數(shù)學(xué)備課資料：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精備課資料一、｜a·b｜≤｜a||b｜的應(yīng)用若a=（x1,y1)，b=(x2，y2)，則平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)|a·b|≤|a|｜b|的坐標(biāo)表示為x1x2+y1y2≤≤（x12+y12)（x22+y22).不等式(x1x2+y1y2)2≤(x12+y12）（x22+y22)有著非常廣泛的應(yīng)用,由此還可以推廣到一般(柯西不等式）：(a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)。例1已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x+y—4=0,則x2+y2的最小值是______;(2）已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足(x+2）2+y2=1,則2x-y的最大值是_______.解析:（1)令m=（x，y）,n=（1,1)。∵|m·n｜≤|m｜｜n|,∴｜x+y｜≤,即2（x2+y2）≥（x+y）2=16.∴x2+y2≥8,故x2+y2的最小值是8。(2)令m=(x+2,y）,n=（2，—1)，2x—y=t。由｜m·n|≤｜m||n｜，得|2（x+2）-y|≤解得。故所求的最大值是-4。答案:(1)8（2)-4例2已知a,b∈R,θ∈(0，)，試比較與（a+b）2的大小。解:構(gòu)造向量m=（），n=(cosθ，sinθ）,由|m·n|≤|m|｜n｜得(）2≤（)（cos2θ+sin2θ),∴（a+b)2≤。同類(lèi)變式：已知a，b∈R,m,n∈R，且mn≠0，m2n2>a2m2+b2n2,令M=解:構(gòu)造向量p=（)，q=(n,m）,由|p·q|≤|p|｜q|得(）2≤()（m2+n2)=（m2+n2）〈m2+n2,∴M>N。例3設(shè)a，b∈R,A={(x,y）｜x=n，y=na+b，n∈Z｝，B={(x,y）|x=m,y=3m2+15,m∈Z}，C={（x,y）｜x2+y2≤144｝是直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)的點(diǎn)集，討論是否存在a和b，使得A∩B=與(a，b）∈C能同時(shí)成立.解：此問(wèn)題等價(jià)于探求a、b是否存在的問(wèn)題，它滿(mǎn)足設(shè)存在a和b滿(mǎn)足①②兩式，構(gòu)造向量m=（a,b)，n=（n，1).由｜m·n｜2≤|m|2｜n|2得（na+b)2≤（n2+1)(a2+b2）,∴（3n2+15)2≤144（n2+1）n4-6n2+9≤0。解得n=±,這與n∈Z矛盾,故不存在a和b滿(mǎn)足條件。二、備用習(xí)題1.若a=（2,-3）,b=（x,2x），且a·b=,則x等于（）A.3B。C。D.—32。設(shè)a=（1，2)，b=(1,m）,若a與b的夾角為鈍角,則m的取值范圍是（）A.m>B。m<C.m〉D。m<3.若a=（cosα,sinα），b=(cosβ,sinβ）,則（）A。a⊥bB。a∥bC.(a+b）⊥（a-b)D。（a+b）∥(a-b）4.與a=(u，v)垂直的單位向量是（）A.()B.(）C。（)D。（)或（）5。已知向量a=(cos23°，cos67°)，b=(cos68°，cos22°)，u=a+tb（t∈R），求u的模的最小值.6。已知a,b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直,a-4b與7a—2b垂直，求a與7.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A（1,1），B（3,1)，C(4，5),求△ABC的面積。參考答案：1。C2。D3。C4。D5.|a｜==1，同理有|b|=1。又a·b=cos23°cos68°+cos67°cos22°=cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos45°=∴｜u｜2=(a+tb)2=a2+2ta·b+t2b2=t2+t+1=(t+)2+≥.當(dāng)t=時(shí)，|u｜min=。6。由已知(a+3b）⊥(7a-5b）(a+3b）·(7a-5b）=07a2+16a·b—15b2=0.又（a—4b)⊥(7a—2b）(a-4b)·（7a—2b）=07a2—30a·b+8b2=0.①-②得46a·b=23b2，即a·b=③將③代入①,可得7|a｜2+8|b|2—15｜b|2=0,即|a｜2=｜b|2，有|a｜=|b｜，∴若記a與b的夾角為θ,則cosθ=。又θ∈［0°,180°]，∴θ=60°,即a與b的夾角為60°.7.分析:S△ABC=｜||｜sin∠BAC,而||，|｜易求，要求sin∠BAC可先求出cos∠BAC.解:∵=（2,1)，=（3,4),｜｜=2，｜|=5，∴cos∠BAC=.∴sin∠BAC=.∴S△ABC=|｜｜|sin∠BAC=×2×5×=4.三、新教材新教法的二十四個(gè)“化"字訣新課導(dǎo)入新穎化,揭示概念美麗化；縱橫相聯(lián)過(guò)程化，探索討論熱烈化;探究例題多變化，引導(dǎo)思路發(fā)散化;學(xué)生活動(dòng)主體化，一石激浪點(diǎn)撥化;大膽猜想多樣化，論證應(yīng)用規(guī)律化；變式訓(xùn)練探究化,