新教材人教A版（2019版）數(shù)學必修第二冊模塊檢測 含解析

模塊綜合檢測

（時間：120分鐘滿分：150分）

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的）

1.若復數(shù)z滿足z（2-i）=U+7i（i為虛數(shù)單位），則z=（）

A.3+5iB.3-5i

C.-3+5iD.-3—5i

U+7i(U+7i)(2+i)15+25i

解析：選A由z(2—i)=H+7i得,2-i=(2-i)(2+i)=-5-=3+，i.

2.已知萬才=（-1,2）,~OB=（3,in）,若/_1_萬聲，則，"的值為（）

A.1B.1

C.2D.4

解析：選B由為7_L,，得方才?萬方=-3+2,〃=0,故，”=不

3.某位教師2019年的家庭總收入為80000元,各種用途占比統(tǒng)計如下面的折線圖.2020

年收入的各種用途占比統(tǒng)計如下面的條形圖，已知2020年的就醫(yī)費用比2019年增加了4750

用途占比

A.10()()0()元B.95000元

C.90000元D.85000元

解析：選D由已知得，2019年的就醫(yī)費用為80000X10%=8000（元），故2020年的

就醫(yī)費用為8000+4750=12750（元），所以該教師2020年的家庭總收入為唱普=85

JL3/O

000（元）.故選D.

4.從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則以它們作為頂點的四邊形是矩形的

概率等于（）

A?而B,8

C.7D.1

o5

解析：選D從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，列舉可得，以它們作為頂

31

點的四邊形共有15個，其中矩形有3個，所以所求的概率為運

5.如圖所示，在直三棱柱ABC-A11G中，若NBAC=90°,AB=AC=AAlt則異面

直線以與AG所成的角等于（）

A

A.30°B.45°

C.60°D.90°

解析：選C延長C4到。，使得AD=AC,連接40，。或圖略），則四邊形AD4G

為平行四邊形，所以AG〃ZMi,就是異面直線5Al與AG所成的角（或其補角），

5LAiD=AiB=DB=yf2AB,則三角形AN8為等邊三角形，所以NZMiB=60°,即所求角

為60°.

6.設小，〃是兩條不同的直線，a,￡是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）

①若ml.a,。JL￡,則小〃/?；

②若a〃￡,〃u￡,則機_|_“；

③若，”Ua,〃u￡,m//n,則a〃/?；

④若“_La,nA.ff,，〃_!_￡,則，〃_La.

A.①0B.③④

C.D.②④

解析：選D對于①，有可能mU￡,故錯誤；對于③，a,￡可能相交，故錯誤.故

選D.

7.在△A3C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=l,小sinA?cosC+（小sin

C+b）cosA=0,則角A=（）

2nn

A-BT

解析：選DVa=l,由sinAcosC+(V3sinC+6)cosA=0,

，由sinAcosC+由sinCeosA=_ftcosA,

A-\/3sin(A+C)=^/3sinB=-fecosA,

???班asinB=-AcosA,

由正弦定理可得巾sinAsinB=—sin3cosA,

VsinB>0,

，于sinA=-cosA,即tanA=-3,

5n,工

VAG(0,n),???A=-^-?故選D.

8.已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球。的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形,

SC為球。的直徑，且SC=2,則此棱錐的體積為()

解析：選A在直角三角形ASC中，AC=1,ZSAC=90°,SC=2,

所以5人=肝工=小;同理，SB=4

過A點作SC的垂線交SC于。點，連接。以圖略），

因為△SACg△S5C,故8O_LSC,故SC_L平面A60,且△A3。為等腰三角形.

因為NASC=30°,故AO=*SA=+，

則△A5O的面積為^XlX[AD-QA"=坐,

則三棱錐的體積為[x孚X2=^.故選A.

j4o

二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共2（）分.在每小題給出的四個選項中,

有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0

分）

9.《國務院辦公廳關于進一步調(diào)整優(yōu)化結構提高教育經(jīng)費使用效益的意見》中提出,

要優(yōu)先落實教育投入.某研究機構統(tǒng)計了2010年至2018年國家財政性教育經(jīng)費投入情況

及其在GDP中的占比數(shù)據(jù)，并將其繪制成圖，由圖可知下列敘述中正確的是（）

2010-2018年國家財政性教育經(jīng)費投入情況及其在GDP中的占比情況（單位:億元嘉）

50000絲四包6四0%4?緲4紛4.14%4U%搬

450009ontt

400003.繆二…“34204369904.00%

35000*2922131396.3.50%

300003.00%

250002.50%

18587

2000014670■2.00%

150001.50%

100001.00%

50000.50%

00.00%

20102011T2012201i32l014l201520116210172018

■財政性教育經(jīng)費支出（億元）-財政性教育經(jīng)費占GDP比重（%）

A.隨著文化教育重視程度的不斷提高，國家財政性教育經(jīng)費的支出持續(xù)增長

B.2012年以來，國家財政性教育經(jīng)費的支出占GDP比重持續(xù)7年保持在4%以上

C.從2010年至2018年，中國GDP的總值最少增加60萬億元

D.從2010年到2018年，國家財政性教育經(jīng)費的支出同比增長最多的年份是2012年

解析：選ABD由題圖易知A、B、D項均正確.2010年GDP為盥g=?40（萬億元），

J.OO/o

36990

2018年GDP為:=90（萬億元）,則從2010年至2018年，GDP的總值大約增加50萬

億元，故C項錯誤.

10.設向量a,b滿足|a|=|b|=L且|b—2a|=小，則以下結論正確的是（）

A.a±bB.|a+b|=2

C.|a-b|=V2D.〈a，b）=y

解析：選AC因為|a|=|b|=l,且|b—2al=小，所以b?—4a?b+4a?=5,所以a?b=0,

故aJLb,A正確；

因為（a+b）2=a2+2a?b+b?=2,所以|a+b|=4i,B錯誤；

因為（a—b）2=a2—2a?b+b?=2,所以|a—b|=4i,C正確；

因為aJ_b,所以〈a,b>=與，D錯誤，故選A、C.

11.博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順

序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想，設計兩種乘車方案，方案一：不乘坐第一輛車，若

第二輛車的序號大于第一輛車的序號，就乘坐第二輛車，否則乘坐第三輛車；方案二：直

接乘坐第一輛車.記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為B，貝（1（）

尸

A.Pl?2=/B.PI=P2=1

,5

C.P1+P2=Z

D.Pt>P2

解析：選CD分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序

前往酒店接嘉賓，樣本空間。={(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),

(3,2,1)},共6個樣本點.

方案一：坐到“3號車”包含(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),共3個樣本點，所以

方案一坐到“3號”車的概率尸］=，3=今1

OZ

方案二：坐到“3號”車的概率尸2=/

：.P\>P2,尸1+尸2號+；=/.

12.如圖，正方體ABCDA/iG"的棱長為1,動點E在線段4G上，F(xiàn),"分別是

AD,CZ)的中點，則下列結論中正確的是()

A.FM//AiCt

B.平面CGF

C.存在點E,使得平面5EF〃平面CGD1。

D.三棱錐B-CE尸的體積為定值

解析：選ABD在A中，因為尸，M分別是AZ),C￡>的中點，所以產(chǎn)M〃AC〃4G,

故A正確；在B中，因為tanN8MC=痂=2,tanZCFD=j^=2,故NBMC=NCFD,

故NEWC+ZDCF=ZCFD+NOCF'=?.故BM1.CF,又有BM±CtC,且C尸CCCi=C,

所以8MJL平面CGF,故B正確；在C中，8尸與平面CG01。有交點，所以不存在點E,

使得平面8EF〃平面CGQiO,故C錯誤；在D中，三棱錐B-CEf以面BCf為底(定值)，

則高是定值，所以三棱錐B-CEF的體積為定值，故D正確.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上)

13.甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，

決賽結束).根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設甲隊主

場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結果相互獨立，則甲隊以4：1獲

勝的概率是.

解析：甲隊以4：1獲勝，甲隊在第5場(主場)獲勝，前4場中有一場輸.

若在主場輸一場，則概率為2X0.6X0.4X0.5X0.5X0.6;

若在客場輸一場，則概率為2義0.6X0.6X0.5X0.5X0.6.

:,甲隊以4：1獲勝的概率P=2X0.6X0.5X0.5X(0.6+0.4)X0.6=0.18.

答案：0.18

14.AABC中，角A,3,C所對的邊分別為a,b,c,已知A=60°,b=2,SAABC

人sinA+sinB+sinC'

解析：由A=60°,b=2,SAA8c=5>csinA=2"\/§,得c=4.由〃2=62+,2—2bccosA,

解得4=25，

.abc2小

則而產(chǎn)而寸而?=近=%

2

,**,a+b+c

由等比性質(zhì)得，.1.2.

sinA+sinB+sinC

答案：4

15.已知正方形A5CD的邊長為1,將△AZJC沿對角線AC折起，若折疊后平面AC。_L

平面ACB,則此時AC與80所成角的大小是,點8、。之間的距離是.

解析：如圖所示，取AC的中點O,連接08,OD.

因為Z)A=Z)C,5A=BC,。為4C的中點，所以。OJ_AC,BO_LAC,口C

叉DOCBO=O,所以ACJL平面BOD,又BZ)U平面BOD,所以

即此時AC與BD所成的角是90°.''^1

因為平面AC0_L平面AC5,平面4coe平面AC8=AC,所以OO_L

平面ABC,所以O0_L08,又OB=OD=；AC=芋,所以BD=yjOB2+OD2=l.

答案：90°1

16.已知a,b為單位向量，則|a+b|+|a—b|的最大值為.

解析：由a,b為單位向量可知以a,b對應線段為鄰邊作出的平行四邊形是菱形，結

"1"|2「［-12

合菱形性質(zhì)可得(a+b)_L(a—b),T(a+b)4-T(a—b)=1,

22

A(a+b)+(a—b)=4,設|a+b|=2cos0,|a-b|=2sin0f

6>+2sin0=2A/2cosf0—J-J,則易知當0=:時，|a+b|+|a

.,.|a+b|+|a—b|=2cos

一b|的最大值為2y[i.

答案：2也

四,解答題(本大題共6小題，共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演

算步驟)

17.(本小題滿分10分)在①cos8=今卜c=3；②cos4=；,sin(A+5)=3sinB；③ab

=2A/2,COSA=1,這三個條件中任選一個補充在下面問題中，并加以解答.

已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的面積為啦，,

求b.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

解：選①COSB=￥^,C=3.

因為cos3=2$,0<B<n,所以sinB=g.

由SaA3C=5acsin3=$XaX3解得a=2、/^.

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=8+9~2X2y[2X3X^=l,所以b=I.

選②cosA=；,sin(A+B)=3sinB.

因為cosA=g,0<A<n,所以sinA=4^,

因為A+〃+C=n,所以sin(A+3)=sinC,

所以sinC=3sin6,由正弦定理可得c=3兒

112、歷r-

=

所以S^/i"c=5力csinA=]X8X3)X3y]29

解得b—1.

選③〃〃=2啦，cosA=^.

因為Szk的c=；。加inC=lx2^/2XsinC=y[29所以sinC=l.

又OVCVn,所以C=?，

因為cosA=；,OVAVn,所以sinA=^^,且sin5=sin^~—A)=cosA=g,

根據(jù)正弦定理看=焉,可得”=2吸兒

所以ab=2取護=2巾,解得Z?=L

18.（本小題滿分12分）為了了解學生參加體育活動的情況，某校對學生進行了隨機抽

樣調(diào)查，其中一個問題是“你平均每天參加體育活動的時間是多少“，共有4個選項可供選

擇：

A.1.5小時以上B.1?1.5小時

C.0.5?1小時D.0.5小時以下

下圖是根據(jù)調(diào)查結果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息解答以

下問題：

（1）本次一共調(diào)查了多少名學生;

（2）在圖①中將選項B對應的部分補充完整.

解：（1）由題圖①知，選A的人數(shù)為60,而圖②顯示，選A的人數(shù)占總人數(shù)的30%,

故本次調(diào)查的總人數(shù)為60+30%=200（人）.

（2）由題圖②知，選B的人數(shù)占總人數(shù)的50%,因此其人數(shù)為200X50%=100（人）,

圖①補充如圖所示：

19.（本小題滿分12分）已知A,B,C為△ABC的三個內(nèi)角，向量m=（2-2sinA,sin

A+cosA)與n=(sinA—cosA,1+sinA)共線，且A4?4。＞0.

(1)求角A的大?。?/p>

?C—R

⑵求函數(shù)j=2sin2y+cos~I-的值域.

解：(1)由題意知，(2—2sin4)(1+sinA)=(sinA+cosA)(sinA-cosA),得2(1-sin2A)

=sin2A—cos2A=2sin2A_1,即sin2A=^.

又A為△ABC的內(nèi)角，所以sinA=^.

由9?衣>0,知A為銳角，

所以A=-y.

TT2Tl

(2)因為A=§,所以B+C=亍，

所以)=1—cos呂+cosg-8)

=1+坐sinB—|cosB

=1+sin^B-

2nnnTT~1(nA-<1'

又OVBVf,所以一次VB-ZV才，所以一3Vsin5一左VI,所以孑，2

JOONZ\J.

i?c—R/I\

故函數(shù)ynZsiiPj+cos—一的值域為(j,2J.

20.（本小題滿分12分）如圖①，矩形A8CO中，AB=1,BC=2,E為AO的中點，將

△CDE沿CE折起，使得△CDE所在平面與梯形ABCE所在平面垂直（如圖②），M是80

的中點.

（1）求證：AM〃平面CDEi

（2）求三棱錐M-AED的體積.

解：（1）如圖，設5c的中點為N,連接MN,AN,

,.,4七〃5（7且4后=兇。=1,四邊形4NCE為平行四邊形，.,.AN//EC,

又M,N分別為80,BC的中點，:.MN//DC.

,:ANCMN=N,ECr\DC=C,AN,MNU平面AMN,EC,DCU平面EDC,

：.平面AMN//平面EDC,又AMU平面AMN,：.AM//平面EDC.

(2)連接BE,SA4BE=|XABXA￡=1x1X1=1,

作DHLEC于H,'：平面CDE1.平面A5CE,且。"U平面CDE,

■平面ABCE.

?；CD=DE=1,：.DH=^.

三棱錐M-AED的體積V=^V-aw*I)-ABE=23

21.(本小題滿分12分)一汽車廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準

型兩種型號，某月的產(chǎn)量(單位：輛)如下表：

4類轎車3類轎車C類轎車

舒適型100150z

標準型300450600

按類用分層隨機抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛.

(1)求z的值；

(2)在C類轎車中用分層隨機抽樣的方法抽取5輛轎車，再從這5輛轎車中任意抽取2

輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；

(3)用簡單隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,它們的綜合測評得分(十分制)

分別為：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把這8輛轎車的得分看成一個總體，從中

任取一個數(shù)，求該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率.

解：(1)設該廠這個月共生產(chǎn)轎車〃輛.

由題意得猾=麗瑞而，解得〃=2。。。，

則z=2000-100-300-150-450-600=400.

(2)設所抽的5輛轎車中有a輛舒適型轎車.

由題意得熱=或則

因此在抽取的5輛轎車中，有2輛舒適型轎車，3輛標準型轎車.

用4,4表示2輛舒適型轎車，用Bi,Bi,當表示3輛標準型轎車，從5輛轎車中任

取2輛，則樣本空間。={(小，Ai),(Ai,Bi),(Ai,%),(Ai,B3),(A2,Bt),(A2,B2),

(A2,B3),(Bl,%),(31,&),(%,&)}.

設事件E=“至少有1輛舒適型轎車”，則K={(41,A2),(AI,Bi),(Ai,Bi),(Ai,

Bi),(A2,BI),(4,&),Uh,B})},

77

故尸便)=而，即所