直線、平面、簡單幾何體-人教版

直線、平面、簡單幾何體

鄭州市教育局教學(xué)研究室孫道光

一、有效落實綱本，積極發(fā)揮導(dǎo)向

(-)考試內(nèi)容要求

1.知識要求；

2.能力要求；

3.個性品質(zhì)要求.

(二)考綱要求

9(A)直線、平面、簡單幾何體

考試要求：

(1)掌握平面的基本性質(zhì)，會用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的

直觀圖.能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形.能夠根據(jù)

圖形想象它們的位置關(guān)系

(2)掌握兩條直線平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理.掌握兩條直線所成

的角和距離的概念(對于異面直線的距離，只要求會計算已給出公垂線時的距

離)

(3)掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理.掌握直線和平面垂直的

判定定理和性質(zhì)定理掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和

平面的距離的概念.了解三垂線定理及其逆定理.

(4)掌握兩個平面平行的判定定理和性質(zhì)定理.掌握二面角、二面角的平面

角、兩個平面間的距離的概念.掌握兩個平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.

(5)會用反證法證明簡單的問題.

(6)了解多面體的概念，了解凸多面體的概念.

(7)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會畫直棱柱的直觀圖.

(8)了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)，會畫正棱錐的直觀圖.

(9)了解正多面體的概念，了解多面體的歐拉公式.

(10)了解球的概念，掌握球的性質(zhì)，掌握球的表面積、體積公式.

9(B)直線、平面、簡單幾何體

考試要求：

(1)掌握平面的基本性質(zhì)，會用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直

觀圖.能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形，能夠根據(jù)

圖形想象它們的位置關(guān)系.

(2)掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理.掌握直線和平面垂直的

判定定理.了解三垂線定理及其逆定理.

(3)理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘.

(4)了解空間向量的基本定理.理解空間向量坐標(biāo)的概念，掌握空間向量

的坐標(biāo)運算.

(5)掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì).掌握用直角坐標(biāo)計算空間向

量數(shù)量積的公式.掌握空間兩點間距離公式.

(6)理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內(nèi)的射影等概念.

(7)掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角、距離的概念.對

于異面直線的距離，只要求會計算已給出公垂線或在坐標(biāo)表示下的距離.掌握

直線和平面垂直的性質(zhì)定理.掌握兩個平面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理.

(8)了解多面體的概念，了解凸多面體的概念.

(9)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會畫直棱柱的直觀圖.

(10)了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)，會畫正棱錐的直觀圖.

(11)了解正多面體的概念，了解多面體的歐拉公式.

(12)了解球的概念，掌握球的性質(zhì)，掌握球的表面積、體積公式.

【注意】高考中立體幾何試題主要考查的是考生的邏輯表達(dá)能力、計算能

力以及空間想象能力.而在內(nèi)容上，在論證的基礎(chǔ)上求空間的角和距離類型的

試題是多年來較為穩(wěn)定的考查內(nèi)容.

(三)命題基本原則

數(shù)學(xué)學(xué)科的系統(tǒng)性和嚴(yán)密性決定了數(shù)學(xué)知識之間深刻的內(nèi)在聯(lián)系，包括各部

分知識在各自的發(fā)展過程中的縱向聯(lián)系和各部分知識之間的橫向聯(lián)系.要善于

從本質(zhì)上抓住這些聯(lián)系，進(jìn)而通過分類、梳理、綜合，構(gòu)建數(shù)學(xué)試題的結(jié)構(gòu)框

架.對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查，要求全面又突出重點，對于支撐學(xué)科知識體系的

重點知識，考查時要保持較高的比例，構(gòu)成數(shù)學(xué)試題的主體.注重學(xué)科的內(nèi)在

聯(lián)系和知識的綜合性，不刻意追求知識的覆蓋面.從學(xué)科的整體高度和思維價

值的高度考慮問題，在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點設(shè)計試題，使考查達(dá)到必要的深度.

數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識發(fā)

生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，能夠遷移并廣泛應(yīng)用于相關(guān)學(xué)科和社會生活中.因

此，對于數(shù)學(xué)思想和方法的考查必然要與數(shù)學(xué)知識的考查結(jié)合進(jìn)行，通過數(shù)學(xué)

知識的考查，反映考生對數(shù)學(xué)思想和方法理解和掌握的程度.考查時要從學(xué)科

整體意義和思想價值立意，要有明確的目的，加強(qiáng)針對性，注意通性通法，淡

化特殊技巧，有效地檢測考生對中學(xué)數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法的掌

握程度

數(shù)學(xué)是一門思維的科學(xué)，是培養(yǎng)理性思維的重要載體，通過空間想象、直

覺猜想、歸納抽象、符號表達(dá)、運算推理、演繹證明和模式構(gòu)建等諸方面，對

客觀事物中的數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和判斷，形成和發(fā)展理性思維，構(gòu)

成數(shù)學(xué)能力的主體.對能力的考查，強(qiáng)調(diào)〃以能力立意〃，就是以數(shù)學(xué)知識為載

體，從問題入手，把握學(xué)科的整體意義，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)觀點組織材料.對知識

的考查側(cè)重于理解和應(yīng)用，尤其是綜合和靈活的應(yīng)用，以此來檢測考生將知識

遷移到不同的情境中去的能力，從而檢測出考生個體理性思維的廣度和深度，

以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能.

對能力的考查，以思維能力為核心，全面考查各種能力，強(qiáng)調(diào)綜合性、應(yīng)

用性，切合考生實際.運算能力是思維能力和運算技能的結(jié)合，它不僅包括數(shù)

的運算，還包括式的運算，對考生運算能力的考查主要是算理和邏輯推理的考

查，以含字母的式的運算為主.空間想象能力是對空間形式的觀察、分析、抽

象的能力，考查時注意與推理相結(jié)合.實踐能力在考試中表現(xiàn)為解答應(yīng)用問題,

考查的重點是客觀事物的數(shù)學(xué)化，這個過程主要是依據(jù)現(xiàn)實的生活背景，提煉

相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并加以解決.

命題時要堅持“貼近生活，背景公平，控制難度〃的原則，要把握好提出問題所

涉及的數(shù)學(xué)知識和方法的深度和廣度，要切合我國中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實際，讓數(shù)

學(xué)應(yīng)用問題的難度更加符合考生的水平，引導(dǎo)考生自覺地置身于現(xiàn)實社會的大

環(huán)境中，關(guān)心自己身邊的數(shù)學(xué)問題，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)和實踐中形成和發(fā)展數(shù)學(xué)

應(yīng)用的意識.

創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力是理性思維的高層次表現(xiàn).在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究過程

中，知識的遷移、組合、融匯的程度越高，展示能力的區(qū)域就越寬泛，顯現(xiàn)出

的創(chuàng)造意識也就越強(qiáng).命題時要注意試題的多樣性，設(shè)計考查數(shù)學(xué)主體內(nèi)容，

體現(xiàn)數(shù)學(xué)素質(zhì)的題目，反映數(shù)、形運動變化的題目，研究型、探索型或開放型

的題目.讓考生獨立思考，自主探索，發(fā)揮主觀能動性，研究問題的本質(zhì)，尋

求合適的解題工具，梳理解題程序，為考生展現(xiàn)其創(chuàng)新意識發(fā)揮創(chuàng)造能力創(chuàng)設(shè)

廣闊的空間.

數(shù)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，注重對數(shù)學(xué)思想和方法的考查,

注重對數(shù)學(xué)能力的考查，注重展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值.同時兼顧試題

的基礎(chǔ)性、綜合性和現(xiàn)實性，重視試題的層次性，合理調(diào)控綜合程度，堅持多

角度、多層次的考查，努力實現(xiàn)全面考查綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求

二、2004年、2005年試題回顧與特點分析

近兒年高考立體幾何命題有以下特點：

(1)題型和題量較穩(wěn)定：一般是二選一填一解答，2005年題量稍有上調(diào)，在

全國各省市18套不同試卷中，大多數(shù)是三選一填(或二選)一解答，分值占全

卷分值的20%左右，值得關(guān)注。

(2)選擇題、填空題難度低，源于課本的改編題多，注重符號語言、文字

語言、圖形語言在推理中的運用.重視對空間線面位置關(guān)系及其夾角、距離和

柱、錐、球等的觀念和簡單性質(zhì)的考查.

(―)2004年、2005年試題回顧

1.全面考查雙基，注重內(nèi)在聯(lián)系：

重點加強(qiáng)對基礎(chǔ)知識的考查是2005年高考試卷的一個顯著特點，數(shù)學(xué)是

一門思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)科的能力要求是由其自身特點所決定的，但必須指出，

強(qiáng)調(diào)能力要求并不是要削弱對基礎(chǔ)知識和基本理論的要求。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，是

考生進(jìn)入高等學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是參加社會實踐的必備知識，考查考生

對基礎(chǔ)知識的掌握程度是數(shù)學(xué)高考的重要目標(biāo)之一，也是近年高考數(shù)學(xué)試題的

一個顯著特點，

例1(05北京6)在正四面體P—ABC中，D,E,F分別是AB,BC,CA的中

點，下面四個結(jié)論中不熟考的是(C)

(A)BC〃平面PDF(B)DF_L平面PAE

(C)平面PDFJL平面ABC(D)平面PAE，平面ABC

［考查意圖］主要考查線面、面面的平行與垂直，是對基本知識、基本方

法的考查.

例2(05湖南理8山東卷理8)設(shè)地球的半徑為R,若甲地位于北緯45。東經(jīng)

120°,乙地位于南緯75。東經(jīng)120。，則甲、乙兩地的球面距離為(D)

(A)也R(B)-R(C)—R(D)—R

663

重在考查基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法，突出三基，強(qiáng)化三基，既符合

2005年《考試大綱》的要求，又有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革的發(fā)展：面向全體學(xué)

生，以學(xué)生的發(fā)展為本，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，實施素質(zhì)教育。

2.堅持對數(shù)學(xué)思想方法的考查倡導(dǎo)理性思維

重視數(shù)學(xué)思想方法的考查，已是高考數(shù)學(xué)命題多年來所堅持的方向，并且提

煉出中學(xué)數(shù)學(xué)的一些比較基本的數(shù)學(xué)思想和方法，以各種不同的層次融入試題

中，通過考生對數(shù)學(xué)思想方法的直覺運用，來對考生的數(shù)學(xué)能力進(jìn)行區(qū)分。

例3(05全國5)如圖，在多面體/比好中，已知ABCD是邊長為1的正方

形，且AADE、ABCF均為正二角形，EF//AB,EF^2,則................F

該多面體的體積為\、、、、__/］

(A)巫(B)叵(C)-(D)-\°

3332V______/

［考查意圖］主要考查多面體的體積及割補(bǔ)轉(zhuǎn)化的

思想方法，同時考查空間想象能力和推理運算能力.

［錯因分析］體積計算公式不熟悉或不知如何轉(zhuǎn)化求解是出錯的主要原因.

［提示］取)的中點0,則多面體被分割成了兩個棱長為1的正四面體?！?。、

。尸C8和所有棱長都是1的正四棱錐。-ABC。，故所求體積為昨也義2+也=也，

1263

應(yīng)選(A).本題也可割成一個三棱柱和一個三棱錐進(jìn)行求解.

3.積極回應(yīng)05年考試大綱特別是其中“題型示例”的變化，重點加強(qiáng)對新增數(shù)

學(xué)知識的考查

縱觀2005年高考數(shù)學(xué)試題，給人一種“耳目一新”的感覺，就象2005年全

國統(tǒng)一考試大綱中題型示例給人們的感覺一樣。試題要么單純考查新增數(shù)學(xué)知

識，要么突出考查新增數(shù)學(xué)知識和其它知識的結(jié)合，如向量與立體幾何，這與

《2005年全國統(tǒng)一考試大綱》中“題型示例”的突出變化是相吻合的，是一致的,

是完全符合考試大綱的要求的。這些知識既是新教材中新增數(shù)學(xué)知識的重要內(nèi)

容，又是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，因此，2005年全國高考數(shù)學(xué)試題的推出，既有

利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，又有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教材的改革。

例4（05山東卷理20）如圖，已知長方體ABCO-A￡CQ,AB=2,A4]=1,

直線BO與平面AA0/所成的角為30。，4E垂直8。于E,尸為人用的中點.

（I）求異面直線AE與所成的角；

（II）求平面以開與平面AA"所成的二面角；

解：在長方體ABC。-A4G2中，以A8所在的直線

為x軸，以A。所在的直線為y軸，AA所在的直線為

Z軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系，由已知

AB=2,9=1,可得4（0,0,0）,5（2,0,0）,尸（1,0,1）,又AO_L

平面AA4B,從而8。與平面AAeB所成的角

為ZDBA=30°,又AB=2,AE1BD,AE^\,AD=^-從而易得

E一,—,0,D0,-----,0?

223

______

（I）因為荏=口，且,o]歷=（-1,0,1）所以cos（甌而卜普智=《=-也

[22）\/回叫V24

易知異面直線AE、B/7所成的角為arccos在

4

（11）易知平面41乃的一個法向量而=（0,1,0）設(shè)3=。/*）是平面跳）￡的一個法向

日一273.\n±BF\n-BF^0=fx=Z

量,80=（—2,午,0）由一一=>_一=.2百八二5.

3[n1BD[n-BD=02x---y=0[J3x=y

、3

即3=（1,百,1）所以儂（顯今=葡=半即平面8〃與平面A46所成的二面角的

大?。ㄤJ角）為arccos-^^-.

（HI）點A到平面的距離，即而在平面3DF的法向量[上的投影的絕對

值，

所以距離d=而.cos（而,。>絲1=述所以點A到平面8。f的距離為拽.

'"川55

4.概念性強(qiáng)

例5（05吉林、黑龍江、廣西全國卷n文理（16））下面是關(guān)于三棱錐的四個

命題：

①底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐。

②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐。

③底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐。

④側(cè)棱與底面所成的角都相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是

正三棱錐。其中，真命題的編號是O（寫出所有真命題的編號）

例6（05浙江卷文理18）如圖，在三棱錐

P-ABC中，AB±BC,AB=BC=kPA,點0、D分

別是AC、PC的中點,0PJL底面ABC.

⑴當(dāng)k=」時，求直線PA與平面PBC

2

所成角的大?。?/p>

（II）當(dāng)k取何值時，0在平面PBC

內(nèi)的射影恰好為APBC的重心？

本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向

量的概念與運算等基本知識，同時考察空

c

間想象能力和推理運算能力.

本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向

量的概念與運算等基本知識，同時考查空

間想象能力和推理運算能力。

解：方法一：（I）V0>D分別為AC、PC的中點,

.?.0D//PA.

又...「人匚平面PA3,

:.OD平面PAA

（II）,*>1BC,OA=OC,

OA=OB=0G

又?.?OP±平面ABC,

PA=PB=PC.取BC中點E,連結(jié)

貝IJ3C1平面尸OE.

作。尸1PE于E,連結(jié)DF,

貝平值fPBC

/QOF是QO與平面尸6c所成的角.

又。。PA,PA與平面PBC所成角的大小等于N。。立

在RtODF中，sin/ODF="=且9,

OD30

/.P4與平面P8C所成的角為arcsin業(yè)絲■.

30

（III）由（II）知，。/J.平面PBC,

尸是。在平面P6C的射影

?.?。是PC的中點，若點E是P8C的重心，

則從F、。三點共線，

直線OB在平面P8C內(nèi)的射影為直線3D.

???OB1PC,PC1BD,:.PB=BC,EPA;=1.

反之，當(dāng)k=1時，三棱錐0-P8C為正三棱錐，

在平面PBC內(nèi)的射影為PBC的重心.

方法二：平面ABC,OA=OC,AB=BC,

：.OA±OB,0A1OP,OB10P,

以。為原點，射線0P為負(fù)z軸，建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz(如圖)，

設(shè)A5=a,WM(—a,0,0),B(O,—a,0),C(-—a,0,0)

222

設(shè)OP=h，則P(0,0,h),產(chǎn)

(I)TD為PC的中點，b

-.OD=(—乎凡0,；力)，PA=*a,O,—h),/；V\

OD^~PA.ODPA./

OD平面PA8/Iy

(II)g'即PA—2a.----

西=(#a,O,-0),

司求得平面PBC的法向量〃=（1,-1,-,

PAn_V210

.".cos<PA,n>-

設(shè)PA與平面PBC所成的角為°,則〈郎*答.

.?.PA與平面PBC所成的角為3rcsm甯.

（III）P8C的重心G（-交a,也a,,）.：.麗=（一0a津Jh>

???OG_L平面尸BC,.-.OGIPB.

___B_ii5

又而=(0,=%-/?)..\OG~PB^一a2一川=0.h^—a.

2632

PA=yj0A2+h2=a,即攵=1.

反之，當(dāng)A=1時，三棱錐O-PBC為正三棱錐，

。在平面P8C內(nèi)的射影為PBC的重心.

5.應(yīng)用的廣泛性

例7（05江蘇卷12）四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產(chǎn)品，有公共點的

兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是危險的，沒有公共頂點的兩條棱所代表

的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是安全的，現(xiàn)打算用編號為①、②、③、④的4個倉

庫存放這8種化工產(chǎn)品，那么安全存放的不同方法種數(shù)為（）

A.96B.48C.24D.0

6.知識的交匯

例8（05湖北卷理12）以平行六面體ABCD—A'B'CD’的任意三個頂點為

頂點作三角形，從中隨機(jī)取出兩個三角形，則這兩個三角形不共面的概率P為

（A）

A.也B.鎏C.日D.里

385385385385

7.開放型問題

立體兒何填空題常以開放型問題出現(xiàn)，高考試卷中出現(xiàn)頻率較高的是多選

填空題.這類考題一般給出多個備選命題要求考生判斷其真?zhèn)涡裕顚懭珴M足

要求的命題序號.

例

9（2004年全國高考山東、山西、河南、河北、江西、安徽卷理科試題）已

知

a、b為不垂直的異面直線，a是一個平面，則a、b在a上的射影有可能

是

①兩條平行直線②兩條互相垂直的直線

③同一條直線④一條直線及其外一點

在一面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號是（寫出所有正確結(jié)論的編

,則兩直

線必共面，這與a、b異面矛盾，因此，③是錯誤的.故正確答案是①②④.

例10（2005重慶卷文理7）對于不重合的兩個平面a與夕，給定下列條件：

①存在平面使得a、2都垂直于

②存在平面了,使得夕都平行于不

③a內(nèi)有不共線的三點到p的距離相等；

④存在異面直線/、m,使得〃/a,1//B,mila,m//B,

其中，可以判定a與夕平行的條件有(B)

A.1個B.2個C.3個D.4個

例11（05山東卷理16）已知加、”是不同的直線，a、4是不重合的平面，給

出下列命題：

①若all/3,mua,nu則AM//n

②若m,naa,mH/?,則a//0③若m±a,n±/3,mHn,則a/力④〃?,〃是兩條異面直線,

若mHajnlla,nH0,則a〃￡

上面的命題中，真命題的序號是③④（寫出所有真命題的序號）

評析：立體兒何在高中數(shù)學(xué)占有重要地位，是開放型問題的一個重要來源,

在高考試卷中屢見不鮮.開放型問題是近年來才出現(xiàn)的新題型，屬于選擇題中

的多選題，它排除了“唯一性''中"猜''的成份，多個結(jié)論的開放性加大了問題的

難度，必須對每個備選結(jié)論逐一研究其真?zhèn)涡裕拍苓x出正確答案.對這類問

題不能有一絲一毫的疏忽，錯選一個全題皆錯.

8.立足教材貼近教材

（二）解答題考查的三個熱點問題

1.用空間向量求二面角

在立體幾何中設(shè)計的二面角是用來度量兩個相交平面的“開合”程度的，是

立體幾何中的一個重要概念，因此，考查二面角已成為久考不衰的熱點問

題.關(guān)于二面角的計算，均可歸結(jié)為求兩個向量的夾角問題.

例12（2004年全國高考四川、云南、吉林、黑龍江理科數(shù)學(xué)試題）如圖，直

三棱柱ABC—ABC中,ZACB=90°,AC=1,CB=&,側(cè)棱AALI,側(cè)面AABB

的兩條對角線交點為D,B￡的中點為M.

（I）求證CD_L平面BDM；%-----

（II）求面BED與面CBD所成二面角的大小./：\D/Z

分析：本小題主要考查線面關(guān)系和直棱柱等基礎(chǔ)知識，同時叱/I

考查空間想象能力和推理運算能力.（1）要證cD_L平面BAzy//Ci

DM,只需證明CD與面內(nèi)兩條直線垂直即可.（2）先作出二B必--詔］

面角的平面角，再求其所在三角形三邊，用余弦定理求解.

解法一:（I）如圖，連結(jié)CA-A3、CM,則CA尸也.

???CB=CAL收，...ACBA.為等腰三角形，

又知D為其底邊A0的中點，八、、力1

ACDIA.B.VA.C^l,GB尸友,.?.ABLVJ/：V<7

又BBi=l,AB=2.VAAiCB為直角三角形，D為AB

的中點，

Bi

.\CD=1A,B=1,CD=CC”XDM=1AC,=—,DM=CM.

.,.△CDM^ACC.M,NCDM=NCGM=90°,即CD_LDM.

因為AB、DM為平在BDM內(nèi)兩條相交直線，所以CD,平面BDM.

(II)設(shè)F、G分別為BC,BD的中點，連結(jié)BG、FG、BE則FG//CD,FG^CD.

.*.FG=1,FG1BD.

由側(cè)面矩形BBAA的對角線的交點為D知BD=BJ）=,AiB=l,

2

所以aBB。是邊長為1的正三角形.

于是B.G1BD,BG=@.ZB,GF是所求二面角的平面角,

2

222

又BIF=BIB+BF=I+（農(nóng)）2=3,

2B.CFG

即所求二面角的大小為乃-arccos—

解法二：如圖，以C為原點建立坐標(biāo)系.

(I)B(V2,0,0),B,(V2,1,0),Ai(0,1,

。加（4，1，0），AL__A1

而=（,；,5,港=（立-1,-1）,麗=（0,；,-；）,/[AV

則而?港=0,麗?奇=0,/.CD±A1B,CD±DM.

因為AB、DM為平面BDM內(nèi)兩條相交直線，所以嚴(yán)=監(jiān)i

CDJ_平面BDM.》

（II）設(shè)BD中點為G,連結(jié)BG,則

。（號而=（若、3、K麗=（--汕，

444222444

:.BDB^G=0,:.BD1B】G.又CDLBD,

，而與函的夾角弼于所求的二面角的平面角

.?.皿。=且隆=-3.所以所求的二面角等于4-arccosg.

\CD\-\B.C\33

評析：本題通過一個倒放的直三棱柱考查了立體兒何的基礎(chǔ)知識，線面垂

直的判定定理、二面角等知識，同時考查了空間想象能力及推理運算能力.本

題用空間向量的知識求解思路清楚，運算簡捷.

2.線線、線面平行與垂直問題

從近些年看，以多面體為載體，重點考查空間的直線與直線和直線與平面

的位置關(guān)系一直是高考立體兒何命題的熱點.因為這類題目既可以考查多面

體的概念和性質(zhì)，又能考查空間的線面關(guān)系，并將論證和計算有機(jī)地結(jié)合在一

起，可以比較全面、準(zhǔn)確地考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力以及分析

和解決問題的能力.

例13(2004年天津高考理科試題)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面A

BCD是正方形，側(cè)棱PDJ_底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點，

作EF_LPB交PB于點F.證明PA〃平面EDB；

(1)證明PB_L平面EFD；

(2)求二面角C—PB—D的大小.p

分析：本小題考查直線與平面平行，直線與平面小

垂直，二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和/[\\

推理論證能力.\

①證明線面平行只需證明直線與平面內(nèi)一條直/I/\\\

線平行即可；②求斜線與平面所成的角只需在/'c

斜線上找一點作已知平面的垂線，斜線和射影//\\\7

所成的角，即為所求角；③證明線面垂直只需/、、\/

證此直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直變可.這￡__________兇

些從9(A)證法中都能十分明顯地體現(xiàn)出來.B

方法一：

(1)證明：連結(jié)AC,AC交BD于0,連結(jié)E0。

,底面ABCD是正方形，.?.點。是AC的中點

在APAC中，E0是中位線，「.PA〃E0?

而EOu平面EDB且％g平面EDB,

所以，PA〃平面EDB\YX

⑵證明：/UVL\

?.?PD_L底面ABCD且OCu底面ABCD,APD1DC/

VPD=DC,可知AFDC是等腰直角三角形，而DE是/

斜邊PC的中線，匕,7

DE_LPC.①太B

同樣由PDJ_底面ABCD,得PD±BC.

?.?底面ABCD是正方形，有DCLBC,「.BC，平面PDC。

而OEu平面PDC,:.BCLDE.②

由①和②推得￡>E_L平面PBC.

而P8u平面PBC,DE±PB

又EFLPB且DECEF=E,所以PBJ_平面EFD.

(3)解：由(2)知，PB1DF,故NEFD是二面角c—PB—D的平面角.

由(2)知，DE1EF,PD1DB.

設(shè)正方形ABCD的邊長為a,則PO=oc=a,缶，

PB=y/PD2+BD2=扃，PC=yJPD2+DC2=42a

在RMDB中，DF=--=

PB

旦

2

在RfAEF。中，sinEFD=^=-V3

￡~T

DF3

：.NEFD=-.

3

所以，二面角C—PB—D的大小為工.

3

方法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原

點，設(shè)DC=a.

(1)證明：連結(jié)AC,AC交BD于G,連結(jié)EG.

依題意得AQ0,0),尸(0,0,a),E(0,-).

?.?底面ABCD是正方形，「.G是此正方形的中心，故點G的坐標(biāo)為弓，號0)

且PA=(a,0,-a),EG=(p0,

~PA=2EG,這表明PA//EG.

而EGu平面EDB且以且平面EDB,...PA〃平面EDB.

(2)證明；依題意得B(a,a,0),PB=(a,a,-a)。又DE=(0,,故

—"—,a~.

PB-DE=0+----------=0...PB1DE.

22

由已知Eb_LPB,且E/nOE=E,所以P5J_平面EFD.

(3)解：設(shè)點F的坐標(biāo)為(x0,y0,z0),~PF=ZPB,貝lj

(x()，%，z。-a)=2(a,a,-a).

從而與=九2,y0-Aa,z()=(l-4)a.所以

FE-(-x0,■一)"，~~z0)=(-Aa,(-^-A)a,(A-^)a).

由條件Eb_LPB知，F(xiàn)EPB=0,即

-/h2+(^-2)a2-(/l-^)o2=0,解得/l=；

.?.點F的坐標(biāo)為(**g),且

aaTHzaa2a

FE=(FD=(—,,-----)

堂333

22

aa2a2

：.PB-FD3r+亍0

即PBO故NEFD是二面角C一PB一D的平面角.

2222

?.?豆.而=￡__，￡_=、且

91896

'a2a2a2屈

\FE\=------1--------1------=—a,

936366

a2

FEFD

cosEFD=6_J_

V6V62

\FE\\FD\—a-----a

63

所以，二面角c—PB—D的大小為J.

3

評析：本題以一個四棱錐為載體，考查了線面平行、線面垂直、斜線和平面所

成的角以及二面角等知識，考查了學(xué)生的空間想象能力及邏輯推理能力.此題

用空間向量知識求解的關(guān)鍵在于建立坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系的原則是使盡可能多

的點在坐標(biāo)軸上，從而相關(guān)點和向量得到坐標(biāo)便于表示.

3.點到面的距離問題

立體兒何中的求距離，也是高考中的命題熱點，其中點到平面的距離的計

算是立體兒何中的一個難點.求點到平面距離，一般方法是先由該點向平面引

垂線確定垂足，把點到平面的距離轉(zhuǎn)化為解三角形求解，需要作輔助線，然后

通過邏輯推理論證及計算，這樣處理比較麻煩，而用向量解題則較為簡便.引

入空間向量后，通過將空間元素的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，可將過去的形式

邏輯證明轉(zhuǎn)化為數(shù)值運算，即借助向量法使解題模式化，用機(jī)械性操作把問題

轉(zhuǎn)化，因此，向量為立體兒何代數(shù)化帶來了極大的便利.

例14（2004福建卷理19）在三棱錐S—ABC中，AABC是邊長為4的正三角

形，平面SAC，平面ABC,SA=SC=20，M、N分別

為AB、SB的中點.

（I）證明：AC1SB；

（II）求二面角N—CM—B的大?。?/p>

（IID求點B到平面CMN的距離.

分析：本小題主要考查直線與直線、直線與

平面、二面角、點到平面的距離等基礎(chǔ)知識，考

查空間想象能力和邏輯推理能力.若按常規(guī)方法解，（1）需作輔助線再構(gòu)造一平

面，可得線面垂直結(jié)論，即可證得線先垂直；（2）由三垂線定理作出二面角的

平面角，再由直角三角形知識即可求解；（3）由等體積轉(zhuǎn)換VB—CMN=VN

-CMB即可求解.但解此題用下面的空間向量知識解更簡捷.

解法一：(I)取AC中點D,連結(jié)SD、DB.

VSA=SC,AB=BC,

.,.AC±SDHAC±BD,

.?.AC_L平面SDB,又SBu平面SDB,

AAC±SB.

(II)?.'AC，平面SDB,ACu平面ABC,

平面SDB_L平面ABC.

過N作NE_LBD于E,NE_L平面ABC,

M

過E作EFLCM于F,連結(jié)NF,

則NF±CM.

ZNFE為二面角N-CM-B的平面角.

?.?平面SAC,平面ABC,SD1AC,.\SDJ_平面ABC.

又?.?NE_L平面ABC,...NE〃SD.

VSN=NB,NE=-SD=-^SA2-AD2=-V12^4=V2,且ED=EB.

222

在正aABC中，由平兒知識可求得EF=，MB=L,

42

在Rt^NEF中，tanZNFE=—=2V2,

EF

二.二面角N—CM—B的大小是arctan2vL

(III)在RtZ^NEF中，NF=7EF2+￡;V2=-,

2

SA?=-CM?NF=-V3,SACMB=-BM?CM=2百.

222

設(shè)點B到平面CMN的距離為h,

=

?**VB-CMN~VN-CMB9NE_L平面CMB,—SACW?h—SACMB*NE,

33

：.h二S、CMB,NE=晅.即點B到平面CMN的距離為生@.

°SACMN3J3J

解法二：(I)取AC中點0,連結(jié)OS、OB.

VSA=SC,AB=BC,

.,.AC±S01,AC±BO.

\?平面SAC_L平面ABC,平面SACG平面

ABC=AC

...SO,面ABC,ASOIBO.

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系0一到z.

則A(2,0,0),B(0,2百，0),C(-2,0,0),

S(0,0,272),M(l,V3,0),N(0,后,V2).

，AC=(—4,0,0),SB=(0,2V3,—2V2),

AC?SB=(—4,0,0)?(0,2百，—2V2)=0,

.\AC±SB.

(II)由(I)得麗=(3,73,0),MN=(—1,0,V2).設(shè)n=(x,y,

z)為平面CMN的一個法向量，

z-CM?n=3x+百y=0,

則取z=l,則下后，y=-V6,

MN,n=—^r+V2z=0,

n=(>—V6,1)?)

又次=(0,0,2/)為平面ABC的一個法向量，

n

.?.cos（n,7O7S?\,OS1

|〃卜OSI3

二面角N—CM-B的大小為arccosl.

3

（III）由（I）（II）得加=（-1,6，0）,n=（V2,-V6,1）為平面

CMN的一個法向量，

.?.點B至lj平面CMN的距離d=K^=±/2.

|n|3

評析：此題三個小問題層層深入，由（1）證明線線垂直，（2）又利用三垂線

定理及勾股定理求二面角，（3）由三角形等面積轉(zhuǎn)換求線段，進(jìn)而由等體積求

點到平面距離.這是一道考查立體兒何知識較全面的考題.

三、2006年高考數(shù)學(xué)備考建議

為了更好地發(fā)揮高考指揮棒的作用，在認(rèn)真分析研究2005年全國高考試

題之余，結(jié)合教學(xué)實踐的得與失，特提出以下建議，供2006屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

備考參考。

（一）全面抓基礎(chǔ)落實

2005年高考數(shù)學(xué)試題，在繼承和發(fā)揚前兒年高考命題成果與經(jīng)驗的基礎(chǔ)

上，重點加強(qiáng)了對基礎(chǔ)知識的考查，既符合《考試大綱》的要求，又順應(yīng)了數(shù)

學(xué)教育改革的發(fā)展。

基于此認(rèn)識，我們建議在以后的高考復(fù)習(xí)過程中，必須將狠抓“三基”放在

首位，一方面，高考的首輪復(fù)習(xí)必須真正地回到課本，回到基礎(chǔ)中去，教師應(yīng)

潛心鉆研《教學(xué)大綱》和《考試大綱》，有意識地引導(dǎo)學(xué)生回歸教材;引導(dǎo)學(xué)

生清理知識發(fā)生的本原，幫助學(xué)生構(gòu)建起高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識網(wǎng)絡(luò)，另一方面,

在復(fù)習(xí)中必須切實克服“眼高手低”的毛病，不好高鷲遠(yuǎn)，在毫不吝惜地刪除某

些復(fù)習(xí)資料中的偏題、難題和怪題的同時一，以課本的習(xí)題為素材，深入淺出、

舉一反三地加以推敲、延伸和適當(dāng)變形，形成典型例題，借助于啟發(fā)式講解來

幫助學(xué)生融會貫通基礎(chǔ)知識；再之，必須將講與練結(jié)合起來，借助于單元練習(xí)

和測試（題目應(yīng)切實根據(jù)學(xué)生的實際編擬）來進(jìn)一步夯實基礎(chǔ)。

（二）重點知識重點復(fù)習(xí)

平面向基本性總條直線平行與垂直、兩條直線所成的角和距離、直線和

平面平行與垂直、斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的

距離、三垂線定理及其逆定理、二面角、二面角的平面角、兩個平面間的距離、

兩個平面平行與垂直等既是立體幾何中的重要內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要

內(nèi)容，又是高考的重點，而且?？汲Ｐ?，經(jīng)久不衰。因此，在復(fù)習(xí)備考中，

一定要圍繞上述重點內(nèi)容作重點復(fù)習(xí)。

空間向量解題要點

1.空間向量加法、減法、數(shù)乘向量的意義及運算律與平面向量類似.這

些運算不但適合中學(xué)里的代數(shù)運算律，而且有很多性質(zhì)與實數(shù)性質(zhì)完全相

同.空間任意兩個向量都可以（通過平移）轉(zhuǎn)化為平面向量.兩個向量相加的

平行四邊形法則在空間仍然成立.向量的減法是由向量的加法來定義的：減去

一個向量就等于加上它的相反向量.由此可以推出向量等式的移項方法，即將

其中任意一項變號后，從等式一端移到另一端.

2.用空間向量解決立體幾何問題，一般可按以下過程進(jìn)行思考：①要解

決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？②所需要的向量是

否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？③所需要的向量

若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表

示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？④怎樣對已經(jīng)表示出

來的所需向量進(jìn)行運算，才能得到需要的結(jié)論？

3.空間向量的坐標(biāo)運算，關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，然后再利用

有關(guān)公式求解.常用向量的直角坐標(biāo)運算來證明向量的垂直和平行問題；利用

向量的夾角公式和距離公式求解兩條直線的夾角和兩點間距離的問題.

4.利用向量解決兒何問題具有快捷、有效的特征.一般方法如下：先將

原問題轉(zhuǎn)化為等價的向量問題，即將已知條件中的角轉(zhuǎn)化為向量的夾角，線段

長度轉(zhuǎn)化為向量的模，并用已知向量表示出未知向量(注意量的集中)，然后

利用向量的運算解決該向量問題，從而原問題得解.要求熟練掌握向量的有關(guān)

知識，一要由向量的意義實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，二要由向量運算實現(xiàn)解答.

5.利用向量坐標(biāo)解決立體兒何問題的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)位置，建立適當(dāng)、正

確的空間坐標(biāo)系.難點是在已建好的坐標(biāo)系中表示出已知點(或向量)的坐

標(biāo).只有正確表達(dá)出已知點(或向量)的坐標(biāo)，才能通過向量的坐標(biāo)運算，實

現(xiàn)幾何問題的代數(shù)化解法.

例15(2004廣東卷18)如右下圖，在長方體ABCD—ABCD中，已知AB=4,AD

=3,AA,=2.E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB=FB=1.

(1)求二面角C—DE—G的正切值；

(2)求直線EG與FD啰則箜弦值.

解：(1)以A為原點，麗而，麗分別為x軸，

y軸,z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，則有

D(0,3,0)、立(0,3,2)、E⑶0,0)、F(4,1,0)、

U4,3,2)于型_

DE=(3,-3,0),西=(1,3,2),西=(-4,2,2)

設(shè)向量〃=(x,y,z)與平面GDE垂直，則有

n±DE]3x-3y=0]1

＞屬J=X+3y+2z=ojn"，2^

：.n=z)=2),其中z>0,

取第=1,2),則瓦是一個與平面GOE垂直的向量,

:向量可=(0,0,2)與平面CQE垂直，

/.瓦與福所成的角。為二面角C-QE-G的平面角.

-lx。-lx0+2x2,xfh

,/cos^=="

I?oIxlA4IJl+l+4xj0+0+4—3

/.tan0=

2

(ID設(shè)EG與FD所成角為B,貝ij

cosB-西.兩_1X(-4)+3X2+2X2_叵

222X22214

as。|^c7|x|'FDX|71+3+27(-4)+2+2

例16(2004必修+選修121)

如圖，已知四棱錐P—ABCD,PB1AD,側(cè)面

PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，代

側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°.\;

(I)求點P到平面ABCD的距離；\，戶二

(II)求面APB與面CPB所成二面角的大小.F----一

本小題主要考查棱錐，二面角和線面關(guān)系等

基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力.滿分12分.

(I)解：如圖，作P0J_平面ABCD,垂足為點0.連結(jié)OB、0A、0D、0B與

AD交于點E,連結(jié)PE.

VAD±PB,AAD±OB,

VPA=PD,/.OA=OD,

于是OB平分AD,點E為AD的中點，所以PE

±AD.

由此知NPEB為面PAD與面ABCD

所成二面角的平面角，

.,.ZPEB=120°,ZPE0=60°

由已知可求得PE=73

.\P0=PE?sin60°fx旦二,即點P到

22

平面ABCD的距離為工

2

(II)解法一：如圖建立直角坐標(biāo)系，其

中0為坐標(biāo)原點，X軸平行于DA.

P(0,0,-),B(0,-y-,0),

PB中點G的坐標(biāo)為(0,速上)

連結(jié)AG.又知4(1,1,0),c(一2,乎,0).由此得到:

44

—P8■=(0，3m5/3，-3/—8C,=(-2,0,0).

于是有源?麗=0,就?麗=0

所以右，麗.就，麗.面的夾角6

等于所求二哽色平面角，

手縣AGABC2V7

十7ECOS0=——=------------,

|GA|?|BC|7

所以所求二面角的大小為4-arccosR^

7

解法二：如圖，取PB的中點G,PC的中點F,連結(jié)EG、AG、GF,則AGLPB,

FG//BC,FG=-BC.

2

VAD1PB,...BCJLPB,FG±PB,

/.ZAGF是所求二面角的平面角.

?:AD，面POB,AADIEG.

XVPE=BE,.*.EG±PB,且NPEG=60°.

在RtAPEG中，EG=PE?cos60°=烏

2

在RtAPEG中，EG=1AD=1.于是tan

2

ZGAE=—=—,

AE2

又NAGF二-NGAE.所以所求二面角的大小為，-arctan^

例17(河北、河南、山西、安徽全國卷I文理(18))

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB〃DC,

NDAB=90°,PA，底面ABCD,且PA=AD=DC=-AB=1,M是

2

PB的中點。

(I)證明：面PAD上面PCD；

(II)求AC與PB所成的角；

(III)求面AMC與面BMC所成二面角的大小。

解析：本小題主要考查直線與平面垂直、直線與

平面所成角的有關(guān)知識及思維能力和空間想象能

力.考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力.

方案一：(I)證明：:PA，面ABCD,CD1AD,

.??由三垂線定理得：CD±PD.

因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD,PD都垂直,

，CD，面PAD.

又CDu面PCD,.?.面PAD上面PCD.

(II)解：過點B作BE//CA,且BE=CA,

則NPBE是AC與PB所成的角.

連結(jié)AE,可知AC=CB=BE=AE=VI,又AB=2,

所以四邊形ACBE為正方形.由PA_L面ABCD得NPEB=90°

在RtaPEB中BE=Vi,PB=V5,cosZPBE=—=—.

PB5

AC與P8所成的角為arccoslO.

5

(III)解：作ANJLCM,垂足為N,連結(jié)BN.

在RtZ^PAB中，AM=MB,又AC=CB,r.AAMC^ABMC,

.*.BN±CM,故NANB為所求二面角的平面角.

VCB±AC,由三垂線定理，得CBLPC,

在RtaPCB中,CM=MB,所以CM=AM.

在等腰三角形AMC中，AN-MC=^CM2-(^)2-AC,

V3行

X222

mVV6.AD_O./cmAN+BN-AB2

..AN=--T=—=-F???AB—2，,.cos4ANB=--------------=—

亞M2xANxBN3

~T

故所求的二面角為arccos(-1).

方法二：因為PAJ_PD,PA1AB,AD1AB,以A為坐標(biāo)原點AD長為單位長度，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點坐標(biāo)為A(0,0,0)B(0,2,0),C(1,1,

0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,1).

(I)證明：因而=(0,0,1),嵐=(0,1,0),故而?反=0,所以AP_LOC.

由題設(shè)知AD,DC,且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相上

交直線，由此得DC_L面PAD.又DC在面PCD上，故面

PAD上面PCD.__關(guān)A.

(II)解：因公=(1,1,0),而=(0,2,-1),〃'戌亍金