2023年北京市初三一模數(shù)學(xué)試題匯編：點(diǎn)和圓、直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系

第1頁(yè)/共1頁(yè)2023北京初三一模數(shù)學(xué)匯編點(diǎn)和圓、直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系一、解答題1．（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考一模）對(duì)于點(diǎn)P和圖形G，若在圖形G上存在不重合的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得點(diǎn)P關(guān)于線(xiàn)段中點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在圖形G上，則稱(chēng)點(diǎn)P是圖形的G的“中稱(chēng)點(diǎn)”．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，．(1)在點(diǎn)，，，中，_____是正方形的“中稱(chēng)點(diǎn)”；(2)的圓心在x軸上，半徑為1．①當(dāng)圓心T與原點(diǎn)O重合時(shí)，若直線(xiàn)上存在的“中稱(chēng)點(diǎn)”，求m的取值范圍；②若正方形的“中稱(chēng)點(diǎn)”都是的“中稱(chēng)點(diǎn)”，直接寫(xiě)出圓心T的橫坐標(biāo)t的取值范圍．2．（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，給定圖形和點(diǎn)，若圖形上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿(mǎn)足．其中點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則稱(chēng)點(diǎn)是圖形的相關(guān)點(diǎn)．(1)已知點(diǎn)，①在點(diǎn)中，線(xiàn)段的相關(guān)點(diǎn)是_______；②若直線(xiàn)上存在線(xiàn)段的相關(guān)點(diǎn)，求的取值范圍．(2)已知點(diǎn)，，線(xiàn)段的長(zhǎng)度為，當(dāng)線(xiàn)段在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果總能在線(xiàn)段上找到一點(diǎn)，使得在軸上存在以為直徑的圓的相關(guān)點(diǎn)，直接寫(xiě)出的取值范圍．3．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，我們稱(chēng)直線(xiàn)為點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)，例如，點(diǎn)的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)為．(1)已知點(diǎn)．①點(diǎn)A的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)為_(kāi)________；②若與點(diǎn)A的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)相切，則的半徑為_(kāi)________；(2)已知點(diǎn)，點(diǎn)．點(diǎn)M為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)O到點(diǎn)M的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)的距離的最大值；②以為圓心，3為半徑作．在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)與交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)時(shí)，的最小值為4，請(qǐng)直接寫(xiě)出d的值．4．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于直線(xiàn)和點(diǎn)，給出如下定義：將點(diǎn)向右或向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上或向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，將點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的“平移對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”．(1)如圖，已知直線(xiàn)為．①點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的“平移對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”坐標(biāo)為_(kāi)_________；②在直線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的“平移對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”還在直線(xiàn)上？若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)已知直線(xiàn)，若以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的“平移對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”在直線(xiàn)上，直接寫(xiě)出的取值范圍．5．（2023·北京朝陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，是的弦，過(guò)點(diǎn)O作，垂足為C，過(guò)點(diǎn)A作的切線(xiàn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，連接．(1)求證：；(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接，，若，，求的長(zhǎng)．

參考答案1．(1)，；(2)①；②．【分析】（1）由題意可知，正方形的“中稱(chēng)點(diǎn)”是以，，，為頂點(diǎn)的正方形內(nèi)部，如圖可知，符合題意；，，不符合題意；（2）①由題意得：的“中稱(chēng)點(diǎn)”在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓內(nèi)，當(dāng)直線(xiàn)與此圓相切于點(diǎn)D時(shí)，求得直線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)；同理，相切于點(diǎn)F時(shí)，直線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)，即可得到m的取值范圍；②如圖，由由題意可知，正方形在內(nèi)部，當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)，解得；當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)，解得，即可求出t的取值范圍．【詳解】（1）解：由題意可知，正方形的“中稱(chēng)點(diǎn)”是以，，，為頂點(diǎn)的正方形內(nèi)部，如圖：，在正方形內(nèi)部，符合題意；在正方形外，在正方形上，不符合題意；故答案為：，；（2）①由題意得：的“中稱(chēng)點(diǎn)”在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓內(nèi)，當(dāng)直線(xiàn)與此圓相切于點(diǎn)D時(shí)，設(shè)在，則，，，，，，，故直線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)；同理，相切于點(diǎn)F時(shí)，直線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)上存在的“中稱(chēng)點(diǎn)”，；②如圖，由由題意可知，正方形在內(nèi)部，當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)，，，解得：或（舍去）當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)，，，解得：或（舍去），綜上所述，．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的理解，軸對(duì)稱(chēng)，圓的基本性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，以及一次函數(shù)圖像和性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是理解新定義，找到點(diǎn)的軌跡范圍．2．(1)①，；②(2)【分析】（1）①根據(jù)新定義得出點(diǎn)在以為直徑的圓上及其內(nèi)部，以為直徑，為圓心作圓，在圓上或圓內(nèi)的點(diǎn)即為所求；②根據(jù)①可得點(diǎn)在以為直徑的圓上及其內(nèi)部，作出圖形，進(jìn)而根據(jù)直線(xiàn)上存在線(xiàn)段的相關(guān)點(diǎn)，求得相切時(shí)的臨界值，即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)是直線(xiàn)上一點(diǎn)，且點(diǎn)，使得在軸上存在以為直徑的圓的唯一相關(guān)點(diǎn)，設(shè)，則以為直徑的圓上兩點(diǎn)為直徑的圓與軸相切于點(diǎn)，且軸，當(dāng)且時(shí)，軸上存在以為直徑的圓的唯一相關(guān)點(diǎn)，勾股定理求得的值，進(jìn)而根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得當(dāng)點(diǎn)在軸的下方時(shí)，符合題意，即可求解．【詳解】（1）解：①∵，，∴，∵是線(xiàn)段的相關(guān)點(diǎn)，∵，若點(diǎn)分別與點(diǎn)重合，則中點(diǎn)為，∴在以為直徑的圓上，∵是線(xiàn)段上的點(diǎn)，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上及其內(nèi)部，故答案為：，．②由題意可得線(xiàn)段的所有相關(guān)點(diǎn)都在以為直徑的圓上及其內(nèi)部，如圖．設(shè)這個(gè)圓的圓心是．

，，，．當(dāng)直線(xiàn)與相切，且時(shí)，將直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)分別記為，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，．．，，解得．當(dāng)直線(xiàn)與相切，且時(shí)，同理可求得．所以的取值范圍是．（2）解：設(shè)點(diǎn)是直線(xiàn)上一點(diǎn)，且點(diǎn)，使得在軸上存在以為直徑的圓的唯一相關(guān)點(diǎn)，設(shè)，則以為直徑的圓上兩點(diǎn)為直徑的圓與軸相切于點(diǎn)，且軸，如圖所示，設(shè)以為直徑的圓，圓心是．則，∴是的中點(diǎn)，，∴當(dāng)且時(shí)，軸上存在以為直徑的圓的唯一相關(guān)點(diǎn)，在中，，∴，∴，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得當(dāng)點(diǎn)在軸的下方時(shí)，也符合題意，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何新定義，切線(xiàn)的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，理解新定義是解題的關(guān)鍵．3．(1)①；②(2)①；②或【分析】（1）①根據(jù)關(guān)聯(lián)直線(xiàn)的定義進(jìn)行求解即可；②設(shè)直線(xiàn)與相切于點(diǎn)E，連接，設(shè)直線(xiàn)與x軸，y軸分別交于C、D，先求出C、D的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，利用勾股定理求出，再利用等面積法求出的長(zhǎng)即可得到答案；（2）①先求出直線(xiàn)直線(xiàn)的解析式為，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)M的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)為，推出點(diǎn)M的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)N重合時(shí)，最大，即點(diǎn)O到點(diǎn)M的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)的距離最大，然后利用勾股定理求解即可；②同理求出點(diǎn)M的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；如圖所示，過(guò)點(diǎn)T作于N，連接，則，要想最小，則要使最大，由此得到，由（2）①可知，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)重合時(shí)，最大，由此即可建立方程，解方程即可．【詳解】（1）解：①由題意得，點(diǎn)的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)為，故答案為：；②如圖所示，設(shè)直線(xiàn)與相切于點(diǎn)E，連接，設(shè)直線(xiàn)與x軸，y軸分別交于C、D，∴，∴，∴，由切線(xiàn)的性質(zhì)可得，∴，∴，∴的半徑為；（2）解：①設(shè)直線(xiàn)的解析式為，由題意得，點(diǎn)，點(diǎn)，∴，∴，∴直線(xiàn)的解析式為，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)M的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)為，∴點(diǎn)M的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為H，∴，∴當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)N重合時(shí)，最大，即點(diǎn)O到點(diǎn)M的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)的距離最大，∴點(diǎn)O到點(diǎn)M的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)的距離的最大值為；②同理可得直線(xiàn)的解析式為，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)M的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)為，∴點(diǎn)M的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；如圖所示，過(guò)點(diǎn)T作于N，連接，則，∴，∴要想最小，則要使最大，∵的最小值為4，即的最小值為2，∴，由（2）①可知，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)重合時(shí)，最大，∴，∴，∴，∴，解得或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，一次函數(shù)與幾何綜合等等，正確推出點(diǎn)M的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．4．(1)①；②(2)【分析】（1）①根據(jù)“平移對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”的定義進(jìn)行求解即可；②先求出點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l的“平移對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”坐標(biāo)，再把“平移對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”的坐標(biāo)代入直線(xiàn)l解析式中進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)，則點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)的“平移對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”為，由點(diǎn)P在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，得到，則，即可推出點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)與直線(xiàn)有交點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足題意；如圖所示，當(dāng)直線(xiàn)與相切于點(diǎn)H時(shí)，當(dāng)直線(xiàn)與相切于點(diǎn)G時(shí)，求出兩種臨界情況下t的值即可得到答案．【詳解】（1）解：①由題意得，點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，∵點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，∴點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的“平移對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”坐標(biāo)為，故答案為：；②設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則經(jīng)過(guò)平移后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，∴點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)的“平移對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的“平移對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”還在直線(xiàn)上，∴，∴，∴，∴；（2）解：設(shè)，則點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)的“平移對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”為，∵點(diǎn)P在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，∴，∴，∴，∴點(diǎn)到點(diǎn)的距離為1，∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)與直線(xiàn)有交點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足題意；不妨設(shè)，設(shè)直線(xiàn)與x軸，y軸分別交于N，M，∴，∴，∴，如圖所示，當(dāng)直線(xiàn)與相切于點(diǎn)H時(shí)，∴，，∴，∴，∴；同理可求出當(dāng)直線(xiàn)與相切于點(diǎn)G時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與有交點(diǎn)，即以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的“平移對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”在直線(xiàn)上．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變換—平移和軸對(duì)稱(chēng)，一次函數(shù)與幾何綜合，切線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理等等，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．5．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)和即可求出答案；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接，，根據(jù)勾股定理和銳角三角函數(shù)即