)散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，但圖中有兩個異常點A，B．經(jīng)調(diào)查得知，A考生由于重感冒導(dǎo)致物理考試發(fā)揮失常，B考生因故未能參加物理考試．為了使分析結(jié)果更科學(xué)準(zhǔn)確，剔除這兩組數(shù)據(jù)后，對剩下的數(shù)據(jù)作處理，得到一些統(tǒng)計的值：，，，，，其中，分別表示這50名考生的數(shù)學(xué)成績?物理成績，，2，…，50，y與x的相關(guān)系數(shù)．(1)若不剔除A，B兩名考生的數(shù)據(jù)，用52組數(shù)據(jù)作回歸分析，設(shè)此時y與x的相關(guān)系數(shù)為r0．試判斷r0與r的大小關(guān)系（不必說明理由）；(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并估計如果B考生加了這次物理考試（已知B考生的數(shù)學(xué)成績?yōu)?25分），物理成績是多少？（精確到0.1）附：線性回歸方程中中：，．【答案】(1)，理由見解析(2)；分，【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合數(shù)據(jù)的散點圖，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合最小二乘法求得回歸直線方程，再將代入，即可求解.【詳解】（1）解：.理由如下：由圖可知，變量與正相關(guān)關(guān)系，①異常點會降低變量之間的線性相關(guān)程度；②52個數(shù)據(jù)點與其回歸直線的總偏差更大，回歸效果更差，所以相關(guān)系數(shù)更小；③50個數(shù)據(jù)點與其回歸直線的總偏差更小，回歸效果更好，所以相關(guān)系數(shù)更大；④50個數(shù)據(jù)點更貼近其回歸直線；⑤52個數(shù)據(jù)點與其回歸直線更離散.（2）解：由題設(shè)中的數(shù)據(jù)，可得，所以，所以，則，所以回歸直線方程為，將代入回歸直線方程，可得，所以估計考試的物理成績?yōu)榉?練習(xí)11．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）為調(diào)查某地區(qū)植被覆蓋面積x（單位：公頃）和野生動物數(shù)量y的關(guān)系，某研究小組將該地區(qū)等面積花分為400個區(qū)塊，從中隨機(jī)抽取40個區(qū)塊，得到樣本數(shù)據(jù)（），部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：x…2.73.63.23.9…y…50.663.752.154.3…經(jīng)計算得：，，，.(1)利用最小二乘估計建立y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)該小組又利用這組數(shù)據(jù)建立了x關(guān)于y的線性回歸方程，并把這兩條擬合直線畫在同一坐標(biāo)系下，橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的意義與植被覆蓋面積x和野生動物數(shù)量y一致.設(shè)前者與后者的斜率分別為，，比較，的大小關(guān)系，并證明.附：y關(guān)于x的回歸方程中，斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，，

【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)最小二乘法計算公式求解；（2）根據(jù)相關(guān)系數(shù)證明.【詳解】（1），，，，故回歸方程為；（2）x關(guān)于y的線性回歸方程為，，，則，r為y與x的相關(guān)系數(shù)，又，，，故，即，下證：，若，則，即恒成立，代入表格中的一組數(shù)據(jù)得：，矛盾，故.綜上，y關(guān)于x的回歸方程為.練習(xí)12．（2023春·陜西寶雞·高三眉縣中學(xué)校考階段練習(xí)）根據(jù)統(tǒng)計，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量（百千克）與某種液體肥料每畝使用量（千克）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點圖，如圖所示.

(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請計算相關(guān)系數(shù)并加以說明（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；(2)求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測液體肥料每畝使用量為千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少？附：相關(guān)系數(shù)公式，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.【答案】(1)答案見解析；(2)，9.9百千克.【分析】（1）利用給定的圖象，求出相關(guān)系數(shù)公式中的相關(guān)量，再代入公式計算并判斷作答.（2）利用（1）中信息，結(jié)合最小二乘法公式求出回歸直線方程，再估計作答.【詳解】（1）因為，，，，，因此相關(guān)系數(shù)，所以可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（2）由（1）知，，，因此，當(dāng)時，，所以預(yù)測液體肥料每畝使用量為12千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為9.9百千克．練習(xí)13．（2023春·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）隨著農(nóng)村電子商務(wù)體系和快遞物流配送體系加快貫通，以及內(nèi)容電商、直播電商等模式不斷創(chuàng)新落地，農(nóng)村電商呈現(xiàn)高速發(fā)展的態(tài)勢，下表為2017-2022年中國農(nóng)村網(wǎng)絡(luò)零售額規(guī)模（單位：千億元），其中2017-2022年對應(yīng)的代碼分別為1～6.年份代碼123456農(nóng)村網(wǎng)絡(luò)零售額12.513.717.118.020.523.02(1)根據(jù)2017-2021年的數(shù)據(jù)求農(nóng)村網(wǎng)絡(luò)零售額規(guī)模關(guān)于年度代碼的線性回歸方程（，的值精確到0.01）；(2)若由回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與剩下的檢驗數(shù)據(jù)的誤差不超過1千億，則認(rèn)為得到的回歸方程是“理想的”，試判斷（1）中所得回歸方程是否是“理想的”.參考公式：，.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】(1)(2)回歸方程是“理想的”.【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的公式可求線性回歸方程.（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可計算估計數(shù)據(jù)與剩下的檢驗數(shù)據(jù)的誤差，從而可判斷回歸方程是否是“理想”.【詳解】（1），，故，故，故.（2）當(dāng)，由可得對應(yīng)的估計數(shù)據(jù)為，此時，故回歸方程是“理想的”.練習(xí)14．（2023春·廣東廣州·高三廣州市真光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某鄉(xiāng)政府為提高當(dāng)?shù)剞r(nóng)民收入，指導(dǎo)農(nóng)民種植藥材，并在種植藥材的土地附近種草放牧發(fā)展畜牧業(yè).牛糞、羊糞等有機(jī)肥可以促進(jìn)藥材的生長，發(fā)展生態(tài)循環(huán)農(nóng)業(yè).下圖所示為某農(nóng)戶近7年種植藥材的平均收入y（單位：千元）與年份代碼x的折線圖.并計算得到，，，，，，，其中.

(1)根據(jù)折線圖判斷，與哪一個適宜作為平均收入y關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型？并說明理由；(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測2023年該農(nóng)戶種植藥材的平均收入.附：相關(guān)系數(shù)，回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，，.【答案】(1)；理由見解析(2)；87.39千元【分析】（1）由相關(guān)系數(shù)的計算即可由大小作出判斷，（2）根據(jù)最小二乘法即可求解方程，代入即可求值.【詳解】（1）因為，.對于模型，相關(guān)系數(shù)，對于模型，相關(guān)系數(shù)因為，所以適宜作為平均收入y關(guān)于年份代碼x的回歸方程.（2）由（1）可知回歸方程類型為，由已知數(shù)據(jù)及公式可得，.所以y關(guān)于x的回歸方程為，又年份代碼1-7分別對應(yīng)年份2016-2022，所以2023年對應(yīng)年份代碼為8，代入可得千元，所以預(yù)測2023年該農(nóng)戶種植藥材的平均收入為87.39千元.練習(xí)15．（2023春·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考階段練習(xí)）某城市的公交公司為了方便市民出行，科學(xué)規(guī)劃車輛投放，在一個人員密集流動地段增設(shè)一個起點站，為了研究車輛發(fā)車間隔時間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系，經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：間隔時間（x分鐘）68101214等候人數(shù)（y人）1518202423(1)易知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于x的回歸直線方程，并預(yù)測車輛發(fā)車間隔時間為20分鐘時乘客的等候人數(shù)．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，；相關(guān)系數(shù)；．【答案】(1)答案見解析(2)，31人.【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式，分別計算數(shù)據(jù)求解即可；（2）根據(jù)回歸直線方程的參數(shù)計算公式可得關(guān)于的回歸直線方程為，再代入求解即可.【詳解】（1）由題意，知，，，，所以.又，則.因為與的相關(guān)系數(shù)近似為0.95，說明與的線性相關(guān)非常高，所以可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（2）由（1）可得，，則，所以關(guān)于的回歸直線方程為，當(dāng)時，，所以預(yù)測車輛發(fā)車間隔時間為20分鐘時乘客的等候人數(shù)為31人.題型四 非線性回歸方程例7．（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）為了反映城市的人口數(shù)量x與就業(yè)壓力指數(shù)y之間的變量關(guān)系，研究人員選擇使用非線性回歸模型對所測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并設(shè)，得到的數(shù)據(jù)如表所示，則_________.x46810z2c56【答案】3【分析】由非線性回歸模型和，得回歸直線方程，代入樣本點中心即可求值.【詳解】，，依題意，，而回歸直線方程過點，故，解得.故答案為：3例8．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？既＃┙?jīng)觀測，長江中某魚類的產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)，現(xiàn)將收集到的溫度和產(chǎn)卵數(shù)的10組觀測數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖的散點圖及一些統(tǒng)計量表.360表中

(1)根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為與之間的回歸方程模型并求出關(guān)于回歸方程；（給出判斷即可，不必說明理由）(2)某興趣小組抽取兩批魚卵，已知第一批中共有6個魚卵，其中“死卵”有2個；第二批中共有8個魚卵，其中“死卵”有3個．現(xiàn)隨機(jī)挑選一批，然后從該批次中隨機(jī)取出2個魚卵，求取出“死卵”個數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.【答案】(1)適宜，(2)分布列見解析，.【分析】（1）根據(jù)散點圖判斷，看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，所以適宜作為與之間的回歸方程模型；令，轉(zhuǎn)化線性回歸方程求解，進(jìn)而得關(guān)于回歸方程；（2）由題意，的取值為，由全概率公式求得對應(yīng)的概率，從而可求分布列及數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）根據(jù)散點圖判斷，看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，所以適宜作為與之間的回歸方程模型；令，則，，關(guān)于的回歸方程為.（2）由題意，設(shè)隨機(jī)挑選一批，取出兩個魚卵，其中“死卵”個數(shù)為，則的取值為，設(shè)“所取兩個魚卵來自第批”，所以，設(shè)“所取兩個魚卵有個”“死卵”，由全概率公式，，，所以取出“死卵”個數(shù)的分布列為：012.所以取出“死卵”個數(shù)的數(shù)學(xué)期望.練習(xí)16．（2023春·遼寧·高三遼寧實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）的影響，對近8年的年宣傳費和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖．根據(jù)散點圖判斷，下面四個回歸模型中，最適合的是（

）A．y＝bx＋a B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)樣本點分布的分布情況和函數(shù)的圖象特征判斷.【詳解】解：由散點圖看出，樣本點分布在開口向右的拋物線（上支）附近，整體趨勢遞增，單位增長率逐漸變小，所以函數(shù)較適宜，故選：C練習(xí)17．（2023·全國·高二專題練習(xí)）規(guī)定抽球試驗規(guī)則如下：盒子中初始裝有白球和紅球各一個，每次有放回的任取一個，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪．如果每一輪取到的兩個球都是白球，則記該輪為成功，否則記為失敗．在抽取過程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中再放入一個紅球，然后接著進(jìn)行下一輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功．(1)某人進(jìn)行該抽球試驗時，最多進(jìn)行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進(jìn)行抽球試驗的輪次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)為驗證抽球試驗成功的概率不超過，有1000名數(shù)學(xué)愛好者獨立的進(jìn)行該抽球試驗，記表示成功時抽球試驗的輪次數(shù)，表示對應(yīng)的人數(shù)，部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：1234523298604020求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測成功的總?cè)藬?shù)（精確到1）；【答案】(1)分布列見解析，(2)，465【分析】（1）由條件確定的取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望；（2）令，則，利用最小二乘法結(jié)論求，由此可得回歸方程，再利用回歸方程預(yù)測成功的總?cè)藬?shù).【詳解】（1）由題知，的取值可能為1，2，3，所以；

；所以的分布列為：

123所以數(shù)學(xué)期望為（2）令，，，則，由題知：，，，所以，所以，，故所求的回歸方程為：，所以，估計時，；估計時，；估計時，；預(yù)測成功的總?cè)藬?shù)為.練習(xí)18．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）為了研究某種細(xì)菌隨天數(shù)變化的繁殖個數(shù)，設(shè)，收集數(shù)據(jù)如下：天數(shù)123456繁殖個數(shù)612254995190表（Ⅰ）3.5062.833.5317.50596.5712.08表（Ⅱ）(1)根據(jù)表（Ⅰ）在圖中作出繁殖個數(shù)關(guān)于天數(shù)變化的散點圖，并由散點圖判斷（，為常數(shù)）與（，為常數(shù)，且，）哪一個適宜作為繁殖個數(shù)關(guān)于天數(shù)變化的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果和表（Ⅱ）中的數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程（結(jié)果保留2位小數(shù)）.附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，.【答案】(1)散點圖見解析；適宜.(2)【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)即可作出散點圖，據(jù)此可判斷出結(jié)論；（2）由最小二乘法計算和，可得，即可求得答案.【詳解】（1）由題意作出散點圖如圖：由散點圖可知，樣本點是沿指數(shù)型曲線分布，不是分布在某直線附近，故（，為常數(shù)，且，）適宜作為繁殖個數(shù)關(guān)于天數(shù)變化的回歸方程類型.（2）由題意知，故，則，，則，故.練習(xí)19．（2023春·山東聊城·高三山東聊城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）今年剛過去的4月份是“全國消費促進(jìn)月”，各地拼起了特色經(jīng)濟(jì)”，帶動消費復(fù)蘇、市場回暖.“小餅烤爐加蘸料，靈魂燒烤三件套”，最近，淄博燒烤在社交媒體火爆出圈，吸引全國各地的游客坐著高鐵，直奔燒烤店，而多家店鋪的營業(yè)額也在近一個月內(nèi)實現(xiàn)了成倍增長.因此某燒烤店老板考慮投入更多的人工成本，現(xiàn)有以往的服務(wù)人員增量x（單位：人）與年收益增量y單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下：服務(wù)人員增量x/人234681013年收益增量y/萬元13223142505658據(jù)此，建立了y與x的兩個回歸模型：

模型①：由最小二乘公式可求得與的一元線性經(jīng)驗回歸方程為；模型②：由散點圖（如圖）的樣本點分布，可以認(rèn)為樣本點集中在曲線的附近．對數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計的量的值：，，，，其中，(1)根據(jù)所給的統(tǒng)計量，求模型②中關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程（精確到0.1）；(2)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的決定系數(shù)，并選擇擬合精度更高的模型，預(yù)測服務(wù)人員增加25人時的年收益增量．回歸模型模型①模型②回歸方程182.479.2附：樣本的最小二乘估計公式為，，刻畫樣本回歸效果的決定系數(shù)【答案】(1)＝21.3－14.4(2)模型①的R2小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好，92.1萬元．【分析】（1）令，則，然后根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和公式可求出模型②中y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；（2）由表中的數(shù)據(jù)和樣本回歸效果的決定系數(shù)可判斷回歸模型②刻畫的擬合效果更好，再根據(jù)模型②的回歸方程可預(yù)測服務(wù)人員增加25人時的年收益增量．【詳解】（1）令，則.由參考數(shù)據(jù)得＝＝38.9－21.32×2.5≈－14.4，所以，模型②中y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為＝21.3－14.4．（2）由表格中的數(shù)據(jù)，有182.4＞79.2，即，模型①的小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好當(dāng)x＝25時，模型②的收益增量的預(yù)測值為＝21.3×－14.4＝21.3×5－14.4＝92.1(萬元)．所以預(yù)測服務(wù)人員增加25人時的年收益增量為92.1萬元．練習(xí)20．（2023·全國·二三專題練習(xí)）黨的二十大報告提出，從現(xiàn)在起，中國共產(chǎn)黨的中心任務(wù)就是團(tuán)結(jié)帶領(lǐng)全國各族人民全面建成社會主義現(xiàn)代化強(qiáng)國、實現(xiàn)第二個百年奮斗目標(biāo)，以中國式現(xiàn)代化全面推進(jìn)中華民族偉大復(fù)興.高質(zhì)量發(fā)展是全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家的首要任務(wù).加快實現(xiàn)高水平科技自立自強(qiáng)，才能為高質(zhì)量發(fā)展注入強(qiáng)大動能.某科技公司積極響應(yīng)，加大高科技研發(fā)投入，現(xiàn)對近十年來高科技研發(fā)投入情況分析調(diào)研，其研發(fā)投入y（單位：億元）的統(tǒng)計圖如圖1所示，其中年份代碼x=1，2，…，10分別指2013年，2014年，…，2022年.

現(xiàn)用兩種模型①，②分別進(jìn)行擬合，由此得到相應(yīng)的回歸方程，并進(jìn)行殘差分析，得到圖2所示的殘差圖．結(jié)合數(shù)據(jù)，計算得到如下值：752.2582.54.512028.67表中．(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？并說明理由；(2)根據(jù)（1）中所選模型，求出y關(guān)于x的回歸方程；根據(jù)所選模型，求該公司2028年高科技研發(fā)投入y的預(yù)報值．（回歸系數(shù)精確到0.01）附：對于一組數(shù)據(jù)其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.【答案】(1)選擇模型②，利用見解析(2)，.【分析】（1）根據(jù)殘差點的分布可得出結(jié)論；（2）令，可得出，利用參考數(shù)據(jù)可求出、的值，可得出關(guān)于的回歸方程，然后將代入回歸方程，可得出該公司年高科投研發(fā)投入的預(yù)報值.【詳解】（1）應(yīng)該選擇模型②，理由如下：由于模型②殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型①帶狀寬度窄，所以模型②的擬合精度更高，回歸方程的預(yù)報精度相應(yīng)就會越高，故選模型②比較合適.（2）根據(jù)模型②，令，研發(fā)投入與可用線性回歸來擬合，有.則，所以，則關(guān)于的線性回歸方程為，所以關(guān)于的回歸方程為，年，即時，（億元），所以該公司年高科技研發(fā)投入的預(yù)報值為（億元）.題型五 誤差分析例9．（2023春·河南濮陽·高三統(tǒng)考期末）某城市選用一種植物進(jìn)行綠化，設(shè)其中一株幼苗從觀察之日起，第天的高度為，測得一些數(shù)據(jù)如下表所示第天1234567高度1469111213由表格數(shù)據(jù)可得到關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，則第6天的殘差為（

）A． B．2.12 C． D．0.08【答案】A【分析】根據(jù)樣本中心得回歸直線方程，由殘差的計算即可求解.【詳解】根據(jù)線性經(jīng)驗回歸方程過樣本中心，故有，則有,此時，當(dāng)時，，殘差，故選:A.例10．（2023春·浙江·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）某興趣小組研究光照時長和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量顆之間的關(guān)系，采集5組數(shù)據(jù)，作如圖所示的散點圖.若去掉后，下列說法正確的是（

）

A．相關(guān)系數(shù)的絕對值變小B．決定系數(shù)變大C．殘差平方和變大D．解釋變量與響應(yīng)變量的相關(guān)性變強(qiáng)【答案】BD【分析】由圖可知：較其他的點偏離直線最大，所以去掉后，回歸效果更好.結(jié)合相關(guān)系數(shù)、決定系數(shù)、殘差平方和以及相關(guān)性逐項分析判斷.【詳解】由圖可知：較其他的點偏離直線最大，所以去掉后，回歸效果更好.對于選項A：相關(guān)系數(shù)越接近于1，線性相關(guān)性越強(qiáng)，所以去掉后，相關(guān)系數(shù)的絕對值變大，故A錯誤；對于選項B：決定系數(shù)越接近于1，擬合效果越好，所以去掉后，決定系數(shù)變大，故B正確；對于選項C：殘差平方和變大，擬合效果越差，所以去掉后，殘差平方和變小，故C錯誤對于選項D：由選項A可知：去掉后，相關(guān)系數(shù)的絕對值變大，所以解釋變量與響應(yīng)變量的相關(guān)性變強(qiáng)，故D正確；故選：BD.練習(xí)21．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）兩個變量與的回歸模型中，分別選擇了4個不同的模型，其中擬合效果最好的模型是（

）A．模型1的決定系數(shù) B．模型2的決定系數(shù)C．模型3的決定系數(shù) D．模型4的決定系數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)決定系數(shù)的意義即可解答.【詳解】決定系數(shù)越大（接近1），模型的擬合效果越好；決定系數(shù)越小，模型的擬合效果越差．模型4的決定系數(shù)最大、最接近1，其擬合效果最好.故選：D.練習(xí)22．（2023·河南南陽·南陽中學(xué)?？寄M預(yù)測）網(wǎng)絡(luò)直播帶貨助力鄉(xiāng)村振興，它作為一種新穎的銷售土特產(chǎn)的方式，受到社會各界的追捧.某直播間開展地標(biāo)優(yōu)品帶貨直播活動，其主播直播周期次數(shù)（其中10場為一個周期）與產(chǎn)品銷售額（千元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：直播周期數(shù)12345產(chǎn)品銷售額（千元）37153040根據(jù)數(shù)據(jù)特點，甲認(rèn)為樣本點分布在指數(shù)型曲線的周圍，據(jù)此他對數(shù)據(jù)進(jìn)行了一些初步處理．如下表：5538265978101其中，(1)請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到）；(2)①乙認(rèn)為樣本點分布在直線的周圍，并計算得回歸方程為，以及該回歸模型的相關(guān)指數(shù)，試比較甲、乙兩人所建立的模型，誰的擬合效果更好？(3)由①所得的結(jié)論，計算該直播間欲使產(chǎn)品銷售額達(dá)到8萬元以上，直播周期數(shù)至少為多少？（最終答案精確到1）附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，，相關(guān)指數(shù)：．【答案】(1)(2)乙建立的回歸模型擬合效果更好(3)10【分析】（1）取對數(shù)，把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程，利用公式求解系數(shù)可得答案；（2）根據(jù)公式求解相關(guān)指數(shù)，比較兩個方程的相關(guān)指數(shù)的大小可得結(jié)論；（3）利用乙的方程進(jìn)行預(yù)測，求解不等式可得結(jié)果.【詳解】（1）將兩邊取對數(shù)得，令，則;∵，∴根據(jù)最小二乘估計可知，;∴，∴回歸方程為，即．（2）①甲建立的回歸模型的．∴乙建立的回歸模型擬合效果更好．（3）由①知，乙建立的回歸模型擬合效果更好．設(shè)，解得，∴直播周期數(shù)至少為10.練習(xí)23．（2023·高二課時練習(xí)）已知x、y的取值如下表：x1234y32487288根據(jù)表中的數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的回歸直線方程為，則這組數(shù)據(jù)相對于所求的回歸直線方程的4個殘差的方差為______．【答案】【分析】先求出估計值，然后求出殘差，求出殘差的平均數(shù)，最后利用方差的計算公式求解即可【詳解】將代入回歸直線方程可得的值分別為：，所以殘差分別為：殘差的平均數(shù)為：，所以該組數(shù)據(jù)相對于所求的回歸直線方程的4個殘差的方差為：，故答案為：3.2.練習(xí)24．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖是某企業(yè)2016年至2022年的污水凈化量（單位：噸）的折線圖.注：年份代碼1~7分別對應(yīng)年份2016~2022.

(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y和t的關(guān)系，請建立y關(guān)于t的回歸方程，并預(yù)測2025年該企業(yè)的污水凈化量；(2)請用相關(guān)指數(shù)說明回歸方程預(yù)報的效果.參考數(shù)據(jù)：；參考公式：線性回歸方程；相關(guān)指數(shù)：【答案】(1)，58.5噸(2)答案見解析【分析】（1）結(jié)合題目數(shù)據(jù)利用最小二乘法求出線性回歸直線方程，代入計算即可；（2）利用已知數(shù)據(jù)求出相關(guān)指數(shù)，利用統(tǒng)計知識說明即可.【詳解】（1）由折線圖中的數(shù)據(jù)得，，，所以，所以y關(guān)于t的線性回歸方程為，將2025年對應(yīng)的t=10代入得，所以預(yù)測2025年該企業(yè)污水凈化量約為58.5噸.（2）因為，所以“污水凈化量的差異”有87.5%是由年份引起的，說明回歸方程預(yù)報的效果是良好的.練習(xí)25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某種產(chǎn)品的廣告支出費用（單位：萬元）與銷售量（單位：萬件）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得回歸直線方程，，以下說法正確的是（

）廣告支出費用2.22.64.05.35.9銷售量3.85.47.011.6122A．銷售量的多少有96%是由廣告支出費用引起的B．銷售量的多少有4%是由廣告支出費用引起的C．第三個樣本點對應(yīng)的殘差，回歸模型的擬合效果一般D．第三個樣本點對應(yīng)的殘差，回歸模型的擬合效果較好【答案】A【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合殘差和相關(guān)系數(shù)的定義可得答案.【詳解】因為表示解釋變量對于預(yù)報變量的貢獻(xiàn)率，，所以銷售量的多少有96%由廣告支出費用引起的，故A正確，B錯誤；當(dāng)時，第三個樣本點對應(yīng)的殘差為，又，故擬合效果較好，故CD錯誤.故選：A.題型六 獨立性檢驗例11．（2023·全國·模擬預(yù)測）2023上海蒸蒸日上迎新跑于2023年2月19日舉辦，該賽事設(shè)有21.6公里競速跑、5.4公里歡樂跑兩個項目．某馬拉松興趣小組為慶祝該賽事，舉行一場小組內(nèi)有關(guān)于馬拉松知識的有獎比賽，一共有25人報名（包括20位新成員和5位老成員），其中20位新成員的得分情況如下表所示（滿分30分）：得分人數(shù)234641得分在20分以上（含20分）的成員獲得獎品一份．(1)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完全，并通過計算判斷在20位新成員中，是否有的把握認(rèn)為“獲獎”與性別有關(guān)？沒獲獎獲獎合計男4女78合計(2)若5名老成員的性別相同并全部獲獎，且進(jìn)行計算發(fā)現(xiàn)在所有參賽人員中，有的把握認(rèn)為“獲獎”與性別有關(guān)．請判斷這5名老成員的性別？附：參考公式：．臨界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，沒有的把握認(rèn)為“獲獎”與性別有關(guān)(2)這5名老成員全是男成員【分析】（1）完善列聯(lián)表，計算出卡方即可判斷；（2）分別假設(shè)名老成員的性別為女性或男性，求出相應(yīng)的卡方值，即可判斷.【詳解】（1）依題意可得列聯(lián)表如下：沒獲獎獲獎合計男8412女718合計15520由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計算得到，所以沒有的把握認(rèn)為“獲獎”與性別有關(guān)．（2）當(dāng)這名老成員中都為女成員時，計算得，不合題意；當(dāng)名老成員都為男成員時，計算得，符合題意．故這名老成員全是男成員．例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加藥物）和實驗組（加藥物）.(1)設(shè)其中兩只小鼠中對照組小鼠數(shù)目為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)測得40只小鼠體重如下（單位：g）：（已按從小到大排好）對照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3實驗組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)m，并完成下面2×2列聯(lián)表：對照組實驗組（ii）根據(jù)2×2列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0102.7063.8416.635【答案】(1)分布列見解析，(2)（i），列聯(lián)表見解析；（ii）能【分析】（1）由題意可得的可能取值為，然后求出各自對應(yīng)的概率，從而可求出的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）（i）先對這40個數(shù)按從小到大的順序排列，找出第20個和第21個數(shù)，這兩個數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)，然后根據(jù)已知數(shù)據(jù)填2×2列聯(lián)表；（ii）由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，根據(jù)卡方公式求出卡方，再根據(jù)臨界值可得結(jié)論.【詳解】（1）依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.（2）（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由于原數(shù)據(jù)已經(jīng)排好，所以我們只需要觀察對照組第一排數(shù)據(jù)與實驗組第二排數(shù)據(jù)即可，可得第11位數(shù)據(jù)為，后續(xù)依次為，故第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計對照組61420實驗組14620合計202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用.練習(xí)26．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？计谥校┯袃蓚€分類變量和，其中一組觀測值為如下的列聯(lián)表：總計1030總計103040其中均為大于的整數(shù)，則________時，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下為“和之間有關(guān)系”.附：【答案】【分析】由題意，計算，列出不等式求出的取值范圍，再根據(jù)題意求得的值.【詳解】由題意知：,則，解得：或（舍去），因為：且，，綜上得：，，所以：.故答案為：6.練習(xí)27．（2023春·福建三明·高三三明市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）兩個分類變量和；其列聯(lián)表如表，對同一樣本，的可能取值集合為．能說明與有關(guān)聯(lián)的可能性最大的的值為_________．合計3698合計14【答案】【分析】給m賦值，依次計算的預(yù)測值并比較大小即可.【詳解】由列聯(lián)表可知，的預(yù)測值，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，.又因為，所以當(dāng)時，的預(yù)測值最大，說明X與Y有關(guān)聯(lián)的可能性最大.故答案為：6.練習(xí)28．（2023·上海徐匯·