考點(diǎn)02 二次根式（原卷版）

考點(diǎn)二二次根式知識(shí)點(diǎn)整合1．二次根式的有關(guān)概念（1）二次根式的概念形如的式子叫做二次根式．其中符號(hào)“”叫做二次根號(hào)，二次根號(hào)下的數(shù)叫做被開(kāi)方數(shù)．【注意】被開(kāi)方數(shù)只能是非負(fù)數(shù)．即要使二次根式eq\r(a)有意義，則a≥0．（2）最簡(jiǎn)二次根式被開(kāi)方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．（3）同類二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同的幾個(gè)二次根式，叫做同類二次根式．2．二次根式的性質(zhì)（1）≥0（≥0）；（2）；（3）；（4）；（5）．3．二次根式的運(yùn)算（1）二次根式的加減合并同類二次根式：在二次根式的加減運(yùn)算中，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，若有同類二次根式，可把同類二次根式合并成一個(gè)二次根式．（2）二次根式的乘除乘法法則：；除法法則：．（3）二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的．在運(yùn)算過(guò)程中，乘法公式和有理數(shù)的運(yùn)算律在二次根式的運(yùn)算中仍然適用．考向一二次根式的概念及性質(zhì)1．二次根式的有關(guān)概念（1）二次根式的概念形如的式子叫做二次根式．其中符號(hào)“”叫做二次根號(hào)，二次根號(hào)下的數(shù)叫做被開(kāi)方數(shù)．2．二次根式的性質(zhì)（1）≥0（≥0）；（2）；（3）；（4）；（5）．典例引領(lǐng)1．在函數(shù)中，自變量的取值范圍是（

）A．且 B． C．且 D．且2．下列式子有意義的是（

）A． B． C． D．3．若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為（）A． B． C． D．4．要使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，應(yīng)滿足的條件是（

）A． B． C． D．5．若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的值可以是．（寫(xiě)一個(gè)即可）6．若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x取值范圍為．7．要使代數(shù)式有意義，則x可以取的最小整數(shù)是．8．若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．9．函數(shù)的自變量x的取值范圍是．10．若代數(shù)式有意義，則的取值范圍是．11．若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．12．若x、y都是實(shí)數(shù)，且，則的平方根為．13．函數(shù)中自變量x的取值范圍是14．已知：a、b、c滿足．(1)求a、b、c的值；(2)試問(wèn)以a、b、c為邊能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，請(qǐng)判斷三角形的形狀；若不能構(gòu)成三角形，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．已知．(1)求a的值；(2)求的平方根．16．若有意義，求的值．17．如果，求代數(shù)式的值．變式拓展1．要使代數(shù)式有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．若二次根式有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．下列根式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．4．若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．函數(shù)中自變量的取值范圍是（

）A． B．且 C．且 D．7．若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．使等式成立的x的取值范圍在數(shù)軸上可以表示為（

）A． B．C． D．9．在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（

）A．且 B．且 C． D．10．若，則xy的值為（

）．A．8 B．12 C．5 D．-811．二次根式有意義，則x．12．使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是．13．在函數(shù)中，自變量的取值范圍是．14．，則的平方根為．15．下列各式：①②③④，其中一定是二次根式的是．（只填序號(hào)）16．在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是．17．若x、y都是實(shí)數(shù)，且，求．18．函數(shù)中，自變量的取值范圍是．考向二二次根式的運(yùn)算（1）二次根式的加減合并同類二次根式：在二次根式的加減運(yùn)算中，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，若有同類二次根式，可把同類二次根式合并成一個(gè)二次根式．（2）二次根式的乘除乘法法則：；除法法則：．（3）二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的．在運(yùn)算過(guò)程中，乘法公式和有理數(shù)的運(yùn)算律在二次根式的運(yùn)算中仍然適用．典例引領(lǐng)1．已知，求代數(shù)式的值．2．實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：．3．計(jì)算：．4．計(jì)算(1)(2)5．已知，，求的值．6．計(jì)算：(1)；(2)．7．計(jì)算(1)；(2)；(3)8．已知的立方根是2，是的整數(shù)部分，是9的平方根，求的算術(shù)平方根．9．（1）已知的平方根為，的立方根為2，求的算術(shù)平方根．（2）實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：．10．我們知道無(wú)理數(shù)都可以化為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以的小數(shù)部分不可能全部寫(xiě)出來(lái)，若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則，且．(1)的整數(shù)部分是________，小數(shù)部分是________；(2)若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，求的值．11．計(jì)算：(1)；(2)．12．當(dāng)時(shí)，求的值，如圖是小亮和小芳的解答過(guò)程：(1)______的解法是錯(cuò)誤的；(2)當(dāng)時(shí)，求的值．13．觀察下列各式：第1個(gè)算式：；第2個(gè)算式：；第3個(gè)算式：；……請(qǐng)利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決下列問(wèn)題：(1)第5個(gè)算式為_(kāi)_________．(2)第n個(gè)算式為_(kāi)__________．（請(qǐng)用含n的式子表示）(3)求的值．14．細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答下列問(wèn)題：，，（是的面積）；，，（是的面積）；，，（是的面積）；…(1)填空：__________，__________；(2)請(qǐng)用含有n（n為正整數(shù)）的式子填空：___________，___________；(3)我們已經(jīng)知道，因此將分子、分母同時(shí)乘以，分母就變成了4，請(qǐng)仿照這種方法求的值；15．已知正數(shù)，正數(shù)的兩個(gè)不同的平方根分別是和，(1)求，的值；(2)求的值．變式拓展1．計(jì)算：(1)；(2)．2．計(jì)算：(1)(2)3．計(jì)算題(1)(2)(3)(4)4．[閱讀材料]材料一：把分母中的根號(hào)化去，使分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過(guò)程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一個(gè)不等于0的式子，以達(dá)到化去分母中根號(hào)的目的．例如，化簡(jiǎn)解：材料二：化簡(jiǎn)方法，如果能找到兩個(gè)實(shí)數(shù)m，n，使，并且，那么．例如，化簡(jiǎn)解：【理解應(yīng)用】(1)填空：化簡(jiǎn)的結(jié)果等于______．(2)計(jì)算：①②5．如圖甲，這是由8個(gè)同樣大小的立方體組成的魔方，魔方體積為．

(1)求出這個(gè)魔方的棱長(zhǎng)．(2)圖甲中陰影部分是一個(gè)正方形，求出陰影部分正方形的邊長(zhǎng)．(3)把正方形放置在數(shù)軸上，如圖乙所示，使得點(diǎn)與數(shù)1重合，則在數(shù)軸上表示的數(shù)為_(kāi)_____．6．閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題．在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如一樣的式子，可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，其中一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想，它可以簡(jiǎn)化我們的計(jì)算．(1)計(jì)算：(2)已知是正整數(shù)，，，，求；(3)已知，求的值．7．如圖，面積為的正方形四個(gè)角是面積為的小正方形，現(xiàn)將四個(gè)角剪掉，制作一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子．

(1)則原來(lái)大正方形的邊長(zhǎng)為；（保留根號(hào)）四個(gè)角的小正方形的邊長(zhǎng)為．（保留根號(hào)）(2)求這個(gè)長(zhǎng)方體盒子的底面邊長(zhǎng)和體積分別是多少?并將結(jié)果精確到0.01．提示：8．我們知道無(wú)理數(shù)都可以化為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以的小數(shù)部分不可能全部寫(xiě)出來(lái)，若的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則，且．例如，∴的整數(shù)部分為3，小數(shù)部分為．(1)的整數(shù)部分，是小數(shù)部分是；(2)若的整數(shù)部分為m，小數(shù)部分為n，求的值．9．請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：已知，求代數(shù)式的值．小敏的做法是：根據(jù)得，∴，得：．把作為整體代入：得．即：把已知條件適當(dāng)變形，再整體代入解決問(wèn)題．請(qǐng)你用上述方法解決下面問(wèn)題：(1)已知，求代數(shù)式的值；(2)已知，求代數(shù)式的值10．已知，求代數(shù)式值．11．已知，．(1)求的值；(2)求．12．已知，，求的值．13．已知：，求：的值14．把四張形狀大小完全相同，寬為的小長(zhǎng)方形卡片(如圖①)不重疊地放在一個(gè)底面為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為，寬為盒子底部(如圖②)，盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．則圖②中兩塊陰影部分的周長(zhǎng)和是（

）

A． B． C． D．15．郡園“美美與共”數(shù)學(xué)興趣小組編了一個(gè)“”的計(jì)算程序，規(guī)