數(shù)學(xué)4教學(xué)設(shè)計(jì)：任意角

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教學(xué)設(shè)計(jì)1．1。1任意角作者：楊周萍,江蘇省羊尖高級(jí)中學(xué)教師,本教學(xué)設(shè)計(jì)獲江蘇省教學(xué)設(shè)計(jì)大賽二等獎(jiǎng)．eq\o（\s\up7（),\s\do5(整體設(shè)計(jì)))設(shè)計(jì)思想當(dāng)今世界隨著知識(shí)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，對(duì)人的整體素質(zhì)提出了前所未有的要求,尤其是對(duì)人的主動(dòng)性、創(chuàng)造性、批判性思維的重視超過了以往任何時(shí)代．作為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)和工具的數(shù)學(xué),其修養(yǎng)是21世紀(jì)高科技時(shí)代人才必備的素養(yǎng)，調(diào)查表明年級(jí)越高,對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感興趣的學(xué)生越少，究其原因,大多是因?yàn)樵跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)歷了太多的失敗，逐步喪失學(xué)習(xí)信心．?dāng)?shù)學(xué)是抽象的,難學(xué)的，數(shù)學(xué)教育要通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)本身來提高學(xué)習(xí)的興趣就顯得更為重要．所以在本課的設(shè)計(jì)中以理解學(xué)生、尊重學(xué)生為前提，從學(xué)生的原認(rèn)知出發(fā)，以學(xué)生熟知的生活現(xiàn)象創(chuàng)設(shè)問題情境,導(dǎo)入新課，發(fā)動(dòng)學(xué)生,營造和諧的師生關(guān)系和課堂氛圍、為學(xué)生的智慧生成留下足夠的空間．在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用客觀環(huán)境所提供的信息來加工自己的知識(shí)，完善自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)并在對(duì)問題不斷地討論和探索過程中自主地思考問題并提出問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、回顧反思所學(xué),培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題、應(yīng)用反思的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力,學(xué)生在教師的引導(dǎo)下一旦投入活動(dòng)，各個(gè)不同層次的學(xué)習(xí)者都會(huì)有發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的機(jī)會(huì)和成果,有向同學(xué)、教師展示自己成果和才能的機(jī)會(huì)，能經(jīng)常體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣,從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣，并進(jìn)入良性循環(huán)，終身學(xué)習(xí)的欲望得以孕育、成長．讓課堂教學(xué)真正成為學(xué)生終生學(xué)習(xí)的成長階梯,真正“實(shí)現(xiàn)不同的人在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得到不同的發(fā)展”，特別是新課程所提出的對(duì)學(xué)生思維方法的培養(yǎng)，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)提供必要的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備．教學(xué)內(nèi)容分析本課時(shí)教學(xué)內(nèi)容為引言和1.1。1任意角,是三角函數(shù)的開篇．“引言”提出了本章的中心問題,它是本章知識(shí)的生長點(diǎn)，特別是周期現(xiàn)象貫穿了本章教學(xué)內(nèi)容的始終，它可以幫助學(xué)生很好的探索、理解同終邊角、同直線角、范圍角的集合表示的抽象形式．同時(shí)，周期也是三角函數(shù)的一個(gè)非常重要的性質(zhì)，是把三角函數(shù)一個(gè)周期的性質(zhì)推廣到整個(gè)定義域的理論依據(jù)，是研究三角函數(shù)的核心概念，為學(xué)生學(xué)習(xí)、理解周期的抽象的代數(shù)定義作了一個(gè)很好的鋪墊．因此，筆者認(rèn)為，在三角函數(shù)的開篇課中，應(yīng)該按照引言中所提出的對(duì)周期性的研究大綱，把周期現(xiàn)象這一變化規(guī)律作為教學(xué)內(nèi)容的一個(gè)重要組成部分實(shí)施教學(xué)，不能一帶而過或不講,要讓學(xué)生對(duì)周期現(xiàn)象形成初步的感性認(rèn)識(shí)和理性認(rèn)識(shí),為進(jìn)一步學(xué)習(xí)與周期性相關(guān)的內(nèi)容和理解周期的抽象含義打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，起到統(tǒng)領(lǐng)全章教學(xué)的核心作用．引言中所提出的“用什么樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫圓上點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律"以及“如何表示點(diǎn)P”等問題在以后的教學(xué)中會(huì)自然的解決，因此，這些問題在本節(jié)課中沒有必要作為重點(diǎn)，只是略作分析，通過用角α表示圓上圍繞圓心的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)P的實(shí)際意義的需要，自然過渡到任意角這一教學(xué)環(huán)節(jié)，這樣的處理符合了新課標(biāo)中提出的螺旋上升的教學(xué)原則．任意角的概念是本節(jié)課的重點(diǎn)，關(guān)于正、負(fù)角的引入，可以從實(shí)際事例（如體操中“向前翻騰兩周半”“向后翻騰兩周半”）引入，這樣處理比較自然,學(xué)生也能夠體會(huì)到引入正、負(fù)角的必要性和它的實(shí)際意義．然后再與正、負(fù)數(shù)類比，建立角度與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．在講解任意角時(shí)，要注意把即時(shí)的畫圖和描述相結(jié)合起來，給學(xué)生以直觀，以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合，體會(huì)任意角的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的實(shí)際意義．把終邊相同的角用集合和符號(hào)語言正確地表示出來,是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)，理解終邊相同的角的意義，是學(xué)好這一小節(jié)的關(guān)鍵，同時(shí)這一知識(shí)也是同直線角、范圍角以及誘導(dǎo)公式等知識(shí)的生長點(diǎn)．因此，這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合周期現(xiàn)象通過對(duì)足夠的特例進(jìn)行觀察、分析、研究最終探索一般的知識(shí)規(guī)律-—“同終邊角相差周期‘360°’的整數(shù)倍”，并及時(shí)地讓學(xué)生去運(yùn)用這一數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生強(qiáng)化理解知識(shí),為后續(xù)學(xué)習(xí)鋪路．問題與例題的設(shè)計(jì)給學(xué)生留下了比較多的思維空間，通過設(shè)疑來激發(fā)學(xué)生的思維，教師要讓學(xué)生體會(huì)從具體到抽象，從特殊到一般，逐步歸納的思考方法;體會(huì)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)解題思想．教學(xué)目標(biāo)分析eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(知識(shí)目標(biāo))）1．初步理解周期現(xiàn)象的含義．2．使學(xué)生理解用“旋轉(zhuǎn)"定義的任意角的概念．3．理解并掌握“正角"“負(fù)角"“象限角"“終邊相同的角”的含義,是本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（能力目標(biāo)）)1．學(xué)會(huì)在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來討論任意角．2．掌握所有與α角終邊相同的角(包括α角)的集合的表示方法,是本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)．3．能在0°到360°范圍內(nèi),找出一個(gè)與已知角終邊相同的角,并能判定其為第幾象限角．4．學(xué)會(huì)用“特殊到一般、具體到抽象”研究問題的學(xué)習(xí)方法，體會(huì)分類討論等數(shù)學(xué)思想．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(情感態(tài)度與價(jià)值觀）)通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對(duì)角的概念有了一個(gè)新的認(rèn)識(shí)；樹立運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，學(xué)會(huì)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)事物；揭示知識(shí)背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度;讓學(xué)生感受圖形的對(duì)稱美、運(yùn)動(dòng)美，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)美的追求．eq\o（\s\up7（),\s\do5（教學(xué)過程）)(一）引言流程：（創(chuàng)設(shè)問題情境-—探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律--揭示數(shù)學(xué)本質(zhì))問題情境：大家知道我每個(gè)星期的這一天的同一時(shí)間都要來高一7班做一件什么事嗎？師生合作:討論分析,探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律．問題1:同學(xué)們能不能用自己的語言來描述一下什么叫周期呢?問題2：你們能再舉例說明周期現(xiàn)象嗎？問題3：數(shù)學(xué)問題中有這樣的周期現(xiàn)象嗎？小結(jié)：我們把這種按一定規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為周期現(xiàn)象．這種現(xiàn)象一般與周期運(yùn)動(dòng)有關(guān)，一個(gè)簡單又基本的數(shù)學(xué)周期現(xiàn)象便是“圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”．設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)生活情境，符合學(xué)生實(shí)際，有利于營造和諧的、活躍的氛圍，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；有利于學(xué)生“從無到有”的創(chuàng)造性的探索、發(fā)現(xiàn)知識(shí)的規(guī)律，揭示實(shí)際問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)．使學(xué)生充分地認(rèn)識(shí)和理解周期現(xiàn)象，有利于學(xué)生對(duì)整章的學(xué)習(xí)，起到了關(guān)鍵性的作用．(二)任意角的概念流程：(創(chuàng)設(shè)問題情境—-合作探究——建構(gòu)數(shù)學(xué)）問題情境：如圖1，若點(diǎn)P從水平位置繞圓心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周半,點(diǎn)P的變化規(guī)律用數(shù)學(xué)方法如何刻畫呢？圖1問題3:在體操運(yùn)動(dòng)中有“翻騰兩周半”這樣的動(dòng)作名稱，這里的“翻騰兩周半”表示什么呢?問題4：“向前翻騰兩周半"“向后翻騰兩周半"又分別如何用角度來表示呢？小結(jié)：一般情況下，把向前、向上、向右、逆時(shí)針的方向規(guī)定為正方向，相反則為負(fù)方向．（此時(shí),我們頭腦中的角度也不再是0°到360°之間的角了，角度的范圍隨著實(shí)際的應(yīng)用開始推廣到了任意角．）任意角包括正角、負(fù)角、零角（學(xué)生描述三種角的定義，老師板書并分別畫圖演示)．任意角和實(shí)數(shù)可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)問題情境，自然過渡，從學(xué)生已有的認(rèn)知出發(fā)，暴露學(xué)生的“思維定勢”,引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑、批判的去思考問題,以形象的生活實(shí)際,引入正、負(fù)角的概念,有利于學(xué)生理解和接受新知識(shí)；有利于學(xué)生自覺地、創(chuàng)造性地去研究數(shù)學(xué)、構(gòu)建數(shù)學(xué)．(三）同終邊角的集合表示流程:(創(chuàng)設(shè)問題情境-—自主探究——建構(gòu)數(shù)學(xué)）師:為了便于研究,今后我們常以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),角的始邊為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如果角的終邊在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角．(畫圖分析說明)問題:－300°，－150°，－60°，60°,210°，300°，420°,180°，540°，900°，－900°角分別是第幾象限角？其中哪些角的終邊是相同的？探究題組：（1)終邊相同的角是否相等？不同角的終邊是否不同？（2）相同終邊的角彼此之間有什么關(guān)系？（3）你能寫出與60°角終邊相同的角的集合嗎？(4)求與角α終邊相同的角的集合．小結(jié)：一般地，與角α終邊相同的角的集合為{β｜β＝k·360°＋α，k∈Z｝(β與α相差周期的整數(shù)倍）．作用：可以把不在0°到360°范圍內(nèi)的角轉(zhuǎn)化為0°到360°范圍內(nèi)的角．設(shè)計(jì)意圖:創(chuàng)設(shè)問題情境，從特殊到一般，從具體到抽象,有利于學(xué)生探究問題、發(fā)現(xiàn)問題、歸納問題的一般規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生探究學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法和能力；有利于學(xué)生深刻地理解同終邊角集合的抽象的表示形式．（四)數(shù)學(xué)應(yīng)用流程：(問題情境—-自主實(shí)踐——合作交流-—疑難點(diǎn)撥——解題回顧)例1在0°到360°的范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并分別判斷它們是第幾象限角:（1）650°；（2）－150°;（3）－990°15′。示范（1）：方法一：因?yàn)?50°＝360°＋290°，所以650°的角與290°的角終邊相同,是第四象限角．方法二：表示與650°同終邊角的集合，對(duì)k取值驗(yàn)證．方法三：表示與650°同終邊角的集合,解不等式求k的值．（2）、（3)略．例2已知α與240°角的終邊相同，判斷eq\f(α,2)是第幾象限角．方法一：分類討論,化為同終邊的角判斷．方法二：利用周期性，數(shù)形結(jié)合畫出終邊判斷．設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)問題情境，通過解題示范,增強(qiáng)學(xué)生的解題規(guī)范意識(shí)，樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的科學(xué)態(tài)度;通過一題多解的解題方法，滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的解題能力，揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)規(guī)律．(五）回顧反思（1)知識(shí)要點(diǎn)回顧：周期現(xiàn)象；任意角；同終邊角的集合表示；象限的判斷．(2)思想方法回顧：探索研究問題的一般思想方法——(一般到特殊）特殊到一般；判斷象限時(shí)——轉(zhuǎn)化思想；分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用；周期應(yīng)用．（3)反思存在的問題(由學(xué)生提出疑問或問題改進(jìn)的辦法)．（4）補(bǔ)充說明：（教師:一般情況下我們還可以用弧長，半徑以及方向來刻化圓上點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律．）設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生談學(xué)習(xí)體會(huì),反思所學(xué)，反饋課堂教學(xué)信息，使學(xué)生的學(xué)習(xí)得到進(jìn)一步的升華，從而提高課堂教學(xué)的效率．（六）課后拓展(1）終邊落在x軸上的角的集合如何表示？終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合如何表示？（2）終邊落在第一象限的角的集合如何表示？（3）若α是第三象限角，則eq\f（α,2）是第幾象限角？（七）作業(yè)布置（略)附錄(教學(xué)實(shí)錄兩個(gè)片段）(一)引言(教學(xué)過程實(shí)錄）流程：（創(chuàng)設(shè)問題情境—-探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律——揭示數(shù)學(xué)本質(zhì))師：大家知道我每個(gè)星期的這一天的同一時(shí)間都要來高一7班做一件什么事嗎？生:議論但沒有回答．師:答案就是:給你們上數(shù)學(xué)課．（學(xué)生笑）你們知道這一個(gè)很平常的生活現(xiàn)象表明了一個(gè)什么規(guī)律嗎?生：周期．師：你們能用一個(gè)數(shù)字來刻化這個(gè)規(guī)律并說明你的理由嗎?生：四，因?yàn)榻裉焓切瞧谒模畮?那么，這一現(xiàn)象的周期是“四”對(duì)嗎?(學(xué)生思考）生:應(yīng)該是“7”,因?yàn)槔蠋熞扛簟?”天才會(huì)再次在今天的同一時(shí)間上課．師：還有其他數(shù)字嗎？（學(xué)生一起答道“14”)好,同學(xué)們能不能用自己的語言來描述一下什么叫周期呢？生：每隔相同時(shí)間重復(fù)相同事情的現(xiàn)象(教師引導(dǎo)：我們把這種現(xiàn)象稱為周期現(xiàn)象，那么周期是什么呢?學(xué)生齊答:間隔的時(shí)間．教師引導(dǎo)：我們把7就叫做這一現(xiàn)象的一個(gè)周期．）師：好，你們能再舉例說明周期現(xiàn)象嗎？生:每天太陽早上升起，傍晚降落；年復(fù)一年，春夏秋冬四個(gè)季節(jié)；潮起潮落．師：數(shù)學(xué)問題中有這樣的周期現(xiàn)象嗎？生：循環(huán)小數(shù)如eq\f（1,3)＝0。eq\o（33，\s\up6（··））；圓上的一點(diǎn)繞圓心旋轉(zhuǎn)．師：如圖2，點(diǎn)P是半徑為r的圓O上一點(diǎn),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)可以形象地描述為“周而復(fù)始”．那么點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的一個(gè)周期是什么?圖2生：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的一個(gè)周期是360°.小結(jié):我們把這種按一定規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為周期現(xiàn)象．這種現(xiàn)象一般與周期運(yùn)動(dòng)有關(guān)，一個(gè)簡單又基本的數(shù)學(xué)周期現(xiàn)象便是“圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”．（二）任意角的概念(教學(xué)過程實(shí)錄)流程：（創(chuàng)設(shè)問題情境——合作探究——建構(gòu)數(shù)學(xué)）師：如圖3，若點(diǎn)P從水平位置繞圓心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周半，點(diǎn)P的變化規(guī)律用數(shù)學(xué)方法如何刻畫呢？圖3生:建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)(x，y）表示．師:還可以用什么刻畫呢?生：角度．師:用多少度來表示呢?生甲：180°師:為什么？生甲：因?yàn)辄c(diǎn)P繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周半后終邊與始邊形成了一個(gè)平角,所以是180°。生乙：不對(duì)，應(yīng)該是540°.師:為什么？生乙：180°應(yīng)該表示旋轉(zhuǎn)半周,而旋轉(zhuǎn)一周半表示旋轉(zhuǎn)了360°＋180°＝540°（老師畫圖演示)．師：大家認(rèn)為用哪個(gè)角度表示合理呢？生:540°.師：在體操運(yùn)動(dòng)中有“翻騰兩周半"這樣的動(dòng)作名稱,這里的“翻騰兩周半”表示什么呢？生:是用來表示旋轉(zhuǎn)900°的角度．（老師畫圖演示）師：“向前翻騰兩周半