專題12 數(shù)列-【好題匯編】五年（2020-2024）高考數(shù)學真題分類匯編

專題12數(shù)列考點五年考情（2020-2024）命題趨勢考點01等差等比數(shù)列應(yīng)用2023天津甲乙Ⅱ卷2022乙卷2020北京卷等差等比數(shù)列及求和在高考中主要考查基本量的基本運算，是常規(guī)求和方法發(fā)的基本應(yīng)用。包括：錯位相減求和，奇偶性求和，列項求和等。考點02數(shù)列求和2024甲天津卷2023ⅠⅡ甲乙卷2022甲卷2021ⅠⅡ乙卷2020浙江ⅠⅡ卷考點03數(shù)列情景類問題2024北京2023北京2021北京Ⅰ卷2020Ⅱ卷情景化與新定義是高考的一個新的考點，一般采用學過的知識去解決新定義問題，因加以重視，是高考的一個方向，并且作為壓軸題的可能性比較大，難度大?？键c04數(shù)列新定義問題2024Ⅰ北京卷2023北京卷考點05數(shù)列與其他知識點交匯及綜合問題2024Ⅱ卷2023北京天津乙Ⅱ卷2022北京浙江ⅠⅡ卷2021甲浙江2020浙江Ⅱ卷知識的綜合是未來高考的一個重要方向，主要是數(shù)列與統(tǒng)計概率相結(jié)合，數(shù)列作為一個工具與解析幾何，函數(shù)結(jié)合等，屬于中等難度。考點01等差等比數(shù)列應(yīng)用一選擇題1．(2020北京高考·第8題)在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列()．A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項2．(2023年天津卷·第6題)已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，則的值為()A．3 B．18 C．54 D．1523．(2023年新課標全國Ⅱ卷·第8題)記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則 ()．A．120 B．85 C． D．4．(2023年全國甲卷理科·第5題)設(shè)等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則 ()A． B． C．15 D．405．(2022年高考全國乙卷數(shù)學(理)·第8題)已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則 ()A．14 B．12 C．6 D．3二、填空題3．(2023年全國乙卷理科·第15題)已知為等比數(shù)列，，，則______．考點02數(shù)列求和一選擇題1．（2024·全國·高考甲卷文）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B． C．1 D．2．（2024·全國·甲卷）記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則（

）A． B． C． D．3．(2020年高考課標Ⅱ卷理科·第6題)數(shù)列中，，，若，則 ()A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題4．(2020年浙江省高考數(shù)學試卷·第11題)已知數(shù)列{an}滿足，則S3=________．5．(2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學（海南）·第15題)將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．三解答題：6．(2023年新課標全國Ⅱ卷·第18題)已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．7．(2021年新高考Ⅰ卷·第17題)已知數(shù)列滿足，(1)記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；(2)求的前20項和．8．(2021年高考全國乙卷理科·第19題)記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求的通項公式．9．(2023年新課標全國Ⅰ卷·第20題)設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項和．(1)若，求的通項公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．10．(2022年高考全國甲卷數(shù)學（理）·第17題)記為數(shù)列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．11．(2021年新高考全國Ⅱ卷·第17題)記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求使成立的n的最小值．12（2023年全國乙卷）1．記為等差數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．13．(2020年新高考全國Ⅰ卷（山東）·第18題)已知公比大于的等比數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；(2)記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前項和．14．(2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學（海南）·第18題)已知公比大于的等比數(shù)列滿足．(1)求通項公式；(2)求．15．(2023年全國甲卷理科·第17題)設(shè)為數(shù)列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．16.(2020天津高考·第19題)已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．(Ⅰ)求和的通項公式；(Ⅱ)記的前項和為，求證：；(Ⅲ)對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項和．17（2024·天津·高考真題）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列．其前項和為．若．(1)求數(shù)列前項和；(2)設(shè)，．（?。┊敃r，求證：；（ⅱ）求．考點03數(shù)列情景類題目一、選擇題1．(2020年高考課標Ⅱ卷理科)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石) () ()A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊2．(2022新高考全國II卷·第3題)圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0．1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0．725，則 () ()A．0．75 B．0．8 C．0．85 D．0．93．(2021高考北京·第6題)《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種．這五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，對應(yīng)的寬為(單位:cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則A．64 B．96 C．128 D．160二、填空題4．(2023年北京卷·第14題)我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量(單位：銖)從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，則___________；數(shù)列所有項的和為____________．5．(2021年新高考Ⅰ卷·第16題)某校學生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折次，那么______．6（2024·北京·高考真題）設(shè)與是兩個不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個結(jié)論：①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個元素.其中正確結(jié)論的序號是.考點04數(shù)列新定義問題1（2024·全國·高考Ⅰ卷）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分數(shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分數(shù)列；(2)當時，證明：數(shù)列是可分數(shù)列；(3)從中一次任取兩個數(shù)和，記數(shù)列是可分數(shù)列的概率為，證明：．2（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對數(shù)列進行如下變換：將的第項均加1，其余項不變，得到的數(shù)列記作；將的第項均加1，其余項不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個符合條件的；若不存在，請說明理由；(3)若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項都相等”的充要條件為“”．3(2023年北京卷·第21題)已知數(shù)列的項數(shù)均為m，且的前n項和分別為，并規(guī)定．對于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù)．(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．考點05數(shù)列與其他知識點交匯及綜合問題一、選擇題1．(2023年北京卷·第10題)已知數(shù)列滿足，則 ()A．當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立2．(2020年浙江省高考數(shù)學試卷·第7題)已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n，，下列等式不可能成立的是 ()A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．3．(2022高考北京卷·第6題)設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的 ()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C充分必要條件D．既不充分也不必要條件4．(2020年高考課標Ⅱ卷理科·第11題)0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用．若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個序列的周期．對于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是 ()A． B． C． D．5．(2023年全國乙卷理科·第10題)已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則 ()A．－1 B． C．0 D．二解答題6（2024·全國·高考Ⅱ卷）已知雙曲線，點在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點：過作斜率為的直線與的左支交于點，令為關(guān)于軸的對稱點，記的坐標為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：對任意正整數(shù)，.7．(2023年天津卷·第19題)已知是等差數(shù)列，．(1)求的通項公式和．(2)已知為等比數(shù)列，對于任意，若，則，(Ⅰ)當時，求證：；(Ⅱ)求的通項公式及其前項和．8．(2022新高考全國I卷·第17題)記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．9．(2020年浙江省高考數(shù)學試卷·第20題)已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．(Ⅰ)若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與an的通項公式；(Ⅱ)若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．10（2023年新高考Ⅱ卷）2．甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．11．(2022高考北京卷·第21題)已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．12．(2021年高考浙江卷·第20題)已知數(shù)列前n項和為，，且．(1)求數(shù)列通項；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求的范圍．13．(20