新教材高中人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)知識(shí)點(diǎn)第六章平面向量及其應(yīng)用

新教材高一下學(xué)期人教A版必修第二冊(cè)知識(shí)點(diǎn)

第六章平面向量及其應(yīng)用

i.向量：既有大小，又有方向的量.

數(shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量.

有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.

零向量：長(zhǎng)度為o的向量.

單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.

平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行.

相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

2.向量加法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連.D

⑵平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn).卜-/^^7

<7+6=AB+BC=AC<2+6=AB+AD=AC

⑶三角形不等式：Mi-|司卜|萬(wàn)+5日同+|同.

⑷運(yùn)算性質(zhì)：①交換律：a+b=b+a：②結(jié)合律：（a+b^+c-a+（b+c^③1+6=0+萬(wàn)=萬(wàn).

⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)。=（X1,yJ,3=（%,%），則M+B=（玉+%2，%+%）?

3.向量減法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量.

⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)五=（x”yj,5=（/,%），則2_5=（玉_工2，,_%）.-/

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，（孫％），則AB=（w_工2，,一8）?/

4.向量數(shù)乘運(yùn)算：

⑴實(shí)數(shù)4與向量。的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作所.

①同=|川同；?-fe=AC-AB=BC

②當(dāng)2>0時(shí)，/IM的方向與M的方向相同；當(dāng)4<0時(shí)，行的方向與M的

方向相反：當(dāng)；1=0時(shí)，25=6.

⑵運(yùn)算律：①4（即）；②（X+〃）a=/iM+"萬(wàn)；@-Aa+Ah.

⑶坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)M=（x,y）,則4M=4（x,y）=（Xx,Xy）.

5.向量共線定理：向量。（萬(wàn)工0）與方共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)4,使B=21.

設(shè)@=（%，x）,5=（七,%），其中6彳0,則當(dāng)且僅當(dāng)王%一ZM=。時(shí)，向量，、50/0）共線.

6.平面向量基本定理：如果不、鼻是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量

有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4、%,使訝=41+41.（不共線的向量I、￡作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基

底）

7.（選講）分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)P是線段PF?上的一點(diǎn)，P2的坐標(biāo)分別是（％,y），（看，必），當(dāng)

X+死X+，>2

P|P=XPP2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是

1+丸1+4

8.平面向量的數(shù)量積：

⑴無(wú)5=Mircos8(萬(wàn)工^0,0°<^<180).零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

⑵性質(zhì)：設(shè)M和5都是非零向量，則①互_1_5=無(wú)6=0.②當(dāng)M與日同向時(shí)，ab=|^||^|：當(dāng)M與行反

向時(shí)，a-b=-|a||^|；/?2=方=同2或同=>/,?>.③卜?可〈同陣

(3)運(yùn)算律：?a-b=b-a；②(/1")?6=4(斤==a-c+b-c.

⑷坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量2二(%,y),h=(x2,y2),則M?方=%9+乂%,

若M=(x,y),則同2=%2+y2,或同=+,2.

設(shè)0=(大,乂)，5=(%2，％》則MJ■方0%%+乂乂=0.

設(shè)M、5都是非零向量，M=(百,%)，B=(w，%)，。是M與B的夾角，則

c°se=%『

麗也；；—荷；￡'

9.正弦定理：在AABC中，a、b、c分別為角A、B、。的對(duì)邊，R為AABC的外接圓的半徑，則有

上=上=q=2匕

sinAsinBsinC

10.正弦定理的變形公式

(1)a=2RsinA,Z?=27?sinB,c=2/?sinC；

/c、?Aa.cb?「c

(2)sinA=——,smB=——,sine=——；

27?2H2R

(3)t/:Z?:c=sinA:sinB:sinC；

,a+/?+cabc

(4)=---------------------------------=-------=-------.

sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC

11.三角形面積公式：S^BC:=—besinA=—absinC=—acsinB.

222

12.余弦定理：在AABC中，Wa2=h2+c1-2Z?ccosA,b1=a1+c1-2?ccosB,

c2=6+/—2次?cosC.

-

A-j...人b~c~—ci~「ci~+c-b~—ci~b~~c~

13.余弦定理的推論：cosA=------------，cosB=----------------,cosC=----------------

2bclaclab

14.設(shè)。、b、c是AABC的角A、B、C的對(duì)邊，則：

(1)①若名+從二6?,則C=90'；

(2)若〃+〃>/,則C<90。；

(3)若^+廿vM,則C>90.

第七章復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)的概念

1.虛數(shù)單位i:

（1）它的平方等于T，即尸=_］；

（2）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立.

（3）i與一1的關(guān)系：

i就是一1的一個(gè)平方根，即方程d=T的一個(gè)根，方程9=-1的另一個(gè)根是區(qū)

（4）i的周期性：

產(chǎn)+l=j,1"+2=一］,*+3=_j,產(chǎn)=1.

2.數(shù)系的擴(kuò)充:

實(shí)數(shù)〃（。=0）

復(fù)數(shù)”+5純虛數(shù)萬(wàn)（。=0）

虛數(shù)4+齒（。片0）

非純虛數(shù)4+/?i（?工0）

3.復(fù)數(shù)的定義：

形如“+6i（a,AeR）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，。叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，〃叫復(fù)數(shù)的虛部.全體復(fù)數(shù)所成的集

合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示

4.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：

復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+〃（a,beH）,把復(fù)數(shù)表示成a+6的形式，叫做復(fù)數(shù)的

代數(shù)形式.

5.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系

（￡>0

--正實(shí)數(shù)

b=0-n

z是實(shí)數(shù)上—實(shí)數(shù)0

復(fù)數(shù)z=a+bi〔---負(fù)實(shí)數(shù)

<

（a、bGR）廣?=［“.二,.

—純虛數(shù)bi

、四z是虛數(shù)1（bW°?eR）

〔一Co非純虛數(shù)的虛數(shù)

6.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：

如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.這就是說(shuō)，如果

a,b,C,dwR,那么a+萬(wàn)=c+Ma=c,b=d

7.將復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的平方和的正的平方根的值稱為該復(fù)數(shù)的模，記作|z|.

對(duì)于復(fù)數(shù)2=4+5，它的模|z卜J1?+人

二、復(fù)數(shù)的幾何意義

1.復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：

復(fù)數(shù)2="+歷3，。€11)與有序?qū)崝?shù)對(duì)(4,6)是---對(duì)應(yīng)關(guān)系.點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是

b,復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR)可用點(diǎn)Z(a,6)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫

做復(fù)平面，也叫高斯平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù).

2.對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0,0),它所確定的復(fù)數(shù)是

z=0+0i=0表示是實(shí)數(shù).除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).

復(fù)數(shù)z=a+6復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a2)

這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法.

三、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

1.復(fù)數(shù)4與z?的和的定義：

z,+z2=(4+6i)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

2.復(fù)數(shù)4與Z2的差的定義：

z,-z2=(a+6i)-(c+-i)=+

3.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律:4+Z?=Z2+Z,

4.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律：(Z1+Z2HZ3=Z1+Q2+Z3)

5.乘法運(yùn)算規(guī)則：

設(shè)4="+歷，z2=c+di(a,b、c、dwR)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積

乎2=(〃+歷)(0+此=麻-〃)+(兒+而)]其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，

在所得的結(jié)果中把『換成-1,并且把實(shí)部與虛部分別合并.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).

6.乘法運(yùn)算律：

⑴Z1(Z2Z3)=(ZIZ2)Z3

z

(2)(z,-z2)-z3=z,-(z2'3)

(3)(z2+z3)=ZjZ2+ZjZ3

7.復(fù)數(shù)除法定義：

滿足(c+rfi)(x+yi)=(a+歷)的復(fù)數(shù)x+yi(H、y￡R)叫復(fù)數(shù)a+1除以復(fù)數(shù)c+成的商，記為:

3+歷)+(c+di)或者

8.除法運(yùn)算規(guī)則：

設(shè)復(fù)數(shù)a+bi(。、beR),除以C+邪(C,JeR),其商為x+yi(X>yGR),

利用(。+向(。-3)=/+/于是將割的分母有理化得：

原式—a+b\_(。+例)(。一修)_[ac+b\?+(be-ad)i_(ac+bd)4-(be-ad)i_acbd^bc-ad

小工c+di(c+di)(c-c/i)c2+J2c2+d2c2+d2c2+J21

四、共粗復(fù)數(shù)：

當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共朝復(fù)數(shù).虛部不等于°

的兩個(gè)共規(guī)復(fù)數(shù)也叫做共舸虛數(shù).

第八章立體幾何初步

1.1柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

(1)棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，

由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱AZCDE'或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱4?！?/p>

幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等：平行于

底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐P—A'RC'DZ'

幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高

的比的

(3)棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)P—AB'COZ'

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形。

(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。

(6)圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形.

(7)球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

(斜二測(cè)畫(huà)法的步驟：

(1).平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；

(2).平行于y軸的線長(zhǎng)度變半，平行于x,z軸的線長(zhǎng)度不變；

(3).畫(huà)法要寫(xiě)好。

用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出長(zhǎng)方體的步驟：(1)畫(huà)軸(2)畫(huà)底面(3)畫(huà)側(cè)棱(4)成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。

(2)特殊幾何體表面積公式(c為底面周長(zhǎng)，h為高，人為斜高，1為母線)

S直棱柱側(cè)面積=chS圓柱側(cè)=S正棱錐1M面積=5。"S圓錐側(cè)面積=7irl

S正棱臺(tái)側(cè)面積=耳(。+。2)"S圓臺(tái)側(cè)面積=(〃+R)/

S圓柱表=2"(1+/)S圓錐表=勿*(r+/)S圓臺(tái)表=%(廠+/7+/?/+/?~)

(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式

,1

l=57?%柱-Sh=Tirh腺=gSh%錐=飛清h

K=1(5'++S)h/臺(tái)=1(5+VF?+S)〃=：〃(，+rR+R2)h

(4)球體的表面積和體積公式：丫球二^萬(wàn)〃;S球面二4萬(wàn)齊

第二章直線與平面的位置關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

(1)平面

①平面的概念：A.描述性說(shuō)明；B.平面是無(wú)限伸展的；

②平面的表示：通常用希臘字母a、B、Y表示，如平面a(通常寫(xiě)在一個(gè)

銳角內(nèi))；A

也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，如平面BC。

③點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)4在平面a內(nèi)，記作Aea；點(diǎn)A不在平面。內(nèi)，記作Ae。

點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)4的直線/上，記作：AG/；點(diǎn)A在直線/外，記作Ae/；

直線與平面的關(guān)系：直線/在平面a內(nèi)，記作/Ua；直線/不在平面a內(nèi)，記作a。

(2)公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。

(即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過(guò)直線)

應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)

用符號(hào)語(yǔ)言表示公理1：Awl,Bwl,Awa,Bwanlua

(3)公理2：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。

公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)

(4)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線

符號(hào)：平面a和B相交，交線是a,記作aAB=a。

符號(hào)語(yǔ)言：==

公理3的作用：

①它是判定兩個(gè)平面相交的方法。

②它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過(guò)公共點(diǎn)。

③它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：

r相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

八卸耳線I平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。

2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線

=>a〃c

c〃b-F

強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

4注意點(diǎn)：

①a；與、,b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來(lái)確定，與O的選擇無(wú)關(guān)，為簡(jiǎn)便，點(diǎn)O一般取在兩直

線

②卜的一條上；

③兩條異面直線所成的角。仁(0,-);

當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角腐，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直，記作a，b；

④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

2.1.3-2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

1、直線與平面有三種位置關(guān)系：

(1)直線在平面內(nèi)一一有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

(2)直線與平面相交一一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

(3)直線在平面平行一一沒(méi)有公共點(diǎn)

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a來(lái)表示

2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。

符號(hào)表示：

Aga

bUBL=>a〃a

a〃b一

2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。

符號(hào)表示：

-/；

/anb=P^&//a

a〃a

b〃a

2、判斷兩平面平行的方法有三種：

（1）用定義；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。

2.2.3—2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)

1、定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。

符號(hào)表示：------------\

a//a

a仁B

aCB=b

作用：利用該定理可解決直線間的平行問(wèn)題。

2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

符號(hào)表示：

aCy=aIa//bPAy=b

作用：可以由平面與毛品平行得出直線與直線平行

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

2.3.1直線與平面垂直的判定

1、定義

如果直線L與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線L與平面a互相垂直，記作L，a,直線

L叫做平面a的垂線，平面a叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。

2、判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)時(shí)兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

注意點(diǎn)：a）定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

b）定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

2.3.2平面與平面垂直的判定

二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形

A

梭1

2、二面角的記法二面角aT-B或a-AB-B

3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。

2.3.3-2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)

1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

2性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。

第九章統(tǒng)計(jì)

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

1.總體和樣本

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把研究對(duì)象的全體叫做總體.

把每個(gè)研究對(duì)象叫做個(gè)體.

把總體中個(gè)體的總數(shù)叫做總體容量.

為了研究總體X的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機(jī)抽取一部分：々，電，…，X*

研究，我們稱它為樣本.其中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本容量.

2.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊(duì)等，完全隨

機(jī)地抽取調(diào)查單位。特點(diǎn)是：每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個(gè)單位完全獨(dú)

立，彼此間無(wú)一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之

間差異程度較小和數(shù)目較少時(shí)，才采用這種方法。

3.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣常用的方法：

（1）抽簽法：⑵隨機(jī)數(shù)表法：⑶計(jì)算機(jī)模擬法：⑷使用統(tǒng)計(jì)軟件直接抽取。

在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計(jì)中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證

程度。

4.抽簽法:

（1）給調(diào)查對(duì)象群體中的每一個(gè)對(duì)象編號(hào)；

（2）準(zhǔn)備抽簽的工具，實(shí)施抽簽

（3）對(duì)樣本中的每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行測(cè)量或調(diào)查

例：請(qǐng)調(diào)查你所在的學(xué)校的學(xué)生做喜歡的體育活動(dòng)情況。

5.隨機(jī)數(shù)表法：

例：利用隨機(jī)數(shù)表在所在的班級(jí)中抽取10位同學(xué)參加某項(xiàng)活動(dòng)。

系統(tǒng)抽樣

1.系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機(jī)械抽樣）：

把總體的單位進(jìn)行排序，再計(jì)算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本.第一個(gè)樣本采

用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。

K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）

前提條件：總體中個(gè)體的排列對(duì)于研究的變量來(lái)說(shuō)，應(yīng)是隨機(jī)的，即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)

則分布?？梢栽谡{(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開(kāi)始抽樣，對(duì)比幾次樣本的特點(diǎn)。如果有明顯差別，說(shuō)

明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。

2.系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實(shí)際中最為常用的抽樣方法之一。因?yàn)樗鼘?duì)抽樣框的要求較低，實(shí)施也比較簡(jiǎn)

單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標(biāo)相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排

隊(duì)的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計(jì)精度。

分層抽樣

1.分層抽樣(類型抽樣)：

先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志(性別、年齡等)劃分成若干類型或?qū)哟?，然后再在各個(gè)

類型或?qū)哟沃胁捎煤?jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本，最后，將這些子樣本合起來(lái)構(gòu)成總體

的樣本。

兩種方法：

1.先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。

2.先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的

方法抽取樣本。

2.分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個(gè)個(gè)同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代

表該子總體，所有的樣本進(jìn)而代表總體。

分層標(biāo)準(zhǔn)：

(I)以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。

(2)以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)、各層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。

(3)以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。

3.分層的比例問(wèn)題：

(1)按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來(lái)抽取子樣本的方法。

(2)不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會(huì)非常少，此時(shí)采用該方法，

主要是便于對(duì)不同層次的子總體進(jìn)行專門(mén)研究或進(jìn)行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時(shí)，則需要先

時(shí)各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實(shí)際的比例結(jié)構(gòu)。

用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

1,均值：/吹+超+…+招

n

2、.樣本標(biāo)準(zhǔn)差：S=77=J直二y+(X「i)2+...十區(qū)一解

Vn

3.用樣本估計(jì)總體時(shí)，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會(huì)

有偏差。在隨機(jī)抽樣中，這種偏差是不可避免的。

雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差,

而只是一個(gè)估計(jì)，但這種估計(jì)是合理的，特別是當(dāng)樣本量很大時(shí)，它們確實(shí)反映了總體的信息。

4.(1)如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)共同的常數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差不變

(2)如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)乘以一個(gè)共同的常數(shù)k,標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉?lái)的k倍

(3)一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的影響，區(qū)間日-3$天+3$)的應(yīng)用；

“去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分”中的科學(xué)道理

第十章概率

隨機(jī)事件的概率及概率的意義

1、基本概念：

(I)必然事件：在某種條件下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫做必然事件；

(2)不可能事件：在某種條件下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫做不可能事件；

(3)隨機(jī)事件：在某種條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機(jī)事件；

(4)基本事件：試驗(yàn)中不能再分的最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件，其他事件可以用它們來(lái)描繪，這樣的時(shí)間叫基本事

件；

(5)基本事件空間：所有基本事件構(gòu)成的集合，叫做基本事件空間，用大寫(xiě)希臘字母Q表示；

(5)頻數(shù)、頻率：在相同的條件下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)

的次數(shù)為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例為事件A出現(xiàn)的頻率；

(6)概率：在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，時(shí)間A發(fā)生的頻率m\n,當(dāng)n很大時(shí)，總是在某個(gè)常熟附近擺動(dòng)，

隨著n的增加，擺動(dòng)幅度越來(lái)越小，這時(shí)就把這個(gè)常熟叫做事件A的概率，記作P(A),0W

P(A)W1；

(6)頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機(jī)事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)n