北京市通州區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷

通州區(qū)2023—2024學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷2024年4月本試卷共4頁(yè)，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法求出即可得解.【詳解】依題意，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限.故選：A2.如圖，四邊形是菱形，下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)A和B由圖即可判斷；對(duì)C根據(jù)菱形性質(zhì)即可判斷；對(duì)D，根據(jù)向量加法和圖形即可判斷.【詳解】對(duì)A，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由圖知，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)樗倪呅瘟庑?，則，則，故C正確；對(duì)D，，故D錯(cuò)誤；故選：C.3.已知向量，.若，則實(shí)數(shù)（）A. B.9 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【詳解】由題意得，即.故選：A.4.為了解學(xué)生們的視力狀況，某學(xué)校決定采用分層抽樣的方法，從高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)共抽取100人進(jìn)行調(diào)查.已知高三年級(jí)有200人，高二年級(jí)有240人，高一年級(jí)有360人，則高三年級(jí)抽取的人數(shù)為（）A.20 B.25 C.30 D.45【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分層抽樣列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，高三年級(jí)抽取的人數(shù)為.故選：B5.已知樣本數(shù)據(jù)為：，，，，，，，，，.去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后數(shù)據(jù)與原來(lái)的數(shù)據(jù)相比，下列數(shù)字特征的值一定不變的是（）A.平均數(shù) B.眾數(shù) C.極差 D.中位數(shù)【答案】D【解析】【分析】由平均數(shù)、眾數(shù)、極差和中位數(shù)的定義可直接判斷.【詳解】樣本數(shù)據(jù)為，，，，，，，，，，去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后的數(shù)據(jù)與原來(lái)的數(shù)據(jù)相比，假設(shè)從小到大就是從到，極差和眾數(shù)可能變化，故BC錯(cuò)；平均數(shù)為，可能變，故A錯(cuò)；中位數(shù)還是按從小到大排序中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即，故D正確；故選：D.6.已知，，是三個(gè)非零平面向量，則下列敘述正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】利用向量的模、數(shù)量積的運(yùn)算律及共線向量直接判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，，而與的方向不確定，不一定有，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，即，則，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，也成立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)與的方向相反時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：B7.已知兩個(gè)單位向量，滿足，則，的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先同平方求出，再利用向量夾角公式即可.【詳解】，兩邊同平方有，即，解得，則，又因?yàn)?，所?故選：C.8.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理分別判斷充分性和必要性即可.【詳解】若，則，由正弦定理可知，則，則，則可得“”是“”的充分條件，再由，由正弦定理得，則，則，則“”是“”的必要條件，所以“”是“”的充要條件.故選：C.9.如圖，在中，是AB的中點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，若，則的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，又D是AB的中點(diǎn)，所以，則，.故選：B.10.如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)和，測(cè)得，，CD長(zhǎng)米，并在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理求出，再利用直角三角形邊角關(guān)系求解即得.【詳解】在中，，，則，由正弦定理得，則，在中，，所以.故選：D第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)_____________.【答案】1【解析】【分析】利用純虛數(shù)的定義直接求出值.【詳解】依題意，，所以.故答案為：112.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，，，則_____________，的面積為_(kāi)____________.【答案】①.1②.##【解析】分析】利用余弦定理求出，利用三角形面積公式計(jì)算即得.【詳解】在中，由余弦定理得；由三角形面積公式得.故答案為：；13.已知正方形的邊長(zhǎng)為2，，則_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.【詳解】邊長(zhǎng)為2的正方形中，，則，而，所以.故答案為：14.如圖是李明3月1日至10日記錄的一分鐘跳繩次數(shù)折線圖，由圖判斷從第_____________天開(kāi)始，連續(xù)三天的跳繩次數(shù)方差最大.【答案】4【解析】【分析】結(jié)合方差越大，說(shuō)明數(shù)據(jù)的波動(dòng)性越大，然后根據(jù)圖表即可判斷.【詳解】因?yàn)榉讲钤酱螅f(shuō)明三天的跳繩次數(shù)越不穩(wěn)定，由圖可知從4日開(kāi)始連續(xù)4，5，6三天的跳繩次數(shù)方差最大，故答案為：415.已知平面向量，，，正實(shí)數(shù)，滿足，與的夾角為，且，則的最小值為_(kāi)________________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合二次函數(shù)最值求解即得.【詳解】由，得，而，與的夾角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，其共軛復(fù)數(shù)為.（1）求復(fù)數(shù)和；（2）若，（，），求實(shí)數(shù)，的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出，再求出復(fù)數(shù)的模.（2）由（1）及復(fù)數(shù)乘法求出，再利用復(fù)數(shù)相等求解即得.【小問(wèn)1詳解】由，得；.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，則，由，得，所以.17.已知向量，，，（1）求；（2）求與夾角的余弦值；（3）若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示即可；（2）根據(jù)向量夾角余弦值的坐標(biāo)表示即可；（3）計(jì)算出，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】，，.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)橄蛄?，所以，因?yàn)?，所以，解?18.在中，角，，所對(duì)的邊為，，.，.（1）求；（2）若，為邊上的中點(diǎn)，求邊長(zhǎng)及中線BD的長(zhǎng).【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可求出；（2）根據(jù)余弦定理求出，利用中線定理，再平方代入數(shù)據(jù)即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，在中，由正弦定理得，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以，在中，，根?jù)余弦定理得，整理得，解得或（舍），因?yàn)镈為AC中點(diǎn)，故，.故中線.19.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求角；（2）若a=2，求周長(zhǎng)的最大值.【答案】（1）；（2）6.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角即可求解.（2）由（1）結(jié)論，利用余弦定理及基本不等式求出最大值.【小問(wèn)1詳解】在中，由及正弦定理，得，而，則，又，所以.小問(wèn)2詳解】由（1）及余弦定理，得，而，則，即，又，于是，整理得，解得，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，即周長(zhǎng)的最大值為6.20.對(duì)某校高一學(xué)生參加志愿服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取名學(xué)生作為樣本，得到這名學(xué)生參加志愿服務(wù)的次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖.分組頻數(shù)頻率150.32540.08合計(jì)1（1）請(qǐng)補(bǔ)全表格，并求出圖中的值；（2）若該校高一年級(jí)學(xué)生有400人，試估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生參加志愿服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間上的人數(shù)；（3）試估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生參加志愿服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù)（每組次數(shù)用中間值代替）.【答案】（1）表格見(jiàn)解析，（2）（3）中位數(shù)是，平均數(shù)為；【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率和為1補(bǔ)全表格，再利用頻率分布直方圖矩形面積和組距的關(guān)系即可求出值；（2）求出在上的頻率是，再乘以總?cè)藬?shù)即可.（3）首先分析出中位數(shù)在區(qū)間上，再設(shè)中位數(shù)為，列方程，解出即可，再根據(jù)頻率分布圖中平均數(shù)公式即可求出平均數(shù).【小問(wèn)1詳解】，，則，，表格如下：分組頻數(shù)頻率15250.560.124合計(jì)501故.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樵撔８咭荒昙?jí)學(xué)生有人，在上的頻率是，所以估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生參加志愿服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間上的人數(shù)為人.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)榍?，所以中位?shù)在區(qū)間上，因?yàn)橹形粩?shù)及前面的數(shù)的頻率之和為，設(shè)樣本中位數(shù)為，則，解得，估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生參加志愿服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)是.平均數(shù)，估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生參加志愿服務(wù)次數(shù)的平均數(shù)是.21.甲、乙、丙三人進(jìn)行5輪的投籃比賽，每輪各投10次，其成績(jī)（命中次數(shù)）如下：甲投中次數(shù)66878乙投中次數(shù)6546丙投中次數(shù)（1）若乙比甲平均少投中2次，求的值，甲和乙投中次數(shù)的方差分別為和，試比較和大?。ńY(jié)論不要求證明）；（2）若投中一球計(jì)三分，丙平均得分為21分，方差為27，且每輪得分互不相同，求丙在比賽中的最高得分，并說(shuō)明理由.【答案】（1），；（2）30分，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用平均數(shù)求得值，再利用方差的定義計(jì)算即得.（2）根據(jù)給定條件，轉(zhuǎn)化為投中次數(shù)的平均數(shù)和方差，列式換元，構(gòu)造函數(shù)并利用二次函數(shù)的性質(zhì)推理計(jì)算得解.【小問(wèn)1詳解】由乙比甲平均