第一次月考卷（5）-2024-2025學年九年級數學上學期第一次月考模擬卷（江蘇專用）

2024-2025學年九年級數學上學期第一次月考模擬卷揚州專用注意事項：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘，試題共28題。答題前，填寫好自己的姓名、班級、考號等信息，請寫在答題卡規(guī)定的位置上。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂答案，非選擇、判斷題必須使用黑色墨跡簽字筆或鋼筆答題，請將答案填寫在答題卡規(guī)定的位置上。3．考試范圍：九年級數學上冊第1-2章（蘇科版）4．所有題目必須在答題卡上作答，在試卷上作答無效。考試結束后將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（8小題，每小題3分，共24分）1．下列方程中是一元二次方程的是（

）A．ax2+bx+c=0B．x-1=0C．7x2-6=0D．2x2-5y=02．（24-25九年級上·全國·單元測試）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了（如圖），其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應該是（）A．① B．② C．③ D．④3．（23-24九年級上·江蘇南京·開學考試）下表是某公司2022年1月份至5月份的收入統(tǒng)計表．其中，2月份和5月份被墨水污染，若2月份與3月份的增長率相同，設它們的增長率為x，根據表中的信息可列方程為（

）月份12345收入/萬元10

1214

A．B．C．D．4．（2024九年級上·全國·專題練習）若是一元二次方程的兩個實數根，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2024·河南安陽·二模）如圖，圓O的弦的長度為，點A，B，C為圓周上三點，若，則圓O半徑為（

）

A．1 B．2 C． D．6．（2024·浙江杭州·一模）在實數范圍內定義一種新運算“※”，其運算規(guī)則為．根據這個規(guī)則，方程的解是（

）A． B． C．或 D．或7．（2024·遼寧鐵嶺·三模）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊三角形的三個頂點為圓心，邊長為半徑作弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”，若該“萊洛三角形”的面積為，則等邊三角形的邊長為（

）

A．1 B． C． D．28．（23-24九年級上·浙江寧波·期中）如圖，中，斜邊，內切圓I切各邊為D，E，F，連結，作交AB于G，則長為（

）A．7 B． C． D．二、填空題（10小題，每小題3分，共30分）9．（2024九年級上·江蘇·專題練習）關于x的一元二次方程有一個根為3，則另一個根為．10．（2024九年級上·江蘇·專題練習）已知是方程的根，則代數式的值為.11．（23-24八年級下·江蘇泰州·期末）如圖所示，某農戶用長的籬笆圍成一個一邊靠住房墻（墻長），且面積為的長方形花園，垂直于住房墻的一條邊留有一個寬的門，設垂直于住房墻的另一條邊的邊長為，若可列方程為，則★表示的代數式為．

12．（22-23九年級上·江蘇連云港·階段練習）平面上一點A與上點的最短距離為2，最長距離為10，則半徑為．13．（2024·黑龍江綏化·中考真題）用一個圓心角為，半徑為的扇形作一個圓錐的側面，這個圓錐的底面圓的半徑為．14．（22-23九年級上·江蘇連云港·階段練習）如圖，是的弦，是的切線，為切點，經過圓心．若，則．15．（2024·四川自貢·中考真題）龔扇是自貢“小三絕”之一．為弘揚民族傳統(tǒng)文化，某校手工興趣小組將一個廢棄的大紙杯側面剪開直接當作扇面，制作了一個龔扇模型（如圖）．扇形外側兩竹條夾角為．長，扇面的邊長為，則扇面面積為（結果保留）．16．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，的圓心為，半徑為，是直線上的一個動點，過點作的切線，切點為，則的最小值為17．（23-24九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）對于一元二次方程，下列說法：若方程有一根，則；若，則；若方程的兩個根是，，那么方程的兩個根為，；若是方程的一個根，則一定有成立．其中正確的有個．（填個數）18．（2024九年級上·江蘇·專題練習）如圖，菱形中，，于點E，F為的中點，連接．若，則的外接圓半徑為．三、解答題（10小題，共96分）19．（23-24八年級下·浙江杭州·階段練習）解方程：（1）；（2）．20．（23-24九年級上·江蘇宿遷·期中）如圖所示，在平面直角坐標系中有，請在圖中畫出外接圓的圓心P．（1）圓心P的坐標是________；（2）判斷點是否在上？21．（23-24九年級上·廣東茂名·期末）如圖，點A、B、C三個點不在一條直線上．

（1）那么經過A、B、C三個點可以畫個圓嗎？如果能，請在圖中畫出來（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；如果不能，說明理由．（2）分別連接AB、、，若是等邊三角形，邊長為6，求外接圓的半徑．22．（16-17九年級上·福建莆田·階段練習）如圖所示，學校準備在教學樓后面搭建一個簡易矩形自行車車棚，一邊利用教學樓的后墻（可利用的墻長為19m），另外三邊利用學校現有總長38m的鐵欄圍成．（1）若圍成的面積為180m2，試求出自行車車棚的長和寬；（2）能圍成的面積為200m2自行車車棚嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由．23．（23-24八年級下·江蘇鹽城·階段練習）已知關于x的一元二次方程．（1）若該一元二次方程總有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍．（2）若該一元二次方程有一個根為，求方程的另一個根．24．（23-24八年級下·江蘇泰州·期末）某品牌紀念品每套成本為30元，當售價為40元時，平均每天的銷售量為500套，經試銷統(tǒng)計發(fā)現，如果該品牌紀念品售價每上漲1元，那么平均每天的銷售量將減少10套，為了維護消費者利益，物價部門規(guī)定：該品牌紀念品售價不能超過進價的200%．設這種紀念品每套上漲x元．（1）平均每天的銷售量為______套（用含x的代數式表示）：（2）商家想要使這種紀念品的銷售利潤平均每天達到8000元，求每套紀念品應定價多少元？25．（23-24九年級上·江蘇南通·期末）如圖，是的直徑，是弦，于點．（1）求證：；（2）若，，求陰影部分的面積．26．（22-23八年級下·江蘇揚州·期末）已知關于x的一元二次方程．（1）求證：無論m取何值，方程都有兩個不相等的實數根；（2）如果方程的兩個實數根為，且為整數，求整數m所有可能的值．27．（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，是的外接圓，，過點A作交于點D，連接，延長到點E，連接，．（1）求證：是的切線；（2）若，，求半徑的長．28．（23-24九年級上·江蘇揚州·期末）關于x的一元二次方程，如果a、b、c滿足且，那么我們把這樣的方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：（1）判斷方程是否是“勾系一元二次方程”，并說明理由；（2）求證：關于x的“勾系一元二次方程”必有實數根；（3）如圖，已知、是半徑為8的的兩條平行弦，，，且關于x的方程是“勾系一元二次方程”，則的度數為______．

參考答案一、選擇題（8小題，每小題3分，共24分）1．C【分析】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的定義包括三點：①是整式方程，②只含有一個未知數，③所含未知數的項的最高次數是2，另外一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．根據一元二次方程的定義進行判斷即可．【詳解】解：A．當a=0時，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故此選項不符合題意；B．x-1=0是一元一次方程，故此選項不符合題意；C．7x2-6=0是一元二次方程，故此選項符合題意；D．2x2-5y=0是二元二次方程，故此選項不符合題意；故選：C．2．A【分析】本題考查了確定圓的條件，解題的關鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點即為該圓的圓心．要確定圓的大小需知道其半徑．根據垂徑定理知第①塊可確定半徑的大?。驹斀狻拷猓旱冖賶K出現一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心，進而可得到半徑的長．故選：A．3．B【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程以及統(tǒng)計表，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【詳解】解：設增長率為x，列方程為，故選B．4．D【分析】本題考查了一元二次方程根和系數的關系，代數式求值，由一元二次方程根和系數的關系可得，，再代入代數式計算即可求解，掌握一元二次方程根和系數的關系是解題的關鍵【詳解】解：∵是一元二次方程的兩個實數根，∴，，∴，故選：．5．A【分析】本題考查了圓周角定理，以及勾股定理．熟練掌握定理是解題的關鍵．先利用圓周角定理求出所對應的圓心角的角度，再利用勾股定理求出半徑的長度．【詳解】解：，，，，在中，，解得：或（舍）故選：A．6．C【分析】根據新定義，列出常規(guī)式的方程，解答即可．本題考查了新定義的應用、解一元二次方程，正確理解定義，建立方程是解題的關鍵．【詳解】∵，，∴，整理，得，解得或，故選C．7．A【分析】本題考查了等邊三角形的性質，扇形面積公式，解直角三角形等知識，熟練掌握等邊三角形的性質和扇形面積公式是解題的關鍵．過點作于點，設等邊三角形的邊長為，求出等邊的面積為，根據“萊洛三角形”的面積為列方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：過點作于點，設等邊三角形的邊長為，

∵為等邊三角形，∴，∴，∴等邊的面積為，∴，∴，∴或（不合題意，舍去）∴等邊三角形的邊長為，故選：A．8．B【分析】連結，則，由，根據勾股定理求得，再證明四邊形是正方形，由，求得，則，所以，因為，所以，而，則四邊形是平行四邊形，所以，于是得到問題的答案．【詳解】連結，∵與分別相切于點，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是正方形，∵，∴，∴，∴，∵，∴點都在的垂直平分線上，∴垂直平分，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，故選：B．【點睛】本題重點考查切線的性質定理、切線長定理、勾股定理、正方形的判定與性質、線段的垂直平分線的性質、平行四邊形的判定與性質等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．二、填空題（10小題，每小題3分，共30分）9．【分析】本題考查了根與系數的關系：若是一元二次方程的兩根，則，．設方程的另一根為t，利用根與系數的關系得到，然后解關于t的一次方程即可．【詳解】解：設方程的另一根為t，根據根與系數的關系得，，解得，即方程的另一個根為．故答案為．10．4046【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．先根據一元二次方程根的定義得到，再整體代入計算即可．【詳解】解：是方程的根，，，，故答案為：4046．11．【分析】本題考查一元二次方程的實際應用．正確理解題意是解題的關鍵．確定平行于墻的一邊與★的關系即可求解．【詳解】解：由題意可得：平行于墻的一邊為：，由可得，★表示的為平行于墻的一邊的長度，即為：★表示的代數式為，故答案為．12．6或4【分析】本題考查了點與圓的位置關系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．解題的關鍵是分點A在圓內或圓外進行討論．分點A在圓內或圓外進行討論，分別計算即可．【詳解】解：當點A在圓內時，的直徑長為，半徑為6；當點A在圓外時，的直徑長為，半徑為4；即的半徑長為6或4．故答案為：6或4．13．【分析】本題考查了弧長公式，根據圓錐的底面圓的周長等于側面的弧長，代入數據計算，即可求解．【詳解】解：設這個圓錐的底面圓的半徑為，由題意得，解得：故答案為：．14．/42度【分析】本題考查了切線的性質，圓周角定理，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．連接，如圖，根據切線的性質得到，再利用圓周角定理得到，然后利用互余計算出的度數．【詳解】解：連接，如圖，是的切線，，，，．故答案為：．15．【分析】根據扇形公式進行計算即可．本題考查了扇面面積計算，掌握扇面面積等于兩個扇形面積相減是解題的關鍵．【詳解】解：扇面面積扇形的面積扇形的面積，故答案為：．16．【分析】記直線與x，y軸分別交于點A，K，連接；由直線解析式可求得點A、K的坐標，從而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，則當最小時，最小，點P與點K重合，此時最小值為，由勾股定理求得的最小值，從而求得結果．【詳解】解：記直線與x，y軸分別交于點A，K，連接，當，，當，即，解得：，即；而，∴，∴均是等腰直角三角形，∴，∴，∵與相切，∴，∴，∵，∴當最小時即最小，∴當時，取得最小值，即點P與點K重合，此時最小值為，在中，由勾股定理得：，∴，∴最小值為．【點睛】本題考查了圓的切線的性質，勾股定理，一次函數與坐標軸的交點問題，垂線段最短，正確添加輔助線是解題的關鍵．17．3【分析】本題考查一元二次方程的解，根的判別式，分別根據一元二次方程的解，根的判別式判斷即可．【詳解】解：①若方程有一根，則，即，故①正確；②若，則可知方程有一個根為，則，故②正確；③若方程的兩個根是，所以方程的兩個根為，，故③正確；④若c是方程的一個根，則，當時，則一定有成立，故④錯誤．綜上分析可知：其中正確的是①②③，共3個．故答案為：3．18．【分析】延長交的延長線于，先證出，根據全等三角形的性質可得，再根據線段垂直平分線的判定與性質可得，設，則，然后根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，從而可得，在和中，利用勾股定理可求出的值，從而可得的長，最后根據直角三角形的外接圓的性質求解即可得．【詳解】解：如圖，延長交的延長線于，∵四邊形是菱形，，∴，，∴，∵是的中點，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴垂直平分，∴，設，則，∵，，是的中點，∴，，∴，在和中，由勾股定理得：，即，解得或（不符合題意，舍去），∴，又∵，∴的外接圓半徑為，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質、線段垂直平分線的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理、一元二次方程的應用、三角形外接圓的性質等知識，通過作輔助線，構造全等三角形和直角三角形是解題關鍵．三、解答題（10小題，共96分）19．（1），；（2）【分析】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．（1）先移項得到，然后利用因式分解法解方程；（2）利用配方法解方程．【詳解】（1）解：，原方程可變?yōu)椋?，因式分解得：，或，所以，；?）解：，移項得：，，配方得：，開平方得：，所以．20．（1）作圖見解析；（2）點M不在上，在內【分析】本題主要考查了三角形的外接圓與外心，掌握三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點是解答本題的關鍵．（1）作和的垂直平分線，它們的交點為的外接圓的圓心，然后直接讀出的外接圓的圓心坐標．（2）先求出的值，根據點和圓的位置關系進行判斷即可．【詳解】（1）解：如圖所示：點P即為所求；所以點P的坐標為．故答案為：．（2）解：，圓的半徑，∵，∴點M在內，不在上．21．（1）能，見解析；（2）【分析】題考查作圖——復雜作圖，圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形的外接圓，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．（1）連接AB，，并作AB，的垂直平分線，交于點O，以O為圓心，以為半徑作，即為所作；（2）根據垂徑定理可以求出，，然后解直角三角形求出長即可．【詳解】（1）如圖所示，圓O為所求圓．

（2）連接，，于點D，

∵是等邊三角形，∴弧等于圓周長的三分之一，∴，∵，，∴，，∴．22．（1）長和寬分別為18米，10米（2）不能達到200m2，理由見解析【分析】本題考查一元二次方程的應用，正確理解題意找到等量關系列出方程是解題關鍵．（1）利用長方形的周長表示出各邊長，即可表示出長方形面積，由此建立方程求解即可；（2）利用長方形的面積公式列方程，解答即可．【詳解】（1）解：設，則；根據題意列方程，得：，解得；當時，（米），當時，（米），不合題意舍去，答：若圍成的面積為，自行車車棚的長和寬分別為18米，10米；（2）根據題意列方程得，，整理得出：；，故此方程沒有實數根，答：滿足條件的花園面積不能達到．23．（1）；（2）【分析】本題重點考查了一元二次方程根的判別式以及一元二次方程的根與系數關系．（1）根據題意可得根的判別式，列出不等式求解即可；（2）根據根與系數的關系可得，把代入，求出方程的另一個根．【詳解】（1）解：根據題意得，，解得，；（2）解：設是一元二次方程的兩根，根據一元二次方程根與系數的關系可知，，∵，∴．即一元二次方程的另一個根為24．（1）；（2）每套紀念品應定價50元．【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．（1）由題意即可得出結論；（2）設這種紀念品每套上漲元，則每套紀念品應定價為元，平均每天的銷售量為套，根據這種紀念品的銷售利潤平均每天達到8000元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．【詳解】（1）解：由題意可知，平均每天的銷售量為套，故答案為：；（2）解：設這種紀念品每套上漲元，則每套紀念品應定價為元，平均每天的銷售量為套，由題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），，答：每套紀念品應定價50元．25．（1）證明見解析；（2）【分析】本題考查圓的相關知識，解題的關鍵是掌握圓的基本性質，垂徑定理，扇形的面積公式，進行計算，即可．（1）根據同弧或者等弧所對的圓周角相等，則，再根據等邊對等角，則，進行等量代換，即可；（2）根據題意，則，根據同弧或者等弧所對的圓周角等于圓心角的一半，則，根據三角形的內角和，則，設，則，根據勾股定理求出，再根據陰影部分的面積等于扇形面積減去，即可．【詳解】（1）∵所對的圓周角為，，∴，∵，∴，∴．（2）∵是的直徑，是弦，于點，，∴，∵，∴，∴，設，∴，∴，∴，解得：，∴，，∴陰影部分面積為：．26．（1）證明見解析；（2），，，【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程等知識．（1）計算一元二次方程根的判別式，即可得到無論m取何值，方程都有兩個不相等的實數根；（2）利用公式法求出方程的解為或，根據得到，把變形為，根據為整數，m為整數即可得到或，即可求出m的值．【詳解】（1）證