蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典專題1.5全等三角形的性質(zhì)與判定(重難點培優(yōu))特訓(xùn)(原卷版+解析)

【講練課堂】2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題1.5全等三角形的性質(zhì)與判定（重難點培優(yōu)）【名師點睛】【典例剖析】【例1】（2022?南通模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分別為D，E，BD，CE相交于點O，且∠BAE＝∠CAD．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠BOC＝140°，求∠OBC的度數(shù)．【變式】（2022?宿城區(qū)校級開學(xué)）如圖，AD、BC相交于點O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．（1）求證：△ABD≌△BAC；（2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度數(shù)．【例2】（2020秋?蘇州期末）如圖，AD，BF相交于點O，AB∥DF，AB＝DF，點E與點C在BF上，且BE＝CF．（1）求證：△ABC≌△DFE；（2）求證：點O為BF的中點．【變式】（2021秋?東至縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2021秋?河?xùn)|區(qū)期末）如圖，點D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點，連接DE并延長至F，使EF＝DE，連接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，則BD的長等于（）A．1 B．2 C．3 D．52．（2022?南京二模）如圖，在△ABC中，點D在AC上，BD平分∠ABC，延長BA到點E，使得BE＝BC，連接DE若∠ADE＝38°，則∠ADB的度數(shù)是（）A．68° B．69° C．71° D．72°3．（2021秋?蘇州期末）如圖，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，則∠ABE的度數(shù)為（）A．155° B．125° C．135° D．145°4．（2022春?濟南期中）如圖，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，則∠B與∠ADC滿足的數(shù)量關(guān)系為（）A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90°5．（2021秋?桐柏縣期末）如圖，已知AB⊥CD，AB＝CD，E、F是AD上的兩個點，CE⊥AD，BF⊥AD，若AD＝a，BF＝b，CE＝c，則EF的長為（）A．a(chǎn)+b﹣c B．b+c﹣a C．a(chǎn)+c﹣b D．a(chǎn)﹣b6．（2021秋?淮陽區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，點D，E，F(xiàn)分別在邊BC，CA，AB上，且滿足BF＝CD，BD＝CE，∠BFD＝30°，則∠FDE的度數(shù)為（）A．75° B．80° C．65° D．95°7．（2021春?涿鹿縣期中）如圖，∠C＝∠D＝90°，∠CAB＝∠DBA，若AC＝3，AD＝4，則AB是（）A．3 B．4 C．5 D．68．（2020秋?射陽縣期末）工人師傅常用角尺平分一個任意角．作法如下：如圖所示，∠AOB是一個任意角，在邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，過角尺頂點C的射線OC即是∠AOB的平分線．這種作法的道理是（）A．HL B．SSS C．SAS D．ASA9．（2019秋?錫山區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，且AD⊥BD，點E、F是AD上的任意兩點，若BC＝8，AD＝6，則圖中陰影部分的面積為（）A．24 B．18 C．12 D．910．（2021秋?頭屯河區(qū)校級期末）如圖，點C是△ABE的BE邊上一點，點F在AE上，D是BC的中點，且AB＝AC＝CE，給出下列結(jié)論：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；④AB+BD＝DE．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二．填空題（共6小題）11．（2021秋?武進區(qū)期中）已知：如圖，∠CAB＝∠DBA，只需補充條件，就可以根據(jù)“SAS”得到△ABC≌△BAD．12．（2021秋?泰州月考）如圖，∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACD，需添加的一個條件是（只添一個條件即可）．13．（2011春?太倉市期末）如圖，已知∠CAE＝∠DAB，AC＝AD．給出下列條件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的條件為．（注：把你認為正確的答案序號都填上）14．（2021秋?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，CA⊥BC，垂足為C，AC＝2cm，BC＝6cm，射線BM⊥BQ，垂足為B，動點P從C點出發(fā)以2cm/s的速度沿射線CQ運動，點N為射線BM上一動點，滿足PN＝AB，隨著P點運動而運動，當點P運動秒時，△BCA與點P、N、B為頂點的三角形全等．15．（2019秋?江陰市期中）如圖，點P為定角∠AOB的平分線上的一個定點，且∠MPN與∠AOB互補，若∠MPN在繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點，則以下結(jié)論：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長不變，其中正確的序號為．16．（2018秋?邗江區(qū)期末）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，垂足為E，BF∥AC交ED的延長線于點F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．給出下列四個結(jié)論：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正確的結(jié)論是．三．解答題（共4小題）17．（2022?豐縣二模）如圖，點F是△ABC的邊AC的中點，點D在AB上，連接DF并延長至點E，DF＝EF，連接CE．（1）求證：△ADF≌△CEF；（2）若DE∥BC，DE＝4，求BC的長．18．（2022?工業(yè)園區(qū)模擬）已知：如圖，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝∠CAD．求證：∠D＝∠E．19．（2022?江陰市模擬）如圖，在△ABC中，O為BC中點，BD∥AC，直線OD交AC于點E．（1）求證：△BDO≌△CEO；（2）若AC＝6，BD＝4，求AE的長．20．（2022?宜興市校級二模）已知：如圖，在△ABC中，D是BC邊中點，CE⊥AD于點E，BF⊥AD于點F．（1）求證：△BDF≌△CDE；（2）若AD＝5，CE＝2，求△ABC的面積．【講練課堂】2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題1.5全等三角形的性質(zhì)與判定（重難點培優(yōu)）【名師點睛】【典例剖析】【例1】（2022?南通模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分別為D，E，BD，CE相交于點O，且∠BAE＝∠CAD．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠BOC＝140°，求∠OBC的度數(shù)．【分析】（1）由“AAS”可證△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB，即可求解．【解答】（1）證明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∵AD⊥BD，AE⊥EC，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BOC＝140°，∴∠OBC＝∠OBC＝20°．【變式】（2022?宿城區(qū)校級開學(xué)）如圖，AD、BC相交于點O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．（1）求證：△ABD≌△BAC；（2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度數(shù)．【分析】（1）由∠C＝∠D＝90°可知△ABD和△BAC都是直角三角形，因為AB＝BA，AD＝BC，所以根據(jù)“HL”可以判定Rt△ABD≌Rt△BAC；（2）先根據(jù)“直角三角形的兩個銳角互余”求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等求出∠BAD的度數(shù)，則由∠CAO＝∠BAC﹣∠BAD即可求出∠CAO的度數(shù)．【解答】（1）證明：如圖，∠C＝∠D＝90°，在Rt△ABD和Rt△BAC中，，∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），即△ABD≌△BAC；（2）解：∵∠C＝90°，∠ABC＝35°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣35°＝55°，∵∠BAD＝∠ABC＝35°，∴∠CAO＝∠BAC﹣∠BAD＝55°﹣35°＝20°，∴∠CAO的度數(shù)為20°．【例2】（2020秋?蘇州期末）如圖，AD，BF相交于點O，AB∥DF，AB＝DF，點E與點C在BF上，且BE＝CF．（1）求證：△ABC≌△DFE；（2）求證：點O為BF的中點．【分析】（1）由“SAS”可證△ABC≌△DFE；（2）由“AAS”可證△ACO≌△DEO，可得EO＝CO，可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AB∥DF，∴∠B＝∠F，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SAS）；（2）∵△ABC≌△DFE，∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，在△ACO和△DEO中，，∴△ACO≌△DEO（AAS），∴EO＝CO，∴點O為BF的中點．【變式】（2021秋?東至縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長．【分析】由∠AEC＝∠BAC＝α，推出∠ECA＝∠BAD，再根據(jù)AAS證明△BAD≌△ACE得CE＝AD，AE＝BD＝3，即可得出結(jié)果．【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α，∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠ECA＝∠BAD，在△BAD與△ACE中，，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD＝3，∵DE＝AD+AE＝10，∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．∴CE＝7．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2021秋?河?xùn)|區(qū)期末）如圖，點D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點，連接DE并延長至F，使EF＝DE，連接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，則BD的長等于（）A．1 B．2 C．3 D．5【分析】由FC∥AB得，∠DAE＝∠FCE，再利用AAS證明△DAE≌△FCE，得AD＝CF，從而解決問題．【解答】解：∵FC∥AB，∴∠DAE＝∠FCE，在△DAE與△FCE中，，∴△DAE≌△FCE（AAS），∴AD＝CF，∵CF＝3，∴AD＝CF＝3，又∵AB＝5，∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，故選：B．2．（2022?南京二模）如圖，在△ABC中，點D在AC上，BD平分∠ABC，延長BA到點E，使得BE＝BC，連接DE若∠ADE＝38°，則∠ADB的度數(shù)是（）A．68° B．69° C．71° D．72°【分析】先證明△BDE≌△BDC（SAS），可得∠BDE＝∠BDC，根據(jù)∠ADB+∠CDB＝180°，即可求出∠ADB的度數(shù)．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD，在△BDE和△BDC中，，∴△BDE≌△BDC（SAS），∴∠BDE＝∠BDC，∵∠ADE＝38°，∴∠BDC＝∠ADB+38°，∴∠ADB+∠ADB+38°＝180°，∴∠ADB＝71°，故選：C．3．（2021秋?蘇州期末）如圖，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，則∠ABE的度數(shù)為（）A．155° B．125° C．135° D．145°【分析】利用AAS證明△ACD≌△AEB即可得出答案．【解答】解：在△ACD和△AEB中，，∴△ACD≌△AEB（AAS），∴∠ABE＝∠ADC，∵∠CDE＝55°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣55°＝125°，∴∠ABE＝∠ADC＝125°，故選：B．4．（2022春?濟南期中）如圖，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，則∠B與∠ADC滿足的數(shù)量關(guān)系為（）A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90°【分析】在射線AD上截取AE＝AB，連接CE，根據(jù)SAS不難證得△ABC≌△AEC，從而得BC＝EC，∠B＝∠AEC，可求得CD＝CE，得∠CDE＝∠CED，證得∠B＝∠CDE，即可得出結(jié)果．【解答】解：在射線AD上截取AE＝AB，連接CE，如圖所示：∵∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠EAC，在△ABC與△AEC中，，∴△ABC≌△AEC（SAS），∴BC＝EC，∠B＝∠AEC，∵CB＝CD，∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∴∠B＝∠CDE，∵∠ADC+∠CDE＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°．故選：C．5．（2021秋?桐柏縣期末）如圖，已知AB⊥CD，AB＝CD，E、F是AD上的兩個點，CE⊥AD，BF⊥AD，若AD＝a，BF＝b，CE＝c，則EF的長為（）A．a(chǎn)+b﹣c B．b+c﹣a C．a(chǎn)+c﹣b D．a(chǎn)﹣b【分析】由題意可證△ABF≌△CDE（AAS），可得BF＝DE＝b，CE＝AF＝c，可求EF的長．【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠C+∠D＝90°，∠A+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，且AB＝CD，∠AFB＝∠CED，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴BF＝DE＝b，CE＝AF＝c，∵AE＝AD﹣DE＝a﹣b，∴EF＝AF﹣AE＝c﹣（a﹣b）＝c﹣a+b，故選：B．6．（2021秋?淮陽區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，點D，E，F(xiàn)分別在邊BC，CA，AB上，且滿足BF＝CD，BD＝CE，∠BFD＝30°，則∠FDE的度數(shù)為（）A．75° B．80° C．65° D．95°【分析】由∠B＝∠C，∠A＝50°，利用三角形內(nèi)角和為180°得∠B＝65°，∠FDB＝85°，再由BF＝CD，BD＝CE，利用SAS得到△BDF≌△CED，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到∠BFD＝∠CDE，利用三角形內(nèi)角和即可得證．【解答】解：∵∠B＝∠C，∠A＝50°∴∠B＝∠C＝×（180°﹣50°）＝65°，∵∠BFD＝30°，∠BFD+∠B+∠FDB＝180°∴∠FDB＝85°在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD＝∠CDE＝30°，又∵∠FDE+∠FDB+∠CDE＝180°，∴∠FDE＝180°﹣30°﹣85°＝65°．故選：C．7．（2021春?涿鹿縣期中）如圖，∠C＝∠D＝90°，∠CAB＝∠DBA，若AC＝3，AD＝4，則AB是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】證明△DAB≌△CBA（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AC＝BD，根據(jù)勾股定理可求出答案．【解答】解：在△DAB和△CBA，，∴△DAB≌△CBA（AAS），∴AC＝BD，∵AC＝3，AD＝4，∴BD＝3，∴AB＝＝＝5．故選：C．8．（2020秋?射陽縣期末）工人師傅常用角尺平分一個任意角．作法如下：如圖所示，∠AOB是一個任意角，在邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，過角尺頂點C的射線OC即是∠AOB的平分線．這種作法的道理是（）A．HL B．SSS C．SAS D．ASA【分析】由三邊相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做題時要根據(jù)已知條件結(jié)合判定方法逐個驗證．【解答】解：由圖可知，CM＝CN，又OM＝ON，OC為公共邊，∴△COM≌△CON，∴∠AOC＝∠BOC，即OC即是∠AOB的平分線．故選：B．9．（2019秋?錫山區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，且AD⊥BD，點E、F是AD上的任意兩點，若BC＝8，AD＝6，則圖中陰影部分的面積為（）A．24 B．18 C．12 D．9【分析】利用SSS證明△ADC≌△ADB，可得△ABD的面積＝△ACD的面積，通過拼接可得陰影部分的面積＝△ABD的面積，再利用三角形的面積公式可求解．【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD＝BC＝4，∴AD是BC的中垂線，∴BE＝CE，BF＝CF，在△BEF和△CEF中，∴△BEF≌△CEF（SSS），∴S△BEF＝S△CEF，∴S陰影＝S△ADB＝×CD×AD＝12，故選：C．10．（2021秋?頭屯河區(qū)校級期末）如圖，點C是△ABE的BE邊上一點，點F在AE上，D是BC的中點，且AB＝AC＝CE，給出下列結(jié)論：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；④AB+BD＝DE．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】①根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可作出判斷；②由于F在AE上，不一定是AE的中點，故無法作出判斷；③無法證明∠1＝∠2；④根據(jù)等量關(guān)系即可作出判斷．【解答】解：①∵D是BC的中點，AB＝AC，∴AD⊥BC，故①正確；②∵F在AE上，不一定是AE的中點，AC＝CE，∴無法證明CF⊥AE，故②錯誤；③無法證明∠1＝∠2，故③錯誤；④∵D是BC的中點，∴BD＝DC，∵AB＝CE，∴AB+BD＝CE+DC＝DE，故④正確．故其中正確的結(jié)論有①④，共兩個．故選：B．二．填空題（共6小題）11．（2021秋?武進區(qū)期中）已知：如圖，∠CAB＝∠DBA，只需補充條件AC＝BD，就可以根據(jù)“SAS”得到△ABC≌△BAD．【分析】根據(jù)SAS的判定方法可得出答案．【解答】解：補充條件AC＝BD．理由：在△ABC和△BAD中，，△ABC≌△BAD（SAS）．故答案為：AC＝BD．12．（2021秋?泰州月考）如圖，∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACD，需添加的一個條件是CD＝BD（只添一個條件即可）．【分析】由已知條件具備一角一邊分別對應(yīng)相等，還缺少一個條件，可添加DB＝DC，利用SAS判定其全等．【解答】解：需添加的一個條件是：CD＝BD，理由：∵∠1＝∠2，∴∠ADC＝∠ADB，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS）．故答案為：CD＝BD．13．（2011春?太倉市期末）如圖，已知∠CAE＝∠DAB，AC＝AD．給出下列條件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的條件為①、③、④．（注：把你認為正確的答案序號都填上）【分析】由∠CAE＝∠DAB，得∠CAB＝∠DAE；則△CAB和△DAE中，已知的條件有：∠CAB＝∠DAE，CA＝AD；要判定兩三角形全等，只需添加一組對應(yīng)角相等或AE＝AB即可．【解答】解：∵∠CAE＝∠DAB，∴∠CAE+∠EAB＝∠DAB+∠EAB，即∠CAB＝∠DAE；又AC＝AD；所以要判定△ABC≌△AED，需添加的條件為：①AB＝AE（SAS）；③∠C＝∠D（ASA）；④∠B＝∠E（AAS）．故填①、③、④．14．（2021秋?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，CA⊥BC，垂足為C，AC＝2cm，BC＝6cm，射線BM⊥BQ，垂足為B，動點P從C點出發(fā)以2cm/s的速度沿射線CQ運動，點N為射線BM上一動點，滿足PN＝AB，隨著P點運動而運動，當點P運動0或2或4或6秒時，△BCA與點P、N、B為頂點的三角形全等．【分析】此題要分兩種情況：①當P在線段BC上時，②當P在BQ上，再分別分兩種情況AC＝BP或AC＝BN進行計算即可．【解答】解：∵CA⊥BC，BM⊥BQ，∴∠ACB＝∠PBN＝90°，①當P在線段BC上，AC＝BP時，Rt△ACB≌Rt△PBN（HL），∴BP＝AC＝2cm，∴CP＝BC﹣BP＝4（cm），∴點P的運動時間為4÷2＝2（秒）；②當P在線段BC上，AC＝BN時，Rt△ACB≌Rt△NBP（HL），∴PB＝BC＝6cm，∴CP＝0，因此時間為0秒；③當P在BQ上，AC＝BP時，Rt△ACB≌Rt△PBN（HL），∴BP＝AC＝2cm，∴CP＝BC+BP＝8（cm），∴點P的運動時間為8÷2＝4（秒）；④當P在BQ上，AC＝NB時，Rt△ACB≌Rt△NBP（HL），∴BP＝BC＝6cm，∴CP＝BC+BP＝12（cm），點P的運動時間為12÷2＝6（秒），故答案為：0或2或4或6．15．（2019秋?江陰市期中）如圖，點P為定角∠AOB的平分線上的一個定點，且∠MPN與∠AOB互補，若∠MPN在繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點，則以下結(jié)論：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長不變，其中正確的序號為（1）（2）（3）．【分析】如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要證明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判斷．【解答】解：如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°，∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE＝PF，在Rt△POE和Rt△POF中，，∴Rt△POE≌Rt△POF，∴OE＝OF，在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN，∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正確，∴S△PEM＝S△PNF，∴S四邊形PMON＝S四邊形PEOF＝定值，故（3）正確，∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，故（2）正確，∵M，N的位置變化，∴MN的長度是變化的，故（4）錯誤，故答案為：（1）（2）（3）16．（2018秋?邗江區(qū)期末）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，垂足為E，BF∥AC交ED的延長線于點F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．給出下列四個結(jié)論：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正確的結(jié)論是①②③④．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三線合一得到BD＝CD，AD⊥BC，故②③正確；通過△CDE≌△DBF，得到DE＝DF，CE＝BF，故①④正確．【解答】解：∵BF∥AC，∴∠C＝∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠CBF，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC，∵AD是△ABC的角平分線，∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正確，在△CDE與△DBF中，，∴△CDE≌△DBF，∴DE＝DF，CE＝BF，故①正確；∵AE＝2BF，∴AC＝3BF，故④正確；故答案為：①②③④三．解答題（共4小題）17．（2022?豐縣二模）如圖，點F是△ABC的邊AC的中點，點D在AB上，連接DF并延長至點E，DF＝EF，連接CE．（1）求證：△ADF≌△CEF；（2）若DE∥BC，DE＝4，求BC的長．【分析】（