重慶市烏江新高考協(xié)作體2025屆高三上學期高考質(zhì)量調(diào)研（一）（9月）數(shù)學試題 含解析

重慶市烏江新高考協(xié)作體2025屆高考質(zhì)量調(diào)研（一）數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)z滿足，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的乘方運算法則，結(jié)合復數(shù)模的運算公式進行求解即可.【詳解】∵，∴，∴，故選：C2.下列命題中的真命題是（）A.互余的兩個角不相等 B.相等的兩個角是同位角C.若，則 D.三角形的一個外角等于和它不相鄰的一個內(nèi)角【答案】C【解析】【分析】由兩角互余的概念可判斷A；可舉對頂角相等判斷B；運用平方差公式，可判斷C；運用三角形外角的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對于A，互余的兩個角可能相等，比如都為，故A錯誤；對于B，相等的兩個角可以是對頂角，故B錯誤；對于C，若，則，即或，則，故C正確；對于D，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和，故D錯誤；故選：C3.若向量，且，則（）A. B.2 C. D.1【答案】C【解析】【分析】利用向量線性坐標運算及向量共線的坐標表示求解，再代入求模即可.【詳解】由已知，得，因為，所以，解得，則，故選：C.4.以下關(guān)于統(tǒng)計分析的描述，哪一個是正確的？（）A.樣本均值越接近總體均值，樣本的代表性越好．B.樣本標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越?。瓹.相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1，表示兩個變量的線性關(guān)系越弱．D.決定系數(shù)R2越接近1，模型的解釋能力越強．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)均值、標準差、相關(guān)系數(shù)、決定系數(shù)的含義即可判斷.【詳解】對于A，樣本均值不能表示樣本的代表性，A錯；對于B，樣本標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，B錯；對于C，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1，表示兩個變量的線性關(guān)系越強，C錯；對于D，決定系數(shù)R2越接近1，模型的解釋能力越強，D對.故選：D5.已知雙曲線的左右焦點分別為，過點且與漸近線垂直的直線與雙曲線左右兩支分別交于兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得到漸近線的距離為，從而可求得的值，再在中利用正弦定理求出，然后結(jié)合雙曲線的定義和余弦定理求解即可.【詳解】由題意知，點到漸近線的距離為，所以，因為，，所以，所以，因為，所以，得，則，在中，由正弦定理得，即，得，由雙曲線的定義知，所以，在中，由余弦定理得，即，整理得，即，所以離心率為.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查雙曲線離心率的求法，熟練掌握雙曲線的定義與幾何性質(zhì)結(jié)合正、余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和計算能力，屬于較難題.6.已知函數(shù)圖象的對稱軸方程為，．則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)的對稱軸可得即可求得，利用函數(shù)的對稱性可得，則，即可求得的值，得到函數(shù)解析式，代入即可求解．【詳解】當時，，又函數(shù)對稱軸為，，則函數(shù)周期，，函數(shù)，對稱軸為，，與題干不符；當時，，其中，由函數(shù)圖象的對稱軸方程為，得的最小正周期，所以，所以，由函數(shù)圖象的對稱軸方程為，得，令，得，即，得，所以，則．故選：C．7.三棱錐的側(cè)棱是它的外接球的直徑，且，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)是三棱錐外接球的直徑，先找到垂直條件，求出，，再作出三棱錐的高，在中，用余弦定理求得，再結(jié)合垂直關(guān)系求得，設(shè)，表示出，在中，用余弦定理列等式求得，再套入三棱錐體積公式求解即可.【詳解】取的中點，則三棱錐的外接球是球，半徑為，因為是球的直徑，在球的球面上，所以，，，過點作平面，垂足為，連接，因為平面，平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以，在中，由余弦定理，所以，，設(shè)，因為平面，平面，所以，，，在中，由余弦定理，解得，.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于底面三角形運用余弦定理的處理，以及三棱錐高的求解.8.已知在函數(shù)的圖像上存在四個點構(gòu)成一個以原點為對稱中心的平行四邊形，則一定有：（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過對稱性將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點的問題,因為變量比較多，構(gòu)造的函數(shù)較復雜，我們可以先計算較較簡單選項，然后利用排除法即可.【詳解】由題可知，原點線段中點，不妨設(shè)則有分別相加得相當于方程，在0,+∞有兩個不同的根，即在0,+∞有兩個不同的交點，顯然，即在有三個不同的交點，得示意圖由示意圖可知該函數(shù)需要在0,+∞求導即導函數(shù)需要在0,+∞當時，顯然在0,+∞單調(diào)遞減，故不可能在0,+∞有兩個不同的零點，當時，有兩個不同零點，即在0,+∞有兩個不同的根，此時由韋達定理可知得，故AD錯誤；因為，，故B錯誤；由題可知，當時，當時，，因為，得,故C正確.故選：C【點睛】先利用對稱性，將對稱問題轉(zhuǎn)化為交點問題，最后轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題，因為構(gòu)造的函數(shù)有三個零點且連續(xù)，所以有兩個極值點，然后討論其導函數(shù)的解的問題，先判斷簡單選項，再判斷復雜選項即可.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分.9.設(shè)，曲線在點處切線的斜率為，與x軸的交點為，與y軸的交點為，則（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】應用導數(shù)的幾何意義判斷A,結(jié)合數(shù)列的基礎(chǔ)運算判斷B,C,D．【詳解】由于，所以，切線方程為，從而，．，A錯誤；，B正確；，C正確；，，D錯誤．故選：BC.10.在平面直角坐標系中，已知圓的動弦，圓，則下列選項正確的是（）A.當圓和圓存在公共點時，則實數(shù)的取值范圍為B.的面積最大值為1C.若原點始終在動弦上，則不是定值D.若動點滿足四邊形為矩形，則點的軌跡長度為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)兩圓位置關(guān)系列不等式求解實數(shù)的范圍判斷A，根據(jù)三角形面積結(jié)合正弦函數(shù)可求出面積最大值判斷B，分類討論，設(shè)直線方程，利用韋達定理結(jié)合數(shù)量積數(shù)量積坐標運算求解判斷C，先根據(jù)矩形性質(zhì)結(jié)合垂徑定理得到點的軌跡，然后利用圓的周長公式求解判斷D.【詳解】對于A，圓的圓心為1,0，半徑為，圓的圓心為，半徑為，當圓和圓存在公共點時，，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為，正確；對于B，的面積為，當時，的面積有最大值為1，正確；對于C，當弦垂直x軸時，，所以，當弦不垂直x軸時，設(shè)弦所在直線為，與圓聯(lián)立得，，設(shè)，則，，綜上，恒為定值，錯誤；對于D，設(shè)Px0,y0，OP中點，該點也是又，所以，化簡得，所以點的軌跡為以1,0為圓心，半徑為的圓，其周長為長度為，正確.故選：ABD11.已知函數(shù)和，則下列說法正確的有（）A.若有兩個相同的實數(shù)根，則函數(shù)經(jīng)過一二四象限B.的圖象和一個以為圓心，1為半徑的圓沒有交點C.可以時取到最小值D.若有兩個不同零點，設(shè)這兩個零點分別為、（在的左邊）在時，若的最小值等于，則是不可能成立的【答案】BC【解析】【分析】由gx=0有兩個相同的實數(shù)根，得出，取即可判斷A；由兩點之間距離公式及基本不等式即可判斷B；由基本不等式即可判斷C；由基本不等式及韋達定理即可判斷D．【詳解】對于A，若gx=0有兩個相同的實數(shù)根，則，即，所以，則函數(shù)，當時，函數(shù)，圖象過一二象限，故A錯誤；對于B，，設(shè)1,0為點，設(shè)函數(shù)的圖象上一動點坐標為，則，，當且僅當或時，等號成立，當時，，，當時，，，所以，所以的圖象和一個以1,0為圓心，1為半徑的圓沒有交點，故B正確；對于C，當時，，設(shè)，，則，當且僅當時，即時等號成立，，所以可以在時取到最小值，故C正確；對于D，若有兩個不同零點，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以，，在時，，設(shè)，則，所以，當且僅當，即時取等號，此時，則，若，則，即，解得，則存在，，故D錯誤；故選：BC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和，若，則______．【答案】13【解析】【分析】利用等比數(shù)列的前n項和公式，結(jié)合已知求出，繼而化簡，即可求得答案.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為q，由題意，顯然，且，則，解得，所以．故答案為：1313.若，，且，則的最小值為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式以及差角公式可得，進而得到，然后中用代換，化簡后利用基本不等式求出最值.【詳解】由得，，又，所以，所以，所以，因為，，，所以，則，即，當且僅當時，即時等號成立.故答案為：.14.對于兩個事件M，N，若，，稱為事件M，N的相關(guān)系數(shù).在春暖花開、風和葉翠的季節(jié)，小張、小李、小王、小劉四人都計劃周末去踏青，現(xiàn)有四個可出游的景點：南湖、凈月、蓮花山和天定山，若事件M：凈月景點至少有一人：事件N：蓮花山和天定山兩個景點恰有一個景點無人，則事件M，N的相關(guān)系數(shù)為______.【答案】##【解析】【分析】先求事件，，的概率，再按定義求事件，的的相關(guān)系數(shù).【詳解】事件事件M：凈月景點至少有一人，則事件：凈月景點無人，則，所以；事件N：蓮花山和天定山兩個景點恰有一個景點無人，所以，所以.事件：凈月景點至少有一人，蓮花山和天定山兩個景點恰有一個景點無人，所以.故答案為：.【點睛】方法點睛：解決組合綜合題目，要先分類，再分布.在求事件所包含的基本事件個數(shù)時，按凈月景點的人數(shù)為1，2，3分類，再選定蓮花山和天定山中一個景點無人，則另一個景點必須有人，按人數(shù)分類，最后討論剩下的人員的安排.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求角A；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意利用邊化角可得，再利用結(jié)合和差公式化簡得，繼而即可求解.（2）利用和差公式，由可得，繼而可得，，由（1）的結(jié)論，結(jié)合正弦定理及，可得，根據(jù)，利用和差公式可得，再由面積公式即可求解.【小問1詳解】，由正弦定理得，即，，，，，，．【小問2詳解】，，，，，由，得，，.16.設(shè)數(shù)列an的前項和為，且滿足.（1）求an（2）設(shè)，數(shù)列bn的前項和為，若對任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)與之間的關(guān)系分析可知數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，進而可得通項公式；（2）由（1）可知：，利用錯位相減法可得，結(jié)合恒成立問題分析求解即可.【小問1詳解】因為，當時，由，解得；當時，則，兩方程相減得，即；可知數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.【小問2詳解】由（1）可知：，則，，兩式相減得，可得，即.因為，可知是單調(diào)遞增數(shù)列，且，可得，因為對任意的恒成立，可得，解得，所以的取值范圍為.17.已知函數(shù)，且恒成立．（1）求實數(shù)的取值集合；（2）證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題可知只需證明，利用導數(shù)研究函數(shù)最小值即可；（2）先利用（1）進行放縮，再構(gòu)造函數(shù)證明即可.【小問1詳解】．①當時，在0,+∞上單調(diào)遞減，當時，，這與矛盾，不合題意.②當時，由f′x<0得；由f′則fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時，函數(shù)取得唯一極小值即最小值．又且f1，解得，故實數(shù)的取值集合是．【小問2詳解】由（1）可知：時，，即對任意恒成立．要證明：，則只需要證明，即．令,，令，令，解得．當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增．即函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．而所以存在，使得，當x∈0,x0當時，單調(diào)遞減．當x∈1,+∞時，又，對恒成立，即．綜上可得18.近年來，社交推理游戲越來越受到大眾的喜愛，它們不僅提供了娛樂和休閑的功能，還可以鍛煉玩家的邏輯推理、溝通技巧和團隊合作精神，增強社交能力和人際交往能力.某校“社交推理游戲社團”在一次活動中組織了“搜索魔法師”游戲，由1名“偵探”、6名“麻瓜”、4名“魔法師”參與游戲.游戲開始前，“偵探”是公認的，每個“麻瓜”和“魔法師”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份.游戲過程中，由“偵探”對“麻瓜”和“魔法師”逐個當眾詢問并正確應答，直至找出所有的“魔法師”為止.（1）若恰在第5次搜索才測試到第1個“魔法師”，第10次才找到最后一個“魔法師”，則這樣的不同搜索方法數(shù)是多少？（2）若恰在第5次搜索后就找出了所有“魔法師”，則這樣的不同搜索方法數(shù)是多少？（3）游戲開始，有甲、乙、丙三位同學都想爭取“偵探”的角色，主持人決定采用“擊鼓傳花”的方式來最終確認人員.三人圍成一圈，第1次由甲將花傳出，每次傳花時，傳花者都等可能地將花傳給另外兩個人中任何一人.試問，5次傳花后花在甲手上的可能線路有多少種？【答案】（1）（2）576（3）10【解析】【分析】（1）（2）根據(jù)排列組合，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理即可求解，（3）根據(jù)題意可得，，即可根據(jù)遞推關(guān)系求解.【小問1詳解】先排前4次搜索，只能取“麻瓜”，有種不同的搜索方法，再從4個“魔法師”中選2個排在第5次和第10次的位置上搜索，有種搜索方法，再排余下4個搜索位置，有種搜索方法.所以共有種不同的搜索方法.【小問2詳解】第5次搜索恰為最后一個“魔法師”，則另3個在前4次搜索中出現(xiàn)，從而前4次有一個“麻瓜”出現(xiàn)，所以共有種不同的搜索方法.【小問3詳解】由于甲是第1次傳花的人，因此第2次傳花時，甲不能再次拿到花.這意味著在第2次傳花時，花必須傳給乙或丙.同樣，第3次傳花時，花不能回到前一次傳花的人手中.因此，傳花的路線不能有連續(xù)兩次傳給同一個人的情況.設(shè)為經(jīng)過次傳花后花在甲手上的線路數(shù)，其中.則為經(jīng)過次傳花后花在甲手上的線路數(shù)，即經(jīng)過次傳花后花不在甲手上的線路數(shù)，所