高考真題中的電磁感應(yīng)含容問(wèn)題綜述

本文探討的電磁感應(yīng)含容問(wèn)題指導(dǎo)體棒切割磁感線時(shí)有電容器連接在電路中的相關(guān)問(wèn)題.此類問(wèn)題,在高考?xì)v史長(zhǎng)河中,長(zhǎng)期是低頻考點(diǎn).主要原因是這一問(wèn)題難度較大.國(guó)內(nèi)該類問(wèn)題的淵源首推十二屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽的第6題和第一屆上海物理競(jìng)賽第21題.2007年天津的高考真題出現(xiàn)了此類問(wèn)題,但模型相對(duì)簡(jiǎn)單.然后江蘇卷和全國(guó)卷分別以定性和定量方式考查了此類問(wèn)題,正式拉開(kāi)此類問(wèn)題“人駐”高考真題的序幕,隨著時(shí)間推移,最近幾年各省市真題中頻現(xiàn)該類問(wèn)題,從時(shí)間線的分布來(lái)看,有“愈演愈烈”的趨勢(shì).具體演化歷程如表1.?高考命題研究?高考真題中的電磁感應(yīng)含容問(wèn)題綜述李鑫(浙江省桐鄉(xiāng)第一中學(xué),浙江嘉興314500)摘要:文章綜述了高考真題中電磁感應(yīng)含容問(wèn)題,按照歷史脈絡(luò)梳理了此類問(wèn)題的演化歷程.然后按照導(dǎo)體棒是否受除安培力以外的力作用進(jìn)行分類探討,分析了忽略回路電阻與否對(duì)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)特性的影響,對(duì)比解構(gòu)兩種模型下命題的著重點(diǎn)和變形特征.關(guān)鍵詞:電磁感應(yīng);電容器;科學(xué)推理;深度學(xué)習(xí);科學(xué)命題表1各地試題中電磁感應(yīng)含容問(wèn)題演化歷程題目出處示意圖導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)問(wèn)題類型1995年預(yù)賽勻加速運(yùn)動(dòng)若要使圓盤在磁場(chǎng)中下落的加速度比沒(méi)有磁場(chǎng)時(shí)減小千分之一(不計(jì)空氣阻力),試估算所需磁感應(yīng)強(qiáng)度的數(shù)值有外力1996年上海競(jìng)賽加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)(1)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的最大速度vmax;(2)電容器極板上的最小電荷量無(wú)外力2007年天津勻速運(yùn)動(dòng)ab在外力作用下向右勻速運(yùn)動(dòng)且與導(dǎo)軌保持良好接觸,在ab運(yùn)動(dòng)距離為s的過(guò)程中.整個(gè)回路中產(chǎn)生的焦耳熱為Q.求(1)ab運(yùn)動(dòng)速度v的大小;(2)電容器所帶的電荷量q有外力(但不與導(dǎo)體棒直接串聯(lián)2011年江蘇加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)分析導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中電容器電荷量、導(dǎo)體棒速度、加速度和電流對(duì)時(shí)間的函數(shù)圖像無(wú)外力2013年全國(guó)勻加速運(yùn)動(dòng)(1)電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系;(2)金屬棒的速度大小隨時(shí)間變化的關(guān)系有外力1有“外力”模型1.1有“外力”模型為什么要忽略回路電阻不管是1995年預(yù)賽還是2013年全國(guó)卷抑或2021年的河北卷,都屬于有“外力”模型.而且這3道題還有一個(gè)共同特點(diǎn),就是忽略回路當(dāng)中的電阻,導(dǎo)體棒受到外力作用難道一定要忽略回路的電阻?例1.(1995年預(yù)賽)假想有一水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度B很大.有一半徑為R、厚度為dd?R的金屬圓盤,在此磁場(chǎng)中堅(jiān)直下落,盤面始終位于堅(jiān)直平面內(nèi)并與磁場(chǎng)方向平行,如圖1所示.若要使圓盤在磁場(chǎng)中下落的加速度比沒(méi)有磁場(chǎng)時(shí)減小千分之一(不計(jì)空氣阻力),試估算所需磁感應(yīng)強(qiáng)度的數(shù)值.續(xù)表題目出處示意圖導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)問(wèn)題類型2017年天津加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)(2)MN剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度a的大小;(3)MN離開(kāi)導(dǎo)軌后電容器上剩余的電荷量Q是多少無(wú)外力2018年浙江加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)(1)棒ab運(yùn)動(dòng)到x1=0,2?m時(shí)的速度v1;(2)棒ab運(yùn)動(dòng)到x2無(wú)外力2021年浙江加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)(4)兩導(dǎo)軌之間連接一個(gè)電容為C的電容器,在著陸減速過(guò)程中還可以回收部分能量,在其他條件不變的情況下,求船艙勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小v'和此時(shí)電容器所帶電荷量有外力(但不與導(dǎo)體棒直接串聯(lián)2021年河北勻速運(yùn)動(dòng)A.通過(guò)金屬棒的電流為2BCv2.tanθ.B.金屬棒到達(dá)x0時(shí),電容器極板上的電荷量為BCvx0tanθ,C.金屬棒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,電容器有外力2022年浙江加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)(1)求電容器充電完畢后所帶的電荷量Q.哪個(gè)極板(M或N)帶正電?(2)求電容器釋放的電荷量ΔQ無(wú)外力2022年全國(guó)加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體棒電流、運(yùn)動(dòng)特性、安培力受力情況和能量分配的定性分析無(wú)外力概念說(shuō)明:導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中都可能受到安培力作用,本文中的“外力”特指除了安培力以外的力屬盤的密度ρ=圖1示意圖其介電常數(shù)為ε=9×2013年全國(guó)卷問(wèn)題與此題基本相同,建模難度略低,為節(jié)約篇幅故省略,可參看表1內(nèi)容,下同.導(dǎo)體棒和電容器直接串聯(lián),由于忽略了回路的電阻,所以電容器兩端電壓時(shí)刻和導(dǎo)體棒電壓相等,對(duì)于電容器充電電流為i對(duì)于導(dǎo)體棒,有F-解得a=當(dāng)t=0時(shí)a=Fm,當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)的時(shí)候,e的指數(shù)冪就趨近于0,所以加速度就和勻加速運(yùn)動(dòng)的情況一樣了.顯然1.3“受外力模型”新的演變例2.(2021年河北)圖2原題示意圖如圖2所示,兩光滑導(dǎo)軌水平放置在堅(jiān)直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.導(dǎo)軌間距最窄處為一狹縫,取狹縫所在處O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).狹縫右側(cè)兩導(dǎo)軌與x軸夾角均為θ,一電容為C的電容器與導(dǎo)軌左端相連.導(dǎo)軌上的金屬棒與x軸垂直,在外力F作用下從O點(diǎn)開(kāi)始以速度v向右勻速運(yùn)動(dòng),忽略所有電阻.下列說(shuō)法正確的是(A)通過(guò)金屬棒的電流為2BCv(B)金屬棒到達(dá)x0時(shí),電容器極板上的電荷量為BCv(C)金屬棒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,電容器的上極板帶負(fù)電.(D)金屬棒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,外力F做功的功率恒定.評(píng)價(jià):此為2021年河北省高考題,也屬于有外力模型,但導(dǎo)體棒卻做勻速直線運(yùn)動(dòng).學(xué)生若墨守成規(guī),容易陷人i=dq?di2CBv即電流不變,而有效切割長(zhǎng)度均勻增長(zhǎng),導(dǎo)致外力和安培力始終相等.相當(dāng)于把有恒力作用下導(dǎo)體棒做勻變速運(yùn)動(dòng)的場(chǎng)景做了新的演變.當(dāng)然,還可以讓導(dǎo)體棒的有效長(zhǎng)度不變,作用在導(dǎo)體棒上的外力變成變力,這樣導(dǎo)體棒就做變加速直線運(yùn)動(dòng),可以求解的臨界狀態(tài)就更多了.例3.(2021年浙江)如圖3所示,該裝置由船艙、間距為l的平行導(dǎo)軌、產(chǎn)生垂直船艙導(dǎo)軌平面的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁體和“Λ”型剛性線框組成,“Λ”型線框ab邊可沿導(dǎo)軌滑動(dòng)并接觸良好,船艙、導(dǎo)軌和磁體固定在一起,總質(zhì)OO公從虧·GeoGebra物理代人電流可得F=即a=如果導(dǎo)體棒所受的“外力”為恒力,那么導(dǎo)體棒將做勻加速運(yùn)動(dòng),而且對(duì)電容器的充電電流是常量.問(wèn)題就在于其忽略了回路的電阻,正因?yàn)楹雎曰芈冯娮?才能有以上的合理推理,因?yàn)楹雎噪娮?回路當(dāng)中的熱損耗也不計(jì)了,也就是說(shuō)外力做的功都轉(zhuǎn)換成導(dǎo)體棒的動(dòng)能和電容器儲(chǔ)存的電勢(shì)能,接下來(lái)從能量觀角度闡述這一問(wèn)題.由于有恒定外力做功,則系統(tǒng)能量增加量有Fx在忽略回路電阻情況下,Fx變形即v2即導(dǎo)體棒速度位移關(guān)系滿足勻加速運(yùn)動(dòng)的關(guān)系,佐證了導(dǎo)體棒確實(shí)做勻加速運(yùn)動(dòng).從力與運(yùn)動(dòng)視角和能量視角都證實(shí)了導(dǎo)體棒受恒力且忽略回路電阻情況下導(dǎo)體棒做勻加速運(yùn)動(dòng),但必須忽略回路電阻么,如果不忽略回路電阻會(huì)怎樣?1.2不忽略電阻的情況如果回路當(dāng)中的電阻不能忽略,導(dǎo)體棒兩端電壓應(yīng)當(dāng)是電容器電壓與電阻電壓之和εiFRd結(jié)合初始條件t=0時(shí),電容器極板所帶電荷量為qe求導(dǎo)即為電流,代人動(dòng)力學(xué)方程,即F電阻并聯(lián),求解的僅僅是終態(tài)的結(jié)果,所以導(dǎo)體棒做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)最后達(dá)到收尾速度,而電容器兩端電壓最終和外電壓相同.2無(wú)外力模型2.1一般問(wèn)題和一般解法不論2011年江蘇卷、2017年天津卷還是2018、2022年浙江卷中,都屬于電容器充好電后再連接導(dǎo)體棒,導(dǎo)體棒做變加速運(yùn)動(dòng),如果是電容器先帶上電,那么電容器將放電,導(dǎo)體棒在安培力作用下做加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng),最終電容器兩端電壓和導(dǎo)體棒兩端電壓相等,導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng);如果電容器先不帶電,導(dǎo)體棒有初速度,就是導(dǎo)體棒對(duì)電容器充電,終態(tài)情況依舊是兩者電壓相等,導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng).例4.(2017年天津)電磁軌道炮利用電流受到磁場(chǎng)的安培力使炮彈獲得超高速度,其原理可用來(lái)研制新武器和航天運(yùn)載器.電磁軌道炮示意如圖5,圖中直流電源電動(dòng)勢(shì)為E,電容器的電容為C.兩根固定于水平面內(nèi)的光滑平行金屬導(dǎo)軌間距為l,電阻不計(jì).炮彈可視為一質(zhì)量為m、電阻為R的金屬棒MN,垂直放在兩導(dǎo)軌間處于靜止?fàn)顟B(tài),并與導(dǎo)軌良好接觸.首先開(kāi)關(guān)S接1,使電容器完全充電.然后將S接至2,導(dǎo)軌間存在垂直于導(dǎo)軌平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(圖中未畫出),MN開(kāi)始向右加速運(yùn)動(dòng).當(dāng)MN上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與電容器兩極板間的電壓相等時(shí),回路中電流為0,MN達(dá)到最大速度,之后離開(kāi)導(dǎo)軌.圖5電磁軌道炮示意圖(3)MN離開(kāi)導(dǎo)軌后電容器上剩余的電荷量Q是多少.解析:終態(tài)電容器和導(dǎo)體棒的電壓相等U流經(jīng)導(dǎo)體棒電荷量即為電容器充放電的電荷量,即q對(duì)于導(dǎo)體棒,用動(dòng)量定理可知BilΔt聯(lián)立上述過(guò)程,剩余電荷量為Q<icon/>量為m1圖3裝置示意圖球表面前瞬間的速度大小為v0,接觸月球表面后線框速度立即變?yōu)?.經(jīng)過(guò)減速,在導(dǎo)軌下方緩沖彈簧接觸月球表面前船艙已可視為勻速.已知船艙電阻為3r,“Λ”型線框的質(zhì)量為m2,其7條邊的邊長(zhǎng)均為l,電阻均為r;月球表面的重力加速度為g/6.整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有ab邊在磁場(chǎng)中,(2)通過(guò)畫等效電路圖,求著陸裝置接觸到月球表面后瞬間流過(guò)ab型線框的電流I0(3)求船艙勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小v;(4)同桌小張認(rèn)為在磁場(chǎng)上方、兩導(dǎo)軌之間連接一個(gè)電容為C的電容器,在著陸減速過(guò)程中還可以回收部分能量,在其他條件均不變的情況下,求船艙勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小v'和此時(shí)電容器所帶電荷量q解析:(2)等效電路圖圖4等效電路圖如圖4.并聯(lián)總電阻R=電流I0(3)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)線框受到安培力為FA根據(jù)牛頓第三定律,質(zhì)量為m1的部分受力F=FAF得v=(4)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)電容器不充放電,滿足v電容器兩端電壓為UC電荷量為q=評(píng)價(jià):此題也屬于導(dǎo)體棒受到“外力”的情況,但卻與前述問(wèn)題截然不同,因?yàn)榇颂庪娙萜鬟B接模式發(fā)生改變,電容不和電源直接串聯(lián),而是和外評(píng)價(jià):在不受“外力”情形下,試題一般只要求定性分析中間過(guò)程,定量求解終態(tài)過(guò)程,某種意義上,難度比受“外力”情形下的問(wèn)題低.值得注意的是,此類場(chǎng)景回路電阻是不影響最終情況的,正因?yàn)榛芈酚须娮?才導(dǎo)致只有終態(tài)電容器電壓和導(dǎo)體棒電壓相等.2.2是否忽略電阻不受“外力”模型中,通常都是不忽略回路電阻的,在電容器充好電放電,導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的電路當(dāng)中,有Blv由動(dòng)量定理可知,BlCE代人上式,并結(jié)合初始條件,0時(shí)刻電容器電荷量為CE,B解得q=微分可得i=有v=同樣,當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)的時(shí)候,速度最終值和前文分析結(jié)果一致.值得注意的是,導(dǎo)體棒獲得收尾速度需要無(wú)窮大的時(shí)間.對(duì)電流積分可得產(chǎn)生的焦耳熱為定值,W也就是說(shuō)最終產(chǎn)生的熱量與電阻大小無(wú)關(guān),電阻大小只決定充電時(shí)間長(zhǎng)短.而此類情況回路中一定會(huì)有能量損失,可以用初等數(shù)學(xué)的方式來(lái)證明.對(duì)于導(dǎo)體棒,收尾速度為v損失能量為QmC即此類問(wèn)題一般都考慮回路焦耳熱,因?yàn)橐皇强疾榈氖菍W(xué)生解決收尾速度等終態(tài)問(wèn)題的能力,不要求學(xué)生求解中間過(guò)程,而計(jì)不計(jì)電阻對(duì)終態(tài)情況沒(méi)有影響;二是一定會(huì)有能量損失,那么回路如果計(jì)電阻就會(huì)有焦耳熱,從科學(xué)命題角度也是自洽的.如果不考慮導(dǎo)體棒電阻上的焦耳熱,僅因?yàn)殡娙萜鞣烹娺^(guò)程產(chǎn)生的電磁輻射損失能量,可以自治嗎?導(dǎo)體棒速度變化時(shí),回路中電流隨時(shí)間產(chǎn)生變化,此時(shí),回路單匝線圈的自感不可忽略,由于單匝線圈的自感系數(shù)很小,故振蕩頻率很高,同時(shí),回路是“開(kāi)放”的,電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)分布在廣闊的空間中,這樣就滿足了電磁輻射的條件,電磁輻射的功率正比于電流的平方,(1)經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)即便回路電阻為0,完全不計(jì)回路的焦耳熱,產(chǎn)生的電磁輻射損失能量也剛好等于損失能量,也就是說(shuō)不受“外力”模型不管是否忽略導(dǎo)體棒電阻從理論上來(lái)說(shuō)損失的能量是確定的.2.3“不受外力模型”新的演變例5.(2022年圖6原題示意圖全國(guó)卷)如圖6,兩根相互平行的光滑長(zhǎng)直金屬導(dǎo)軌固定在水平絕緣桌面上,在導(dǎo)軌的左端接人電容為C的電容器和阻值為R的電阻.質(zhì)量為m、阻值也為R的導(dǎo)體棒MN靜止于導(dǎo)軌上,與導(dǎo)軌垂直,且接觸良好,導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì),整個(gè)系統(tǒng)處于方向堅(jiān)直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中.開(kāi)始時(shí),電容器所帶的電荷量為Q,合上開(kāi)關(guān)S后,則(A)通過(guò)導(dǎo)體棒MN電流的最大值為QRC(B)導(dǎo)體棒MN向右先加速、后勻速運(yùn)動(dòng).(C)導(dǎo)體棒MN速度最大時(shí)所受的安培力也最大.(D)電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱大于導(dǎo)體棒MN上產(chǎn)生的焦耳熱.評(píng)價(jià):導(dǎo)體棒依然做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)直到達(dá)成收尾速度,而由于導(dǎo)體棒有反電動(dòng)勢(shì)的存在,所以定值電阻上的焦耳熱大于導(dǎo)體棒上的焦耳熱.此題在導(dǎo)體棒不受“外力”的基礎(chǔ)上舊瓶裝新酒,添加了一個(gè)與電容器并聯(lián)的電阻,意在打破學(xué)生的思維定式,起到反刷題的功效.3兩種模型的比較(如表2)表2有無(wú)外力模型的比較科學(xué)命題溯源忽略電阻求解問(wèn)題演變形態(tài)有外力第12屆預(yù)賽是分析中間過(guò)程與