圓-中考數學解答題專項訓練（原卷版）

專題07-圓（原卷版）

1.（2021?山東濟南?中考真題）己知：如圖，A3是。的直徑，C,。是。上兩點,

過點C的切線交D4的延長線于點E,DEVCE,連接CO,BC.

(1)求證：ZZMB=2ZABC；(2)若tanZADC=g,BC=4,求。的半徑.

2.（2021.江蘇蘇州?中考真題）如圖，四邊形A8C。內接于）0,Z1=Z2,延長8c到

點￡,使得CE=4J,連接ED.

（1）求證：BD=ED-,

（2）若A8=4,BC=6,ZABC=60°,求tanZDCB的值.

3.（2021?四川廣安?中考真題）如圖，AB是。的直徑，點F在G。上，N3AF的平分

線AE交。于點E,過點E作“_LAF,交A尸的延長線于點。，延長。E、AB相交

于點C.

B

(1)求證：CO是?。的切線；(2)若。的半徑為5,tanNE4O=g,求BC的長.

4.(2021?上海?中考真題)己知：在圓。內，弦AO與弦3c交于點G,AD=CB,M,N分

別是C8和AO的中點，聯(lián)結MM0G.

(1)求證：OG1MN；

(2)聯(lián)結AC,AM,CN,當CN〃OG時，求證：四邊形4cMi7為矩形.

5.(2021?浙江杭州?中考真題)如圖，銳角三角形ABC內接于O,NR4C的平分線AG

交。于點G,交8c邊于點尸，連接BG.

G

⑴求證：ABGs^AFC.

（2）已知■="，AC=AF=h,求線段尸G的長（用含“，〃的代數式表示）.

（3）已知點E在線段AF上（不與點A,點/重合），點。在線段AE上（不與點A,點E

重合），ZABD=NCBE,求證：BG2=GEGD.

6.（2021.山東荷澤?中考真題）如圖，在。中，A8是直徑，弦COJ.A8,垂足為“,

E為BC上一點，F(xiàn)為弦DC延長線上一點，連接在并延長交直徑AB的延長線于點G,

連接4E交于點P,若FE=FP.

（1）求證：FE是。的切線；

（2）若。的半徑為8,sinF=j,求8G的長.

7.（2021?湖南郴州?中考真題）如圖，ABC是。的內接三角形，AC是2。的直徑,

點。是BC的中點，DE//8C交AC的延長線于點E.

(1)求證：直線OE與：。相切；(2)若。的直徑是10,NA=45。，求CE的長.

8.(2021.湖北隨州?中考真題)如圖，。是以為直徑的Q上一點，過點。的切線。E

交A8的延長線于點E,過點8作BCLOE交的延長線于點C,垂足為點尸.

(1)求證：AB=BC；

(2)若O的直徑為9,sinA=；.

①求線段8尸的長；②求線段BE的長.

9.(2021?江蘇宿遷?中考真題)如圖，在幻AAOB中，ZAOB=90°,以點。為圓心，04

為半徑的圓交A8于點C,點。在邊08上，且8=80.

(1)判斷直線C。與圓0的位置關系，并說明理由；

24

(2)已知tanNOOC=亍,A8=40,求，。的半徑.

A

10.（2021?北京?中考真題）如圖，。是48c的外接圓，AO是。的直徑，ADLBC

于點E.

（1）求證：ZBAD=ZCAD；

（2）連接3。并延長，交AC于點尸，交。于點G,連接GC.若：。的半徑為5,QE=3,

求GC和。尸的長.

11.（2021?山東濟寧?中考真題）如圖，點C在以A3為直徑的。上，點。是5C的中

點，連接0。并延長交：。于點E,作NEBP=NEBC,8P交OE的延長線于點P.

（1）求證：PB是。的切線；（2）若AC=2,PD=6,求。的半徑.

12.（2021?四川南充?中考真題）如圖，A,B是。上兩點，且48=04,連接08并延

長到點C,使BC=08,連接4c.

（1）求證：AC是。的切線.

（2）點。，E分別是AC,0A的中點，DE所在直線交。于點尸，G,0A=4,求GF

的長.

13.（202卜廣西柳州?中考真題）如圖，四邊形ABCD中,

AD//BC,AD1AB,AD=AB=\,DC=,以A為圓心，AO為半徑作圓，延長8交A

于點凡延長D4交A于點E,連結斯，交OE于點G.

（1）求證：BC為A的切線；（2）求cos/ED尸的值；（3）求線段BG的長.

14.（2021?廣東深圳?中考真題）如圖，AB為，。的弦,Q,C為AC8的三等分點，AC//BE.

(1)求證：ZA=ZE；(2)若3c=3,BE=5,求CE的長.

15.（2021.湖南張家界.中考真題）如圖，在中，ZABO=90°,ZOAB=30°,

以點。為圓心，。8為半徑的圓交B。的延長線于點C,過點C作OA的平行線，交O

于點￡）,連接AZ）.

（1）求證：AO為。的切線；（2）若03=2,求弧CD的長.

16.（2021?江蘇無錫?中考真題）如圖，四邊形A8CD內接于O,AC是?。的直徑，AC

與BD交于點、E,PB切。于點B.

D

PB

(1)求證：NP班=N03C；(2)若NP8A=20°，48=40。，求證：NOABs[sCDE

17.(2021?山東威海?中考真題)如圖，AB是.。直徑，弦CDJ.A3,垂足為點E.弦

8尸交CD于點G,點尸在CO延長線上，且PF=PG.

(1)求證：PF為O切線；

(2)若OB=10,BF=16,BE=8,求尸尸的長.

18.(2021?湖北武漢?中考真題)如圖，A3是。的直徑，C。是：。上兩點，C是B/)

的中點，過點C作AO的垂線，垂足是E.連接AC交BO于點F.

E.

(1)求證：CE是。的切線；(2)若匹=",求cosNAB。的值.

DF

19.(2021?內蒙古呼和浩特?中考真題)已知A8是。。的任意一條直徑，

(1)用圖1,求證：。。是以直徑43所在直線為對稱軸的軸對稱圖形；

(2)已知。。的面積為4萬，直線CO與。。相切于點C,過點8作MLCD,垂足為

D,如圖2,求證：

①；BC2=2BD；

②改變圖2中切點C的位置，使得線段。0ABe時，0D=2叵.

圖1圖2

20.(2021?陜西中考真題)如圖，AB是。的直徑，點E、F在。上，且BF=2BE，

連接O￡、AF,過點8作：。的切線，分別與OE、A尸的延長線交于點C、D.

A

(1)求證：NCO3=NA；(2)若AB=6,CB=4,求線段FO的長.

21.(2021.湖南懷化?中考真題)如圖，在半徑為5a”的。中，AB是。的直徑，CD

是過O上點C的直線，且AD，OC于點。,4C平分ABAD,6是BC的中點，OE=3cm.

(1)求證：。是：。的切線；(2)求A。的長,

22.(2021?四川眉山?中考真題)如圖，直線y==x+6與x軸交于點A,與軸交于點

4

30

B.直線MN//AB,且與,AO3的外接圓P相切，與雙曲線y=在第二象限內的圖

x

象交于C、。兩點.

(1)求點A,8的坐標和P的半徑；

(2)求直線所對應的函數表達式；

(3)求ABav的面積.

23.（2021?湖南常德?中考真題）如圖，在RrABC中，ZABC=90°,以A8的中點。為

圓心，A8為直徑的圓交4c于。，E是3c的中點，OE交54的延長線于F.

（1）求證：F7）是圓。的切線；（2）若8c=4,FB=8,求AB的長.

24.（202「湖北黃岡?中考真題）如圖，在RtAAfiC中，ZACB=90°,。與BC,AC

分別相切于點E,F,80平分ZA3C,連接Q4.

（1）求證：A8是：。的切線;

（2）若BE=AC=3,。的半徑是1,求圖中陰影部分的面積.

25.（2021?貴州安順?中考真題）如圖，在。中，AC為。的直徑，AB為;O的弦,

點E是AC的中點，過點E作A8的垂線，交A3于點M,交：。于點N,分別連接

EB,CN.

（1）EM與BE的數量關系是；

（2）求證：EB=CN;

（3）若4W=6,MB=1,求陰影部分圖形的面積.

26.（2021?湖北恩施?中考真題）如圖，在舟.493中，ZAO5-90°,。與相交于

點C,與A。相交于點E,連接CE,已知ZAOC=2ZACE.

（1）求證：AB為。的切線；（2）若AO=20,80=15,求CE的長.

27.（2021?浙江衢州?中考真題）如圖，在ABC中，CA=CB,BC與A相切于點。,

過點A作AC的垂線交CB的延長線于點E,交A于點F,連結BF.

（1）求證：BF是A的切線.⑵若BE=5,AC=20,求M的長.

28.（2021?江蘇鹽城?中考真題）如圖，。為線段抬上一點，以。為圓心OB長為半徑的

OO交尸8于點A,點C在。。上，連接PC,滿足PC2=P4P8.

AC

（1）求證：PC是。。的切線；（2）若A8=3PA,求U的值?

DC

29.（2021?江西?中考真題）如圖1,四邊形ABC。內接于。，AO為直徑，過點C作

CELAB于點E,連接AC.

(1)求證：NCAD=NECB；

(2)若CE是。的切線，ZCAD=30°,連接OC,如圖2.

①請判斷四邊形ABCO的形狀，并說明理由；

②當AB=2時，求A￡>,AC與CO圍成陰影部分的面積.

30.(2021.青海?中考真題)如圖，在ABC中，AO是邊上的中線，以為直徑的

。交BC于點D,過點。作MNLAC于點交A8的延長線于點N,過點8作

BGLMN于■點、G.

(1)求證：&BGDS&DMA；(2)求證：直線股N是。的切線.

31.(2021?湖南益陽?中考真題)如圖，在等腰銳角三角形ABC中，AB=AC,過點B

作8OLAC于。，延長交.ABC的外接圓于點E,過點A作AFLCE于凡AE,BC

的延長線交于點G.

F

(1)判斷E4是否平分/力律，并說明理由;

(2)求證：①BD=CF；?BD2=DE2+AEEG.

32.(2020?四川巴中?中考真題)如圖，已知AB是。O的直徑，直線C。與。。相切于

點C,交A8的延長線于點E,4c平分ND48.且Q4=3,AC=343.

(1)求證：\DVDE-,

(2)若點P為線段CE上一動點，當△P3E與sACE相似時，求EP的長.

33.(2021.山東東營.中考真題)如圖，以等邊三角形ABC的8C邊為直徑畫圓，交AC

于點。，￡＞尸，4?于點尸，連接。F,且AF=1.

n

(1)求證：。F是.O的切線；(2)求線段OF的長度.

34.(2021.湖南永州.中考真題)如圖1,A8是。的直徑，點E是(。上一動點，且

不與A,8兩點重合，NE4B的平分線交。于點C,過點C作COLAE,交AE的延

長線于點D.

圖1圖2

(1)求證：8是。的切線；

(2)求證：4c2=240.40；

(3)如圖2,原有條件不變，連接BE/C,延長AB至點M,/E3M的平分線交AC的

延長線于點P,NC4B的平分線交NCBM的平分線于點Q.求證：無論點E如何運動，

總有NP=NQ.

35.(2021?廣西賀州?中考真題)如圖，在心ABC中，ZC=90°,。是A3上的一點,

以AO為直徑的。與BC相切于點E,連接AE,DE.

(1)求證：AE平分々AC；

(2)若NB=30。，求品CE的值.

36.（2021.湖北湖北?中考真題）如圖，AB為O直徑，D為。上一點，BCLCD于

點C,交。于點E,CO與54的延長線交于點凡8。平分48C.

（1）求證：CD是。的切線；（2）若AB=10,CE=l,求CD和￡）F的長.

37.（2021?黑龍江大慶?中考真題）如圖，己知48是（。的直徑.8c是O的弦，弦ED

垂直A8于點F,交BC于點G.過點C作口。的切線交。的延長線于點P

(1)求證：PC=PG；

(2)判斷PG?=P?PE是否成立？若成立，請證明該結論;

(3)若G為2C中點，0G=后,sinB=《，求OE的長.

38.(2021?湖北襄陽?中考真題)如圖，直線A3經過O上的點C,直線BO與〈0交于

點尸和點。，。4與)。交于點E,與。C交于點G,OA^OB,CA=CB.

(1)求證：AB是:。的切線；

(2)若FCUOA,8=6,求圖中陰影部分面積.

39.(2021?遼寧本溪?中考真題)如圖，在心A8C中，Z4CB=90°,延長C4到點。，以

為直徑作O,交朋的延長線于點E,延長8c到點尸，使BF=EF.

D

(1)求證：EF是。的切線；

(2)若0C=9,AC=4,AE=8,求8尸的長.

40.(2021?湖北黃石?中考真題)如圖，PA.PB是。的切線，A、8是切點，AC是O

的直徑，連接OP,交。于點￡),交A3于點E.

(1)求證：BC//OP；

(2)若E恰好是0。的中點，且四邊形。4PB的面積是16g,求陰影部分的面積：

(3)若sinNBAC=g,且4)=26,求切線孫的長.

41.(2021?四川雅安?中考真題)如圖，在。。中，AB是直徑，ABVCD,垂足為P,

過點。的。的切線與A8的延長線交于點E,連接CE.

c

(1)求證：CE為。。的切線；

(2)若。0半徑為3,CE=4,求sinNDEC.

42.(2021.貴州銅仁?中考真題)如圖，已知AABC內接干O,AB是。的直徑，ZCAB

的平分線交3c于點。，交：。于點E,連接E8,作/比尸=/。3，交A8的延長線

于點F.

(1)求證：EF是；O的切線；

(2)若3尸=10,EF=2O,求。的半徑和AD的長.

43.(2021?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)如圖，AB為。。的直徑，C為00上的一點,

AE和過點C的切線互相垂直，垂足為E,AE與。O相交于點G連接AC.

(1)求證：AC平分NE4B；

(2)若AE=12,tanZCAB=—.求OB的長.

3

44.(202(遼寧營口?中考真題)如圖,是.。直徑，點C,。為O上的兩點，且

AD=CD，連接AC,BD交于息E,。的切線4F與8。延長線相交于點凡4為切

點?

(1)求證：AF=AE-,

(2)若A8=8,BC=2,求A尸的長.

45.(2021?廣西貴港?中考真題)如圖，00是&A3C的外接圓，AO是。O的直徑，F(xiàn)

是AD延長線上一點，連接C￡>,CF,且NOCr=NCAD

(1)求證：CF是。O的切線；

3

(2)若cosB=g,AD—2,求F￡)的長.

B

46.（2021.內蒙古赤峰.中考真題）如圖，在菱形A8C。中，對角線AC、相交于點M,

C,交對角線2。于點E,且CE=BE，連接OE交于點尸.

（1）試判斷AB與（DO的位置關系，并說明理由；

（2）若80=%6,tanZCB￡>=-,求。。的半徑.

52

47.（2021?內蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，A8是。的直徑，AD=DC=2BD.連

接AC,CD,AD,CD交AB于點F,過點8作。的切線BM交AD的延長線于點E,

,W

(1)求證：AC=CD；

(2)連接OE,若OE=2,求OE的長.

48.(2021.內蒙古鄂爾多斯.中考真題)如圖，在「ABC中，AB^AC,以AB為直徑的。

交AC于點。,BC于點E,直線于點F,交AB的延長線于點從

(1)求證：HF是。的切線；(2)當EB=6,cosNABE=g時，求tan”的值.

49.(2021.湖南湘西.中考真題)如圖，A8為。。的直徑，C為。。上一點，40和過

點C的切線互相垂直，垂足為。.

(1)求證：AC平分NO84；

3

(2)若AO=8,tanZC4B=^-,求：邊AC及A5的長.

D

C

50.（2021.貴州畢節(jié)?中考真題）如圖，）0是1ABe的外接圓，點E是‘ABC的內心,

AE的延長線交8c于點F,交。于點。，連接B￡）,BE.

（1）求證：DB=DE;

（2）若AE=3,DF=4,求。8的長.

51.（2021.遼寧丹東?中考真題）如圖，）0是1aMe的外接圓，點。是BC的中點，過

點。作EF//BC分別交A8、AC的延長線于點E和點F,連接A。、BD,ZA8C的平

分線B例交AO于點M.

（1）求證：E尸是,O的切線；

（2）若AB:BE=5:2,AD=^,求線段DM的長.

52.（2021?江蘇南通?中考真題）如圖，AB為。的直徑，C為。上一點，弦AE的延

長線與過點C的切線互相垂直，垂足為Q,ZCAD=35°,連接BC.

（1）求的度數；（2）若48=2,求EC的長.

53.（2021.湖北荊門?中考真題）如圖，在，ABC中，Nfi4C=90。，點E在8c邊上，過

A,C,E三點的。交AB邊于另一點尸，且F是弧AE的中點，A。是＜。的一條直徑,

連接DE并延長交AB邊于M點.

D

2

（1）求證：四邊形CQMF為平行四邊形；（2）當CQ=gA5時，求sinNAb的值.

54.（2021?廣東廣卅中考真題）如圖，在平面直角坐標系xO），中，直線/：y=gx+4分

別與X軸，y軸相交于4、B兩點，點P(x,y)為直線/在第二象限的點

(1)求A、8兩點的坐標；

(2)設以。的面積為S,求S關于x的函數解析式：并寫出x的取值范圍；

(3)作PA。的外接圓C,延長PC交C于點Q,當△POQ的面積最小時，求C

的半徑.

55.(2021?廣西桂林?中考真題)如圖，四邊形A8CD中，/B=NC=90。，點E為BC

中點，于點E.點O是線段AE上的點，以點。為圓心，OE為半徑的。。與

AB相切于點G,交BC于點F,連接。G.

(1)求證：&ECW"ABE；

(2)求證：。。與AD相切；

(3)若8c=6,AB=36,求。0的半徑和陰影部分的面積.

56.(2021?廣西梧州?中考真題)如圖，在RAAC。中，NACD=90。，點。在CZ)上，

作。O,使。。與AO相切于點8,。。與CD交于點E,過點。作。尸〃AC,交AO的

延長線于點F,且

(1)求證：AC是。O的切線；

(2)若0c=3,DE=2,求尸的值.

57.(2021.西藏?中考真題)如圖，48是。。的直徑，OC是半徑，延長OC至點O.連

接A。，AC,BC.使

(1)求證：AO是。。的切線；

(2)若AO=4,tanNCAQ=g,求BC的長.

58.(2021.遼寧錦州?中考真題)如圖，四邊形ABC。內接于。O,AB為。。的直徑，過

點C作CEL4O交40的延長線于點E,延長EC,AB交于點、F,NECD=NBCF.

D

(1)求證：CE為。。的切線；(2)若DE=l,CO=3,求。。的半徑.

59.(2021?江蘇淮安?中考真題)如圖，在RSA8C中，/AC8=90。，點E是BC的中

點，以AC為直徑的。。與A8邊交于點。，連接

(1)判斷直線DE與。。的位置關系，并說明理由；

(2)若CO=3,OE=|,求(DO的直徑.

60.(2021?遼寧盤錦?中考真題)如圖，AABC內接于OO,48是00的直徑，過。。外

一點。作OG//8C,0G交線段AC于點G,交AB于點E,交。。于點尸，連接OB,

CF,N4=NO.

D

(1)求證：8。與。O相切;

(2)若AE=OE,CF平分/ACB,8。=12,求DE的長.

61.(2021?山東濱州?中考真題)如圖，在，。中，AB為:。的直徑，直線OE與。相

切于點，割線AC_LOE于點E且交O于點F,連接￡>￡

(1)求證：AO平分/BAC；(2)求證：DF2=EFAB.

62.(2021?四川巴中?中考真題)如圖，aABC內接于。O,S.AB=AC,其外角平分線

AO與CO的延長線交于點D.

(1)求證：直線是。。的切線；

(2)若AD=2g,BC=6,求圖中陰影部分面積.

63.(2021?遼寧朝陽?中考真題)如圖，48是。。的直徑，點。在。。上，且

90°,點C是。。外一點，分別連接C4,CB、CD,C4交。。于點例，交。。于點N,

CB的延長線交。。于點E,連接4。，ME,且/AC￡>=NE.

(1)求證：CO是。。的切線；

(2)連接。加，若。。的半徑為6,tanE=g,求OM的長.

64.(2021.四川德陽.中考真題)如圖，已知:AB為。。的直徑，。。交AABC于點D、

E,點F為AC的延長線上一點，且NCBF=；NBOE.

（1）求證：8F是。。的切線；

（2）若AB=4值,NCBF=45°,BE=2EC,求4。和CF的長.

65.（2021?山東日照?中考真題）如圖，n。45c的對角線相交于點Q,。經過A、D

兩點，與80的延長線相交于點E,點尸為我E上一點，S.AF=AD-連接AE、相

交于點G,若AG=3,EG=6.

（1）求-OABC對角線AC的長：（2）求證：口048C為矩形.

66.（2021?遼寧沈陽?中考真題）如圖，A8是。的直徑，AO與C。交于點A，點E是

半徑0A上一點（點E不與點O,A重合）.連接OE交；。于點C,連接C4,CB.若

CA=CD,ZABC=ND.

B

(1)求證：AO是。的切線.

(2)若AB=13,CA=CD=5,則AO的長是

67.(2021?青海西寧?中考真題)如圖，ABC內接于。，AB=AC,AO是，。的直

徑，交BC于點E,過點D作DF//BC,交A8的延長線于點尸，連接80.

(1)求證：。尸是。的切線；(2)已知AC=12,AF=15,求。尸的長.

68.(2021?甘肅蘭州?中考真題)如圖,MC內接于:。，A8是＜。的直徑，E為AB

上一點，BE=BC,延長CE交AO于點。，AD=AC.

I)

（1）求證：AO是CO的切線；（2）若tanZACE=；,OE=3,求8c的長.

69.（2021?四川內江?中考真題）如圖，A8是O的直徑，C、。是?。上兩點，且

BD=CD，過點。的直線QELAC交AC的延長線于點E,交A8的延長線于點尸，連

接A。、OE交于點G.

（1）求證：OE是：。的切線；

（2）若段=4，。的半徑為2,求陰影部分的面積；

AG3

（3）連結8E,在（2）的條件下，求BE的長.

70.（2021?天津?中考真題）已知,ABC內接于，：。,45=AC,/84c=42°,點。是。上

一點.

D

O.D

B

圖①圖②

（I）如圖①，若BD為，。的直徑，連接8,求ND3C和NAC。的大??；

（II）如圖②，若CDHBA,連接A。，過點。作。的切線，與OC的延長線交于點E,

求NE的大小.

71.（2021?四川達州?中考真題）如圖，AB是。的直徑，C為：。上一點（C不與點A,

8重合）連接AC,BC,過點C作CDLA8,垂足為點O.將A4CD沿AC翻折，點、D

落在點E處得AACE,AE交；。于點尸.

（1）求證：CE是。的切線；（2）若NBAC=15。，04=2,求陰影部分面積.

72.（2021.湖南株洲?中考真題）如圖所示，A8是。的直徑，點C、。是。上不同

的兩點，直線8。交線段OC于點E,交過點C的直線CF于點尸，若OC=3CE,且

9（EF2-CF2）=OC2.

D

(1)求證：直線CF是1。的切線;

(2)連接0￡)、AD.AC.DC,若NCO￡>=2ZBOC.

①求證：AAC4A0BE；

②過點E作EG〃鉆，交線段AC于點G,點M為線段4c的中點，若4)=4,求線段

MG的長度.

73.(2021?新疆?中考真題)如圖，AC是。。的直徑，BC,8。是。O的弦，M為8c的

中點,OM與BQ交于點F,過點。作OE1BC,交8c的延長線于點E,且CD平分ZACE.

(1)求證：3E是。。的切線；

(2)求證：NCDE=NDBE；

2

(3)右DE=6,tanZ.CDE=—,求8F的長.

74.(2021?湖北宜昌?中考真題)如圖，在菱形A8C。中，。是對角線8。上一點

(BO>DO),OE±AB,垂足為E,以OE為半徑的，。分別交。C于點”，交EO的

延長線于點F，EF與DC交于■點、G.

(1)求證：BC是。的切線；

(2)若G是OF的中點，OG=2,DG=\.

①求“E的長；②求AQ的長.

75.(2021?四川廣元?中考真題)如圖，在Rt_A8C中，Z4CB=90°,AO是Zfl4c的平

分線，以AO為直徑的。交A8邊于點E,連接CE,過點D作DF//CE,交AB于點

(1)求證：DF是。的切線；

3

(2)若BD=5,sinZB=-,求線段。產的長.

76.(2021?山東聊城?中考真題)如圖，在AABC中，AB=AC,。。是AABC的外接圓，

AE是直徑，交BC于點H,點。在AC上，連接AO,過點E作E/〃BC交A。的延

長線于點F,延長BC交A尸于點G.

(1)求證：EF是。。的切線；

(2)若BC=2,AH=CG=3,求E尸和CO的長.

77.（2021.廣西玉林?中考真題）如圖，。與等邊ABC的邊AC,A8分別交于點￡>,

E,AE是直徑，過點。作QF_LBC于點F.

（1）求證：DF是:。的切線；

（2）連接EF,當EF是。的切線時，求，。的半徑「與等邊A3C的邊長。之間的數

量關系.

78.（2021?湖北鄂州?中考真題）如圖,在RtABC中，ZABC=90°,。為BC邊上一點,

以。為圓心，。8長為半徑的。與AC邊相切于點。，交BC于點E.

（1）求證：AB=AD；

(2)連接OE,若tanNEDC=5，DE=2,求線段EC的長.

79.（2021?廣西來賓?中考真題）如圖，己知AO,EF是;。的直徑，AD=6叵,。與

1OABC的邊A3,OC分別交于點E,M,連接C。并延長，與AF的延長線交于點G,

ZAFE=ZOCD.

（1）求證：C。是。的切線；

（2）若GF=1,求cosZAE/的值；

（3）在（2）的條件下，若NABC的平分線8〃交CO于點//,連接A"交。于點N,

求喘的值.

80.（2021?黑龍江綏化?中考真題）如圖，在，ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。與

3c相交于點2DE，AC,垂足為E.

（1）求證：DE是。的切線；

⑵若弦垂直于AB,垂足為嘮T2,求。的半徑;

（3）在（2）的條件下，當NfiAC=36。時，求線段CE的長.

81.(2021?湖南婁底?中考真題)如圖，點A在以BC為直徑的。。上，NA8C的角平分

線與AC相交于點E,與。。相交于點。，延長C4至M,連結8M,使得=

過點A作BM的平行線與8的延長線交于點N.

(1)求證：BM與。。相切；

(2)試給出ACAZZCN之間的數量關系，并予以證明.

82.(2021.內蒙古通遼.中考真題)如圖，A8是。。的直徑，過點A作。。的切線AC,

點P是射線AC上的動點，連接0尸，過點B作BD//OP,交。。于點。，連接PO.

(1)求證：PZ)是。。的切線

(2)當四邊形尸08。是平行四邊形時，求4Po的度數.

83.（2021?內蒙古?中考真題）如圖，在銳角三角形ABC中，是邊上的高，以

為直徑的。交AB于點E,交AC于點F,過點F作FG_LAB,垂足為H,交AC于點

G,交A。于點連接AG,DE,DF.

(1)求證：ZGAD+ZEDF=\80°；

(2)若NACB=45。，AD=4,tanZABC=2,求”尸的長.

84.（2021?湖南長沙?中考真題）如圖，點。為以A8為直徑的半圓的圓心，點M,N在

直徑A3上，點P,。在AB上，四邊形MNP。為正方形，點C在QP上運動（點C與點

P,。不重合），連接BC并延長交的延長線于點。，連接AC交于點E,連接

OQ.

D

（1）求sinNAOQ的值；

（2）求的值；

MN

（3）令ME=x,QD=y,直徑AB=2R（R>0,R是常數），求V關于x的函數解析

式，并指明自變量x的取值范圍.

85.（2021?湖南衡陽?中考真題）如圖，A3是。的直徑，。為（。上一點，E為BD的

中點，點C在BA的延長線上，且NCD4=/B.

（1）求證：CD是：。的切線；（2）若DE=2/BDE=30°,求CD的長.

86.（2021.浙江臺州.中考真題）如圖，86是半徑為3的。。的一條弦,BD=4叵,點

A是。。上的一個動點（不與點8,。重合），以A,B,￡＞為頂點作平行四邊形A8CD.

圖1圖2

（1）如圖2,若點4是劣弧8力的中點.

①求證：平行四邊形ABC。是菱形；②求平行四邊形ABC3的面積.

（2）若點A運動到優(yōu)弧go上，且平行四邊形A8C。有一邊與。O相切.

①求A3的長；②直接寫出平行四邊形A8C。對角線所夾銳角的正切值.

87.（2021?四川宜賓?中考真題）如圖1,。為。。上一點，點C在直徑54的延長線上,

（1）判斷直線CO與。。的位置關系，并說明理由；

（2）若tanNAOC=g,AC=2,求。。的半徑；

（3）如圖2,在（2）的條件下，NAOB的平分線。E交。。于點E,交AB于點尸，連

結BE.求sinNOBE的值.

88.(2021.內蒙古.中考真題)如圖，已知是等邊三角形，P是343c內部的一點，

連接BP,CP.

(1)如圖1,以8c為直徑的半圓。交AB于點Q,交AC于點R,當點尸在QR上時，

連接AP,在BC邊的下方作N3CE)=/R4P,CD=AP,連接。P,求NCPD的度數；

(2)如圖2,E是BC邊上一點，S.EC=3BE,當8P=CP時，連接E尸并延長，交AC

于點尸.若布AB=4BP,求證：4EF=3AB；

(3)如圖3,M是AC邊上一點，當A"=2MC時，連接MP.若NCMP=150。，AB=6a,

MP=y/3a>ASC的面積為S1,8cp的面積為S?,求岳-邑的值(用含”的代數式

表示).

89.(2021?貴州黔東南?中考真題)如圖，出是以AC為直徑的。。的切線，切點為A,

過點A作ABLOP,交。。于點8.

3

(1)求證：PB是。。的切線；(2)若AB=6,cos/PAB=j,求P。的長.

90.（2021?山東濰坊?中考真題）如圖，半圓形薄鐵皮的直徑A8=8,點。為圓心（不與

A,8重合），連接AC并延長到點。，使AC=CO,作?！苯话雸A、BC于點E,

F,連接OC,ZABC=Q,。隨點C的移動而變化.

（1）移動點C,當點”，8重合時，求證：AC=BC；

（2）當。＜45°時，求證：BH,AH=DH?FH；

（3）當9=45。時，將扇形OAC剪下并卷成一個圓錐的側面，求該圓錐的底面半徑和高.

91.（2021?遼寧大連.中考真題）如圖1,ABC內接于。O,直線與。。相切于點D,

0。與BC相交于點E,BC//MN.

(1)求證：NBAC=NDOC；

（2）如圖2,若AC是。。的直徑,E是。。的中點，。。的半徑為4,求AE的長.

圖1圖2

92.(2021?黑龍江哈爾濱?中考真題)己知。是AABC的外接圓，AB為。的直徑,

點N為AC的中點，連接CW并延長交。于點E,連接BE,BE交AC于點￡).

(1)如圖1,求證：N8E+；NBAC=135。；

(2)如圖2,過點。作。GL8E,Z5G交A3于點尸，交。。于點G,連接OG,OD,

若DG=BD,求證：OG//AC；

G

BC

圖2

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接AG,若DN=邁,求AG的長.

5

圖3

93.（2021.江蘇泰州?中考真題）如圖，在。。中，AB為直徑，P為AB上一點，PA=\,

PB=m（根為常數，且相＞0）.過點P的弦C￡）J_AB,Q為BC上一動點（與點B不重

合），AH1.QD,垂足為從連接A。、BQ.

①求證：N