期末考試押題卷二（考試范圍：蘇教版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

期末考試押題卷二（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測試范圍：蘇教版2019選擇性必修第一冊5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．方程表示一個圓，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，得，解得.故選：B2．已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則（

）A．81 B．86 C．88 D．192【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為.因為，，所以兩式相減得，所以.又，所以，所以.故選：C3．在平面直角坐標系中，原點到直線：與：的交點的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以交點坐標為，所以原點到交點的距離為，故選：C.4．設(shè)函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，又，則，則.故選：A.5．數(shù)列的前項和為，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，當時，，當時，由得，兩式相減并整理得，所以數(shù)列從第項起是等比數(shù)列，則，即，所以.故選：D6．已知圓，直線，設(shè)圓上恰有兩個點到直線的距離等于1．則的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．或【答案】D【解析】圓，化簡為標準方程為，則圓的圓心為，半徑，若圓上恰有兩個點到直線的距離等于1，則圓心到直線的距離，,即，得或故選：D7．拋物線的焦點為F，點P在雙曲線C：的一條漸近線上，O為坐標原點，若，則△PFO的面積為（

）A．1 B． C．或 D．或【答案】D【解析】拋物線的焦點為，雙曲線C：的漸近線為，不妨取，設(shè)，，解得或，或.故選：D8．已知函數(shù)在上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不符合題意.當，時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不符合題意.當時，令，解得，要使在區(qū)間上不單調(diào)，則，即，解得，此時在區(qū)間上遞減；在區(qū)間上遞增.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知是等差數(shù)列，其前n項和為，是等比數(shù)列，且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的首項為q，由，得，，，由，，得方程組，解得，所以，，，.故選：ACD.10．設(shè)直線：，：，則（

）A．與平行 B．與相交C．與的交點在圓上 D．與的交點在圓外【答案】BC【解析】由題意，直線，兩直線斜率分別為，，故兩直線相交，選項A錯誤，B正確；聯(lián)立，解得，故兩直線交點為，由，得交點在圓上.故C正確，D錯誤.故選：BC.11．直角坐標系中橢圓的中心為原點，焦點在坐標軸上，點，均在橢圓上，則（

）A．橢圓的離心率為B．直線：與橢圓相交C．橢圓的短軸長為2D．橢圓上兩點中點坐標為，則直線的斜率【答案】BCD【解析】設(shè)橢圓方程為，，且，則，解得，所以橢圓方程為，所以，，，，故A錯；直線的方程可整理為，令，解得，所以直線恒過定點，因為，所以點在橢圓內(nèi)，所以直線與橢圓相交，故B正確；，所以短軸長為2，故C正確；設(shè)，，則，，兩式相減得，因為中點為，所以，，所以，整理得，故D正確.故選：BCD.12．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．有且只有一個零點B．C．，直線與的圖象相切D．【答案】AD【解析】因為，所以在上單調(diào)遞減，，A正確.當時，，當時，，B錯誤.，不可能存在斜率為的切線，C錯誤.因為，所以，D正確.故選：AD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．記數(shù)列的前n項和為，若等差數(shù)列的首項為5，第4項為8，則．【答案】23【解析】法1：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得，所以，所以，所以；法2：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得，所以，所以，當時，，所以.故答案為：2314．由動點向圓引兩條切線，切點分別為，，則動點的軌跡方程為.【答案】【解析】如圖所示，因為，可得，又因為，所以，設(shè)，則，即.故答案為：.15．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點作直線分別交雙曲線左支和一條漸近線于點（在同一象限內(nèi)），且滿足．聯(lián)結(jié)，滿足．若該雙曲線的離心率為，求的值．【答案】【解析】不妨設(shè)，由得，化簡得（1），在雙曲線上，∴，即，代入（1）解得，，，又在漸近線上，，即．兩邊平方得（2），將和代入（2）得，化簡得，解得或（舍去），即，化簡得.故答案為：.16．已知，則不等式的解集為.【答案】【解析】不等式可化為：，當時，，又，；令，則，，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，，，，即當時，，，即不等式的解集為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）已知函數(shù)的圖象過點，且.(1)求，的值；(2)求曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積.【解析】（1）由，得，由題意可得，，解得；（2）由（1）得，，，∴，，∴曲線在點處的切線方程為，即.取，得，取，得.∴曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積.18．（12分）已知點，曲線上任意一點均滿足.(1)求的軌跡方程；(2)過點的直線與交于兩點，證明：．【解析】（1）設(shè)的坐標，由，得，化簡，得，即.故的軌跡方程為.（2）當與軸垂直時，為的垂直平分線，所以當與軸不垂直時，設(shè)的方程為，，將代入得.所以，.則直線的斜率之和為由得.則.從而，故的傾斜角互補，所以.綜上，方法二：當與軸重合時，.當與軸不重合時，設(shè)的方程為，，將代入得.所以，.則直線的斜率之和為.由得.則.從而，故的傾斜角互補，所以.綜上，.方法三：由題意，，所以，在中由正弦定理知①②因為，所以，①②得，又，所以.19．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且，數(shù)列為等差數(shù)列，，.(1)求，的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.【解析】（1）當時，，解得.當時，,，兩式相減得，即，所以是首項、公比均為2的等比數(shù)列，故.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，可得，又，所以，解得，故.（2）令，由（1）知，則，①，②①—②，得，所以.20．（12分）雙曲線：的漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為1.(1)求的方程；(2)是否存在直線，經(jīng)過點且與雙曲線于A，兩點，為線段的中點，若存在，求的方程；若不存在，說明理由.【解析】（1）令，所以，又由題意可知雙曲線的焦點到漸近線的距離，所以雙曲線的標準方程為：；（2）假設(shè)存在，由題意知：該直線的斜率存在，設(shè)，，直線的斜率為，則，，又有，，兩式相減得，即即，所以，解得，所以直線的方程為，即，聯(lián)立直線與雙曲線方程得：，即直線與雙曲線有兩個交點，滿足條件，所以存在直線，其方程為.21．（12分）已知橢圓C：的左焦點為，點在C上.(1)求橢圓C的標準方程.(2)過F的兩條互相垂直的直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，若線段AB，PQ的中點分別為M，N，且過F作直線MN的垂線，垂足為D，證明：存在定點H，使得為定值.【解析】（1）解法一，由題意知，又，所以，把點代入橢圓方程得，解得，故橢圓C的標準方程為；解法二，因為橢圓C的左焦點為，所以，設(shè)C的右焦點為，則，橢圓上點與點的橫坐標相同，所以點到點的距離為通徑長的一半，由得知，，又，所以，得，，故橢圓C的標準方程為；（2）解法一，當直線AB，PQ的斜率均存在且不為0時，設(shè)直線AB的方程為，，，由，消去y得，則，.所以，所以.同理用代換可得.若，則，此時直線MN的斜率不存在，且直線MN的方程為，過點.若，則直線MN的斜率為，可得直線MN的方程為，化簡得，所以直線MN過定點，當直線AB，PQ的斜率一個不存在，一個為0時，直線MN的方程為，直線MN過定點，所以直線MN過定點.令H為FT的中點，則，若D與T，F(xiàn)均不重合，則由題設(shè)知FT是的斜邊，故.若D與T或F重合，則.綜上，存在定點，使得為定值.解法二，當直線AB，PQ的斜率均存在且不為0時，設(shè)直線AB的方程為，，，由，消去y得，則，.所以，所以.同理用代換可得.若，則，此時直線MN的斜率不存在，且直線MN的方程為，過點.下面證明動直線MN過定點.因為，，所以，即T，M，N三點共線，所以直線MN過定點.當直線AB，PQ的斜率一個不存在，一個為0時，直線MN的方程為，直線MN過定點.所以直線MN過定點.令H為FT的中點，則，若D與T，F(xiàn)均不重合，則由題設(shè)知FT是的斜邊，故.若D與T或F重合，則.綜上，存在定點，使得為定值.22．（12分）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的零點個數(shù).(2)若關(guān)于的方程有兩個不同實根，求實數(shù)的取值范圍并證明.【解析】（