滬教版2024-2025學(xué)年七年級(jí)上冊(cè)同步提升講義第07講積的乘方冪的運(yùn)算綜合應(yīng)用(八大題型)(學(xué)生版+解析)

第07講積的乘方冪的運(yùn)算綜合應(yīng)用（八大題型）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、學(xué)會(huì)積的乘方運(yùn)算及其逆用；2、掌握冪的運(yùn)算綜合及其應(yīng)用。一、積的乘方法則(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.【方法規(guī)律】（1）公式的推廣：(為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊?jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，計(jì)算更簡(jiǎn)便.如：二、注意事項(xiàng)（1）底數(shù)可以是任意實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或整式.（2）同底數(shù)冪的乘法時(shí)，只有當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí),指數(shù)才可以相加.指數(shù)為1，計(jì)算時(shí)不要遺漏.（3）冪的乘方運(yùn)算時(shí)，指數(shù)相乘，而同底數(shù)冪的乘法中是指數(shù)相加.（4）積的乘方運(yùn)算時(shí)須注意，積的乘方要將每一個(gè)因式(特別是系數(shù))都要分別乘方.（5）靈活地雙向應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)，使運(yùn)算更加方便、簡(jiǎn)潔.（6）帶有負(fù)號(hào)的冪的運(yùn)算，要養(yǎng)成先化簡(jiǎn)符號(hào)的習(xí)慣.【即學(xué)即練1】計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【即學(xué)即練2】計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；【即學(xué)即練3】計(jì)算：．【即學(xué)即練4】已知，那么．【即學(xué)即練5】已知，，則的值為．題型1：積的乘方【典例1】．計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）．【典例2】．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【典例3】．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．題型2：冪的運(yùn)算綜合【典例4】．計(jì)算(1)(2)(3)(4)【典例5】．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．題型3：積的乘方的逆用—因數(shù)互為倒數(shù)【典例6】．計(jì)算：．【典例7】．計(jì)算：．【典例8】．計(jì)算：．題型4：冪的運(yùn)算的應(yīng)用—求代數(shù)式的值【典例9】．（1）已知，，求的值；（2）已知，，求的值．【典例10】．（1）已知，，用，表示的值；（2）已知，，求的值．【典例11】．已知，，求的值．【典例12】．若x3n＝3，則（2x3n）3＋（﹣3x2n）3＝．【典例13】．已知：.試用含x，y，z的代數(shù)式表示下列各式：(1)(2)(3)題型5：冪的運(yùn)算的應(yīng)用—表示關(guān)系【典例14】．已知2m=x，43m=y，用含有字母x

的代數(shù)式表示y，則y=．【典例15】．若，，則代數(shù)式與之間關(guān)系是．【典例16】．若，則代數(shù)式xy與之間關(guān)系是．題型6：冪的運(yùn)算的應(yīng)用—求參數(shù)的值【典例17】．已知27b＝9×3a-3，16＝4×22b﹣2，則a-b的值為．【典例18】．若（且，、是正整數(shù)），則．利用上面結(jié)論解決下面的問(wèn)題：(1)如果，則___________；(2)如果，求的值．(3)如果，求的值．【典例19】．下圖是東東同學(xué)完成的一道作業(yè)題，請(qǐng)你參考東東的方法解答下列問(wèn)題．東東的作業(yè)計(jì)算：．解：原式．(1)計(jì)算：①；②(2)若，請(qǐng)求出n的值．【典例20】．若（且，m，n都是正整數(shù)），則．利用上述結(jié)論解決下列問(wèn)題：(1)若，求n的值；(2)若，求x的值．題型7：冪的運(yùn)算的應(yīng)用—比較大小【典例21】．閱讀：已知正整數(shù)，，，若對(duì)于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)冪和，當(dāng)時(shí)，則有；若對(duì)于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪和，當(dāng)時(shí)，則有>，根據(jù)上述材料，回答下列問(wèn)題．[注（2），（3）寫出比較的具體過(guò)程](1)比較大小：______，______；（填“>”、“<”或“=”）(2)比較與的大??；(3)比較與的大?。镜淅?2】．在數(shù)學(xué)興趣小組中，同學(xué)們學(xué)到了很多有趣的數(shù)學(xué)知識(shí)，其中有一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)引起了同學(xué)們的興趣．（i）閱讀和學(xué)習(xí)下面的材料：比較，，的大小．分析：小剛同學(xué)發(fā)現(xiàn)55，44，33都是11的倍數(shù)，于是把這三個(gè)數(shù)都轉(zhuǎn)化為指數(shù)為11的冪，然后通過(guò)比較底數(shù)的方法，比較了這三個(gè)數(shù)的大小，解法如下：解：，，，．（ii）閱讀和學(xué)習(xí)下面的材料：已知，，求的值．分析：小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)，這些已知的冪和所求的冪的底數(shù)都相同，于是逆用同底數(shù)冪和冪的乘方公式，完成題目的解答．解法如下：解：，，．學(xué)習(xí)以上解題思路和方法，然后完成下題：(1)比較，，的大?。ㄓ谩?lt;”號(hào)連接起來(lái)）．(2)計(jì)算：．【典例23】．閱讀下列兩則材料，解決問(wèn)題：材料一：比較和的大?。?1)______；若，則______；(2)已知，，，若，求的值；(3)若，，令．①求的值；②求的值．一、單選題1．計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C． D．2．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．3．計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B．1 C． D．4．若，則的值為（

）A．9 B．－9 C．6 D．－65．若，，則的值為（

）A．6 B．8 C．12 D．246．若，為正整數(shù)，則（

）A． B． C． D．7．計(jì)算：的結(jié)果為（

）A． B． C． D．8．已知，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．89．已知，，，那么、、之間滿足的等量關(guān)系是（

）A． B． C． D．10．通常一個(gè)“二維碼”由1000個(gè)大大小小的黑白小方格組成，其中大約的小方格專門用做糾錯(cuò)碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個(gè)方格中只有200個(gè)方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，這200個(gè)方格可以生成個(gè)不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有三名同學(xué)對(duì)的理解如下：甲：就是200個(gè)2相乘；乙：的個(gè)位數(shù)字是6；丙：我知道，所以我估計(jì)比大．下列判斷正確的是（）A．只有乙錯(cuò) B．甲錯(cuò)，丙對(duì) C．乙對(duì)，丙錯(cuò) D．甲、乙、丙都對(duì)二、填空題11．計(jì)算：．12．計(jì)算．13．已知，，則．14．已知，，則．15．已知一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是，則它的面積是（用科學(xué)記數(shù)法表示）．16．已知，則的值為．17．式子的值的個(gè)位數(shù)是．18．已知整數(shù)滿足且，則的值為．三、解答題19．計(jì)算：(1)；(2)．20．計(jì)算：(1)(2)；(3)(4)(5)(6)．21．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．22．若（且，m、n是正整數(shù)），則．利用上面的結(jié)論解決下面的問(wèn)題：(1)如果，求x的值；(2)如果，求a的值．23．比較下列各題中冪的大?。海?）已知，比較a、b、c的大小關(guān)系；（2）比較這4個(gè)數(shù)的大小關(guān)系；（3）已知，比較P，Q的大小關(guān)系；24．若(且是正整數(shù))，則，你能利用上面的結(jié)論解決下面的問(wèn)題嗎？試試看，相信你一定行！(1)如果，求的值；(2)如果，求的值；(3)已知，，用含，的式子表示______．25．規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作，如果，則．我們叫為“雅對(duì)”．例如：因?yàn)?，所以．我們還可以利用“雅對(duì)”定義說(shuō)明等式成立．證明如下：設(shè)，，則，，故，則，即．(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：＝__________；（_________，16）＝4；(2)計(jì)算＝_________，并說(shuō)明理由；(3)利用“雅對(duì)”定義說(shuō)明：，對(duì)于任意非0整數(shù)n都成立．第07講積的乘方冪的運(yùn)算綜合應(yīng)用（八大題型）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、學(xué)會(huì)積的乘方運(yùn)算及其逆用；2、掌握冪的運(yùn)算綜合及其應(yīng)用。一、積的乘方法則(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.【方法規(guī)律】（1）公式的推廣：(為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊?jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，計(jì)算更簡(jiǎn)便.如：二、注意事項(xiàng)（1）底數(shù)可以是任意實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或整式.（2）同底數(shù)冪的乘法時(shí)，只有當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí),指數(shù)才可以相加.指數(shù)為1，計(jì)算時(shí)不要遺漏.（3）冪的乘方運(yùn)算時(shí)，指數(shù)相乘，而同底數(shù)冪的乘法中是指數(shù)相加.（4）積的乘方運(yùn)算時(shí)須注意，積的乘方要將每一個(gè)因式(特別是系數(shù))都要分別乘方.（5）靈活地雙向應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)，使運(yùn)算更加方便、簡(jiǎn)潔.（6）帶有負(fù)號(hào)的冪的運(yùn)算，要養(yǎng)成先化簡(jiǎn)符號(hào)的習(xí)慣.【即學(xué)即練1】計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查積的乘方和冪的乘方．（1）直接利用積的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）直接利用積的乘方和冪的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可；（3）直接利用積的乘方和冪的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可；（4）直接利用積的乘方和冪的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可【解析】（1）；（2）；（3）（4）【即學(xué)即練2】計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則及冪的乘方的運(yùn)算法則即可解答；（2）冪的乘方的運(yùn)算法則及同底數(shù)冪的運(yùn)算法則即可解答；（3）先利用積的乘方的運(yùn)算法則及同底數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算，再利用整式的加減法則計(jì)算即可解答；（4）利用逆用積的乘方的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再利用積的乘方的運(yùn)算法則即可解答．【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方的運(yùn)算法則，同底數(shù)冪測(cè)運(yùn)算法則，冪的乘方運(yùn)算法則，掌握積的乘方運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練3】計(jì)算：．【答案】【分析】此題考查了積的乘方逆運(yùn)算，根據(jù)積的乘方逆運(yùn)算先將原式化為，再計(jì)算乘法即可，熟練掌握積的乘方逆運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵【解析】解：故答案為【即學(xué)即練4】已知，那么．【答案】【分析】根據(jù)積的乘方的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可求解．【解析】解：∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方，熟練掌握積的乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練5】已知，，則的值為．【答案】512【分析】根據(jù)冪的乘方和積的乘方進(jìn)行運(yùn)算即可．【解析】解：∵，，∴，，∴．故答案為：512．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方和積的乘方，熟練掌握計(jì)算法則是突破本題的關(guān)鍵．題型1：積的乘方【典例1】．計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】分別根據(jù)積的乘方的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）．【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【典例2】．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)﹣a3b6c9【分析】（1）根據(jù)積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘進(jìn)行計(jì)算即可得解．（2）根據(jù)積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘進(jìn)行計(jì)算即可得解．（3）根據(jù)積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘進(jìn)行計(jì)算即可得解．（4）根據(jù)積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解析】（1）解：（2）（3）（4）【點(diǎn)睛】本題考查積的乘方，掌握積的乘方是解題關(guān)鍵.【典例3】．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)積的乘方可進(jìn)行求解；（2）根據(jù)積的乘方及合并同類項(xiàng)可進(jìn)行求解；（3）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、積的乘方及整式的加減運(yùn)算可進(jìn)行求解；（4）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、積的乘方及整式的加減運(yùn)算可進(jìn)行求解．【解析】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查積的乘方、同底數(shù)冪的乘法及整式的加減運(yùn)算，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．題型2：冪的運(yùn)算綜合【典例4】．計(jì)算(1)(2)(3)(4)【答案】(1)0(2)(3)(4)【分析】（1）先利用同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方法則計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可．（2）式子適當(dāng)變形后，再按照同底數(shù)冪的乘法計(jì)算即可．（3）逆運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法，再計(jì)算乘法，然后按照偶次冪的符號(hào)法則即可得出答案．（4）先利用積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算，再利用同底數(shù)冪的乘法計(jì)算即可．【解析】（1）解：（2）解：==（3）解：==（4）解：===【點(diǎn)睛】本題考查冪的相關(guān)運(yùn)算．主要考查同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【典例5】．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)0；(6)．【分析】（1）先運(yùn)算冪的乘方，然后利用同底數(shù)的冪的乘法運(yùn)算解題；（2）先運(yùn)算冪的乘方，然后合并解題即可；（3）先運(yùn)算冪的乘方，同底數(shù)的冪的乘法，然后合并解題即可；（4）先運(yùn)算積的乘方，然后利用同底數(shù)的冪的乘法運(yùn)算解題；（5）先運(yùn)算冪的乘方，然后同底數(shù)的冪的乘法，最后合并解題即可；（6）先運(yùn)算冪的乘方，然后同底數(shù)的冪的乘法，最后合并解題即可．【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式；（6）原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查冪的運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵．題型3：積的乘方的逆用—因數(shù)互為倒數(shù)【典例6】．計(jì)算：．【答案】1【分析】根據(jù)積的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了積的乘方運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握乘方運(yùn)算法則．【典例7】．計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、積的乘方的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法、積的乘方的逆運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【典例8】．計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)積的乘方的逆運(yùn)算計(jì)算即可．【解析】，故答案為：．【點(diǎn)睛】題考查積的積的乘方逆用，熟練掌握運(yùn)算法則并能正確運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．題型4：冪的運(yùn)算的應(yīng)用—求代數(shù)式的值【典例9】．（1）已知，，求的值；（2）已知，，求的值．【答案】（1）320；（2）5400．【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)冪的乘方以及同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算即可．【解析】解：（1）∵，，∴；（2）∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法逆用以及冪的乘方與積的乘方的逆用，熟記冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【典例10】．（1）已知，，用，表示的值；（2）已知，，求的值．【答案】（1）（2）5．【分析】（1）根據(jù)冪的乘方與積的乘方、同底數(shù)冪的乘法，逆用法則可得．再將，，代入，即可解決此題．（2）先根據(jù)冪的乘方得到，再將，代入，即可解決此題．【解析】解：（1），，.（2），，原式.【點(diǎn)睛】本題主要考查冪的乘方與積的乘方、同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握冪的乘方與積的乘方、同底數(shù)冪的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵．【典例11】．已知，，求的值．【答案】-39【分析】由冪的乘方的逆運(yùn)算，同底數(shù)冪的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案．【解析】解：∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方的逆運(yùn)算，同底數(shù)冪的逆運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則進(jìn)行解題．【典例12】．若x3n＝3，則（2x3n）3＋（﹣3x2n）3＝．【答案】-27【分析】將原式轉(zhuǎn)化為（2x3n）3﹣27（x3n）2，再將x3n＝3整體代入計(jì)算即可．【解析】解：∵x3n＝3，∴（2x3n）3＋（﹣3x2n）3＝（2x3n）3﹣27（x3n）2=（2×3）3﹣27×32=216-243=-27故答案為：-27．【點(diǎn)睛】本題考查積的乘方的逆運(yùn)算及代數(shù)式求值，解題關(guān)鍵是運(yùn)用整體代入思想．【典例13】．已知：.試用含x，y，z的代數(shù)式表示下列各式：(1)(2)(3)【答案】(1)xz3(2)x3y3(3)x4y6【分析】(1)把所求的式子進(jìn)行整理，使其含有已知條件的形式，從而可求解；(2)把所求的式子進(jìn)行整理，使其含有已知條件的形式，從而可求解；(3)把所求的式子進(jìn)行整理，使其含有已知條件的形式，從而可求解．【解析】（1）解：54a=(2×27)a=2a×27a=2a×33a=2a×(3a)3=xz3；（2）解：8a-b=8a×8b=(2a)3×(2b)3=x3y3；（3）解：42a-3b=42a×43b=24a×26b=(2a)4×(2b)6=x4y6．【點(diǎn)睛】本題主要考查冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握與靈活運(yùn)用．題型5：冪的運(yùn)算的應(yīng)用—表示關(guān)系【典例14】．已知2m=x，43m=y，用含有字母x

的代數(shù)式表示y，則y=．【答案】【解析】∵y=，又∵=x∴y=.故答案為.【典例15】．若，，則代數(shù)式與之間關(guān)系是．【答案】【分析】本題主要考查冪的乘方和積的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．利用冪的乘方和積的乘方的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：∵，，∴，，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【典例16】．若，則代數(shù)式xy與之間關(guān)系是．【答案】【分析】由條件可得可得而從而可得答案．【解析】解：∵，∴∴而∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，積的乘方的逆運(yùn)算，掌握“利用冪的運(yùn)算與逆運(yùn)算進(jìn)行變形”是解本題的關(guān)鍵．題型6：冪的運(yùn)算的應(yīng)用—求參數(shù)的值【典例17】．已知27b＝9×3a-3，16＝4×22b﹣2，則a-b的值為．【答案】3【分析】根據(jù)“27b＝9×3a-3”可得3b=a-5，根據(jù)“16＝4×22b-2”可得2b=4，分別解出a，b的值即可得出答案.【解析】∵，即∴3b=a-5①∵，即∴2b=4②由②得b=2，代入①中解得a=1∴a-b=1-2=3故答案為3.【點(diǎn)睛】本題考查的是冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算，熟練掌握同底數(shù)冪相乘和冪的乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.【典例18】．若（且，、是正整數(shù)），則．利用上面結(jié)論解決下面的問(wèn)題：(1)如果，則___________；(2)如果，求的值．(3)如果，求的值．【答案】(1)4(2)(3)【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法逆用以及冪的乘方與積的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練利用冪的乘方對(duì)式子進(jìn)行變形．（）根據(jù)（且，是正整數(shù)），則即可求解；（）根據(jù)冪的乘方法則計(jì)算即可；（）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法逆用以及冪的乘方法則計(jì)算即可；【解析】（1）解：∵，∴，故答案為：4（2）∵，∴，∴，∴，解得：；（3）∵，∴，，∴，∴，解得：．【典例19】．下圖是東東同學(xué)完成的一道作業(yè)題，請(qǐng)你參考東東的方法解答下列問(wèn)題．東東的作業(yè)計(jì)算：．解：原式．(1)計(jì)算：①；②(2)若，請(qǐng)求出n的值．【答案】(1)①；②；(2)【分析】本題考查的是積的乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算，同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算，冪的乘方運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵；（1）①先把原式化為，再計(jì)算即可；②先把原式化為，再計(jì)算即可；（2）先把原式化為，可得，再解方程即可.【解析】（1）解：①；②；（2）∵，∴，∴，∴，解得：.【典例20】．若（且，m，n都是正整數(shù)），則．利用上述結(jié)論解決下列問(wèn)題：(1)若，求n的值；(2)若，求x的值．【答案】(1)3(2)2【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方與積的乘方逆運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是熟練利用冪的乘方與積的乘方對(duì)式子進(jìn)行變形．（1）根據(jù)冪的乘方逆運(yùn)算法則把與化為底數(shù)為3的冪，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法法則解答即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法逆運(yùn)算法則把變形為即可解答．【解析】（1）解：，，即，解得．n的值為3．（2）解：，，即，解得．x的值為2．題型7：冪的運(yùn)算的應(yīng)用—比較大小【典例21】．閱讀：已知正整數(shù)，，，若對(duì)于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)冪和，當(dāng)時(shí)，則有；若對(duì)于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪和，當(dāng)時(shí)，則有>，根據(jù)上述材料，回答下列問(wèn)題．[注（2），（3）寫出比較的具體過(guò)程](1)比較大小：______，______；（填“>”、“<”或“=”）(2)比較與的大?。?3)比較與的大?。敬鸢浮?1)>，<(2)<(3)<【分析】（1）根據(jù)“同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪和，當(dāng)時(shí)，則有>，”即可比較和的大?。桓鶕?jù)“對(duì)于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)冪和，當(dāng)時(shí)，則有，即可比較和的大?。唬?）據(jù)“對(duì)于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)冪和，當(dāng)時(shí)，則有”，即可比較與的大小；（3）利用作商法，即可比較和的大?。窘馕觥浚?）解：，∴>，∵，，122<123，∴<，故答案為：，；（2）解：∵，，8<9，∴<．（3）解：∵，∴<．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方及有理數(shù)大小比較，掌握冪的乘方與積的乘方的法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【典例22】．在數(shù)學(xué)興趣小組中，同學(xué)們學(xué)到了很多有趣的數(shù)學(xué)知識(shí)，其中有一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)引起了同學(xué)們的興趣．（i）閱讀和學(xué)習(xí)下面的材料：比較，，的大?。治觯盒偼瑢W(xué)發(fā)現(xiàn)55，44，33都是11的倍數(shù)，于是把這三個(gè)數(shù)都轉(zhuǎn)化為指數(shù)為11的冪，然后通過(guò)比較底數(shù)的方法，比較了這三個(gè)數(shù)的大小，解法如下：解：，，，．（ii）閱讀和學(xué)習(xí)下面的材料：已知，，求的值．分析：小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)，這些已知的冪和所求的冪的底數(shù)都相同，于是逆用同底數(shù)冪和冪的乘方公式，完成題目的解答．解法如下：解：，，．學(xué)習(xí)以上解題思路和方法，然后完成下題：(1)比較，，的大小（用“<”號(hào)連接起來(lái)）．(2)計(jì)算：．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了積的乘方法則逆用、同底數(shù)冪的乘法逆用與冪的乘方法則的逆用，讀懂材料并逆用這三個(gè)法則是關(guān)鍵；（1）發(fā)現(xiàn)指數(shù)606，404，202都是101的倍數(shù)，于是把這三個(gè)數(shù)都轉(zhuǎn)化為指數(shù)為101的冪，然后通過(guò)比較底數(shù)的方法，即可比較大?。唬?）把化為后，再利用冪的乘方及逆用同底數(shù)冪的法則、逆用積的乘方即可求解．【解析】（1）解：，，，而，；（2）解：．【典例23】．閱讀下列兩則材料，解決問(wèn)題：材料一：比較和的大?。猓骸撸摇?，即小結(jié)：指數(shù)相同的情況下，通過(guò)比較底數(shù)的大小，來(lái)確定兩個(gè)冪的大小材料二：比較和的大小解：∵，且∴，即小結(jié)：底數(shù)相同的情況下，通過(guò)比較指數(shù)的大小，來(lái)確定兩個(gè)冪的大小【方法運(yùn)用】(1)比較、、的大小(2)比較、、的大小(3)已知，，比較a、b的大小【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查冪的乘方與積的乘方、有理數(shù)大小比較，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)大小的比較方法．（1）根據(jù)，，，再比較底數(shù)的大小即可；（2）根據(jù)，，，再比較底數(shù)的大小即可；（3）根據(jù)，，即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：∵，，，∵，∴，即；（2）解：∵，，，∵，∴，即；（3）解：∵，，又∵，∴．題型8：新定義、閱讀材料題【典例24】．在數(shù)學(xué)興趣小組中，同學(xué)們從書上學(xué)到了很多有趣的數(shù)學(xué)知識(shí)．其中有一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)引起了同學(xué)們的興趣．根據(jù)，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值嗎？他們?yōu)榇诉M(jìn)行了研究，規(guī)定：若，那么．例如：，則．(1)填空：，；(2)計(jì)算：；(3)若，，，則a、b、c滿足什么關(guān)系式，并證明．【答案】(1)2，3；(2)1；(3)，證明見(jiàn)解析．【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，熟記有理數(shù)乘方運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．（1）結(jié)合有理數(shù)的乘方，根據(jù)新定義運(yùn)算即可；（2）結(jié)合有理數(shù)的乘方，根據(jù)新定義運(yùn)算即可；（3）結(jié)合有理數(shù)的乘方，根據(jù)新定義運(yùn)算先求出a，b的值然后解題即可．【解析】（1）解：，∴；∵，∴；故答案為：2，3；（2）解：∵，，∴；（3）解：．∵，，，∴，∵，∴，∴．【典例25】．閱讀材料：的末尾數(shù)字是3，的末尾數(shù)字是9，的末尾數(shù)字是7，的末尾數(shù)字是1，的末尾數(shù)字是3，……，觀察規(guī)律：，的末尾數(shù)字是1，的末尾數(shù)字是1，的末尾數(shù)字是3，同理可知，的末尾數(shù)字是9，的末尾數(shù)字是7．解答下列問(wèn)題：(1)的末尾數(shù)字是_______，的末尾數(shù)字是_______；(2)求的末尾數(shù)字；(3)求證：能被5整除．【答案】(1)3，6；(2)6；(3)見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料中的結(jié)論可知的末尾數(shù)字；根據(jù)閱讀材料中提供的方法，可得的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是6，于是得解；（2）先將化成，再利用的末尾數(shù)字是6，從而得出結(jié)論；（3）分別證明的末尾數(shù)字為6和的末尾數(shù)字9推出的末尾數(shù)字是5，則命題即可得證．【解析】（1）解：，的末尾數(shù)字為3；的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是6，的末尾數(shù)字是4，…的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是6，的末尾數(shù)字是6；故答案為：3，6；（2）解：，的末尾數(shù)字是6，的末尾數(shù)字是6；（3）證明：的末尾數(shù)字是2，的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是8，的末尾數(shù)字是6，的末尾數(shù)字是2，…的末尾數(shù)字是2，的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是8，的末尾數(shù)字是6，的末尾數(shù)字為6；同理可得：的末尾數(shù)字7，的末尾數(shù)字9，的末尾數(shù)字3，的末尾數(shù)字1；的末尾數(shù)字9，的末尾數(shù)字是5，能被5整除．【點(diǎn)睛】此題是一道閱讀理解題，主要考查了冪的運(yùn)算、數(shù)的整除，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方法則是解答此題的關(guān)鍵．【典例26】．如果，那么我們規(guī)定．例如：因?yàn)椋裕?1)______；若，則______；(2)已知，，，若，求的值；(3)若，，令．①求的值；②求的值．【答案】(1)4，64(2)(3)①；②【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出；（2）由題意可得出，，．根據(jù)，得出，即，進(jìn)而即可求出；（3）①由題意可得出，，再根據(jù)，，即可求出；②根據(jù)，即得出，結(jié)合題意可得出．由①知，即得出，進(jìn)而得出，即說(shuō)明，代入中求值即可．【解析】（1）解：，；，且，．故答案為：，；（2）解：，，，若，，，．，，即，；（3）解：①，，，，，，；②，，．由①知：，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方，積的乘方與其逆用，冪的乘方與其逆用．熟練掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．一、單選題1．計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查積的乘方，根據(jù)積的乘方的法則，進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：；故選A．2．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了同底數(shù)冪，冪的乘方，合并同類項(xiàng)，積的乘方，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)整式混合運(yùn)算的法則進(jìn)行判斷即可．【解析】解：A、根據(jù)同底數(shù)冪相乘底數(shù)不變，指數(shù)相加，可得，故錯(cuò)誤；B、根據(jù)冪的乘方時(shí)底數(shù)不變，指數(shù)相乘，可得，故正確；C、根據(jù)合并同類項(xiàng)，可得，故錯(cuò)誤；D、根據(jù)積的乘方可得，，故錯(cuò)誤．3．計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法的逆用，積的乘法運(yùn)算，先按照同底數(shù)冪的乘法的逆用將轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)積的乘法運(yùn)算先計(jì)算，最后再乘以即可．【解析】解：，4．若，則的值為（

）A．9 B．－9 C．6 D．－6【答案】D【分析】本題考查了求代數(shù)式的值，積的乘方的逆運(yùn)算，熟練掌握積的乘方的逆運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【解析】∵，∴．5．若，，則的值為（

）A．6 B．8 C．12 D．24【答案】B【分析】首先根據(jù)，可得，然后根據(jù)，求出的值即可．此題主要考查了冪的乘方與積的乘方的運(yùn)算方法，同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算方法，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）①，是正整數(shù)）；②是正整數(shù)）；（2）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．【解析】解：，，，．6．若，為正整數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先依據(jù)乘法的意義個(gè)相加得到，然后根據(jù)積的乘方的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解析】解：，，選項(xiàng)符合題意，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方的運(yùn)算法則，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵：積的乘方等于把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．7．計(jì)算：的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了同底數(shù)冪相乘以及積的乘方的逆運(yùn)用，先整理原式得，再結(jié)合積的乘方的逆運(yùn)用進(jìn)行運(yùn)算，即可作答．【解析】解：8．已知，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】先把左右兩邊分別計(jì)算，再對(duì)應(yīng)字母指數(shù)相等求值即可．【解析】∵∴，∴，解得，∴；【點(diǎn)睛】本題考查單項(xiàng)式的乘法，冪的綜合運(yùn)算，熟記同底數(shù)冪的乘法、積的乘方、冪的乘方運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．9．已知，，，那么、、之間滿足的等量關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用積的乘方、冪的乘方運(yùn)算法則將原式變形得出答案．【解析】A選項(xiàng)：，即，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，即，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，即，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，D正確．【點(diǎn)睛】本題主要考查了積的乘方運(yùn)算，冪的乘方運(yùn)算，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．10．通常一個(gè)“二維碼”由1000個(gè)大大小小的黑白小方格組成，其中大約的小方格專門用做糾錯(cuò)碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個(gè)方格中只有200個(gè)方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，這200個(gè)方格可以生成個(gè)不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有三名同學(xué)對(duì)的理解如下：甲：就是200個(gè)2相乘；乙：的個(gè)位數(shù)字是6；丙：我知道，所以我估計(jì)比大．下列判斷正確的是（）A．只有乙錯(cuò) B．甲錯(cuò)，丙對(duì) C．乙對(duì)，丙錯(cuò) D．甲、乙、丙都對(duì)【答案】D【分析】由乘方的定義可知，就是200個(gè)2相乘；通過(guò)計(jì)算可得的尾數(shù)2，4，8，6循環(huán)，由循環(huán)規(guī)律可確定的個(gè)位數(shù)字是6；由積的乘方運(yùn)算可得，，由此可得，從而可求解．【解析】解：∵就是200個(gè)2相乘，∴甲的判斷正確；∵，，，，，…，∴的尾數(shù)2，4，8，6循環(huán)，∵，∴的個(gè)位數(shù)字是6，∴乙的判斷正確；∵，∴，，∵，∴，∴丙的判斷正確；【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，掌握乘方的性質(zhì)，積的乘方運(yùn)算法則，尾數(shù)的循環(huán)規(guī)律是關(guān)鍵．二、填空題11．計(jì)算：．【答案】/【分析】本題考查了積的乘方運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握積的乘方運(yùn)算法則．直接根據(jù)積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解析】解：，故答案為：12．計(jì)算．【答案】【分析】本題考查了積的乘方，合并同類項(xiàng)．熟練掌握積的乘方與合并同類項(xiàng)的法則是解題的關(guān)鍵．先計(jì)算積的乘方，然后合并同類項(xiàng)即可．【解析】解：，故答案為：．13．已知，，則．【答案】6【分析】利用冪的乘方與積的乘方的法則，進(jìn)行計(jì)算即可解答．本題考查了冪的乘方與積的乘方，熟練掌握冪的乘方與積的乘方的法則是解題的關(guān)鍵．【解析】解：，，，故答案為：6．14．已知，，則．【答案】17【分析】此題主要考查了冪的乘方和積的乘方，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①m,n是正整數(shù)；②n是正整數(shù)．將變形為，然后代入，，計(jì)算即可．【解析】解：，故答案為：17．15．已知一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是，則它的面積是（用科學(xué)記數(shù)法表示）．【答案】【分析】此題考查了正整數(shù)指數(shù)科學(xué)記數(shù)法，以及積的乘方計(jì)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【解析】解：故答案為：16．已知，則的值為．【答案】20【分析】本題考查了冪的運(yùn)算．利用積的乘方和冪的乘方化簡(jiǎn)，再整體代入即可求解．【解析】解：∵，∴．故答案為：20．17．式子的值的個(gè)位數(shù)是．【答案】2【分析】本題考查了積的乘方運(yùn)算，以及數(shù)字的規(guī)律，解題的關(guān)鍵是正確找到的個(gè)位數(shù)．根據(jù)題意，分別找出和的個(gè)位數(shù)即可．【解析】解：原式＝，∵……，∴的個(gè)位數(shù)是每四個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán)，即2、4、8、6、2……，∵∴的末位數(shù)是6；∵∵∴的個(gè)位數(shù)為2故答案為：2．18．已知整數(shù)滿足且，則的值為．【答案】2【分析】根據(jù)3不是10000的公約數(shù)，可得b=0，由和即可得到a，b，c，d的值，故可求解．【解析】∵，3不是10000的公約數(shù)，∴則b=0∴∵整數(shù)滿足∴符合題意∴a=-2，b=0，c=3，d=4∴=-8-0-6-4=2故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題主要考查冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知冪的運(yùn)算法則及特點(diǎn)．三、解答題19．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】解：（1）原式．（2）原式．20．計(jì)算：(1)(2)；(3)(4)(5)(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，注意：（1）有乘方、乘除的混合運(yùn)