2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 31 第四章 第三節(jié) 三角恒等變換

第三節(jié)三角恒等變換考試要求：1．通過(guò)推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過(guò)程，知道兩角差的余弦公式的意義．2．會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．3．能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶)．自查自測(cè)知識(shí)點(diǎn)一兩角和與差的余弦、正弦、正切公式1．判斷下列說(shuō)法的正誤，正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”．(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.(√)(2)兩角和與差的正切公式中的角α，β是任意角．(×)(3)公式tan(α＋β)＝tanα+tanβ1－tanαtanβ可以變形為tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan(4)存在實(shí)數(shù)α，使tan2α＝2tanα.(√)2．sin20?cos10?－cos160?sin10?等于()A．－32 B．C．－12 D．D解析：原式＝sin20?cos10?＋cos20?sin10?＝sin(20?＋10?)＝sin30?＝123．(教材改編題)已知α∈π2，π，且sinα＝45－17解析：因?yàn)棣痢师?，π，且sin所以cosα＝－1－452＝所以tanα+π核心回扣自查自測(cè)知識(shí)點(diǎn)二倍角公式與半角公式1．1－A．sin40? B．sin50?C．cos130? D．±cos50?B解析：1－2．若角α滿足sinα＋2cosα＝0，則tan2α等于()A．－43 B．C．－34 D．D解析：由題意知，tanα＝－2，所以tan2α＝2tan3．(教材改編題)若α為第二象限角，sinα＝513，則sin2α等于－120169解析：因?yàn)棣翞榈诙笙藿?，sinα＝5所以cosα＝－1－所以sin2α＝2sinαcosα＝2×513核心回扣1．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tan2．半角公式sinα2＝±1cosα2＝±1tanα2＝±1【常用結(jié)論】1．公式變形(1)降冪公式：cos2α＝1+cos2α2；sin2α＝1－cos2α2；sin(2)升冪公式：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；1＋sinα＝sinα2+cosα22(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)；tanαtanβ＝1－tanα+2．半角正切公式的有理形式：tanα23．萬(wàn)能公式：sinα＝2tanα21+tan2α24．輔助角公式：asinx＋bcosx＝a2+b2sin(x＋應(yīng)用1sin20A．12 B．－C．32 D．－A解析：原式＝12應(yīng)用2若將sinx－3cosx寫(xiě)成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，則φ＝________.π3解析：因?yàn)閟inx－3cosx＝2(12sinx－32cosx)＝2sin(x－φ)＝2(sinxcosφ－所以cosφ＝12，sinφ＝3因?yàn)?≤φ<π，所以φ＝π3應(yīng)用3tan10?tan20?＋tan20?tan60?＋tan60?tan10?的值等于________.1解析：原式＝tan10?tan20?＋tan60?(tan20?＋tan10?)＝tan10?tan20?＋3tan(20?＋10?)(1－tan20?×tan10?)＝tan10?tan20?＋1－tan20?tan10?＝1.公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用1．(2024·濟(jì)寧模擬)1－A．1 B．3C．33 D．C解析：1－tan15?12．(2023·新高考全國(guó)Ⅱ卷)已知α為銳角，cosα＝1+54A．3－58 C．3－54 D解析：因?yàn)閏osα＝1－2sin2α2＝1+53．(2021·全國(guó)甲卷)若α∈0，π2，tan2α＝cosA．1515 B．C．53 D．A解析：(方法一)因?yàn)閠an2α＝sin2αcos2α所以2sinαcosα1因?yàn)棣痢?，π2，所以cosα＝154，tan(方法二)因?yàn)閠an2α＝2tanα1－tan所以2sinαcosα1因?yàn)棣痢?，π2，所以cosα＝154，tan4．tan10?＋tan50?＋3tan10?tan50?＝________.3解析：因?yàn)閠an60?＝tan(10?＋50?)＝tan10所以tan10?＋tan50?＝tan60?(1－tan10?tan50?)＝3－故原式＝3－3tan10?tan50?＋3tan10?tan50?＝三角函數(shù)公式的應(yīng)用策略(1)熟悉各個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征，明確待求目標(biāo)能與哪個(gè)公式聯(lián)系．(2)使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值．三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題考向1給值求值問(wèn)題【例1】(1)(2024·南寧模擬)已知cosα＝?35，α是第三象限角，則cosA．210 B．－C．7210 D．A解析：因?yàn)閏osα＝－35，α是第三象限角，所以sinα＝－1所以cosπ4+α＝cosπ4cosα－sinπ4(2)已知sinθ＋sinθ+π3A．12 B．C．23 D．B解析：因?yàn)閟inθ＋sinθ+π3＝32sinθ＋32cosθ“給值求值”關(guān)鍵在于“變角”，使待求角與已知角相同或具有某種關(guān)系．考向2給值求角問(wèn)題【例2】(1)已知α，β∈(0，π)且tanα＝12，cosβ＝－1010，則αA．π4 B．C．5π6 D．B解析：由題可知α∈0，π2，β∈π2，π，故sinβ＞0，sinβ＝1－cos2β＝31010，tanβ＝sinβcosβ＝－3.又α＋β∈(2)(2024·濟(jì)南模擬)已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均為銳角，則A．5π12 B．C．π4 D．C解析：因?yàn)棣?，β均為銳角，即0<α<π2，0<β<π2，所以－π2<α－β因?yàn)閟in(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝3又sinα＝55，所以cosα＝2所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝55所以β＝π4給值求角的方法依條件求出所求角的范圍，選擇一個(gè)在角的范圍內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)的三角函數(shù)求值．已知sin(α－β)＝13，cosαsinβ＝16，則cos(2α＋2A．79 B．C．－19 D．－B解析：由題意，得sinαcosβ－cosαsinβ＝13，cosαsinβ＝16，所以sinαcosβ＝12，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosα·sinβ三角函數(shù)角的變換與式的變換考向1三角函數(shù)角的變換【例3】(1)已知sinα+π4＝45，A．210 B．C．22 D．A解析：由α∈π4，π2，得α＋π4∈π22－33又因?yàn)棣幸驗(yàn)棣烈驗(yàn)閏os因?yàn)棣幸驗(yàn)閟in所以cos＝12變式43則所以cosα－π12＝常見(jiàn)的配角技巧(1)2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α+(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)尋找“所求角”與“已知角及特殊角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式將“所求角”用“已知角、特殊角”表示．考向2三角函數(shù)式的變換【例4】(1)已知cosα+π6－sinα＝4A．－235 C．235 DB解析：因?yàn)閏osα+π6－sinα＝435，所以32cosα－則12cosα－32sinα＝cosα+所以sinα+11π6＝sin3π2+α+π(2)已知sinπ5－α＝14，則cos－78解析：由題意得cos2π5－2α＝cos2π5－α＝1－2sin2π5－α＝1－1三角函數(shù)式的變換問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)(1)關(guān)鍵：明確各個(gè)三角函數(shù)名稱(chēng)之間的聯(lián)系，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)南仪谢セ?2)常用公式：誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．1．已知cosθ－π12＝3A．－29 B．－C．29 D．B解析：因?yàn)?θ＋π3＝2θ所以sin2θ+＝cos2θ－π12＝2cos2＝2×332－1＝－2．已知tan(α＋β)＝3，tanβ＝2，則sin5π2－－7解析：因?yàn)閠an(α＋β)＝3，tanβ＝2，tan(α＋β)＝tanα+tanβ解得tanα＝17，所以sin5π2－αsinπ+α＝sinπ2－三角函數(shù)恒等變換的綜合應(yīng)用【例5】已知函數(shù)f(x)＝23sinxcosx－2cos2x＋1(x∈R)．若f(x0)＝65，x0∈0，π3解：f(x)＝23sinxcosx－2cos2x＋1＝3(2sinxcosx)－(2cos2x－1)＝3sin2x－cos2x＝2sin2x由題意知f(x0)＝2sin2x0－π6＝6又x0∈0，π3，所以2x0－π所以cos2x0－所以cos2x0＝cos2＝cos2x0－π6cosπ＝45×3三角恒等變換的應(yīng)用形如af2(x)＋bsinxcosx＋k(ab≠0)(其中f(x)是正弦函數(shù)或余弦函數(shù))型的化簡(jiǎn)問(wèn)題，主要是逆用二倍角公式及輔助角公式，將所給函數(shù)化為只含一個(gè)角的正弦型或余弦型三角函數(shù)的形式．已知函數(shù)f(x)＝12sinxcosx－12cos2x＋若fα2＝25，求sin2解：f(x)＝14sin2x－12×1+cos2x2+14＝因?yàn)閒α2＝25，所以24sinα－π4＝2sin2α＝sin2α－π4+π2＝cos2α－π4＝1－2sin2勾股關(guān)系視角下的恒等變換同角三角函數(shù)基本關(guān)系主要研究平方關(guān)系與商數(shù)關(guān)系，平方關(guān)系是核心，而平方關(guān)系反映出來(lái)的就是勾股關(guān)系．在高考中出現(xiàn)頻率較高的勾股數(shù)有12組，其中全為整數(shù)的有(3，4，5)，(5，12，13)，(6，8，10)，(7，24，25)，(8，15，17)，含根式的有(1，1，2)，(1，3，2)，(1，2，5)，(1，3，10)，(1，7，52)，(1，43，7)，(53，11，14)，三角恒等變換本質(zhì)上是研究這些勾股數(shù)之間的關(guān)系．熟記常用的勾股數(shù)，能起到事半功倍的效果．[典題展示]已知θ是第四象限角，且sinθ+π4＝35，則tanθ思路展示(方法一)cosθ－π4＝sinπ2+因?yàn)棣仁堑谒南笙藿?，所以－?＋2kπ＜θ＜2kπ(k∈Z所以－3π4＋2kπ＜θ－π4<－π4＋2kπ(k所以sinθ－π4＝－1－所以tanθ－π4＝sinθ(方法二)由sinθ+π4＝35及θ是第四象限角，可得cos故sinθ＝sinθ+π4－π4＝sinθ+＝35×22故cosθ＝7210，tanθ＝－17，所以tanθ－π4勾股關(guān)系視角下的恒等變換主要是已知sinα或cosα中的一個(gè)，利用sin2α＋cos2α＝1來(lái)求另一個(gè)．課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(二十三)1．(2024·?？谀M)若tanα·tanβ＝2，則cosαA．－3 B．－1C．13 A解析：由題意，得cosα－βcosα+β＝cos2．在單位圓中，已知角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P12，32，現(xiàn)將角α的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)π3，記此時(shí)角αA．－32，C．(1，0) D．(0，1)B解析：由三角函數(shù)的定義知，sinα＝32，cosα＝12，將角α的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)π3所得的角為α＋π3，故點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為cosα+π3＝cosαcosπ3－點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為sinα+π3＝sinαcosπ3＋cosα·sinπ3＝33．(數(shù)學(xué)與文化)公元前六世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在研究正五邊形和正十邊形的作圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)了黃金分割約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為m＝2sin18?.若4m2＋n＝16，則mnA．1 B．2C．4 D．8C解析：因?yàn)閙＝2sin18?，由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin18?)2＝16cos218?，所以mn2cos227?－4．已知α，β∈π3，5π6，若sinα+π6＝45，cosA．1665 B．C．5665 D．A解析：由題意可得α＋π6∈π2，π，β－所以cosα+π6＝－35，sinβ所以sin(α－β)＝－sinα+π6－β－5．(多選題)(2024·合肥模擬)下列計(jì)算結(jié)果正確的是()A．cos(－15?)＝6B．sin15?sin30?sin75?＝1C．cos(α－35?)cos(25?＋α)＋sin(α－35?)·sin(25?＋α)＝－1D．2sin18?cos36?＝1BD解析：對(duì)于A，cos(－15?)＝cos15?＝cos(45?－30?)＝cos45?cos30?＋sin45?sin30?＝6+對(duì)于B，sin15?sin30?sin75?＝sin15?sin30?cos15?＝12sin15?cos15?＝14sin30?＝對(duì)于C，cos(α－35?)cos(25?＋α)＋sin(α－35?)·sin(25?＋α)＝cos[(α－35?)－(25?＋α)]＝cos(－60?)＝cos60?＝12對(duì)于D，2sin18?cos36?＝2cos72?cos36?＝2×sin144?2sin6．sin12°218解析：因?yàn)閟in12°2cos2127．(2024·威海模擬)已知α∈π，3π2，若tanα+π3－1010解析：因?yàn)棣痢师校?π2，則α＋π又tanα+π3＝－2<0，故α＋π3∈3π2，11π6，則cos故cosα+π12＝cosα+π3－π＝55×22+8．已知sinα＝210，cosβ＝31010，且α，β為銳角，則α＋2βπ4解析：因?yàn)閟inα＝210，且α為銳角，所以cosα＝1－sin2因?yàn)閏osβ＝31010，且β為銳角，所以sinβ＝1－cos2那么sin2β＝2sinβcosβ＝2×1010×31010＝35，cos2β＝1－2sin2β＝1－所以cos(α＋2β)＝cosα·cos2β－sinαsin2β＝7210×因?yàn)棣痢?，π2，β∈0，π2，所以2β∈(0，π)，所以α＋2β∈0，9．已知2sinα＝2sin2α2(1)求sinαcosα＋cos2α的值；(2)已知α∈(0，π)，β∈0，π2，且tan2β－6tanβ＝1，求α解：(1)由已知得2sinα＝－cosα，所以tanα＝－12則sinαcosα＋cos2α＝sinαcosα+cos(2)由tan2β－6tanβ＝1，可得tan2β＝2tanβ1－則tan(α＋2β)＝tanα+tan2β因?yàn)棣隆?，π2，所以2又tan2β＝－13＞－33，則2β∈因?yàn)棣痢?0，π)，tanα＝－12＞－33，則α∈5π6，π，則α＋2β∈5π3，10．(數(shù)學(xué)與生活)所謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)檢測(cè)樣本之間的相似度，余弦距離是檢測(cè)相似度的常用方法．假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，余弦相似度為向量OA，OB夾角的余弦值，記作cos(A，B)，余弦距離為1－cos(A，B).已知P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，R(cosα，－sinα)，若P，Q的余弦距離為13，Q，R的余弦距離為12，則tanA．17 B．C．4 D．7A解析：由OP＝(cosα，sinα)，OQ＝(cosβ，sinβ)，OR＝(cosα，－sinα)，得cos(P，Q)＝OP·OQOPOQ＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(cos(Q，R)＝OQ·OROQOR＝cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(所以1－cos則cosα－βcosα+β＝cosαcos11．(2024·1月·九省適應(yīng)性測(cè)試)已知θ∈3π4，π，tan2θ＝－4tanθA．14 B．C．1 D．3A解析：由tan2θ＝－4tanθ+得2tanθ1－tan2θ＝－4tan即(2tanθ＋1)(tanθ＋2)＝0，解得tanθ＝－2或tanθ＝－12因?yàn)棣取?π4，π，所以tanθ∈(－1，0)，所以tanθ＝故1+sin2θ2cos2θ+故選A．12．(多選題)(2024·武漢模擬)下列結(jié)論正確的是()A．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝cos(α－γ)B．315sinx＋35cosx＝35sinxC．f(x)＝sinx2＋cosx2D．sin50?(1＋3tan10?)＝1CD解析：對(duì)于A，左邊＝－[cos(α－β)·cos(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，315sinx＋35cosx＝6532sinx對(duì)于C，f(x)＝sinx2＋cosx2＝2sin所以f(x)的最大值為2，故C正確；對(duì)于D，由sin50?(1＋3tan10?)＝sin50?·1＝sin50?·cos10?+3sin1013．如圖，在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，