2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 38 第五章 第一節(jié) 平面向量的概念與線性運(yùn)算

第一節(jié)平面向量的概念與線性運(yùn)算考試要求：1．理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義．2．掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義．3．了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．自查自測知識點(diǎn)一向量的有關(guān)概念判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”．(1)|a|與|b|是否相等和a，b的方向無關(guān)．(√)(2)若a∥b，b∥c，則a∥c.(×)(3)若向量AB與向量CD是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．(×)(4)任意向量與零向量都共線．(√)核心回扣1．向量：既有大小又有方向，向量的大小稱為向量的長度(或模)．2．零向量：長度為0的向量，記作0．3．單位向量：長度等于1個(gè)單位長度的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量平行．5．相等向量：長度相等且方向相同的向量．6．相反向量：長度相等且方向相反的向量．自查自測知識點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算1．判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”．(1)兩個(gè)向量相加實(shí)際上就是兩個(gè)向量的模相加．(×)(2)任意兩個(gè)向量的差向量不可能與這兩個(gè)向量共線．(×)(3)|a|＋|b|＞|a＋b|.(×)(4)若λa＝0，則a＝0.(×)2．(教材改編題)已知?ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且OA＝a，OB＝b，則DC＝________，BC＝______．(用ab－a－a－b解析：如圖，DC＝AB＝OB－OA3．(教材改編題)點(diǎn)C在線段AB上，且ACCB＝52，則AC＝52核心回扣1．線性運(yùn)算法則類型法則加法減法數(shù)乘大小：|λa|＝|λ||a|；方向：λ>(<)0時(shí)，λa的方向與a的方向相同(反)2．運(yùn)算律a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb．自查自測知識點(diǎn)三平面向量共線定理已知a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________．－13解析：由題意知，存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]所以λ＝－核心回扣向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.【常用結(jié)論】(1)設(shè)P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則OP＝(2)若G是△ABC的重心，D是BC邊的中點(diǎn)，則①GA+GB+②AG＝③GD＝12(3)在四邊形ABCD中，若E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，則AB+(4)OA＝λOB+μOC(λ，μ為實(shí)數(shù))，點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是(5)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)．應(yīng)用1設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則OA+OB+OCA．OM B．2OMC．3OM D．4OMD解析：如圖．在△OAC中，M為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)A+在△OBD中，M為BD的中點(diǎn)，所以O(shè)B+所以O(shè)A+應(yīng)用2在△ABC中，點(diǎn)D滿足BD＝2DC，E為AD上一點(diǎn)，且BE＝mBA+nBC，m＋32解析：因?yàn)锽D＝2DC因?yàn)锳，E，D三點(diǎn)共線，所以m＋32n＝1，所以λ＝3平面向量的有關(guān)概念1．(多選題)下列說法中正確的是()A．單位向量都相等B．任一向量與它的相反向量不相等C．若|a|＝|b|，則a與b的長度相等，與方向無關(guān)D．若a與b是相反向量，則|a|＝|b|CD解析：對于A，當(dāng)單位向量方向不同時(shí)并不相等，A錯(cuò)誤；對于B，0的相反向量為0，B錯(cuò)誤；對于C，|a|＝|b|，則a與b的長度相等，與方向無關(guān)，C正確；對于D，相反向量是長度相等，方向相反的向量，D正確．2．(2024·福州模擬)如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)均為所在邊的中點(diǎn)，則以下向量和FC相等的是()A．EF B．FBC．DF D．EDD解析：因?yàn)镋F，F(xiàn)B，DF與FC因?yàn)镋D與FC方向相同，長度相等，所以3．設(shè)a，b都是非零向量，則下列四個(gè)條件中，使aa＝bbA．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|C解析：因?yàn)橄蛄縜a的方向與向量a相同，向量bb的方向與向量b相同，且aa＝bb，所以向量a與向量b方向相同，故可排除選項(xiàng)當(dāng)a＝2b時(shí)，aa＝2b2b＝bb，故“a＝向量有關(guān)概念的注意點(diǎn)(1)平行向量就是共線向量，二者是等價(jià)的，它們均與起點(diǎn)無關(guān)；非零向量的平行具有傳遞性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有傳遞性．(2)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)數(shù)，可以比較大?。?3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談．(4)非零向量a與aa的關(guān)系：aa是與a平面向量的線性運(yùn)算【例1】(1)(2024·濟(jì)寧模擬)如圖，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，設(shè)BA＝a，BC＝b，則BEA．12a+14C．23a+2D解析：(方法一)如圖所示，取BC的中點(diǎn)F，連接AF.因?yàn)锽C＝2AD，所以AD＝CF.又AD∥CF，所以四邊形ADCF為平行四邊形，則AF∥CD，所以CD＝FA.因?yàn)镈E＝EC，所以所以BE＝BC+(方法二)如圖，連接BD.因?yàn)镈E＝EC，所以BE＝12BD+BC＝(2)如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D是線段AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，則DE＝()A．－13BA－C．－56BA－B解析：DE＝平面向量的線性運(yùn)算技巧(1)不含圖形的：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解．(2)含圖形的：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量以及三角形的中位線、平行四邊形的性質(zhì)等，把未知向量用已知向量表示出來求解．1．如圖，向量a－b等于()A．－e1＋3e2 B．－4e1－2e2C．e1－3e2 D．－2e1－4e2A解析：a－b等于向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量，如圖所示．分解后易知a－b＝－e1＋3e2.2．(2022·新高考全國Ⅰ卷)在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA.記CA＝m，CD＝n，則CBA．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3nB解析：如圖．因?yàn)镃D＝CA+所以12CB＝32CD－CA，即平面向量線性運(yùn)算的綜合應(yīng)用考向1根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)問題【例2】(2024·大連模擬)在△ABC中，AD＝2DB，AE＝2EC，P為線段DE上的動點(diǎn)，若AP＝λAB+μAC，A．1 B．2C．32 D．B解析：如圖所示．由題意知，AE＝設(shè)DP＝所以AP＝AD+DP＝AD+xDE＝AD＋xAE－AD＝xAE＋(1－所以μ＝23x，λ＝23(1－x)，所以λ＋μ＝2利用平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路(1)沒有圖形的先準(zhǔn)確作出圖形，確定每一個(gè)點(diǎn)的位置．(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式．(3)比較、觀察可知所求．考向2共線向量定理【例3】(1)已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且2AO＝OB+OC，AD＝tAC.若B，O13解析：設(shè)線段BC的中點(diǎn)為M，則OB因?yàn)?AO＝OB+OC則AO＝由B，O，D三點(diǎn)共線，得14+14t＝1，(2)設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線．①若AB＝a+b，BC＝2a+8b，CD②試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．①證明：因?yàn)锳B＝a+b，BC＝所以BD＝BC+CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB，又因?yàn)樗鼈冇泄颤c(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線．②解：若ka＋b和a＋kb共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，所以k＝λ，1＝[變式]若將(2)中①的條件改為“AB＝(m－1)a＋b，BD＝2na－b(m>0，n>0)”，若A，B，D三點(diǎn)共線，求2m+解：因?yàn)锳B＝(m－1)a＋b，BD＝2na－b(m>0，n>0)，A，B，D三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得(m－1)a＋b＝λ(2na－b)，所以m－1＝2nλ，1＝所以2m+1n＝2m+1n(m＋當(dāng)且僅當(dāng)4nm＝mn，即m＝12，n＝利用向量共線定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù)．注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用．(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即A，B，C三點(diǎn)共線?AB，AC(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(4)OA＝λOB+μOC(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則1．已知a，b是兩個(gè)不共線的向量，MN＝a－2b，PN＝2a+kb，PQ＝3a－bA．－1 B．1C．32 D．B解析：由題意知，NQ＝PQ－PN＝a－(k因?yàn)镸，N，Q三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)λ，使得MN＝即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，整理得(1－λ)a＝[2－λ(k＋1)]b.因?yàn)橄蛄縜，b不共線，所以1－λ2．如圖，在△ABC中，AN＝12AC，P是BN的中點(diǎn)．若AP＝m12解析：因?yàn)锳N＝12因?yàn)镻是BN的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B，P，N三點(diǎn)共線，所以m＋12＝1，解得m＝13．設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)非零向量．(1)若OA＝2a－b，OB＝3a+b，OC(2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實(shí)數(shù)k的值．(1)證明：因?yàn)锳B＝OB－OA＝(3a＋b)－(2a－b)＝aBC＝OC－OB＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝所以AB與BC共線，且有公共點(diǎn)B，所以A，B，C(2)解：因?yàn)?a＋kb與ka＋2b共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，所以(8－λk)a＝(2λ－k)b.因?yàn)閍與b不共線，所以8－λk＝0，2λ－k＝0，所以k＝2λ＝±4，即實(shí)數(shù)k的值為4或－4.課時(shí)質(zhì)量評價(jià)(二十八)1．已知向量e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，a＝2e1－e2與b＝e1＋λe2共線，則λ等于()A．2 B．－2C．－12 D．C解析：因?yàn)閍＝2e1－e2與b＝e1＋λe2共線，所以存在實(shí)數(shù)k(k≠0)，使得ka＝b，所以k(2e1－e2)＝e1＋λe2.因?yàn)橄蛄縠1，e2是兩個(gè)不共線的向量，所以2k＝1，－k2．(多選題)(2024·濟(jì)寧模擬)已知A，B，C是三個(gè)不同的點(diǎn)，OA＝a－b，OB＝2a－3A．AC＝2AB C．AC＝3BC D．A，BABD解析：由題可得AB＝OB－OA＝a－2b，AC＝OCAB＝BC，故BAC＝2BC，故由AC＝2AB可得AC∥AB.又A為公共點(diǎn)，所以A，B，C三點(diǎn)共線，故3．若向量OA＝3OB－2OC(O，A，B，C互不重合)，A．2 B．2C．32 D．D解析：由已知可得OA－OB＝2OB－OC因?yàn)镃A＝CB+BA，所以CA＝34．已知平面內(nèi)一點(diǎn)P及△ABC，若PA+PB+PC＝AB，則點(diǎn)P與A．點(diǎn)P在線段AB上B．點(diǎn)P在線段BC上C．點(diǎn)P在線段AC上D．點(diǎn)P在△ABC外部C解析：由PA+PB+PC＝AB，得PA+PB+PC5．(2024·山西大學(xué)附中診斷)如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)xAB＝AM，yAC＝ANA．3 B．4C．5 D．6A解析：延長AG交BC于點(diǎn)H(圖略)，則H為BC的中點(diǎn)．因?yàn)镚為△ABC的重心，所以AG＝23AH＝因?yàn)镸，G，N三點(diǎn)共線，所以13x+13y＝16．已知A，B，C三點(diǎn)共線，且AC＝3BC，若AB＝λCB－2解析：已知點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線，且AC＝3BC，即－BA＝2BC，故AB＝－2CB7．設(shè)向量a，b不平行，向量ta＋b與a＋3b平行，則實(shí)數(shù)t的值為________．13解析：因?yàn)橄蛄縯a＋b與a＋3b平行，所以存在實(shí)數(shù)k使得ta＋b＝k(a＋3b)因?yàn)橄蛄縜，b不平行，所以t＝k，1＝3k8．若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足AM＝35AB+25AC，則2∶5解析：因?yàn)锳M＝35AB+25所以點(diǎn)M在邊BC上，且BM＝25故S△所以△ABM與△ABC的面積之比為2∶5.9．已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且OP＝mOA+nOB((1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m＋n＝1.證明：(1)若m＋n＝1，則OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋所以O(shè)P－OB＝m即BP＝mBA，所以又因?yàn)锽P與BA有公共點(diǎn)則A，P，B三點(diǎn)共線．(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使得BP＝所以O(shè)P－OB＝λ所以O(shè)P＝λOA＋(1－λ)又OP＝所以由①②得λOA＋(1－λ)OB＝因?yàn)镺A，OB不共線，所以λ＝m，1－10．(多選題)(2024·石家莊模擬)下列說法，正確的為()A．若a∥b，b∥c，則a∥cB．S△AOC，S△ABC分別表示△AOC，△ABC的面積，若2OA+OB+3OC＝0，則S△AOC∶S△C．兩個(gè)非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，則a與b共線且反向D．若a∥b，則存在唯一實(shí)數(shù)λ使得a＝λbBC解析：對于A，若a∥b，b∥c，則a∥c不成立，比如b＝0，a，c可以不共線，故錯(cuò)誤；對于B，若2OA+OB+3OC＝0，延長OA到A′，使得OA′＝2OA，延長OC到C′，使得OC′＝3OC，可得O為△BA設(shè)△AOC，△BOA，△BOC的面積分別為x，y，z，則△A′OB的面積為2y，△C′OB的面積為3z，△A′OC′的面積為6x.由三角形的重心的性質(zhì)可得2y＝3z＝6x.則S△AOC∶S△ABC＝x∶(x＋y＋z)＝1∶6，正確；對于C，兩個(gè)非零向量a，b，若|a－b|＝a+b，則a－b2＝(|a|＋|b|)2，|a|2＋|b|2－2|a|·|b|cos〈a，b〉＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|，整理得cos所以a與b共線且反向，正確；對于D，若a∥b，則存在唯一實(shí)數(shù)λ使得a＝λb，不正確，比如a≠0，b＝0，不存在實(shí)數(shù)λ.11．(數(shù)學(xué)與生活)圖1是世界最高橋——貴州北盤江大橋，圖2是根據(jù)圖1作的簡易側(cè)視圖(為便于計(jì)算，側(cè)視圖與實(shí)物有區(qū)別)．在側(cè)視圖中，斜拉桿PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D與塔柱上的點(diǎn)O都在橋面同一側(cè)的水平直線上．已知AB＝8m，BO＝16m，PO＝12m，PB⊥PC.根據(jù)物理學(xué)知識得12PA+PB＋12PC+PD＝2A．28m B．20mC．31m D．22mD解析：因?yàn)镻B⊥PC，又PO⊥BC，所以PO2＝BO·OC.因?yàn)锽O＝16m，PO＝12m，所以O(shè)C＝9m.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，線段CD的中點(diǎn)為N.因?yàn)?2PA+PB＋12PC+PD＝2PO，所以因?yàn)锳B＝8m，所以MO＝20m，即ON＝20m，所以CD＝22m．12．(多選題)(數(shù)學(xué)與文化)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中有這樣一個(gè)定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一條直線上，而且外心和重心的距離是垂心和重心的距離的一半．這個(gè)定理就是著名的歐拉線定理．設(shè)在△ABC中，點(diǎn)O，H，G分別是其外心、垂心、重心，則下列結(jié)論正確的有()A．GHB．GA+GBC．設(shè)BC邊的中點(diǎn)為D，則有AHD．OAAB解析：由題意作圖，如圖所示．對于A，根據(jù)歐拉線定理知，O，G，H三點(diǎn)共線，且GH＝2OG，所以GH＝2OG，故對于B，取BC的中點(diǎn)D，由題意得GB+GC＝2GD＝－GA，對于C，由題意知AG＝2GD，又GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，所以△AGH∽△DGO，所以AH＝2OD.因?yàn)镺D⊥BC，AH⊥BC，所以AH∥OD.所以AH＝2OD，故對于D，向量OA，OB，OC的模相等，方向不同，13．(多