2023年北京市初三一模數(shù)學試題匯編：圓（下）章節(jié)綜合

第1頁/共1頁2023北京初三一模數(shù)學匯編圓（下）章節(jié)綜合一、解答題1．（2023·北京延慶·統(tǒng)考一模）如圖，是的外接圓，AB是直徑，，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．2．（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）如圖，在中，是直徑，是弦，點C在上，于點E，，交的延長線于點F，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．3．（2023·北京豐臺·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，，是的兩條弦，，過點D作的切線交的延長線于點E．(1)求證：；(2)若，，求的長．4．（2023·北京平谷·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，C、D是上的兩點，且，過點D作的切線交的延長線于點E．(1)求證：；(2)連接．若，，求的長．5．（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，給定圖形和點，若圖形上存在兩個不同的點，滿足．其中點為線段的中點，則稱點是圖形的相關點．(1)已知點，①在點中，線段的相關點是_______；②若直線上存在線段的相關點，求的取值范圍．(2)已知點，，線段的長度為，當線段在直線上運動時，如果總能在線段上找到一點，使得在軸上存在以為直徑的圓的相關點，直接寫出的取值范圍．6．（2023·北京通州·統(tǒng)考一模）如圖，是圓內接三角形，過圓心O作，連接，過點C作，交的延長線于點D，．(1)求證：是的切線；(2)如果，求半徑的長度．7．（2023·北京門頭溝·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，已知圖形G上的兩點M，N（點M，N不重合）和另一點P，給出如下定義：連接，如果，則稱點P為點M，N的“條件拐點”．(1)如圖1，已知線段MN上的兩點，；①點，，中，點M，N的“條件拐點”是______；②如果過點且平行于x軸的直線上存在點M，N的“條件拐點”，求a的取值范圍；(2)如圖2，已知點，，過點F作直線軸，點M，N在直線l上，且．如果直線上存在點M，N的“條件拐點”，直接寫出t的取值范圍．8．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，對于點，我們稱直線為點P的關聯(lián)直線，例如，點的關聯(lián)直線為．(1)已知點．①點A的關聯(lián)直線為_________；②若與點A的關聯(lián)直線相切，則的半徑為_________；(2)已知點，點．點M為直線上的動點．①當時，求點O到點M的關聯(lián)直線的距離的最大值；②以為圓心，3為半徑作．在點M運動過程中，當點M的關聯(lián)直線與交于E，F(xiàn)兩點時，的最小值為4，請直接寫出d的值．9．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，C為上一點，D為的中點，交的延長線于點E．(1)求證：直線為的切線；(2)延長交于點F．若，求的長．10．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）如圖，中，，以為直徑作，與邊交于點，過點的的切線交的延長線于點．(1)求證：；(2)若，，求的長．11．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考一模）如圖，是的弦，過點O作，垂足為C，過點A作的切線，交的延長線于點D，連接．(1)求證：；(2)延長交于點E，連接，，若，，求的長．12．（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，C是上一點，的平分線交于點D，過點D作的切線交CB的延長線于點E．(1)求證：；(2)若，，求線段的長．

參考答案1．(1)見解析；(2)4．【分析】（1）由和即可得出，由此證明結論．（2）過點C作于點，根據(jù)，設（），則，，求出，繼而根據(jù)求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴．∴．∵∴．∴．∵是的直徑，∴是的切線．（2）解：∵是⊙O的直徑，∴．∴．過點C作于點，∴．∴．∵，∴．設（），則，．∴，．∴．∴．∵，，∴，∴．∴．∵，∴．∴的半徑為4．【點睛】本題考查切線的判定，相似三角形的判定與性質、三角函數(shù)，勾股定理，等腰三角形的判定，圓周角定理的推論，本題屬圓的綜合題目，熟練掌握相關性質與判定是解題的關鍵．2．(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)證出是的平分線，再利用平行證出即可．（2）利用三角函數(shù)求出和，再用計算即可．【詳解】（1）連接、.，，，.，，..，，為的半徑，是的切線；（2）連接.，.，，為等邊三角形，.，，【點睛】本題考查了切線的判定、平行的性質、角平分線的判定、三角函數(shù)的應用等知識點，計算的準確性是解題關鍵．3．(1)見解析；(2)8．【分析】（1）連接．由切線的性質可知，根據(jù)圓周定理可得，可知，進而可得，可證得結論；（2）連接，．先證明，，再利用，求解即可．【詳解】（1）證明：連接．是的切線，．．．．（2）解：連接，．是的直徑，．．，．，．，，．，．【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理，解直角三角形，正確地作出輔助線是解題的關鍵．4．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)為的切線，得出，根據(jù)，得出，進而得出，則，即可求證；（2）根據(jù)圓內接四邊形，則，根據(jù)是直徑，得出，則，最后根據(jù)，得出．【詳解】（1）解：連接．∵為的切線，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵四邊形內接于，∴，∵，∴，∵是直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了切線的判定與性質、圓周角定理，解決本題掌握切線的判定與性質和圓周角定理是解答本題的關鍵．5．(1)①，；②(2)【分析】（1）①根據(jù)新定義得出點在以為直徑的圓上及其內部，以為直徑，為圓心作圓，在圓上或圓內的點即為所求；②根據(jù)①可得點在以為直徑的圓上及其內部，作出圖形，進而根據(jù)直線上存在線段的相關點，求得相切時的臨界值，即可求解；（2）設點是直線上一點，且點，使得在軸上存在以為直徑的圓的唯一相關點，設，則以為直徑的圓上兩點為直徑的圓與軸相切于點，且軸，當且時，軸上存在以為直徑的圓的唯一相關點，勾股定理求得的值，進而根據(jù)對稱性可得當點在軸的下方時，符合題意，即可求解．【詳解】（1）解：①∵，，∴，∵是線段的相關點，∵，若點分別與點重合，則中點為，∴在以為直徑的圓上，∵是線段上的點，∴點在以為直徑的圓上及其內部，故答案為：，．②由題意可得線段的所有相關點都在以為直徑的圓上及其內部，如圖．設這個圓的圓心是．

，，，．當直線與相切，且時，將直線與軸的交點分別記為，則點的坐標是，．．，，解得．當直線與相切，且時，同理可求得．所以的取值范圍是．（2）解：設點是直線上一點，且點，使得在軸上存在以為直徑的圓的唯一相關點，設，則以為直徑的圓上兩點為直徑的圓與軸相切于點，且軸，如圖所示，設以為直徑的圓，圓心是．則，∴是的中點，，∴當且時，軸上存在以為直徑的圓的唯一相關點，在中，，∴，∴，根據(jù)對稱性可得當點在軸的下方時，也符合題意，∴．【點睛】本題考查了幾何新定義，切線的性質，垂徑定理，勾股定理，理解新定義是解題的關鍵．6．(1)證明見解析(2)半徑的長度為【分析】（1）根據(jù)，可得出，根據(jù)平行線的性質可得，即可得出是的切線；（2）根據(jù)圓周角定理可得，得出，即可證明，根據(jù)相似三角形的性質，結合可求出的長，根據(jù)勾股定理即可得答案．【詳解】（1）解：∵，，，∴，，∵，∴，即，∵是的半徑，∴是的切線．（2）由（1）可知，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴由勾股定理得，解得：（負值舍去），∴半徑的長度為．【點睛】本題考查平行線的性質、切線的判定、相似三角形的判定與性質及勾股定理，經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；有兩個角對應相等的兩個三角形相似；熟練掌握相關性質及判定定理是解題關鍵．7．(1)①，；②(2)或【分析】（1）①由題意知，，，，由，則，，然后進行判斷即可；同理判斷，即可；②如圖1，，由題意知，在以為圓心，為半徑長的圓上，根據(jù)到過點且平行于x軸的直線的距離，，可得，計算求解即可；（2）當，，直線與軸交點為；當，，直線與軸交點為；由，可知在以為圓心，為半徑的圓上，分當時，如圖2；當時，如圖3；當時，如圖4；當時，如圖5；令到直線的距離小于等于的半徑，列不等式求解即可．【詳解】（1）解：①由題意知，，，，∵，∴，，故滿足要求；同理，，，故不符合要求；，，，∴，，故滿足要求；故答案為：，；②解：如圖1，，由題意知，在以為圓心，為半徑長的圓上，∵過點且平行于x軸的直線上存在點M，N的“條件拐點”，∴到過點且平行于x軸的直線的距離，∵，即，∴，解得，，∴的取值范圍為；（2）解：當，，直線與軸交點為；當，，直線與軸交點為；∵，∴在以為圓心，為半徑的圓上，當時，如圖2，由題意知，，，，∴，點到直線的距離為，令，解得，∴；當時，如圖3，同理得，，解得，∴；當時，如圖4，同理可得，解得，∴；當時，如圖5，同理可得，解得，∴，綜上所述，或時，直線上存在點M，N的“條件拐點”．【點睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，直線與圓的位置關系，等邊對等角，正弦，解一元一次不等式．解題的關鍵在于理解題意并從中抽象出數(shù)學模型．8．(1)①；②(2)①；②或【分析】（1）①根據(jù)關聯(lián)直線的定義進行求解即可；②設直線與相切于點E，連接，設直線與x軸，y軸分別交于C、D，先求出C、D的坐標，進而得到，利用勾股定理求出，再利用等面積法求出的長即可得到答案；（2）①先求出直線直線的解析式為，設點M的坐標為，則點M的關聯(lián)直線為，推出點M的關聯(lián)直線經(jīng)過定點，進而得到當點H與點N重合時，最大，即點O到點M的關聯(lián)直線的距離最大，然后利用勾股定理求解即可；②同理求出點M的關聯(lián)直線經(jīng)過定點；如圖所示，過點T作于N，連接，則，要想最小，則要使最大，由此得到，由（2）①可知，當點N與點重合時，最大，由此即可建立方程，解方程即可．【詳解】（1）解：①由題意得，點的關聯(lián)直線為，故答案為：；②如圖所示，設直線與相切于點E，連接，設直線與x軸，y軸分別交于C、D，∴，∴，∴，由切線的性質可得，∴，∴，∴的半徑為；（2）解：①設直線的解析式為，由題意得，點，點，∴，∴，∴直線的解析式為，設點M的坐標為，∴點M的關聯(lián)直線為，∴點M的關聯(lián)直線經(jīng)過定點，如圖所示，過點O作直線的垂線，垂足為H，∴，∴當點H與點N重合時，最大，即點O到點M的關聯(lián)直線的距離最大，∴點O到點M的關聯(lián)直線的距離的最大值為；②同理可得直線的解析式為，設點M的坐標為，∴點M的關聯(lián)直線為，∴點M的關聯(lián)直線經(jīng)過定點；如圖所示，過點T作于N，連接，則，∴，∴要想最小，則要使最大，∵的最小值為4，即的最小值為2，∴，由（2）①可知，當點N與點重合時，最大，∴，∴，∴，∴，解得或．【點睛】本題主要考查了切線的性質，垂徑定理，勾股定理，一次函數(shù)與幾何綜合等等，正確推出點M的關聯(lián)直線經(jīng)過定點是解題的關鍵．9．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，連接交于點，是的直徑，可得，根據(jù)垂徑定理可得，進而得出四邊形是矩形，即可得出結論；（2）設的半徑為r，則，先解，得到，解得，則，再證明，最后解，即可得到．【詳解】（1）證明：連接，連接交于點．∵是的直徑，∴，∵點是的中點，∴，又∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，又∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：設的半徑為r，則，在中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴．【點睛】本題考查了切線的性質判定，垂徑定理，矩形的性質與判定，解直角三角形，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．10．(1)見解析(2)．【分析】（1）由等邊對等角，以及三角形內角和定理推出，再由圓周角定理推出，據(jù)此即證明結論；（2）設，則，，證明，利用相似三角形的性質即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵為的直徑，∴，∴；（2）解：∵為的直徑，∴，∵，∴，設，則，，∵，∴，連接，則，∴，∵為的直徑，為的切線，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理，相似三角形的性質與判定和三角函數(shù)的定義，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．11．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質和即可求出答案；（2）延長交于點E，連接，，根據(jù)勾股定理和銳角三角函數(shù)即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵為的切線，∴∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：延長交于點E，連接，，如圖所示，在中，，，可得，∵，∴，根據(jù)勾股定理，得，∴，∵為的直徑，∴，在中，，在中，根據(jù)勾股定理，得．【點睛】本題考查了圓與三角形的綜合應用，勾股定理，解直角三角形，三角函數(shù)的定義，垂徑定理，切線的性質，等腰三角形的性質，靈活運用所學知識是解題關鍵．12．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由切線的性質得，再由圓周角定理可求得，從而得結論成立．（2）過點作于點，