浙江省91聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期期中數(shù)學試題_第1頁
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2023~2024學年第二學期浙江省9+1高中聯(lián)盟高二年級期中考試數(shù)學命題:桐鄉(xiāng)市高級中學沈瑜方蕾審題:舟山中學婁文浩富陽中學徐益春考生須知:1.本卷滿分150分,考試時間120分鐘;2.答題前,在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場、座位號及準考證號并核對條形碼信息;3.所有答案必須寫在答題卷上,寫在試卷上無效,考試結束后,只需上交答題卷;4.參加聯(lián)批學校的學生可關注“啟望教育”公眾號查詢個人成績分析.一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的,不選、多選、錯選均不得分)1.在的展開式中常數(shù)項是()A.1120 B.160 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二項式定理得到通項公式,從而確定常數(shù)項.【詳解】的展開式通項公式為,令,解得,故常數(shù)項為.故選:D2.已知事件,且,,,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用條件概率公式求.【詳解】由條件概率公式知:,則.故選:B3.已知可導函數(shù)滿足,則()A. B. C. D.1【答案】A【解析】分析】根據(jù)復合函數(shù)求導法則,即可求解.【詳解】對求導,故,故選:A4.已知等差數(shù)列的前n項和為,則()A.18 B.36 C.54 D.60【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由可得,故,故選:D5.已知函數(shù)在內(nèi)有最小值,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的導函數(shù),即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極小值點,從而得到關于的不等式組,解得即可.【詳解】函數(shù)的定義域為,,令可得或(舍),當時,當時,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以在處取得極小值,即最小值,又因為函數(shù)在內(nèi)有最小值,故,解得,所以的取值范圍是.故選:B6.已知函數(shù)為不相等的兩個實數(shù),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由已知結合對數(shù)的運算性質(zhì)檢驗充分性以及必要性即可判斷.【詳解】因為函數(shù)為不相等的兩個實數(shù),不妨設,當時,有,即,解得,當時,,,即,當時,,,即,,則,當時,一定有,且,則,所以“”是“”的充分必要條件;故選:C7.2024年伊始,隨著“廣西砂糖桔”“馬鈴薯公主”等熱梗的不斷爆出,哈爾濱火爆出圈,成為旅游城市中的“頂流”.某班級六位同學也準備共赴一場冰雪之約,制定了“南方小土豆,勇闖哈爾濱”的出游計劃,這六位同學準備在行程第一天在圣索菲亞教堂、冰雪大世界、中央大街三個景點中選擇一個去游玩,已知每個景點至少有一位同學會選,六位同學都會進行選擇并且只能選擇其中一個景點,若學生甲和學生乙準備選同一個景點,則不同的選法種數(shù)是()A.132 B.144 C.150 D.168【答案】C【解析】【分析】分學生甲、乙選的景點沒有其他人選與有其他人選兩大類,采用先分組、再分配的方法計算可得.【詳解】若學生甲、乙選的景點沒有其他人選,則分組方式為或(其中為甲、乙),當為時,則有種選法;當為(其中為甲、乙)時,則有種選法;若學生甲、乙選景點有其他人選,則分組方式為或(其中為甲、乙與另一學生),當時,則有種選法;當為(其中為甲、乙與另一學生)時,則有種選法;綜上可得一共有種不同的選法.故選:C8.已知數(shù)列的前n項和為,且關于n的不等式有3個解,則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用數(shù)列的遞推關系,構造出常數(shù)列,再求通項,然后分離參變量,再利用數(shù)列的單調(diào)性思想,來研究不等式成立的條件即可.【詳解】由可得:,由上可得是常數(shù)列,當時,,所以,即,而,則,令,則,當時,,即,而,,,為了滿足不等式有三個解,則,此時有,滿足條件,故選:A.【點睛】方法點睛:通過數(shù)列遞推關系構造出常數(shù)列,不等式恒成立或有解問題要用分離參變量方法,數(shù)列的單調(diào)性用作差或作商法來研究.二、選擇題(本題共3小題,每小題6分,共18分.每小題列出的四個備選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)9.已知隨機變量滿足,且,且,則()A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意,利用二次分布的期望與方差的公式,以及期望與方差的運算性質(zhì),逐項判定,即可求解.【詳解】由隨機變量滿足,且,可得,解得,對于A中,由,所以A錯誤;對于B中,因為,即,可得,所以B正確;對于C中,由,所以C正確;對于D中,由,可得,所以D正確.故選:BCD.10.“楊輝三角”是中國古代數(shù)學文化的瑰寶之一,最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中.“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律,如圖所示.下列關于“楊輝三角”的結論正確的是()A.2024行中從左往右第1012個數(shù)與第1014個數(shù)相等B.C.記第10行的第個數(shù)為,則D.記第行的第個數(shù)為,則【答案】AC【解析】【分析】對于A,利用的展開式的二項式系數(shù)計算,對于B,利用性質(zhì)計算即可;對于C、D,代入,利用二項式定理計算即可.【詳解】對于A,第2024行中數(shù)為的展開式的二項式系數(shù),則從左往右第1012個數(shù)為,第1014個數(shù)為,由于,故A正確;對于B,由,可得,故B不正確;對于C,第行的第個數(shù)為,則,故C正確;對于D,第行的第個數(shù)為,則,故D錯誤;故選:AC11.有個等分為五個扇形的圓形幸運轉(zhuǎn)盤,這五個扇形分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,轉(zhuǎn)動圓盤等其靜止時,指針均指向扇形的內(nèi)部,記錄下對應的數(shù)字.持續(xù)這個過程,記前次所得的數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為,則()A. B.C.是等比數(shù)列 D.是遞減數(shù)列【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意,由全概率公式分析可得,由此分析A,進而對該式變形可得,由數(shù)列與概率的關系分析B、C、D,綜合可得答案.【詳解】根據(jù)題意,有個等分為五個扇形的圓形幸運轉(zhuǎn)盤,這五個扇形分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,則每次旋轉(zhuǎn)中,指針指向數(shù)字為偶數(shù)的概率為,指向數(shù)字為奇數(shù)的概率為,則,又由,則,故A正確;對于,變形可得,,則,故數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,故,變形可得,對于B,,,則,故B錯誤;對于C,,此時,而,所以數(shù)列不是等比數(shù)列,故C錯誤;對于D,,由于,故是遞減數(shù)列,故D正確.故選:AD.三、填空題(本題共3小題,每小題5分,共15分)12.已知隨機變量X服從正態(tài)分布,且,則__________.【答案】0.9【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解.【詳解】根據(jù)題意,,則,所以,則.故答案為:0.913.將1,2,3,4,5,6這6個數(shù)填入圖所示的格子中,要求每個數(shù)字都要填入,且每個格子只能填一個數(shù),其中1與2相鄰(有公共邊的兩格子稱為相鄰)的不同的填法有__________種(結果用數(shù)字作答).【答案】336【解析】【分析】由排列組合以及分步乘法計數(shù)原理求解.【詳解】1從第一排開始排,滿足題意有如下情況.如右圖,此時2所在位置2種,其他全排即可,有種,如右圖,此時2所在位置3種,其他全排即可,有種,如右圖,此時2所在位置2種,其他全排即可,有種,同理,由圖形對稱性知道,1從第二排開始排,與前面第一排情況數(shù)一樣.種.故答案為:336.14.已知實數(shù),且函數(shù),則函數(shù)的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】由題意可得的幾何意義為,兩點間距離與點到軸的距離之和,其中點在曲線上,點在拋物線上,作出圖象,結合圖象求解即可.【詳解】由題意得,設,,則點在曲線上,點在拋物線上,的幾何意義為,兩點間距離與點到軸的距離之和.設拋物線的焦點為,則由拋物線的定義知,所以,所以,問題轉(zhuǎn)化為求曲線上的點到點的距離的最小值,設曲線上的點,到點的距離最小,則與曲線在點處的切線垂直,即,所以,作出函數(shù)與函數(shù)的圖象,如圖所示:由圖象知,兩函數(shù)圖象只有一個交點,所以方程的解為,則.所以,所以函數(shù)的最小值為.故答案為:.【點睛】關鍵點點睛:將看作是,兩點間距離與點到軸的距離之和,利用拋物線的性質(zhì)求解.四、解答題(本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)當時,求曲線在處的切線方程;(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)求導,根據(jù)點斜式即可求解直線方程,(2)根據(jù)恒成立,即可由求解.【小問1詳解】當時,,故在處的切線方程為,即【小問2詳解】由題意知在(0,+∞)恒成立,,化簡得在恒成立,而,所以16.已知正項等比數(shù)列的前n項和為,且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由,化簡求得,進而由求得,從而可得數(shù)列的通項公式;(2)由已知得,當時,,進而兩式相減可得,即,從而利用分組求和法與裂項相消法分別對為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況可求數(shù)列的前n項和.【小問1詳解】由,整理得,因為是正項等比數(shù)列,所以,于是,解得或(舍去).又,解得.所以.【小問2詳解】由已知得兩式相減得,即,當時,,所以,即,當n為偶數(shù)時,;當n為奇數(shù)時,.所以.【點睛】關鍵點睛:本題關鍵在于由得,從而利用分組求和法與裂項相消法分別對為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況可求數(shù)列的前n項和.17.小明參加一個抽紙牌游戲,規(guī)則如下:有九張質(zhì)地完全相同的紙牌,其中有一張大王牌,其余四種花色為:紅桃、黑桃、方塊、梅花各2張.逐次從9張牌中不放回地隨機抽取一張紙牌,每次抽牌后,都往牌堆中加入一張新的大王牌.(1)求小明在前兩次抽牌中只抽到一張大王牌的情況下,第三次抽牌抽到紅桃牌的概率.(2)抽牌過程中,若抽到大王牌,則宣告游戲結束:若累計抽到兩張花色相同的紙牌,也宣告游戲結束;否則游戲繼續(xù).用X表示小明在游戲中一共抽到的紙牌數(shù),求X的分布列.【答案】(1)(2)答案見解析【解析】【分析】(1)設事件A表示“前兩次抽牌中只抽到一張大王牌”,設事件B表示“第三次抽到紅桃牌”,利用條件概率公式能求出小明在前兩次抽牌中只抽到一張大王牌的情況下,第三次抽牌抽到紅桃牌的概率(2)X的可能所有取值為:1,2,3,4,5分別求出相應的概率,由此能求出的分布列即可.【小問1詳解】設事件A表示“前兩次抽牌中只抽到一張大王牌”,設事件B表示“第三次抽到紅桃牌”.則.則小明在前兩次抽牌中只抽到一張大王牌的情況下,第三次抽牌抽到紅桃牌的概率為.【小問2詳解】X的可能所有取值為:1,2,3,4,5.,,,,,則X的分布列為:X12345P18.已知數(shù)列,滿足,記.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求證:;(3)設數(shù)列的前n項和為,證明:.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【解析】【分析】(1)利用待定系數(shù)法計算,即可求得;(2)由題可得,令,可將問題轉(zhuǎn)化為證明,再由導數(shù)即可證明;(3)由(2)中的結論,結合數(shù)列的求和公式可證,再由放縮法以及裂項相消法可證,即可得證.【小問1詳解】設,即,因為,所以,解得,所以,因為,則,所以,所以.【小問2詳解】證明:令,因為,所以,要證,只要證,即可.因為,令,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,所以單調(diào)遞增,則,所以得證.小問3詳解】由(2)可知,,所以,即,另一方面,所,則,所以19.藥房里有若干味藥.藥劑師用這些藥配成22副藥方,每副藥方中恰有5味藥,從中任選的三味藥都恰好只包含在某一副藥方中.(1)藥房中共有幾味藥?(2)藥物分為烈性藥和非烈性藥,要求每副藥方中至少有一味是烈性藥.(i)假設藥房中有7味烈性藥,證明:全部藥方中一定有一副藥方至少含有4味烈性藥;(ii)證明:全部藥方中一定有一副藥方至少含有4味烈性藥.【答案】(1)12(2)(i)證明見解析;(ii)證明見解析【解析】【分析】(1)由題意列出方程,即可求解;(2)設共有烈性藥r味,1味烈性藥味非烈性藥稱為三藥組”,考慮問題的反面,從而列出方程,結合該方程的解的情況,即可證明結論.【小問1詳解】設共有n味藥,一共可形成個“三藥組”,另一方面,每個“三藥組”恰有一副藥方包含它,22副藥方中,每副藥方可形成個“三藥組”,合計220個“三藥組”,所以,所以.【小問2詳解】設共有烈性藥r味,假設每副藥方中至多含有3味烈性藥,不妨把1味烈性藥味非烈性藥稱為“三藥組”,共有個“三藥組”,另一方面,因為每3種烈性藥恰有一副藥方包含它,故有副藥方恰含有3種烈性藥,每

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