2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 47 課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(四十七)

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(四十七)1．已知直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(2，a－1)，B(a，4)，且與直線l2：2x＋y－3＝0平行，則a等于()A．－2 B．2C．－1 D．1C解析：直線l1的斜率k1＝a－1－42－a＝a－52－a，直線l2的斜率k2＝－2，2．若直線l1：ax－(a＋1)y＋1＝0與直線l2：2x－ay－1＝0垂直，則實(shí)數(shù)a＝()A．3 B．0C．－3 D．0或－3D解析：因?yàn)橹本€l1與直線l2垂直，所以2a＋a(a＋1)＝0，整理得a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－3.3．在平面直角坐標(biāo)系中，某菱形的一組對(duì)邊所在的直線方程分別為x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一組對(duì)邊所在的直線方程分別為3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，則|c1－c2|等于()A．23 B．25C．2 D．4B解析：因?yàn)榱庑嗡臈l邊都相等，且對(duì)邊平行，所以每條邊上的高也相等．因?yàn)橹本€x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之間的距離為1－3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之間的距離為c1于是有c1－c24．直線l與直線y＝1、直線x－y－7＝0分別交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則直線l的斜率是()A．23 B．3C．－23 D．－C解析：設(shè)P(a，1)，Q(b，b－7)，由線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，得a解得a＝－2，b＝4，所以P(－2所以直線l的斜率k＝1－5．設(shè)a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線xsinA＋ay＋c＝0與bx－ysinB＋sinC＝0的位置關(guān)系是()A．相交但不垂直 B．垂直C．平行 D．重合B解析：由題意可知，直線xsinA＋ay＋c＝0與bx－ysinB＋sinC＝0的斜率分別為－sinAa，又在△ABC中，asinA＝bsinB，所以－sin6．(多選題)已知直線l1：mx＋(m－3)y＋1＝0，直線l2：(m＋1)x＋my－1＝0，且l1⊥l2，則()A．直線l1恒過定點(diǎn)－B．直線l2恒過定點(diǎn)(1，1)C．m＝0或m＝1D．m＝0或m＝－3AC解析：由直線l1的方程可得m(x＋y)＋(－3y＋1)＝0，令x+y故直線l1恒過定點(diǎn)－13，1由直線l2的方程可得m(x＋y)＋(x－1)＝0，令x+y故直線l2恒過定點(diǎn)(1，－1)，故選項(xiàng)B不正確；因?yàn)橹本€l1：mx＋(m－3)y＋1＝0與直線l2：(m＋1)x＋my－1＝0垂直，所以m(m＋1)＋m(m－3)＝0，即m(m－1)＝0，解得m＝0或m＝1，所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．7．若將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0，2)與點(diǎn)(4，0)重合，點(diǎn)(7，3)與點(diǎn)(m，n)重合，則m＋n＝________．345解析：由題可知紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0，2)與點(diǎn)(4，0)連線的中垂線，即直線y＝2x－3，它也是點(diǎn)(7，3)與點(diǎn)(m，n)連線的中垂線，于是3+n2＝2×7+8．(2024·鞍山模擬)若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足(b－a2＋lna)2＋(c－d－2)2＝0，則(a－c)2＋(b－d)2的最小值為________．2解析：因?yàn)?b－a2＋lna)2＋(c－d－2)2＝0，所以b－a2＋lna＝0，c－d－2＝0，即b＝a2－lna，d＝c－2，令f(x)＝x2－lnx，g(x)＝x－2.設(shè)直線y＝x＋m與曲線y＝f(x)＝x2－lnx相切于點(diǎn)P(x0，y0)，由f(x)＝x2－lnx，得f′(x)＝2x－1x則f′(x0)＝2x0－1x0.由2x0－1x0＝1，解得x0＝1或x0＝－12(舍去)，所以f(x所以P(1，1)，則點(diǎn)P到直線y＝x－2的距離d＝1－而(a－c)2＋(b－d)2的幾何意義為曲線y＝f(x)上的點(diǎn)(a，b)與直線y＝x－2上點(diǎn)(c，d)的距離的平方，則(a－c)2＋(b－d)2的最小值為22＝2.故答案為2.9．已知△ABC的頂點(diǎn)A(5，1)，邊AB上的中線CM所在的直線方程為2x－y－5＝0，邊AC上的高BH所在的直線方程為x－2y－5＝0.(1)求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求△ABC的面積．解：(1)設(shè)C(m，n)，因?yàn)橹本€AC與直線BH垂直，且點(diǎn)C在直線2x－y－5＝0上，所以n－1m－5＝－2(2)設(shè)B(a，b)，由題意知，Ma+所以a解得a＝－1，b＝－3故kBC＝3+34+1＝65，直線BC：y－即6x－5y－9＝0.又因?yàn)閨BC|＝4+點(diǎn)A到直線BC的距離d＝6×所以S△ABC＝12×6110．已知兩點(diǎn)A(－4，8)，B(2，4)，點(diǎn)C在直線y＝x＋1上，則|AC|＋|BC|的最小值為()A．213 B．9C．74 D．10C解析：依題意，設(shè)B(2，4)關(guān)于直線y＝x＋1對(duì)稱的點(diǎn)為B′(m，n)，所以n－4所以B′(3，3)．如圖，連接AB′交直線y＝x＋1于點(diǎn)C′，連接BC′，在直線y＝x＋1上任取點(diǎn)C，連接AC，BC，B′C，顯然，直線y＝x＋1垂直平分線段BB′，則有|AC|＋|BC|＝|AC|＋|B′C|≥|AB′|＝|AC′|＋|B′C′|＝|AC′|＋|BC′|，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)C′重合時(shí)取等號(hào)，所以(|AC|＋|BC|)min＝|AB′|＝－4－3211．(新定義)數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A(2，0)，B(0，4)，若其歐拉線的方程為x－y＋2＝0，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是()A．(－4，0) B．(0，－4)C．(4，0) D．(4，0)或(－4，0)A解析：設(shè)C(m，n)，由重心坐標(biāo)公式，得△ABC的重心為2+m3，4+n3，代入歐拉線方程得2+m3－4+易得AB邊的中點(diǎn)為(1，2)，kAB＝4－00－2＝－2，線段AB的垂直平分線的方程為y－2＝12(x－1)，即x－2y＋3＝0.由x－2y+3＝0，x－y+2＝0，解得x＝－1，y＝1.所以△ABC的外心為(－1，1)，則(m＋1)2聯(lián)立①②，解得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.當(dāng)m＝0，n＝4時(shí)，點(diǎn)B，C重合，舍去，所以頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(－4，0)．12．若直線l1：y＝kx＋1與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2，3)對(duì)稱，則直線l2恒過定點(diǎn)________，l1與l2的距離的最大值是________．(4，5)42解析：因?yàn)橹本€l1：y＝kx＋1恒過定點(diǎn)(0，1)，又兩直線關(guān)于點(diǎn)(2，3)對(duì)稱，所以兩直線經(jīng)過的定點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)(2，3)對(duì)稱，所以直線l2恒過定點(diǎn)(4，5)，所以l1與l2的距離的最大值就是兩定點(diǎn)之間的距離，即為4－13．在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線y＝x＋4x(x>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x＋y＝0的距離的最小值是________4解析：由y＝x＋4x(x>0)，得y′＝1－4設(shè)斜率為－1的直線與曲線y＝x＋4x(x>0)切于x0，x0+4x0(x0＞0)，由1－4x所以曲線y＝x＋4x(x>0)上，點(diǎn)P2，32到直線x＋y＝0的距離最小，此時(shí)曲線在點(diǎn)P處的切線為x＋y－42＝0，則距離的最小值為14．(2024·海安模擬)△ABC的頂點(diǎn)B(0，2)，邊AB上的中線CD所在直線為7x＋2y－19＝0，∠A的平分線AE所在直線為x－y－1＝0.(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)和直線AC的方程；(2)若P為直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，M(－1，0)，N(1，0)，求|PM|2＋|PN|2取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：(1)由題意可設(shè)A(x，y)，可得AB的中點(diǎn)Dx2由直線AE，CD的方程可知x－y－1＝0，7設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)為B′(a，b)，可得直線AE為線段BB′的中垂線，則BB′的中點(diǎn)坐標(biāo)為a2，b+22，依題意有a解得a＝3，b＝－1，即B′(3，－1)，易知點(diǎn)B′(3，－1)在直線AC上，故由兩點(diǎn)式可得直線AC的方程為y－3－1－3＝所以A(4，3)，直線AC的方程為y＝4x－13.(2)由(1)可知直線AC的方程為y＝4x－13，不妨設(shè)P(m，4m－13)，則|PM|2＋|PN|2＝(m＋1)2＋(4m－13)2＋(m－1)2＋(4m－13)2＝34m2－208m＋340，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可知當(dāng)m＝20868＝521715．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0與點(diǎn)P(－2，2)．(1)證明對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ，該方程都表示直線，且這些直線都經(jīng)過同一定點(diǎn)，并求出這一定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求證：該方程表示的直線與點(diǎn)P的距離小于42.證明：(1)顯然2＋λ與－(1＋λ)不可能同時(shí)為零，故對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ，該方程都表示直線．因?yàn)榉匠炭勺冃螢?x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，所以