人教版九年級數(shù)學上冊重難點專題提優(yōu)訓練專題03反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合應用(原卷版+解析)

專題03反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合應用考點一反比例函數(shù)與三角形的綜合應用考點二反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合應用考點三反比例函數(shù)與矩形的綜合應用考點四反比例函數(shù)與菱形的綜合應用考點五反比例函數(shù)與正方形的綜合應用考點一反比例函數(shù)與三角形的綜合應用例題：（2022·貴州黔東南·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的斜邊軸于點，直角頂點在軸上，雙曲線經過邊的中點，若，則______．【變式訓練】1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，是等腰直角三角形，直角頂點與坐標原點重合，若點B在反比例函數(shù)的圖象上，則經過點A的反比例函數(shù)表達式為____________．2．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學科研訓處模擬預測）如圖，把一個等腰直角三角形ACB放在平面直角坐標系中，∠ACB＝90°，點C(﹣2,0)，點B在反比例函數(shù)的圖象上，且y軸平分∠BAC，則k的值是________．3．（2022·陜西省西安高新逸翠園學校模擬預測）如圖，平面直角坐標系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，點B、D都在x軸上，點A、C都在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，則點C的橫坐標為________．4．（2022·貴州銅仁·九年級期末）如圖1，點A（0，8）、點B（2，a）在直線y＝﹣2x＋b上，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經過點B．(1)求a和k的值；(2)將線段AB向右平移m個單位長度（m＞0），得到對應線段CD，連接AC、BD．①如圖2，當m＝3時，過D作DF⊥x軸于點F，交反比例函數(shù)圖象于點E，求的值；②在線段AB運動過程中，連接BC，若△BCD是以BC為腰的等腰三角形，求所有滿足條件的m的值．5．（2022·四川遂寧·八年級期末）如圖（1），在平面直角坐標系中，將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，點C坐標為（﹣1，0），點A的坐標為（0，2），一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經過點B，C，反比例函數(shù)圖象也經過點B．(1)求反比例函數(shù)的關系式；(2)如圖（2），M是線段AB上一點，連接OM交AC于點N，△AMN與△CON的面積相等，求出點M的坐標．(3)若P是y軸上一點，當△ACP是等腰三角形時，寫出點P的坐標．（直接寫出答案，不需要解答過程）考點二反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合應用例題：（2022·河南南陽·八年級期中）已知，如圖，在平面直角坐標系中，點A（2，0），C（-1，2）是平行四邊形OABC的兩個頂點，反比例函數(shù)的圖像經過點B．(1)求出反比例函數(shù)的表達式；(2)將平行四邊形OABC沿著x軸翻折，點C落在點D處，判斷點D是否在反比例函數(shù)的圖像上，并說明理由；(3)在x軸上是否存在一點P，使是以OC為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變式訓練】1．（2022·福建泉州·八年級期中）如圖，點D是平行四邊形內一點，軸，軸，且，，，若反比例函數(shù)的圖象經過A、D兩點，則k的值是______．2．（2021·河北保定·九年級期末）如圖，平行四邊形OABC的邊OC在y軸上，對角線AC，OB交于點D，函數(shù)的圖象經過點和點D．(1)求k值和點D的坐標；(2)求平行四邊形OABC的周長．3．（2022·河南南陽·八年級期中）如圖，已知平行四邊形ABCD的頂點A、C在反比例函數(shù)的圖象上，頂點B、D在軸上．已知點、．(1)直接寫出點C、D的坐標；(2)求反比例函數(shù)的解析式；(3)求平行四邊形ABCD的對角線AC、BD的長；(4)求平行四邊形ABCD的面積S．4．（2022·江蘇·泰州中學附屬初中八年級期末）如圖在平面直角坐標系中，已知直線y＝﹣x+2及雙曲線y＝（k＞0，x＞0）．直線交y軸于A點，x軸于B點，C、D為雙曲線上的兩點，它們的橫坐標分別為a，a+m（m＞0）．(1)如圖①連接AC、DB、CD，當四邊形CABD為平行四邊形且a＝2時，求k的值．(2)如圖②過C、D兩點分別作軸交直線AB于C'，D'，當CDAB時，①對于確定的k值，求證：a（a+m）的值也為定值．②若k＝6，且滿足m＝a﹣4+，求d的最大值．5．（2021·湖南永州·九年級期中）如圖1，O為坐標原點，點B在x軸的正半軸上，四邊形OACB是平行四邊形，點A的坐標為，反比例函數(shù)在第一象限內的圖像經過點A，與BC相交于F．(1)若，求反比例函數(shù)的關系式．(2)若點F為BC的中點，且△AOF的面積S=9，求OA的長和點C的坐標；(3)在（2）的條件下，過點F作EF∥OB，交OA于點E（如圖2），點P為直線EF上的一個動點，連接PA，PO．是否存在這樣的點P、使以P、O、A為頂點的三角形是以OA為斜邊的直角三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．考點三反比例函數(shù)與矩形的綜合應用例題：（2022·江蘇省錫山高級中學實驗學校八年級期中）如圖1，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點B在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的第一象限內的圖像上，OA＝6，OC＝4，動點P在y軸的右側，且滿足S△PCO＝S矩形OABC．(1)若點P在這個反比例函數(shù)的圖像上，求點P的坐標；(2)若點Q是平面內一點，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形，請你直接寫出滿足條件的所有點Q的坐標．【變式訓練】1．（2022·河南南陽·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x軸，且，，點A的坐標為（2，6）．將矩形向下平移，若矩形的兩個頂點恰好同時落在反比例函數(shù)的圖象上，則矩形的平移距離a的值為（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江寧波·八年級期末）如圖，矩形OABC被三條直線分割成六個小矩形，若D、E是CO邊上的三等分點，反比例函數(shù)剛好經過小矩形的頂點F、G，若圖中的陰影矩形面積，則反比例系數(shù)k的值為__．3．（2022·四川雅安·九年級專題練習）如圖，在矩形中，，，點是邊的中點，反比例函數(shù)的圖像經過點，交于點．(1)求的值及直線的解析式；(2)在軸上找一點，使的周長最小，求此時點的坐標；(3)在（2）的條件下，求的面積．4．（2022·浙江湖州·八年級期末）矩形OABC的頂點A，C分別在x，y軸的正半軸上，點F是邊BC上的一個動點(不與點B，C重合)，過點F的反比例函數(shù)的圖象與邊AB交于點E(8,m)，AB＝4．(1)如圖1，若BE＝3AE．①求反比例函數(shù)的表達式；②將矩形OABC折疊，使O點與F點重合，折痕分別與x，y軸交于點H，G，求線段OG的長度．(2)如圖2，連接OF，EF，請用含m的關系式表示OAEF的面積，并求OAEF的面積的最大值．5．（2022·江蘇宿遷·八年級期末）如圖，矩形的頂點、分別在、軸的正半軸上，點在反比例函數(shù)的第一象限內的圖像上，，，動點在軸的上方，且滿足．(1)若點在這個反比例函數(shù)的圖像上，求點的坐標；(2)連接、，求的最小值；(3)若點是平面內一點，使得以、、、為頂點的四邊形是菱形，則請你直接寫出滿足條件的所有點的坐標．考點四反比例函數(shù)與菱形的綜合應用例題：（2022·四川遂寧·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點C與原點O重合，點B在y軸的正半軸上，點A在反比例函數(shù)的圖像上，點D的坐標為（4，3），設AB所在直線解析式為．(1)求反比例和一次函數(shù)解析式．(2)若將菱形ABCD沿x軸正方向平移m個單位，在平移中若反比例函數(shù)圖像與菱形的邊AD始終有交點，求m的取值范圍．(3)在直線AB上是否存在M、N兩點，使以MNOD四點的四邊形構成矩形？若不存在，請說明理由，若存在直接求出M、N（點M在點N的上方）兩點的坐標．【變式訓練】1．（2022·江蘇·蘇州市胥江實驗中學校八年級期中）圖，在平面直角坐標系中，邊長為4的菱形頂點與原點重合，點在軸的正半軸上，點在函數(shù)的圖象上，________．2．（2022·江蘇南京·二模）如圖，菱形ABCD的邊BC在x軸上，頂點A，D分別在函數(shù)，的圖像上．若，則A的坐標為______．3．（2022·貴州安順·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點在軸上，，兩點的坐標分別為，，直線：與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．(1)求該反比例函數(shù)的解析式及的值；(2)判斷點是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．4．（2022·廣東·九年級專題練習）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于、兩點，點在軸負半軸上，點，連接、、、，四邊形為菱形．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）設點是直線上一動點，且，求點的坐標．5．（2021·山東濟南·一模）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點C與原點O重合，點B在y軸的正半軸上，點A在反比例函數(shù)的圖象上，點D的坐標為．（1）求k的值．（2）若將菱形沿x軸正方向平移m個單位，①當菱形的頂點B落在反比例函數(shù)的圖象上，求m的值；②在平移中，若反比例函數(shù)圖象與菱形的邊始終有交點，求m的取值范圍．考點五反比例函數(shù)與正方形的綜合應用例題：（2022·江蘇淮安·八年級期末）如圖，A、B分別是軸正半軸上和軸正半軸上的點，以AB為邊在第一象限內作正方形ABCD，反比例函數(shù)的圖象經過點C．(1)若點C坐標為（2，3），則的值為______；(2)若A、B兩點坐標分別A（2，0），B（0，2）；①則的值為______；②此時點D______（填“在”、“不在”或者“不一定在”）該反比例函數(shù)的圖象上；(3)若C、D兩點都在函數(shù)的圖象上，直接寫出點C的坐標為______．【變式訓練】1．（2022·黑龍江牡丹江·九年級期末）如圖，正方形ABCD的邊長為3，AD邊在x軸負半軸上，反比例函數(shù)y=（x＜0）的圖像經過點B和CD邊中點E，則k的值為______．2．（2021·江蘇·南通市八一中學九年級階段練習）如圖，直線y＝﹣2x+4與x軸，y軸分別相交于點A、B，四邊形ABCD是正方形，雙曲線在第一象限經過點D，將正方形向下平移m個單位后，點C剛好落在雙曲線上，則m＝________________．3．（2022·福建泉州·八年級期末）如圖，正方形ABCD的頂點A在x軸的負半軸上，頂點B在y軸的正半軸上，頂點C、D都在反比例函數(shù)圖象上，則點C的坐標是______．4．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)桂城街道映月中學九年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點O與坐標原點重合，點C的坐標為（0，4），點A在x軸正半軸上，點D、E分別在邊AB、OA上，且AD＝3BD，AE＝3OE．一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經過點D和點E，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經過點D，與BC的交點為點F．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)若點P在直線DE上，且使△OPE的面積與四邊形OEFC的面積相等，求點P的坐標．5．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖（1），正方形ABCD頂點A、B在函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，點C、D分別在x軸、y軸的正半軸上，當k的值改變時，正方形ABCD的大小也隨之改變．（1）若點A的橫坐標為5，求點D的縱坐標；（2）如圖（2），當k＝8時，分別求出正方形A′B'C′D′的頂點A′、B′兩點的坐標．6．（2022·江西·石城縣教育局教研室二模）正方形ABCD的邊長為4，AC，BD交于點E．在點A處建立平面直角坐標系如圖所示．（1）如圖（1），雙曲線y＝過點E，完成填空：點C的坐標是，點E的坐標是，雙曲線的解析式是；（2）如圖（2），雙曲線y＝與BC，CD分別交于點M，N．求證：；（3）如圖（3），將正方形ABCD向右平移m（m＞0）個單位長度，使過點E的雙曲線y＝與AB交于點P．當AEP為等腰三角形時，求m的值．專題03反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合應用考點一反比例函數(shù)與三角形的綜合應用考點二反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合應用考點三反比例函數(shù)與矩形的綜合應用考點四反比例函數(shù)與菱形的綜合應用考點五反比例函數(shù)與正方形的綜合應用考點一反比例函數(shù)與三角形的綜合應用例題：（2022·貴州黔東南·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的斜邊軸于點，直角頂點在軸上，雙曲線經過邊的中點，若，則______．【答案】【分析】根據是等腰直角三角形，軸，得到是等腰直角三角形，再根據求出A點，C點坐標，根據中點公式求出D點坐標，將D點坐標代入反比例函數(shù)解析式即可求得k．【詳解】∵是等腰直角三角形，軸．∴；．∴是等腰直角三角形．∴．故：，．．將D點坐標代入反比例函數(shù)解析式．．故答案為：．【點睛】本題考查平面幾何與坐標系綜合，反比例函數(shù)解析式；本體解題關鍵是得到是等腰直角三角形，用中點公式算出D點坐標．【變式訓練】1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，是等腰直角三角形，直角頂點與坐標原點重合，若點B在反比例函數(shù)的圖象上，則經過點A的反比例函數(shù)表達式為____________．【答案】【分析】如圖所示，過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥x軸于D，證明△ACO≌△ODB得到AC=OD，OC=BD，設點B的坐標為（a，b），則點A的坐標為（-b，a），再由點B在反比例函數(shù)，推出，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥x軸于D，則∠ACO=∠ODB=90°，由題意得OA=OB，∠AOB=90°，∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°，∴∠CAO=∠DOB，∴△ACO≌△ODB（AAS），∴AC=OD，OC=BD，設點B的坐標為（a，b），則AC=OD=a，OC=BD=b，∴點A的坐標為（-b，a），∵點B在反比例函數(shù)，∴，∴，∴，∴經過點A的反比例函數(shù)表達式為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，全等三角形的性質與判定，熟知相關知識是解題的關鍵．2．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學科研訓處模擬預測）如圖，把一個等腰直角三角形ACB放在平面直角坐標系中，∠ACB＝90°，點C(﹣2,0)，點B在反比例函數(shù)的圖象上，且y軸平分∠BAC，則k的值是________．【答案】【分析】過點B作BD⊥x軸于D，在OA上截取OE=OC，連接CE，由等腰直角三角形的性質可求∠CEO=45°，CE=2，由角平分線的性質和外角的性質可得∠ECA=∠OAC=22.5°，可證CE=AE=2，由“AAS”可證△OAC≌△DCB，可得AO=CD=2+2，OC=BD=2，可得點B坐標，即可求解．【詳解】解：如圖，過點B作BD⊥x軸于D，在OA上截取OE=OC，連接CE，∵點C(-2,0)，∴CO=2，∴CO=EO=2，∴∠CEO=45°，CE=2，∵△BAC為等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴BC=AC，∠OCA+∠DCB=90°，∠CAB=45°，∵∠OCA+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠BCD，在△OAC和△DCB中，∴△OAC≌△DCB(AAS)，∴AO=CD，OC=BD=2，∵y軸平分∠BAC，∴∠CAO=22.5°，∵∠CEO=∠CEA+∠OAC=45°，∴∠ECA=∠OAC=22.5°，∴CE=AE=2，∴AO=2+2=CD，∴DO=2，∴點B坐標為(2,-2)，∵點B在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴k=(-2)×2=-4，故答案為：-4．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標性質以及全等三角形的判定與性質，求得B的坐標是解題關鍵．3．（2022·陜西省西安高新逸翠園學校模擬預測）如圖，平面直角坐標系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，點B、D都在x軸上，點A、C都在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，則點C的橫坐標為________．【答案】##【分析】過點A作AE⊥x軸于點E，過點C作AF⊥x軸于點F，設OE=m，則點A（m，m），點B（2m，0），再利用點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，求出m，點B的坐標；又設BF=n，，則點C（2m+n，n），再利用點C在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象，求出n，點C的坐標．【詳解】解：如圖，過點A作AE⊥x軸于點E，過點C作AF⊥x軸于點F，∵△OAB是等腰直角三角形，∴OE=AE=BE，設OE=m，則點A（m，m），點B（2m，0），∵點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴，解得：(舍去)，∴點B（2，0），同理∵△BCD是等腰直角三角形，∴BF=CF，設BF=n，則點C（2+n，n）．∵點C在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴，解得：(舍去)，∴．故答案為：．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何綜合，等腰直角三角形的性質，靈活運用等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．4．（2022·貴州銅仁·九年級期末）如圖1，點A（0，8）、點B（2，a）在直線y＝﹣2x＋b上，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經過點B．(1)求a和k的值；(2)將線段AB向右平移m個單位長度（m＞0），得到對應線段CD，連接AC、BD．①如圖2，當m＝3時，過D作DF⊥x軸于點F，交反比例函數(shù)圖象于點E，求的值；②在線段AB運動過程中，連接BC，若△BCD是以BC為腰的等腰三角形，求所有滿足條件的m的值．【答案】(1)a＝4，k＝8(2)①；②4或5【分析】（1）先將點A坐標代入直線AB的解析式中，求出a，進而求出點B坐標，再將點B坐標代入反比例函數(shù)解析式中即可得出結論；（2）①先確定出點D(5，4)，進而求出點E坐標，進而求出DE，EF，即可得出結論；②先表示出點C，D坐標，再分兩種情況：Ⅰ、當BC=CD時，判斷出點B在AC的垂直平分線上，即可得出結論；Ⅱ、當BC=BD時，先表示出BC，用BC=BD建立方程求解即可得出結論．（1）解：∵點A(0，8)在直線y＝﹣2x＋b上，∴﹣2×0＋b＝8，∴b＝8，∴直線AB的解析式為y＝﹣2x＋8，將點B（2，a）代入直線AB的解析式y(tǒng)＝﹣2x＋8中，得﹣2×2＋8＝a，∴a＝4，∴B(2，4)，將B(2，4)代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝(x＞0)中，得k＝xy＝2×4＝8；（2）解：①由（1）知，B(2，4)，k＝8，∴反比例函數(shù)解析式為y＝，當m＝3時，∴將線段AB向右平移3個單位長度，得到對應線段CD，∴D(2＋3，4)，即：D(5，4)，∵DF⊥x軸于點F，交反比例函數(shù)y＝的圖象于點E，∴E(5，)，∴DE＝4﹣＝，EF＝，∴＝＝；②如圖，∵將線段AB向右平移m個單位長度(m＞0)，得到對應線段CD，∴CD＝AB，AC＝BD＝m，∵A(0，8)，B(2，4)，∴C(m，8)，D(m＋2，4)，∵△BCD是以BC為腰的等腰三角形，∴Ⅰ、當BC＝CD時，∴BC＝AB，∴點B在線段AC的垂直平分線上，∴m＝2×2＝4，Ⅱ、當BC＝BD時，∵B(2，4)，C(m，8)，∴BC＝，∴＝m，∴m＝5，即：△BCD是以BC為腰的等腰三角形，滿足條件的m的值為4或5．【點睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平移的性質，等腰三角形的性質，線段的垂直平分線的判定和性質，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵．5．（2022·四川遂寧·八年級期末）如圖（1），在平面直角坐標系中，將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，點C坐標為（﹣1，0），點A的坐標為（0，2），一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經過點B，C，反比例函數(shù)圖象也經過點B．(1)求反比例函數(shù)的關系式；(2)如圖（2），M是線段AB上一點，連接OM交AC于點N，△AMN與△CON的面積相等，求出點M的坐標．(3)若P是y軸上一點，當△ACP是等腰三角形時，寫出點P的坐標．（直接寫出答案，不需要解答過程）【答案】(1)(2)(3)或或（0，-2）或【分析】（1）過點B作BF⊥x軸于點F，證明△BFC≌△COA，可得CF＝OA＝2，BF＝OC＝1，可求出點B的坐標，即可求解；（2）根據，可得，從而得到直線軸，進而得到點M橫坐標為-1，再求出直線AB解析式，即可求解；（3）根據等腰三角形的性質，分三種情況討論，即可求解．（1）解：∵點C坐標為（﹣1，0），點A的坐標為（0，2），∴OC=1，OA=2，過點B作BF⊥x軸于點F，∵∠BCA＝90°，∴∠BCF+∠ACO＝90°．又∵∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠BCF＝∠CAO，∵∠BFC＝∠COA＝90°，BC＝AC．∴△BFC≌△COA（AAS），∴CF＝OA＝2，BF＝OC＝1，∴點B的坐標為（﹣3，1），

將點B的坐標代入反比例函數(shù)解析式可得：，解得：k＝﹣3，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）解：如圖，∵，∴∴，∴點M到y(tǒng)軸的距離等于點C到y(tǒng)軸的距離，∴直線軸，∴點M橫坐標為-1，設直線AB解析式為又∵B(-3，1)

A(0，2)∴，解得：，∴直線AB解析式為，∴當x=-1時，，∴M坐標為；（3）解：∵OC=1，OA=2，∴，如圖，若AP=AC，當點P在y軸正半軸時，，∴點；當點P在y軸負半軸時，，∴點；若CP=AC，∵OC⊥y軸，∴，∴點；若AP=CP，設點，∴，在中，由勾股定理得：，解得：，∴點；綜上所述，點P坐標為或或（0，-2）或．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合，等腰三角形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，利用數(shù)形結合思想解答是解題的關鍵．考點二反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合應用例題：（2022·河南南陽·八年級期中）已知，如圖，在平面直角坐標系中，點A（2，0），C（-1，2）是平行四邊形OABC的兩個頂點，反比例函數(shù)的圖像經過點B．(1)求出反比例函數(shù)的表達式；(2)將平行四邊形OABC沿著x軸翻折，點C落在點D處，判斷點D是否在反比例函數(shù)的圖像上，并說明理由；(3)在x軸上是否存在一點P，使是以OC為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)點D在反比例函數(shù)的圖像上，理由見解析(3)（，0）或（，0）或P（-2，0）【分析】（1）過C作CE⊥x軸于E，過B作BF⊥x軸于F，證明△CEO≌△BFA得到OE=AF，CE=BF，求出點B坐標即可求得m值；（2）根據翻折性質求得點D坐標，將點D坐標代入反比例函數(shù)解析式中判斷即可；（3）先求出OC，分OP=OC、CP=OC兩種情況求解即可．（1）解：過C作CE⊥x軸于E，過B作BF⊥x軸于F，則∠CEO=∠BFA=90°，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴OCAB，OC=AB，∴∠COE=∠BAF，∴△CEO≌△BFA（AAS），∴OE=AF，CE=BF，∵A（2，0），C（-1，2），∴AF=OE=1，BF=CE=2，OA=2，∴OF=OA-AF=1，則點B坐標為（1，2），將點B（1，2）代入，得：m=2，∴反比例函數(shù)的表達式為；（2）解：點D在反比例函數(shù)的圖像上，理由為：根據翻折性質得點D坐標為（-1，-2），∵當x=-1時，=-2，∴點D在反比例函數(shù)的圖像上；（3）解：存在，如圖，∴，當OP=OC時，OP=，則P1（，0）或P2（，0），當CP=OC時，OP3=2OE=2，則點P3（-2，0），綜上，滿足條件的點P坐標為（，0）或（，0）或P（-2，0）．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合，涉及平行四邊形的性質、反比例函數(shù)的性質、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、全等三角形的判定與性質、翻折性質、等腰三角形的性質、坐標與圖形等知識，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用，利用數(shù)形結合和分類討論思想求解是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·福建泉州·八年級期中）如圖，點D是平行四邊形內一點，軸，軸，且，，，若反比例函數(shù)的圖象經過A、D兩點，則k的值是______．【答案】12【分析】作AM⊥y軸于M，延長BD，交AM于E，設BC與y軸的交點為N，證明△AOM≌△CBD（AAS），得出OM=BD=2，根據△ABD的面積求出AE=4，設D點橫坐標為m，表示出D（m，6），則A點坐標為（m+4，2），據反比例函數(shù)的定義得出關于m的方程，即可求出m和k的值．【詳解】解：作AM⊥y軸于M，延長BD，交AM于E，設BC與y軸的交點為N，如下圖所示：∵四邊形OABC是平行四邊形，∴OABC，OA=BC，∴∠AOM=∠CNM，∵BDy軸，∴∠CBD=∠CNM，∴∠AOM=∠CBD，∵CD與x軸平行，BD與y軸平行，∴∠CDB=90°，BE⊥AM，∴∠CDB=∠AMO，∴△AOM≌△CBD（AAS），∴OM=BD=2，∵S△ABD=BD?AE=4，∴AE=4，∵∠ADB=135°，∴∠EDA=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AE=4，∴D點縱坐標為6，設D點橫坐標為m，∴D點坐標為（m，6），A點坐標為（m+4，2），∵反比例函數(shù)圖象經過A、D兩點，∴k=6m=（m+4）×2，解得m=2，k=12．故答案為：12．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合，表示出A、D的坐標是解決本題的關鍵．2．（2021·河北保定·九年級期末）如圖，平行四邊形OABC的邊OC在y軸上，對角線AC，OB交于點D，函數(shù)的圖象經過點和點D．(1)求k值和點D的坐標；(2)求平行四邊形OABC的周長．【答案】(1)，D(6，10)；(2)【分析】（1）將A點坐標代入反比例函數(shù)解析式，即可求出k的值，從而得到反比例函數(shù)解析式為．根據題意可知，由平行四邊形的性質可知，代入反比例函數(shù)解析式即可求出，即得出D點坐標；（2）由A點坐標可求出OA的長，再根據平行四邊形的性質可得，即可求出OC的長，最后根據平行四邊形的周長公式計算即可．（1）∵函數(shù)的圖象經過點，∴，解得：．∴反比例函數(shù)解析式為．∵平行四邊形OABC的邊OC在y軸上，且對角線AC，OB交于點D，∴，∴．∵函數(shù)的圖象經過點D，∴，∴D(6，10)；（2）∵，∴．∵，，且∴．∴，∴．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合．利用數(shù)形結合的思想是解題關鍵．3．（2022·河南南陽·八年級期中）如圖，已知平行四邊形ABCD的頂點A、C在反比例函數(shù)的圖象上，頂點B、D在軸上．已知點、．(1)直接寫出點C、D的坐標；(2)求反比例函數(shù)的解析式；(3)求平行四邊形ABCD的對角線AC、BD的長；(4)求平行四邊形ABCD的面積S．【答案】(1)C(3，-2)；D（5，0）(2)(3)；(4)【分析】（1）由題意，點A、C，點B、D關于原點對稱，即可得出答案；（2）直接將點代入反比例函數(shù)，即可求出解析式；（3）直接根據B、D的坐標得到BD的長，過點A作AE⊥x軸于E，有勾股定理可求出OA的長，即可得出AC的長；（4）由，即可求解．（1）解：由題意點A、C，點B、D關于原點對稱，且、，∴C(3，-2)；D（5，0）．（2）∵反比例函數(shù)圖象經過點（-3，2），∴反比例函數(shù)的解析式為．（3）；過點A作AE⊥x軸于E，在Rt△AEO中，，∴．（4）．【點睛】本題考查反比例函數(shù)，平行四邊形，熟練運用反比例函數(shù)的對稱性是解題的關鍵．4．（2022·江蘇·泰州中學附屬初中八年級期末）如圖在平面直角坐標系中，已知直線y＝﹣x+2及雙曲線y＝（k＞0，x＞0）．直線交y軸于A點，x軸于B點，C、D為雙曲線上的兩點，它們的橫坐標分別為a，a+m（m＞0）．(1)如圖①連接AC、DB、CD，當四邊形CABD為平行四邊形且a＝2時，求k的值．(2)如圖②過C、D兩點分別作軸交直線AB于C'，D'，當CDAB時，①對于確定的k值，求證：a（a+m）的值也為定值．②若k＝6，且滿足m＝a﹣4+，求d的最大值．【答案】(1)k＝6(2)①見解析；②當a＝1時，d的最大值為14【分析】（1）先求出點，點坐標，由平行四邊形的性質列出方程組，即可求解；（2）①先證四邊形是平行四邊形，可得，列出方程可求解；②將和代入，再利用二次函數(shù)的性質可求解．（1）解：直線交軸于點，交軸于點，點，點，、為雙曲線上的兩點，點，點，四邊形為平行四邊形，與互相平分，，，解得：，；（2）證明：∵軸，CDAB，四邊形是平行四邊形，，、為雙曲線上的兩點，點，點，∵軸，點的橫坐標為，點的橫坐標為，點，點，，，當為定值時，為定值；②解：，，，，，，當時，的最大值為14．【點睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質，平行四邊形的性質，二次函數(shù)的性質等知識，利用參數(shù)表示點的坐標是解題的關鍵．5．（2021·湖南永州·九年級期中）如圖1，O為坐標原點，點B在x軸的正半軸上，四邊形OACB是平行四邊形，點A的坐標為，反比例函數(shù)在第一象限內的圖像經過點A，與BC相交于F．(1)若，求反比例函數(shù)的關系式．(2)若點F為BC的中點，且△AOF的面積S=9，求OA的長和點C的坐標；(3)在（2）的條件下，過點F作EF∥OB，交OA于點E（如圖2），點P為直線EF上的一個動點，連接PA，PO．是否存在這樣的點P、使以P、O、A為頂點的三角形是以OA為斜邊的直角三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)OA＝5，(3)存在，P（4，2）或P（-1，2）【分析】（1）把點A坐標代入解析式，即可求解；（2）根據反比函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義可得，從而得到，，進而得到點F的坐標為（6a，2a），可得到，求出a，即可求解；（3）先證得四邊形OBFE為平行四邊形，可求出點E，然后分兩種情況討論，即可求解．（1）解∶∵點A的坐標為，，∴點A的坐標為，把代入得：k=48，∴反比例函數(shù)的關系式為；（2）解：分別過點A，F(xiàn)，C作x軸的垂線交x軸于點D，E，G，AD交OF于點H．∵點A，F(xiàn)在反比例函數(shù)圖像上，∴又，，∵△AOF的面積S=9，四邊形OACB是平行四邊形，，，∵點A的坐標為，AC∥x軸，∴點C的縱坐標為4a，點F為BC的中點，k=12a2，∴點F的縱坐標為2a，∴點F的橫坐標為，點F的坐標為（6a，2a），，解得a＝1，∴點A（3，4），F(xiàn)（6，2），OD＝3

AD＝4，OA＝5，∵，∴AC=OB＝，∴點，即；（3）解：存在，根據題意得：∠APO=90°，∵四邊形OACB為平行四邊形，∴OE∥BF，OA=BC，∵EF∥OB，∴四邊形OBFE為平行四邊形，∴OE=BF，∵BF=CF，∴AE=OE=，∴PE=，由（2）得：點A（3，4），∴點E，∴ON=，EN=2，如圖，當點P在線段OA的右側上時，過點P作PM⊥x軸于點M，過點E作EN⊥x軸于點N，∵EN⊥x軸，PM⊥x軸，∴EN∥PM，∴四邊形ENMP為平行四邊形，∴PE=MN=，PM=EN=2，∴OM=4，∴點P（4，2）；如圖，當點P在線段OA的作側上時，過點P作PT⊥x軸于點T，過點E作ES⊥x軸于點S，同理：四邊形PEST為平行四邊形，∴PT=ES=2，TS=PE=，OS=，∴OT=1，∴點P（-1，2）；綜上所述，點P的坐標為（4，2）或（-1，2）．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖像和性質，平行四邊形的判定和性質，直角三角形的性質，熟練掌握反比例函數(shù)的圖像和性質，平行四邊形的判定和性質，利用數(shù)形結合思想解答是解題的關鍵．考點三反比例函數(shù)與矩形的綜合應用例題：（2022·江蘇省錫山高級中學實驗學校八年級期中）如圖1，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點B在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的第一象限內的圖像上，OA＝6，OC＝4，動點P在y軸的右側，且滿足S△PCO＝S矩形OABC．(1)若點P在這個反比例函數(shù)的圖像上，求點P的坐標；(2)若點Q是平面內一點，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形，請你直接寫出滿足條件的所有點Q的坐標．【答案】(1)點P的坐標為(2)點Q的坐標為（11，）或（11，）或（－1，）或（－1，）【分析】（1）首先根據點B坐標，確定反比例函數(shù)的解析式，設點P的橫坐標為m（m>0），根據S△PCO＝S矩形OABC構建方程，即可求解；（2）分兩種情形：當四邊形CBQP是菱形時，當四邊形CBPQ是菱形時，分別求解，即可解決問題．（1）解：∵四邊形OABC是矩形，OA＝6，OC＝4，∴點B的坐標為（6，4），∵點B在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的第一象限內的圖像上，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝，設點P的橫坐標為m（m>0），∵S△PCO＝S矩形OABC，∴，即，∵點P在這個反比例函數(shù)的圖像上，∴點P的縱坐標為，∴點P的坐標為；（2）解：由（1）可知點P的橫坐標為5，∴設點Q的坐標為（a，b），點P的坐標為（5，c），分兩種情況：當四邊形CBQP是菱形時，如圖2，由菱形和矩形的性質可知，PC=BC=OA＝6，∴，即，解得，∴點P的坐標為（5，）或（5，），∵，∴點Q的縱坐標為，∵PQ=PC=6，∴，解得，∴點Q的坐標為（11，）或（11，）；②當四邊形CBPQ是菱形時，如圖3，由菱形和矩形的性質可知，PB=BC=OA＝6，∴，即，解得，∴點P的坐標為（5，）或（5，），∵，∴點Q的縱坐標為，∵PQ=BC=6，∴，解得，∴點Q的坐標為（－1，）或（－1，）；綜上，點Q的坐標為（11，）或（11，）或（－1，）或（－1，）．【點睛】本題考查反比例函數(shù)綜合問題、矩形的性質、菱形的判定和性質、三角形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想解決問題．【變式訓練】1．（2022·河南南陽·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x軸，且，，點A的坐標為（2，6）．將矩形向下平移，若矩形的兩個頂點恰好同時落在反比例函數(shù)的圖象上，則矩形的平移距離a的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，根據矩形的性質以及平移的性質，得到平移后A與C在反比例函數(shù)圖象上，從而根據反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征解決此題．【詳解】解：如圖．由題意知，矩形平移到圖示的位置時，矩形的兩個頂點恰好同時落在反比例函數(shù)的圖象．∵AB=2，AD=4，平移前點A的坐標為（2，6），∴平移后A坐標為（2，6-a），平移后點C的坐標為C（6，4-a）．∴2（6-a）=6（4-a）．∴a=3．故選：B．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征、矩形的性質、平移，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征、矩形的性質、平移的性質是解決本題的關鍵．2．（2022·浙江寧波·八年級期末）如圖，矩形OABC被三條直線分割成六個小矩形，若D、E是CO邊上的三等分點，反比例函數(shù)剛好經過小矩形的頂點F、G，若圖中的陰影矩形面積，則反比例系數(shù)k的值為__．【答案】10【分析】根據題意求得，進而即可根據反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求得k的值．【詳解】是CO邊上的三等分點，，，反比例函數(shù)剛好經過小矩形的頂點，，故答案為：10．【點睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，矩形的面積，求得矩形OAGD的面積是關鍵．3．（2022·四川雅安·九年級專題練習）如圖，在矩形中，，，點是邊的中點，反比例函數(shù)的圖像經過點，交于點．(1)求的值及直線的解析式；(2)在軸上找一點，使的周長最小，求此時點的坐標；(3)在（2）的條件下，求的面積．【答案】(1)，直線解析式為(2)的周長最小時，(3)【分析】（1）先求出D點坐標，然后再代入反比例函數(shù)解析式可求得k；然后再確定點E得坐標，再通過待定系數(shù)法即可解答；（2）先求出關于軸對稱點為，連接D′E交x軸于點P，此時△PDE周長最小，再運用待定系數(shù)法求得直線的解析式，直線與x軸的交點即為P點坐標；（3）先求出直線DE與x軸交點Q的坐標，再求出PE的長，然后結合點D、點E的坐標可求得、,最后根據求解即可．（1）解：∵，，∴．又∵點是邊的中點，∴，∴

反比例函數(shù)解析式為，∵為上一點，得．∴，∴，設直線解析式為得：，解得，∴直線解析式為．（2）解：關于軸對稱點為，連接D′E交x軸于點P，此時△PDE周長最小，設直線解析式為得，解得，∴直線解析式為

∴直線與軸交點為，∴的周長最小時，．（3）解：直線解析式為，設其與軸的交點為，當y2=0，可得x=6∴的坐標為，

∵，∴，又∵，，∴，∴

，∴．【點睛】本題屬于反比例綜合題，主要考查了反比例函數(shù)解析式、最短路徑以及三角形的面積等知識點，掌握數(shù)形結合思想成為解答本題的關鍵．4．（2022·浙江湖州·八年級期末）矩形OABC的頂點A，C分別在x，y軸的正半軸上，點F是邊BC上的一個動點(不與點B，C重合)，過點F的反比例函數(shù)的圖象與邊AB交于點E(8,m)，AB＝4．(1)如圖1，若BE＝3AE．①求反比例函數(shù)的表達式；②將矩形OABC折疊，使O點與F點重合，折痕分別與x，y軸交于點H，G，求線段OG的長度．(2)如圖2，連接OF，EF，請用含m的關系式表示OAEF的面積，并求OAEF的面積的最大值．【答案】(1)①y②(2)20【分析】(1)①首先求出AE的長，從而得出點E的坐標，即可得出k的值；②利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征求出CF的長，設OG＝x，則CG＝4﹣x，F(xiàn)G＝x，利用勾股定理列方程，從而解決問題；(2)利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征求出CF＝2m，再利用矩形面積減去△OCF和△BEF的面積，從而表示出四邊形OAEF的面積，再利用配方法求出最大值．（1）解：①∵BE＝3AE，AB＝4，∴AE＝1，BE＝3，∴E(8，1)，∴k＝8×1＝8，∴反比例函數(shù)表達式為y；②當y＝4時，x＝2，∴F(2,4)，∴CF＝2，設OG＝x，則CG＝4﹣x，F(xiàn)G＝x，由勾股定理得，，解得x，∴OG；（2）解：∵點E、F在反比例函數(shù)的圖象上，∴CF×4＝8m，∴CF＝2m，∴四邊形OAEF的面積為8×4=-+4m+16＝﹣+20，∵0＜m＜4，∴當m＝2時，四邊形OAEF的面積最大為20．【點睛】本題考查待系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，矩形的性質，勾股定理，坐標與圖形，二次函數(shù)的最值，熟練掌握用待系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、勾股定理、二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．5．（2022·江蘇宿遷·八年級期末）如圖，矩形的頂點、分別在、軸的正半軸上，點在反比例函數(shù)的第一象限內的圖像上，，，動點在軸的上方，且滿足．(1)若點在這個反比例函數(shù)的圖像上，求點的坐標；(2)連接、，求的最小值；(3)若點是平面內一點，使得以、、、為頂點的四邊形是菱形，則請你直接寫出滿足條件的所有點的坐標．【答案】(1)(2)(3)，，或【分析】（1）由矩形的性質可得出點的坐標，利用反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征可求出的值，進而可得出反比例函數(shù)解析式，由可求出點的縱坐標，再利用反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征可求出點的坐標；（2）作點關于直線的對稱點，連接'交直線于點，利用兩點之間線段最短可得出此時取得最小值，由點的坐標可求出點的坐標，再利用勾股定理即可求出的最小值；（3）設點的坐標為，由線段的長及點的縱坐標可得出只能為邊，分點在點的上方及點在點的下方兩種情況考慮：①當點在點的上方時，由可求出的值，進而可得出點，的坐標，結合可得出點，的坐標；②當點在點的下方時，由可求出的值，進而可得出點，的坐標，結合可得出點，的坐標．綜上，此題可得解．(1)解：∵四邊形是矩形，，，∴點的坐標為，，∵點在反比例函數(shù)的第一象限內的圖像上，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為，設點的縱坐標為，∵，∴，∴，當時，，解得：，∴當點在這個反比例函數(shù)的圖像上，點的坐標為；(2)如圖1，由（1）可知，點在直線上，作點關于直線的對稱點，連接'交直線于點，∵點和點關于直線的對稱，∴直線垂直平分，∴，∴，即此時取得最小值，最小值為的長，∵點的坐標為，∴點的坐標為，∵點的坐標為，，∴．∴的最小值為．(3)∵軸，，點的縱坐標為，∴不能為對角線，只能為邊，設點的坐標為，分兩種情況考慮，如圖2所示：①當點在點的上方時，由，∴，解得：，，∴點的坐標為，點的坐標為，又∵，且軸，∴點的坐標為，點的坐標為；②當點在點的下方時，由，∴，解得：，，∴點的坐標為，點的坐標為，又∵，且軸，∴點的坐標為，點的坐標為．綜上所述：當以、、、為頂點的四邊形是菱形時，點的坐標為，，或．【點睛】本題考查反比例函數(shù)綜合題、矩形的性質、菱形的判定和性質、三角形的面積、軸對稱最短問題，勾股定理等知識．解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用軸對稱解決最短問題，學會用分類討論的方法思考問題．考點四反比例函數(shù)與菱形的綜合應用例題：（2022·四川遂寧·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點C與原點O重合，點B在y軸的正半軸上，點A在反比例函數(shù)的圖像上，點D的坐標為（4，3），設AB所在直線解析式為．(1)求反比例和一次函數(shù)解析式．(2)若將菱形ABCD沿x軸正方向平移m個單位，在平移中若反比例函數(shù)圖像與菱形的邊AD始終有交點，求m的取值范圍．(3)在直線AB上是否存在M、N兩點，使以MNOD四點的四邊形構成矩形？若不存在，請說明理由，若存在直接求出M、N（點M在點N的上方）兩點的坐標．【答案】(1)，(2)0≤m≤(3)點N坐標為（，）；點M的坐標為（，）【分析】（1）延長AD交x軸于F，根據菱形的性質和勾股定理得到A、B的坐標，利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可；（2）根據平移性質，只需求得點D平移后落在反比例函數(shù)圖像上時的坐標即可求解；（3）延長AD交x軸于F，過點N作NH⊥y軸于H，證明△ONB≌△OFD（AAS）得到S△ONB=S△OFD，求出NH即可求得點N坐標，設M（x，），利用中點坐標公式即可求出點M坐標．（1）解：延長AD交x軸于F，∵四邊形ABCD是菱形，∴OB=OD=AD，AD∥OB，則AF⊥x軸，∵點D坐標為（4，3），∴OF=4，DF=3，∴OD=5，即OB=AD=5，∴A（4，8），B（0，5），∴k=4×8=32，∴反比例函數(shù)的解析式為；將A、B坐標代入中，得，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為；（2）解：由題意知，將菱形ABCD沿x軸正方向平移m個單位，使得點D落在反比例函數(shù)的圖像D′處，∵點D平移后的坐標為D′（4+m，3），∴，∴m=，∴滿足條件的m的取值范圍為0≤m≤．（3）解：存在，理由為：如圖，延長AD交x軸于F，過點N作NH⊥y軸于H，則∠NHO=∠OFD=90°，由題意，∠ONB=∠NOD=∠HOF=90°，則∠NOB=∠FOD，又∠ONB=∠OFD=90°，OB=OD，∴△ONB≌△OFD（AAS），∴S△ONB=S△OFD，則，∴NH=，∵點N在直線AB上，∴當x=時，，∴點N坐標為（，）；設M（x，），則x+0=+4，解得：x=，，∴點M的坐標為（，）．【點睛】本題是反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合題，涉及菱形的性質、矩形的性質、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、全等三角形的判定與性質、坐標與圖形、平移性質等知識，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用，添加輔助線，利用數(shù)形結合思想求解是解答的關鍵．【變式訓練】1．（2022·江蘇·蘇州市胥江實驗中學校八年級期中）圖，在平面直角坐標系中，邊長為4的菱形頂點與原點重合，點在軸的正半軸上，點在函數(shù)的圖象上，________．【答案】【分析】延長AD交x軸于F，求出DF和OF，即可求出A點的坐標，再代入函數(shù)解析式求出k即可【詳解】解：延長AD交x軸于F，∵四邊形ABOD是菱形，∴AD=OD=4，∵∴∴，∴，又，AD∥OB，∴A點的坐標是（，6），代入y=得：k=6×=，故答案為：【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和菱形的性質等知識點，能求出反比例函數(shù)的解析式是解此題的關鍵．2．（2022·江蘇南京·二模）如圖，菱形ABCD的邊BC在x軸上，頂點A，D分別在函數(shù)，的圖像上．若，則A的坐標為______．【答案】【分析】過點D作DE⊥x軸于點E，設DE=n，則，，即可得出，然后根據菱形的性質及含30°直角三角形的性質可求出n的值，進而問題可求解．【詳解】解：過點D作DE⊥x軸于點E，如圖所示：設DE=n，由四邊形ABCD是菱形可知：，∴點A、D的縱坐標為n，∵頂點A，D分別在函數(shù)，的圖像上，∴，，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴點；故答案為．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何的綜合、含30度直角三角形的性質及菱形的性質，熟練掌握反比例函數(shù)與幾何的綜合、含30度直角三角形的性質及菱形的性質是解題的關鍵．3．（2022·貴州安順·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點在軸上，，兩點的坐標分別為，，直線：與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．(1)求該反比例函數(shù)的解析式及的值；(2)判斷點是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．【答案】(1)，(2)點在該反比例函數(shù)的圖象上，理由見解答【分析】（1）因為點在雙曲線上，所以代入點坐標即可求出雙曲線的函數(shù)關系式，又因為點在雙曲線上，代入即可求出的值；（2）先求出點的坐標，判斷即可得出結論．（1）解：將點代入中，得，反比例函數(shù)的解析式為，將點代入中，得；（2）解：因為四邊形是菱形，，，，，，由（1）知雙曲線的解析式為；，點在雙曲線上．【點睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，菱形的性質，解題的關鍵是用表示出點的坐標．4．（2022·廣東·九年級專題練習）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于、兩點，點在軸負半軸上，點，連接、、、，四邊形為菱形．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）設點是直線上一動點，且，求點的坐標．【答案】（1）一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為；（2）或【分析】（1）由菱形的性質可知、關于軸對稱，可求得點坐標，把點坐標分別代入兩函數(shù)解析式可求得和值；（2）根據（1）可求得菱形面積，設點坐標為，根據條件可得到關于的方程，可求得點坐標．【詳解】解：（1）如圖，連接，交軸于點，四邊形是菱形，∴AD⊥OC，，，，四邊形是菱形，，，，將代入直線，得：，解得：，將代入反比例函數(shù)，得：，解得：，一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為；（2），，，，，設點坐標為，與軸相交于點，則，，，當在的左側時，，，，，，當在的右側時，，，，，，綜上所述，點的坐標為或．【點睛】本題為反比例函數(shù)的綜合應用，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、菱形的性質、三角形的面積及數(shù)形結合思想、分類討論思想等，題目難度不大，但是屬于中考?？碱}，熟練掌握反比例函數(shù)圖象和性質及待定系數(shù)法等相關知識，并能夠靈活運用方程思想、數(shù)形結合思想和分類討論思想是解題關鍵．5．（2021·山東濟南·一模）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點C與原點O重合，點B在y軸的正半軸上，點A在反比例函數(shù)的圖象上，點D的坐標為．（1）求k的值．（2）若將菱形沿x軸正方向平移m個單位，①當菱形的頂點B落在反比例函數(shù)的圖象上，求m的值；②在平移中，若反比例函數(shù)圖象與菱形的邊始終有交點，求m的取值范圍．【答案】（1）；（2）①，②．【分析】（1）先由點D的坐標確定出AD，從而求出點A坐標，最后求出；（2）①由平移的性質確定出的縱坐標，根據解析式求出點的橫坐標，即可；②由平移的性質求出點D落在雙曲線上的橫坐標的值即可求出反比例函數(shù)圖象與菱形的邊AD始終有交點的的取值范圍．【詳解】（1）過點D作x軸的垂線，垂足為F，如圖所示：∵點D的坐標為，∴，∴，∴菱形，∴，∴，∵點A在反比例函數(shù)的圖象上，∴，（2）①將菱形沿x軸正方向平移m個單位，則平移后，∵菱形的頂點B落在反比例函數(shù)的圖象上，∴，②如圖，將菱形沿x軸正方向平移m個單位，使得點D落在函數(shù)的圖象處，過點作x軸的垂線，垂足為，∵，∴，∴點的縱坐標為3，∵落在函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，菱形的性質和勾股定理，解本題的關鍵是判斷菱形ABCD的邊AD始終和雙曲線有交點的分界點．考點五反比例函數(shù)與正方形的綜合應用例題：（2022·江蘇淮安·八年級期末）如圖，A、B分別是軸正半軸上和軸正半軸上的點，以AB為邊在第一象限內作正方形ABCD，反比例函數(shù)的圖象經過點C．(1)若點C坐標為（2，3），則的值為______；(2)若A、B兩點坐標分別A（2，0），B（0，2）；①則的值為______；②此時點D______（填“在”、“不在”或者“不一定在”）該反比例函數(shù)的圖象上；(3)若C、D兩點都在函數(shù)的圖象上，直接寫出點C的坐標為______．【答案】(1)6(2)①8，②在；(3)（1，2）【分析】（1）運用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式中的的值即可；（2）①求出C點坐標，運用待定系數(shù)法即可；②由題意可得D點坐標，代入反比例函數(shù)解析式，即可得出結論；（3）根據全等三角形的性質和判定可得C、D點的坐標特點，即可得到點C的坐標（1）∵點C坐標為（2，3），反比例函數(shù)的圖象經過點C，∴；（2）①連接AC，過點C作CE⊥y軸，過點D作CF⊥x軸，如圖所示，∵A、B兩點坐標分別A（2，0），B（0，2）∴OA=OB=2∵∴，在正方形ABCD中，AC為對角線∴，，∴C點的橫坐標為2∴∴∵反比例函數(shù)的圖象經過點C∴②由上小問可知，反比例函數(shù)的解析式為，∵，∴∵CF⊥x軸∴∴∵正方形ABCD，∴∴∴∴將代入反比例函數(shù)的解析式得，，∴點D在該反比例函數(shù)的圖象上（3）過點C作CE⊥y軸，過點D作CF⊥x軸，∵CE⊥y軸，CF⊥x軸，∴，∵正方形ABCD，∴∴，∴在和中，，∴≌（AAS）∴，同理可得出：≌∴，設，∴，∵C、D兩點都在函數(shù)的圖象上∴∴∴，∴解得：或（不合題意，舍去）∴點C的坐標：【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)綜合以及全等三角形的判定和性質，以及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，得出C、D點的坐標特點是本題的特點．【變式訓練】1．（2022·黑龍江牡丹江·九年級期末）如圖，正方形ABCD的邊長為3，AD邊在x軸負半軸上，反比例函數(shù)y=（x＜0）的圖像經過點B和CD邊中點E，則k的值為______．【答案】-9【分析】設B(m，3)，把E點的坐標用含m的代數(shù)式表示出來．把B、E兩點的坐標都代入y=中，先求出m的值，則可求出k的值．【詳解】設B(m，3)，則C((m-3，3)，∵E點是CD的中點，∴(m-3，).∵B、E都在y=的圖像上，∴，

解得m=-3，∴B(-3，3)，∴k=-3×3=-9，故答案為-9．【點睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達式．熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．2．（2021·江蘇·南通市八一中學九年級階段練習）如圖，直線y＝﹣2x+4與x軸，y軸分別相交于點A、B，四邊形ABCD是正方形，雙曲線在第一象限經過點D，將正方形向下平移m個單位后，點C剛好落在雙曲線上，則m＝________________．【答案】3【分析】過點C作軸于點F，過點D作軸于點E，作于G，求出D點坐標，代入雙曲線，求出雙曲線的解析式，再求出C點坐標，根據平移的性質，得到平移后C點的新坐標，代入雙曲線即可求出m的值【詳解】如圖，過點C作軸于點F，過點D作軸于點E，作于G，直線y＝﹣2x+4與x軸，y軸分別相交于點A、B，當時，，即當時，，即四邊形ABCD是正方形，在和中，

,D點坐標為（6，2），把D點坐標代入雙曲線，得則雙曲線的解析式為：同理，且四邊形DEFG是正方形C點坐標為（4，6）當正方形向下平移m個單位后，C點坐標變?yōu)椋?，6-m），代入雙曲線，得，解得．故答案為：3【點睛】本題考查函數(shù)與幾何圖形的綜合知識，難點在于作輔助線把兩者連線起來．3．（2022·福建泉州·八年級期末）如圖，正方形ABCD的頂點A在x軸的負半軸上，頂點B在y軸的正半軸上，頂點C、D都在反比例函數(shù)圖象上，則點C的坐標是______．【答案】【分析】設，作軸于點E，軸于點F，進而得到全等，從而得到用a表示的D的坐標，從而構建方程解出a的值，進而得到C的坐標．【詳解】解：設，作軸于點E，軸于點F，則