專題2.2 基本不等式（原卷版）

專題2.2基本不等式題型一直接法求最值題型二配湊法求最值題型三“1”的代換求最值題型四消參法求最值題型五商式求最值題型六對(duì)勾函數(shù)求最值題型七利用基本不等式證明不等式題型八利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題題型九基本不等式與其余知識(shí)的綜合應(yīng)用題型一 直接法求最值例1．（2022秋·海南海口·高三?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，那么的最大值為（

）A． B． C．1 D．2例2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，當(dāng)取最大值時(shí)，則的值為（

）A． B．2 C．3 D．4練習(xí)1．（2023春·湖南·高三桃江縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）若正實(shí)數(shù)、滿足，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值是（

）A． B． C． D．練習(xí)2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件練習(xí)3．（2021春·廣西南寧·高二?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最小值為（

）A． B．2 C．2 D．4練習(xí)4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)（）的值域?yàn)椋瑒t的最小值為（

）A． B．4 C．8 D．練習(xí)5．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．8 B．12 C． D．題型二 配湊法求最值例3．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最小值為_____________．例4．（2022秋·新疆克拉瑪依·高三克拉瑪依市高級(jí)中學(xué)校考期中）（1）已知，求函數(shù)的最小值；（2）已知，求函數(shù)的最大值.練習(xí)6．（2021春·陜西渭南·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)實(shí)數(shù)x滿足，則函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．6練習(xí)7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）在下列函數(shù)中，最小值是的函數(shù)有（

）A． B．C． D．練習(xí)8．（2022秋·吉林·高三吉林毓文中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，函數(shù)的最大值是__．練習(xí)9．（2023·山東菏澤·山東省東明縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則的最小值為______．練習(xí)10．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）若不等式對(duì)恒成立，則a的取值范圍是__________，的最小值為__________．題型三 “1”的代換求最值例5．（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）若正實(shí)數(shù)，滿足．則的最小值為（

）A．12 B．25 C．27 D．36例6．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）若直線過(guò)點(diǎn)，則的最小值為______．練習(xí)11．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知，，，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．12練習(xí)12．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（

）A．5 B．9 C．13 D．18練習(xí)13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A．20 B．32 C． D．練習(xí)14．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高三校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）已知，則的最小值是______．練習(xí)15．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值為___________.題型四 消參法求最值例7．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）已知，且，則的最小值為__________.例8．（2022秋·天津靜?！じ呷o海一中?？茧A段練習(xí)）若，且，則的最大值為___________.練習(xí)16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，且，則（

）A．有最小值為 B．有最小值為C．有最大值為 D．有最大值為練習(xí)17．（2022秋·江蘇常州·高三江蘇省奔牛高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，，則的最小值為（）A． B．1 C． D．練習(xí)18．（2022秋·陜西西安·高三西安市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．練習(xí)19．（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)校考期中）正數(shù)a，b滿足，則的最小值為______；的最大值為______．練習(xí)20．（2023·浙江·二模）若，則的取值范圍是______.題型五 商式求最值例9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè),則的最小值為（

）A．0 B．1 C．2 D．4例10．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的最小值（1）；（2）；（3）.練習(xí)21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16練習(xí)22．（2021秋·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)市第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，則的最大值是（

）A． B． C． D．練習(xí)23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則函數(shù)的最小值是______．練習(xí)24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則最大值為______．練習(xí)25．（2021秋·江蘇徐州·高三?？茧A段練習(xí)）若存在，使成立，則的取值范圍是___________.題型六 對(duì)勾函數(shù)求最值例11．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)，則的取值范圍是______．例12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知關(guān)于的的解集是，則（

）A．B．C．關(guān)于的不等式的解集是D．的最小值是練習(xí)26．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．練習(xí)27．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·高三東北師大附中?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．練習(xí)28．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的不等式的解集為，其中，則的最小值為（

）A．－4 B．4 C．5 D．8練習(xí)29．（2023秋·江蘇常州·高三統(tǒng)考期末）（多選）下列函數(shù)中，以3為最小值的函數(shù)有（

）．A． B．C． D．練習(xí)30．（2022秋·高三?？计谥校ǘ噙x）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則有最小值 B．若，則有最小值C．若，則有最大值 D．若，則有最大值題型七 利用基本不等式證明不等式例13．（2023·貴州黔西·校考一模）設(shè)，，均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)．例14．（2021秋·廣西欽州·高二?？计谥校┳C明：(1)；(2)．練習(xí)31．已知，，，證明：(1)；(2)．練習(xí)32．已知，，且．(1)求的最小值；(2)證明：．練習(xí)33．（2022秋·云南昆明·高一云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）求函數(shù)的最大值；（2）已知，求證：．練習(xí)34．已知，且，求證：(1)；(2).練習(xí)35．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）證明：.題型八 利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題例15．目前，我國(guó)汽車工業(yè)迎來(lái)了巨大的革命時(shí)代，確保汽車產(chǎn)業(yè)可持續(xù)發(fā)展，國(guó)內(nèi)汽車市場(chǎng)正由傳統(tǒng)燃油車向新能源、智能網(wǎng)聯(lián)汽車升級(jí)轉(zhuǎn)型.某汽車企業(yè)決定生產(chǎn)一種智能網(wǎng)聯(lián)新型汽車，生產(chǎn)這種新型汽車的月成本為400（萬(wàn)元），每生產(chǎn)x臺(tái)這種汽車，另需投入成本（萬(wàn)元），當(dāng)月產(chǎn)量不足40臺(tái)時(shí)，（萬(wàn)元）；當(dāng)月產(chǎn)量不小于40臺(tái)時(shí)，（萬(wàn)元）．若每臺(tái)汽車售價(jià)為20（萬(wàn)元），且該車型供不應(yīng)求．(1)求月利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于月產(chǎn)量x（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；(2)月產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)能獲得最大月利潤(rùn)?并求出最大月利潤(rùn)．例16．（2022秋·浙江衢州·高一?？计谥校┤鐖D，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場(chǎng)所，它的主體造型平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為的十字形地域．計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價(jià)為元；在四個(gè)相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價(jià)為元；再在四個(gè)空角（圖中四個(gè)三角形）上鋪草坪，造價(jià)為元．受地域影響，AD的長(zhǎng)度最多能達(dá)到，其余邊長(zhǎng)沒有限制．(1)設(shè)總價(jià)為（單位：元），AD長(zhǎng)為（單位：），試建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)為何值時(shí)，最?。坎⑶蟪鲞@個(gè)最小值．練習(xí)36．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，有一批材料長(zhǎng)為24m，如果用材料在一邊靠墻（墻足夠長(zhǎng)）的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地，中間用同樣的材料隔成兩個(gè)面積相等的矩形，那么圍成的矩形場(chǎng)地的最大面積是多少？練習(xí)37．（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知某公司計(jì)劃生產(chǎn)一批產(chǎn)品總共萬(wàn)件（），其成本為（萬(wàn)元/萬(wàn)件），其廣告宣傳總費(fèi)用為萬(wàn)元，若將其銷售價(jià)格定為萬(wàn)元/萬(wàn)件．(1)將該批產(chǎn)品的利潤(rùn)（萬(wàn)元）表示為的函數(shù)；(2)當(dāng)廣告宣傳總費(fèi)用為多少萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元?練習(xí)38.為響應(yīng)國(guó)家“降碳減排”號(hào)召，新能源汽車得到蓬勃發(fā)展，而電池是新能源汽車最核心的部件之一.湖南某企業(yè)為抓住新能源汽車發(fā)展帶來(lái)的歷史性機(jī)遇，決定開發(fā)生產(chǎn)一款新能源電池設(shè)備.生產(chǎn)這款設(shè)備的年固定成本為200萬(wàn)元，每生產(chǎn)臺(tái)需要另投入成本（萬(wàn)元），當(dāng)年產(chǎn)量不足45臺(tái)時(shí)，萬(wàn)元，當(dāng)年產(chǎn)量不少于45臺(tái)時(shí)，萬(wàn)元.若每臺(tái)設(shè)備的售價(jià)與銷售量的關(guān)系式為萬(wàn)元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)新能源電池設(shè)備能全部售完.(1)求年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；(2)年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這一款新能源電池設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大？最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？練習(xí)39．（2022·高三課時(shí)練習(xí)）用的材料制造某種長(zhǎng)方體形狀的無(wú)蓋車廂，按交通部門的規(guī)定車廂寬度為2m，則車廂的最大容積是______．練習(xí)40．（2022秋·安徽馬鞍山·高三安徽工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）如圖，安工大附中欲利用原有的墻（墻足夠長(zhǎng)）為背面，建造一間長(zhǎng)方體形狀的房屋作為體育器材室.房屋地面面積為，高度為3m.若房屋側(cè)面和正面每平方米的造價(jià)均為1000元，屋頂?shù)脑靸r(jià)為6000元，且不計(jì)房屋背面和地面的費(fèi)用，則該房屋的最低總造價(jià)為______元.題型九 基本不等式與其余知識(shí)的綜合應(yīng)用例17．（2023·浙江·二模）記為正數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是等差數(shù)列.(1)求；(2)求最小的正整數(shù)，