2024-2025學年遼寧省重點高中高一（上）第一次月考數學試卷

一、單選題1．設集合U＝{x∈N*|x≤5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，，＞A．有最小值2B．有最大值2C．有最小值﹣2D．有最大值﹣24．若不等式ax2﹣x﹣c＞0的解集為{x|﹣1＜x則函數f（x）＝cx2﹣x﹣a的圖象可以為()B.C．D.5．已知a，b為互不相等的正實數，則下列四個數中最大的數是()6．已知集合M＝{x|x2﹣3x+2＝0}，N＝{x|x2﹣ax+3a﹣5＝0}，若M∪N＝M，則實數a的取值集合是()A.?B．{2}C．{a|2＜a＜10}D．{a|2≤a＜10}7．手機屏幕面積與整機面積的比值叫手機的“屏占比”，它是手機外觀設計中一個重要參數，其值通常在（0，1）之間．設計師將某手機的屏幕面積和整機面積同時增加相同的數量，升級為一款新的手機外觀，則該手機“屏占比”和升級前比有什么變化()8．已知命題p：?x∈[1，3]，x2﹣ax+4＜0是真命題，則p的一個必要不充分條件是()A．a＜5B．a＞3C．a＜4D．a＞4二、多選題（多選）9．已知a＞b，c＞d＞0，則()A．a﹣d＞b﹣cB．ac＞bdC．ac2＞bc2D.>（多選）10．若關于x的不等式x2﹣2x+m≤0的解集中恰有3個整數，則實數m的取值可以是()（多選）11．已知a，b為正實數，且ab+2a+b＝16，則()A．ab的最大值為8B．2a+b的最小值為8C．a+b的最小值為63?3D．的最小值為三、填空題12．已知集合A＝{1}，集合B＝{x∈N|x＜3}，則滿足關系A?P?B的所有集合P為13．對班級40名學生調查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結果：贊成A的人數是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成，另外，對A、B都不贊成的學生數比對A、B都贊成的學生數的三分之一多1人，問對A、B都贊成的學生有人.14．正實數a、b滿足：a2﹣b2＝2，且則的取值范圍為；實數c的最小值四、解答題（1）若A∩B≠?,求實數a的取值范圍；（2）命題p：x∈A，命題q：x∈B，若q是p的必要條件，求實數a的取值范圍.16．根據要求完成下列問題：（1）解關于x的不等式（m+1）x2﹣2mx+m﹣1≥0（m∈R（2）若不等式（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1≥0（m∈R）對任意恒成立，求實數m的取值范圍.17．要在墻上開一個上半部為半圓形、下部為矩形的窗戶（如圖所示在窗框為定長的條件下，要使窗戶能夠透過最多的光線，窗戶應設計成怎樣的尺寸？18．如圖，鐵路線上AB段長100千米，工廠C到鐵路的距離CA為20千米．現要在AB上某一點D處，向C修一條公路，已知鐵路每噸千米的運費與公路每噸千米的運費之比為3：5．為了使原料從供應站B運到工廠C的運費最少，D點應選在何處？19．根據要求完成下列問題：（1）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x2+2x﹣8＞0}，集合C＝{x|x2﹣4tx+3t2<0}，且（A∩B）?C，求實數t的取值范圍；（2）關于x的二次方程x2+（m﹣1）x+1＝0在區(qū)間[0，2]內有實數解，求實數m的取值范圍.20．已知集合A為非空數集．定義：S＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，T＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}.(Ⅲ)若集合．A?{x|0≤x≤2024，x∈N}，S∩T=?,記|A|為集合A中元素的個數，求|A|的最大值.一、單選題1．設集合U＝{x∈N*|x≤5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，）＝故選：A.2．命題p：?x∈I，＞0，則?p是【解答】解：由全稱命題的否定是特稱命題知：原命題的否定為?x∈I，≤0或x﹣1＝0.故選：D.A．有最小值2B．有最大值2C．有最小值﹣2D．有最大值﹣2【解答】解：∵a＜0，則≤﹣2，即函數有最大值﹣2故選：D.4．若不等式ax2﹣x﹣c＞0的解集為{x|﹣1＜x則函數f（x）＝cx2﹣x﹣a的圖象可以為()B.D.【解答】解：根據題意，不等式ax2﹣x﹣c＞0的解集為{x|﹣1＜x則方程ax2﹣x﹣c＝0的解為x1=﹣1或x2=，且a＜0，則有解可得函數f（x）＝cx2﹣x﹣a=﹣x2﹣x+2，是開口向下，對稱軸為的二次函數，故選：C.5．已知a，b為互不相等的正實數，則下列四個數中最大的數是()∴下列四個數中最大的數是故選：B.6．已知集合M＝{x|x2﹣3x+2＝0}，N＝{x|x2﹣ax+3a﹣5＝0}，若M∪N＝M，則實數a的取值集合是A.?B．{2}C．{a|2＜a＜10}D．{a|2≤a＜10}【解答】解：方程x2﹣3x+2＝0的根為x＝1或x＝2，即M＝{1，2}，若M∪N＝M，則N?M，當N=?時，有Δ=a2﹣4（3a﹣5）＜0，解得2＜a＜10；當時，有5=2，方程組無解；綜上可得，實數a的取值集合為{a|2≤a＜10}.故選：D.7．手機屏幕面積與整機面積的比值叫手機的“屏占比”，它是手機外觀設計中一個重要參數，其值通常在（0，1）之間．設計師將某手機的屏幕面積和整機面積同時增加相同的數量，升級為一款新的手機外觀，則該手機“屏占比”和升級前比有什么變化()【解答】解：設原來手機屏幕面積為b，整機面積為a，則屏占比設手機的屏幕面積和整機面積同時增加相同的數量為m（0＜m＜1升級后屏占比即該手機“屏占比”和升級前比變大.故選：C.8．已知命題p：?x∈[1，3]，x2﹣ax+4＜0是真命題，則p的一個必要不充分條件是()A．a＜5B．a＞3C．a＜4D．a＞4【解答】解：因為?x∈[1，3]，x2﹣ax+4＜0，所以當時，a＞min，因為當且僅當即x＝2時，等號成立，所以a＞4是p的充要條件，因為a＞4?a＞3，但a＞3不能推出a＞4，所以a＞3是p的一個必要不充分條件，故選：B.二、多選題（多選）9．已知a＞b，c＞d＞0，則()A．a﹣d＞b﹣cB．ac＞bdC．ac2＞bc2D.【解答】解：對于A，由已知條件得a＞b且﹣d＞﹣c，相加得a﹣d＞b﹣c，故A正確，對于B，當a=﹣1，b=﹣2，c＝2，d＝1時ac＞bd不成立，故B錯誤，對于C，因為a＞b，c2＞0，所以ac2＞bc2，故C正確，abac?bdab對于，當a=﹣1，b=﹣2，c＝2，d＝1時d＞c不成立，故abac?bdab（多選）10．若關于x的不等式x2﹣2x+m≤0的解集中恰有3個整數，則實數m的取值可以是()【解答】解：函數f（x）＝x2﹣2x+m，圖像拋物線開口向上，對稱軸方程為x＝1，當x＝1時，f（x）取最小值，不等式x2﹣2x+m≤0的解集中恰有3個整數，這3個整數為0，1，2，所以2+m＞0，解得﹣3＜m≤0，實數m的取值范圍是(﹣3，0].故選：BC.（多選）11．已知a，b為正實數，且ab+2a+b＝16，則()A．ab的最大值為8B．2a+b的最小值為8C．a+b的最小值為63?3D．+的最小值為【解答】解：對于A，因為16=ab+2a+b≥ab+22ab，當且僅當2a＝b時取等號，即ab+22ab?16≤0，當且僅當2a＝b時取等號，解得?42≤ab≤22，當且僅當2a＝b時取等號，又因為a，b為正實數，所以0＜ab≤8，故ab的最大值為8，當且僅當2a＝b時取等號，故選項A正確；對于B，由16＝ab+2a+b得：b=當且僅當，即a＝2時取等號，此時取得最小值8，故選項B正確；當且僅當a+1=，即a=3時取等號，故選項C不正確；當且僅當a+1＝b+2時取等號，此時取得最小值，故選項D正確.故選：ABD.三、填空題12．已知集合A＝{1}，集合B＝{x∈N|x＜3}，則滿足關系A?P?B的所有集合P為{1}，{0，1}，{1，【解答】解：∵集合B＝{x∈N|x＜3}，若集合A＝{1}，且A?P?B，13．對班級40名學生調查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結果：贊成A的人數是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成，另外，對A、B都不贊成的學生數比對A、B都贊成的學生數的三分之一多1人，問對A、B都贊成的學生有18人.【解答】解：贊成A的人數是=24人，贊成B的人數為24+3＝27人，設對A、B都贊成的學生數為x，則對A、B都不贊成的學生數為，設40名學生組成的集合為U，贊成A的學生全體為集合A，贊成集合B的學生全體為集合B，作出韋恩圖得：由韋恩圖得x+1+24?x+x+27?x=40，解得x＝18.故答案為：18.14．正實數a、b滿足：a2﹣b2＝2，且則的取值范圍為（0，1實數c的最小值為2.解：令0有a2﹣a2?t2＝2，則a2=得到1﹣t2＞0，解得0＜t＜1，所以的取值范圍為（0，1t2+2t+，t∈（0，1設二次函數根據二次函數性質可知＜y＜2，故＜2，所以c≥2，即實數c的最小值為2.故答案為0，12.四、解答題（1）若A∩B≠?,求實數a的取值范圍；（2）命題p：x∈A，命題q：x∈B，若q是p的必要條件，求實數a的取值范圍.【解答】解1）不等式<?1，即＜0，解得2＜x＜3，所以A＝{x|2＜x不等式恒成立，所以a2+2＞a，故解集為{x|a＜x＜a2+2}，即B＝{x|a＜x＜a2+2}，若A∩B=?,則有a≥3或a2+2≤2，解得解集為M＝{a|a＝0或a≥3}，因為A∩B≠?,所以a的取值范圍是?UM＝{a|a＜0或0＜a＜3}.（2）由q是p的必要條件，可得p?q，所以A?B，A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|a＜x＜a2+2}，所以≥3，解得a≤﹣1或1≤a≤2，16．根據要求完成下列問題：（1）解關于x的不等式（m+1）x2﹣2mx+m﹣1≥0（m∈R（2）若不等式（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1≥0（m∈R）對任意恒成立，求實數m的取值范圍.【解答】解1）因為（m+1）x2﹣2mx+m﹣1≥0，當m+1＝0時，即m=﹣1時，原不等式可化為2x﹣2≥0，解得x≥1，所以原不等式的解集為[1，+∞);當m+1≠0時，即m=﹣1時，原不等式可化為[（m+1）x﹣（m﹣1）]（x﹣1）≥0，當m+1＞0時，即m1時，因為所以原不等式的解集為當m+1＜0時，即m<﹣1時，因為所以原不等式的解集為[1，；（2）因為（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1≥0，即m?（x2﹣x+1）≥﹣x2﹣x+1，因為x2?x+1=＞0恒成立，所以所以m≥?1+?1對于一切t∈恒成立，因為t+≥2，當且僅當t＝1時取等號，所以max=1，所以m≥1，且僅當x＝0時取等號，即實數m的取值范圍為[1，+∞).17．要在墻上開一個上半部為半圓形、下部為矩形的窗戶（如圖所示在窗框為定長的條件下，要使窗戶能夠透過最多的光線，窗戶應設計成怎樣的尺寸？【解答】解：∵窗框的用料是am，∴假設AD＝2x，AB=∴窗子的面積為：S＝2x?πx2＝x2+ax，當時，此時面積最大，窗戶能夠透過最多的光線.∴半圓直徑與矩形的高的比為2：1，窗戶能夠透過最多的光線.18．如圖，鐵路線上AB段長100千米，工廠C到鐵路的距離CA為20千米．現要在AB上某一點D處，向C修一條公路，已知鐵路每噸千米的運費與公路每噸千米的運費之比為3：5．為了使原料從供應站B運到工廠C的運費最少，D點應選在何處？【解答】解設|DA|＝x（千米鐵路噸千米運費為3a，公路噸千米運費為5a，從B到C的總運費為y，則依題意，得y=3a(100?x)+5a400+x2，x∈(0，100).平方，整理得16x2﹣6tx+10000﹣t2＝0由Δ=36t2﹣4×16（10000﹣t2）≥0，得|t|≥80.將t＝80代入方程（1解得x＝15，這時t最小，y最小.即當D點選在距A點15千米處時，總運費最省.19．根據要求完成下列問題：（1）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x2+2x﹣8＞0}，集合C＝{x|x2﹣4tx+3t2<0}，且（A∩B）?C，求實數t的取值范圍；（2）關于x的二次方程x2+（m﹣1）x+1＝0在區(qū)間[0，2]內有實數解，求實數m的取值范圍.【解答】解1）A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|（x+2x﹣30}＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x2+2x﹣8＞0}＝{x|（x+4x﹣20}＝{x|x<﹣4或x＞2}，則A∩B＝{x|2＜x＜3}；C＝{x|x2﹣4tx+3t2＜0}＝{x|（x﹣tx﹣3t0}，因為（A∩B）?C，當t＝0時，C=?,不合題意，舍去；當t＜0時，C＝{x|3t＜x＜t}，不合題意，舍去；當t＞0時，C＝{x|t＜x＜3t}，由（A∩B）?C可得{x|t≤2且3t≥3，解得1≤t≤2，綜上所述，實數t的取值范圍為{t|1≤t≤2}；（2）設函數f（x）＝x2+（m﹣1）x+1，①若x2+（m﹣1）x+1＝0有唯一實數解時，Δ=（m﹣1）2﹣4＝0，即m2﹣2m﹣3m﹣3m+10，解得m=﹣1或m＝3，當m=﹣1時，原方程可化為x2﹣2x+1x﹣1）2＝0，解得x＝1，符合題意；當m＝3時，原不等式可化為x2+2x+1x+1）2＝0，解得x=﹣1，不合題意舍去，②若x2+（m﹣1）x+1＝0有兩個不相等的實數解