重慶市2025屆高三上學(xué)期9月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

重慶市2025屆高三9月考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（）A.7 B.8 C.31 D.32【答案】A【解析】【分析】計(jì)算出然后計(jì)算真子集個(gè)數(shù)即可.【詳解】由題得所以，有是三個(gè)元素，所以真子集個(gè)數(shù)為.故選：A2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?故選：C.3.已知且，則的最小值為（）A.4 B.6 C. D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求出最小值.【詳解】且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為8.故選：D4.已知向量的夾角為，且，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式，結(jié)合已知條件，直接求解即可.【詳解】由題可知：，故在方向上的投影向量為.故選：B.5.已知α，，且，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)角變換，再根據(jù)兩角差的余弦公式，以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由，且，則，則.則，由，則，，.故選：A6.命題在上為減函數(shù)，命題在為增函數(shù)，則命題是命題的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性得到不等式得到，分離常數(shù)后，由的單調(diào)性得到，結(jié)合集合的包含關(guān)系得到是的充分不必要條件.【詳解】要在上單調(diào)遞減，則，解得，在1,+∞為增函數(shù)，則，解得，因?yàn)槭堑恼孀蛹拭}是命題的充分不必要條件.故選：A7.某校高三數(shù)學(xué)老師共有20人，他們的年齡分布如下表所示：年齡人數(shù)126542下列說法正確的是（）A.這20人年齡的分位數(shù)的估計(jì)值是46.5B.這20人年齡的中位數(shù)的估計(jì)值是41C.這20人年齡的極差的估計(jì)值是55D.這20人年齡的眾數(shù)的估計(jì)值是35【答案】B【解析】【分析】本題根據(jù)已知條件提供的數(shù)據(jù)，可分別計(jì)算80%分位數(shù)，中位數(shù)（50%分位數(shù)），但無法計(jì)算眾數(shù)和極差.【詳解】因?yàn)?，?0%分位數(shù)落在區(qū)間，設(shè)其估計(jì)值為m，則，解得，故A錯(cuò)誤；又因?yàn)?，所以中位?shù)（50%分位數(shù)）落在區(qū)間，設(shè)其估計(jì)值為n，則，解得，故B正確；有表格中數(shù)據(jù)可知極差不超過，故C錯(cuò)誤；因?yàn)楸绢}無法確定年齡的具體數(shù)值，故無法判斷眾數(shù)的值，故D錯(cuò)誤.故選：B.8.已知函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)含參討論該函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】令，則.若，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，則，不符合題意.若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，不符合題意若，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，即，符合題意.故的取值范圍為.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：通過構(gòu)造函數(shù)，直接求導(dǎo)含參討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合端點(diǎn)值，排除的情況即可.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.9.某學(xué)校有甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)，人數(shù)分別為、、，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取人，進(jìn)行某項(xiàng)興趣調(diào)查．已知抽出的人中有人對(duì)此感興趣，有人不感興趣，現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取人做進(jìn)一步的深入訪談，用表示抽取的人中感興趣的學(xué)生人數(shù)，則（）A.從甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)抽取的人數(shù)分別為人、人、人B.隨機(jī)變量C.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為D.若事件“抽取的3人都感興趣”，則【答案】ACD【解析】【分析】結(jié)合分層抽樣性質(zhì)求出各社團(tuán)所需抽取人數(shù)判斷A，求隨機(jī)變量的分布列，判斷BD，由期望公式求的期望，判斷C.【詳解】設(shè)甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)分別需抽取人，則，所以，，，所以從甲、乙、丙三個(gè)社團(tuán)抽取的人數(shù)分別為人、人、人，A正確；隨機(jī)變量的取值有，，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為所以B錯(cuò)誤；由期望公式可得隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，C正確；因?yàn)?，所以D正確.故選：ACD.10.在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)藝術(shù)體操項(xiàng)目集體全能決賽中，中國(guó)隊(duì)以69.800分的成績(jī)奪得金牌，這是中國(guó)藝術(shù)體操隊(duì)在奧運(yùn)會(huì)上獲得的第一枚金牌．藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），為與其中兩條曲線的交點(diǎn)，若，則（）A.開口向上的拋物線的方程為B.ABC.直線截第一象限花瓣的弦長(zhǎng)最大值為D.陰影區(qū)域的面積大于4【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，利用旋轉(zhuǎn)前后拋物線焦點(diǎn)和對(duì)稱軸變化，即可確定拋物線方程；對(duì)于B，聯(lián)立拋物線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即得；對(duì)于C，將直點(diǎn)線與拋物線方程聯(lián)立求出的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離公式求得弦長(zhǎng)，利用換元和函數(shù)的圖象即可求得弦長(zhǎng)最大值；對(duì)于D，利用以直線近似取代曲線的思想求出三角形面積，即可對(duì)陰影部分面積大小進(jìn)行判斷.【詳解】由題意，開口向右的拋物線方程為，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為,將其逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的拋物線開口向上，焦點(diǎn)為，則其方程為，即，故A正確；對(duì)于B，根據(jù)A項(xiàng)分析，由可解得，或，即，代入可得，由圖象對(duì)稱性，可得,故，即B正確；對(duì)于C，如圖，設(shè)直線與第一象限花瓣分別交于點(diǎn),由解得，由解得，,即得則弦長(zhǎng)為：，由圖知，直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)取最大值4，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)取最小值0，即在第一象限部分滿足，不妨設(shè)，則，且，代入得，，（）由此函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)對(duì)稱性，每個(gè)象限的花瓣形狀大小相同，故可以先求部分面積的近似值.如圖，在拋物線上取一點(diǎn)，使過點(diǎn)的切線與直線平行，由可得切點(diǎn)坐標(biāo)為,因,則點(diǎn)到直線的距離為，于是,由圖知，半個(gè)花瓣的面積必大于，故原圖中的陰影部分面積必大于，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查曲線與方程的聯(lián)系的應(yīng)用問題，屬于難題.解題思路是，理解題意，結(jié)合圖形對(duì)稱性特征，通過曲線方程聯(lián)立，計(jì)算判斷，并運(yùn)用函數(shù)的圖象單調(diào)性情況，有時(shí)還需要以直代曲的思想進(jìn)行估算、判斷求解.11.已知直線，A是之間的一定點(diǎn)并且點(diǎn)A到的距離分別為1，2，B是直線上一動(dòng)點(diǎn)，作，且使AC與直線交于點(diǎn)C，，則（）A.面積的最小值為B.點(diǎn)到直線的距離為定值C.當(dāng)時(shí)，的外接圓半徑為D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，過作的垂線，分別交于點(diǎn)，設(shè)，然后表示出，從而可表示出面積，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求得其最小值，對(duì)于B，如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，表示出坐標(biāo)，再由可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可分析判斷，對(duì)于C，由求出三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出，再利用正弦定理可求出的外接圓半徑，對(duì)于D，由題意可得，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，過作的垂線，分別交于點(diǎn)，則，設(shè)，則在中，，因?yàn)椋栽谥?，，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值，所以面積的最小值為，所以A正確，對(duì)于B，如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，所以，，所以，所以，所以，所以點(diǎn)到直線的距離為，是定值，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去），所以，所以，，所以，所以，，因?yàn)?，所以，所以由正弦定理得，所以，即的外接圓半徑為，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，所以D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意合理建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)計(jì)算，從而得解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一個(gè)詞典里包含個(gè)不同的單詞，其中有個(gè)以字母“”開頭，其余以其他字母開頭.從中選擇個(gè)單詞組成一個(gè)新的子集，其中至少包含兩個(gè)“”開頭，一共有__________個(gè)這樣的子集.（要求用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】符合要求子集可分為三類，結(jié)合組合的定義求各類子集的個(gè)數(shù)，再結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理求出所有的子集的個(gè)數(shù).【詳解】從含有個(gè)以字母“”開頭的個(gè)不同的單詞選擇個(gè)單詞，其中至少包含兩個(gè)“”開頭的選法可分為類，第一類：所選個(gè)單詞中，有且只有兩個(gè)“”開頭的單詞，符合要求選法有；第二類：所選個(gè)單詞中，有且只有三個(gè)“”開頭的單詞，符合要求選法有；第三類：所選個(gè)單詞中，有且只有四個(gè)“”開頭的單詞，符合要求選法有；由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，符合要求的子集共有個(gè).故答案為：.13.在的展開式中，若的系數(shù)為，則_____.【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)式的展開式可求得，進(jìn)而可得，可求值.【詳解】由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式可得第，令，可得的系數(shù)為，所以，則，則.故答案為：.14.已知函數(shù)，若函數(shù)，當(dāng)恰有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，由題意，由圖得或，即或，從而轉(zhuǎn)化為與及的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，從而依次討論即可求解.【詳解】如圖，作出函數(shù)的圖象，令，即，由圖可知，或，則或，當(dāng)，函數(shù)無解；當(dāng)或，函數(shù)只有一個(gè)解；當(dāng)或，函數(shù)有兩個(gè)解；當(dāng)，函數(shù)有三個(gè)解；當(dāng)恰有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，或或或或或或或或或，解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在三棱錐中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；（2）點(diǎn)在棱上，且，求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可知繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為以為底面圓半徑，以為高的圓錐，求出體積即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線與平面所成角的正弦值，再把角用反三角的形式表示出來即可.【小問1詳解】如圖：因?yàn)槔@旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為以為底面圓半徑的圓錐，由，，所以，所以，所以，又因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，且，所以，所以，且，所以平面，所以繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為以為底面圓半徑，以為高的圓錐，所以.【小問2詳解】如圖：由上可知：平面，又，，所以，所以，為等腰直角三角形，又由點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，，，，，所以，又有，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以.16.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.（1）求角；（2）若外接圓的面積為，且為銳角三角形，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化邊，可得，再結(jié)合余弦定理，即可求得角B；（2）求出的外接圓半徑，由正弦定理結(jié)合三角恒等變換可表示出，結(jié)合角A的范圍，即可求得答案.小問1詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得，化?jiǎn)可得，由余弦定理得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，B∈0,π，所以【小問2詳解】因?yàn)榈耐饨訄A面積為，故其外接圓半徑為，因?yàn)?，所以由正弦定理可得故，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，則，，即的周長(zhǎng)的取值范圍為.17.夏日天氣炎熱，學(xué)校為高三備考的同學(xué)準(zhǔn)備了綠豆湯和銀耳羹兩種涼飲，某同學(xué)每天都會(huì)在兩種涼飲中選擇一種，已知該同學(xué)第1天選擇綠豆湯的概率是，若在前一天選擇綠豆湯的條件下，后一天繼續(xù)選擇綠豆湯的概率為，而在前一天選擇銀耳羹的條件下，后一天繼續(xù)選擇銀耳羹的概率為，如此往復(fù)．（提示：設(shè)表示第天選擇綠豆湯）（1）求該同學(xué)第一天和第二天都選擇綠豆湯的概率（2）求該同學(xué)第2天選擇綠豆湯的概率；（3）記該同學(xué)第天選擇綠豆湯的概率為，求出的通項(xiàng)公式.【答案】（1）（2）（3）答案見解析【解析】【分析】（1）利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式計(jì)算即可；（2）利用條件概率公式計(jì)算即得；（3）利用全概率公式列式，再利用構(gòu)造法證明即得.【小問1詳解】該同學(xué)第一天和第二天都選擇綠豆湯的概率為；【小問2詳解】設(shè)表示第1天選擇綠豆湯，表示第2天選擇綠豆湯，則表示第1天選擇銀耳羹，根據(jù)題意得，，所以．【小問3詳解】設(shè)表示第天選擇綠豆湯，則，根據(jù)題意得，，由全概率公式得，，即，整理得，，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．所以，所以..【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用全概率公式求隨機(jī)事件的概率問題，把事件分拆成兩個(gè)互斥事件與的和，再利用條件概率公式計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列是等比數(shù)列，公比.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，其中.（i）求數(shù)列的前2024項(xiàng)和；（ii）求.【答案】（1），（2）（i），（ii）【解析】【分析】（1）利用的關(guān)系作差結(jié)合等比數(shù)列的定義計(jì)算可求an和bn（2）（i）根據(jù)題意利用等比數(shù)列求和公式結(jié)合分組求和法計(jì)算即可，（ii）根據(jù)題意先得出，利用等比數(shù)列求和公式及分組求和法計(jì)算即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，顯然符合上式，所以，由題意，所以.【小問2詳解】（i）易知，即數(shù)列的前2024項(xiàng)中有項(xiàng)分別為，其余項(xiàng)均為1，故數(shù)列的前2024項(xiàng)和；（ii）由（1）知，而，所以，