2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 78 第九章 第四節(jié) 列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗

第四節(jié)列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗考試要求：1．通過實例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義．2．通過實例，了解獨(dú)立性檢驗及其應(yīng)用．自查自測知識點(diǎn)列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗1．判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個分類變量的頻數(shù)．(√)(2)分類變量A和B的獨(dú)立性檢驗無關(guān)，即兩個分類變量互不影響．(√)(3)χ2的大小是判斷事件A和B是否相關(guān)的統(tǒng)計量．(√)(4)在2×2列聯(lián)表中，若|ad－bc|越小，則說明兩個分類變量之間關(guān)系越強(qiáng)．(√)2．(教材改編題)如下2×2列聯(lián)表中a，b的值分別為()xy合計y1y2x1a835x2113445合計b4280A．27，38 B．28，38C．27，37 D．28，37A解析：a＝35－8＝27，b＝a＋11＝27＋11＝38.3.已知P(χ2≥6.635)＝0.01，P(χ2≥10.828)＝0.001.在檢驗喜歡某項體育運(yùn)動與性別是否有關(guān)的過程中，某研究員搜集數(shù)據(jù)并計算得到χ2＝7.235，則根據(jù)小概率值α＝________的χ2獨(dú)立性檢驗，推斷喜歡該項體育運(yùn)動與性別有關(guān)．0.01解析：因為6.635<7.235<10.828，所以由檢驗規(guī)則可知，根據(jù)小概率值α＝0.01的χ2獨(dú)立性檢驗，推斷喜歡該項體育運(yùn)動與性別有關(guān)．核心回扣1.分類變量為了表述方便，我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機(jī)變量稱為分類變量．分類變量的取值可以用實數(shù)表示．2.列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(1)關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表：XY合計Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d(2)計算隨機(jī)變量χ2＝nad－bc2a+bc+da+下表為5個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8283.應(yīng)用獨(dú)立性檢驗解決實際問題的幾個步驟(1)提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋．(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計算χ2的值，并與臨界值xα比較．(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論．(4)在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要通過比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．列聯(lián)表與χ2的計算1．為了研究某地動物受核輻射后對身體健康的影響，專家隨機(jī)選取了110只羊進(jìn)行了檢測，并將有關(guān)數(shù)據(jù)整理為2×2列聯(lián)表．單位：只身體輻射程度合計高度輻射輕微輻射健康30A50不健康B1060合計CDE則A，B，C，D的值依次為()A．20，80，30，50 B．20，50，80，30C．20，50，80，110 D．20，80，110，50B解析：30＋A＝50，所以A＝20，B＋10＝60，所以B＝50，所以C＝30＋B＝30＋50＝80，D＝A＋10＝20＋10＝30.2．兩個分類變量X和Y，其2×2列聯(lián)表如表所示，對同一樣本，以下數(shù)據(jù)能說明X與Y有關(guān)聯(lián)的可能性最大的一組為()XY合計y1y2x1369x2m8m＋8合計m＋314m＋17A．m＝3 B．m＝4C．m＝5 D．m＝6D解析：由給定的2×2列聯(lián)表，對于A，m＝3，χ2的預(yù)測值k1＝20×對于B，m＝4，χ2的預(yù)測值k2＝21×3×對于C，m＝5，χ2的預(yù)測值k3＝22×對于D，m＝6，χ2的預(yù)測值k4＝23×顯然k4＞k1＞k3＞k2，因此選項D中數(shù)據(jù)求得χ2的值最大，說明X與Y有關(guān)聯(lián)的可能性最大．關(guān)于列聯(lián)表及χ2的計算(1)2×2列聯(lián)表在計算數(shù)據(jù)時要準(zhǔn)確無誤，關(guān)鍵是對涉及的變量分清類別．(2)計算χ2時遵循先化簡后計算的原則，充分的約分可以簡化數(shù)據(jù)的運(yùn)算．列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗【例1】某公司為了拓展業(yè)務(wù)，對該公司某款手機(jī)的潛在客戶進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取國內(nèi)外潛在用戶代表各100名，調(diào)查用戶對是否使用該手機(jī)的態(tài)度，得到如圖所示的等高堆積條形圖．由等高堆積條形圖得到的數(shù)據(jù)，根據(jù)小概率值α＝0.005的χ2獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為持樂觀態(tài)度和國內(nèi)外差異有關(guān)？解：由題意得2×2列聯(lián)表如下：單位：名代表態(tài)度合計樂觀不樂觀國內(nèi)6040100國外4060100合計100100200零假設(shè)為H0：持樂觀態(tài)度和國內(nèi)外差異無關(guān)．依表中數(shù)據(jù)計算得χ2＝200×60×60－40×40根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗，推斷H0不成立，即認(rèn)為持樂觀態(tài)度和國內(nèi)外差異有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.獨(dú)立性檢驗的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表．(2)根據(jù)公式χ2＝nad(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計推斷．甲、乙兩城市之間的長途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營．為了解這兩家公司長途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城市之間的500個班次的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)情況，得到下面列聯(lián)表：單位：個公司準(zhǔn)點(diǎn)情況準(zhǔn)點(diǎn)班未準(zhǔn)點(diǎn)班A24020B21030根據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為甲、乙兩城市之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？解：列聯(lián)表如下：單位：個公司準(zhǔn)點(diǎn)情況合計準(zhǔn)點(diǎn)班次未準(zhǔn)點(diǎn)班次A24020260B21030240合計45050500零假設(shè)為H0：甲、乙兩城市之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司無關(guān)．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得到χ2＝500×240×30－210根據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗，推斷H0不成立，即認(rèn)為甲、乙兩城市之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.1.獨(dú)立性檢驗的綜合應(yīng)用【例2】某人工智能公司想要了解其開發(fā)的語言模型準(zhǔn)確率的達(dá)標(biāo)(準(zhǔn)確率不低于80%則認(rèn)為達(dá)標(biāo))情況與使用的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集大小是否有關(guān)聯(lián)，該公司隨機(jī)選取了大型數(shù)據(jù)集和小型數(shù)據(jù)集各50個，并記錄了使用這些數(shù)據(jù)集訓(xùn)練的語言模型在測試數(shù)據(jù)集上的準(zhǔn)確率，根據(jù)小型數(shù)據(jù)集的準(zhǔn)確率數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖(各組區(qū)間分別為[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100])．(1)求a的值，并完成下面的2×2列聯(lián)表；單位：個準(zhǔn)確率數(shù)據(jù)集合計大型數(shù)據(jù)集小型數(shù)據(jù)集達(dá)標(biāo)30不達(dá)標(biāo)合計(2)根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為語言模型準(zhǔn)確率是否達(dá)標(biāo)與使用的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集大小有關(guān)聯(lián)？解：(1)由10×(0.010＋0.025＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.035.準(zhǔn)確率不低于80%的小型數(shù)據(jù)集有50×(0.2＋0.1)＝15(個)，由此可得2×2列聯(lián)表如下：單位：個準(zhǔn)確率數(shù)據(jù)集合計大型數(shù)據(jù)集小型數(shù)據(jù)集達(dá)標(biāo)301545不達(dá)標(biāo)203555合計5050100(2)零假設(shè)為H0：語言模型準(zhǔn)確率是否達(dá)標(biāo)與使用的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集大小無關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算得到χ2＝100×30×35－20×15根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗，推斷H0不成立，即認(rèn)為語言模型準(zhǔn)確率是否達(dá)標(biāo)與使用的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集大小有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.關(guān)于獨(dú)立性檢驗的綜合應(yīng)用獨(dú)立性檢驗的考查，往往與概率和抽樣統(tǒng)計圖等一起考查，這類問題的求解可以按各小題及提問的順序，一步步進(jìn)行下去，是比較容易解答的．單純考查獨(dú)立性檢驗往往用小題的形式，而且χ2的公式一般會在原題中給出．以“智聯(lián)世界，生成未來”為主題的2023世界人工智能大會在中國上海舉行，人工智能的發(fā)展為許多領(lǐng)域帶來了巨大的便利，但同時也伴隨著一些潛在的安全隱患．為了調(diào)查不同年齡階段的人對人工智能所持的態(tài)度，某機(jī)構(gòu)從所在地區(qū)隨機(jī)調(diào)查了100人，所得結(jié)果統(tǒng)計如下：年齡/歲[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]頻數(shù)2416152520支持2013121510完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為所持態(tài)度與年齡有關(guān)．單位：人態(tài)度年齡合計50歲以上(含50歲)50歲以下支持不支持合計解：根據(jù)題意，可得2×2列聯(lián)表如下：單位：人態(tài)度年齡合計50歲以上(含50歲)50歲以下支持254570不支持201030合計4555100χ2＝100×25因為8.129>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為對人工智能所持態(tài)度與年齡有關(guān)．課時質(zhì)量評價(六十)1．某機(jī)構(gòu)為調(diào)查網(wǎng)游愛好者是否有性別差異，通過調(diào)研數(shù)據(jù)統(tǒng)計得知在500名男生中有200名網(wǎng)游愛好者，在400名女生中有50名網(wǎng)游愛好者．若要確定愛好網(wǎng)游是否與性別有關(guān)時，用下列最適合的統(tǒng)計方法是()A．均值 B．方差C．獨(dú)立性檢驗 D．回歸分析C解析：由題意可知，“愛好網(wǎng)游”與“性別”是兩類變量，其是否有關(guān)，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗判斷．2．為了解某大學(xué)的學(xué)生喜歡體育鍛煉是否與性別有關(guān)，某機(jī)構(gòu)用簡單隨機(jī)抽樣方法在校園內(nèi)調(diào)查了120名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：單位：名體育鍛煉性別合計男女喜歡ab73不喜歡c25合計74則a－b－c等于()A．7 B．8C．9 D．10C解析：根據(jù)題意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，補(bǔ)充完整2×2列聯(lián)表為：單位：名體育鍛煉性別合計男女喜歡522173不喜歡222547合計7446120所以a－b－c＝52－21－22＝9.3．根據(jù)分類變量X與Y的抽樣數(shù)據(jù)，計算得到χ2＝7.505，依據(jù)α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(x0.01＝6.635)，結(jié)論為()A．變量X與Y不獨(dú)立B．變量X與Y不獨(dú)立，這個結(jié)論犯錯誤的概率超過0.01C．變量X與Y獨(dú)立D．變量X與Y獨(dú)立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.01A解析：依據(jù)α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(x0.01＝6.635)，χ2＝7.505＞6.635＝x0.01，所以變量X與Y不獨(dú)立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.01，故A正確．4．觀察下列各圖，其中兩個分類變量X，Y之間關(guān)系最強(qiáng)的是()D解析：觀察等高堆積條形圖易知D選項的兩個分類變量之間關(guān)系最強(qiáng)．5．已知兩個分類變量X，Y的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，通過隨機(jī)調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，再整理成如下的2×2列聯(lián)表：XYy1y2x110mx2n30若樣本容量為75，且m＜n，則當(dāng)判斷X與Y有關(guān)系的把握最小時，a的值為()A．5 B．10C．15 D．17C解析：在兩個分類變量的列聯(lián)表中，當(dāng)|ad－bc|的值越小時，認(rèn)為兩個分類變量有關(guān)的可能性越小．令|10×30－mn|＝0，得mn＝10×30＝300.又因為樣本容量為75，所以m＋n＋40＝75，則n＝35－m，所以mn＝m(35－m)＝300，化簡得m2－35m＋300＝0，解得m1＝15，m2＝20.又因為m＜n，所以m＝15.6．(多選題)(數(shù)學(xué)與文化)千百年來，我國勞動人民在生產(chǎn)實踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結(jié)了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗，并將這些經(jīng)驗編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了某地區(qū)100天的日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯(lián)表，并計算得到χ2≈19.05，則下列小波對該地區(qū)天氣的判斷正確的是()日落云里走夜晚天氣下雨未下雨出現(xiàn)255未出現(xiàn)2545A．夜晚下雨的概率約為1B．未出現(xiàn)“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為5C．依據(jù)α＝0.005的獨(dú)立性檢驗，認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關(guān)D．依據(jù)α＝0.005的獨(dú)立性檢驗，若出現(xiàn)“日落云里走”，則認(rèn)為夜晚一定會下雨ABC解析：對于A，根據(jù)列聯(lián)表可知，100天中有50天夜晚下雨，50天夜晚未下雨，因此夜晚下雨的概率約為50100＝12對于B，未出現(xiàn)“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為2525+45＝對于C，χ2≈19.05＞7.879＝x0.005，因此依據(jù)α＝0.005的獨(dú)立性檢驗，認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關(guān)，C正確；對于D，依據(jù)α＝0.005的獨(dú)立性檢驗，可判斷“日落云里走，雨在半夜后”的說法犯錯誤的概率不超過0.005，但不代表出現(xiàn)“日落云里走”就一定會下雨，D錯誤．7．(多選題)有甲、乙兩個班級共計105人進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表．分類優(yōu)秀非優(yōu)秀合計甲班10b乙班c30已知從105人中隨機(jī)抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為27，則下列說法中正確的是(A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為20，b的值為45C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”BC解析：由題意，從105人中隨機(jī)抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為27所以成績優(yōu)秀的人數(shù)為105×27＝30，非優(yōu)秀的人數(shù)為105－30＝75所以c＝30－10＝20，b＝75－30＝45，則χ2＝105×10×30若按95%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”．8．有兩個分類變量X和Y，根據(jù)其中一組觀測數(shù)據(jù)得到如下的2×2列聯(lián)表：XY合計y1y2x1a15－a15x220－a30＋a50合計204565其中a，15－a均為大于5的整數(shù)，則a＝________時，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“X和Y之間有關(guān)系”．9解析：由題意可知χ2≥6.635，則65×a又由a＞5且15－a＞5，a∈N，得5＜a＜10.綜上得a＝9.9．(能力創(chuàng)新)為了解不同年齡段居民的主要閱讀方式，某校興趣小組在全市隨機(jī)調(diào)查了200名居民，經(jīng)統(tǒng)計這200人中通過電子閱讀與紙質(zhì)閱讀的人數(shù)之比為3∶1，將這200人按年齡分組，其中統(tǒng)計通過電子閱讀的居民得到的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求a的值及通過電子閱讀的居民的平均年齡；(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)(2)把年齡在[15，45)的居民稱為青年組，年齡在[45，65]的居民稱為中老年組，若選出的200人中通過紙質(zhì)閱讀的中老年有3