高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：冪函數(shù)

專題3.4募函數(shù)

【核心素養(yǎng)】

1.以常見幕函數(shù)為載體，考查函數(shù)的奇偶性與周期性，凸顯直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

2.與不等式、方程等相結(jié)合考查函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性，凸顯分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

3.與函數(shù)、不等式結(jié)合，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，凸顯直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

<---------------;

3怩

知識點(diǎn)一幕函數(shù)的定義

累函數(shù)的定義

一般地，形如y=x,的函數(shù)稱為幕函數(shù),其中尤是自變量，。為常數(shù).

知識點(diǎn)二常見的5種黑函數(shù)的圖象

__________)

常見的5種塞函數(shù)的圖象

知識點(diǎn)三常見的5種幕函數(shù)的性質(zhì)

常見的5種塞函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)特征

—1

尸/y=x2

性質(zhì)

定義域RRR[0,+°°){x|xGR,且xWO}

值域R[0,+8)R[0,+°°){ylyGR,且y/0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

《一■一,一■一?一■一,一?一?一■一■一?7-

?？碱}型例析/

I■■■■■■I->IIMI■■■■■II■■■IIIJ

題型一：塞函數(shù)的概念

【典例分析】

例1-1.（2023秋?河北邯鄲?高三統(tǒng)考期末）已知募函數(shù)/（X）滿足曾=4,則/匕）的值為（）

A.2B.—C.—D.—2

44

例1-2.（2022秋?重慶南岸?高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）己知暴函數(shù)〃尤）=x"的圖象過點(diǎn)（2,4）,

則小吟］=.

【知識拓展】

1.形如y=/的函數(shù)叫累函數(shù)，這里需有：⑴系數(shù)為1,⑵指數(shù)為一常數(shù)，（3）后面不加任何項(xiàng).例如y=3x、

y=xx+i、y=r+l均不是嘉函數(shù)，再者注意與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別，例如：〉=/是癌函數(shù)，y=2*是指數(shù)函數(shù).

2.基函數(shù)y=K的形式特點(diǎn)是“募指數(shù)坐在尤的肩膀上”，往往利用待定系數(shù)法，求幕指數(shù)，得到函數(shù)解析

式，進(jìn)一步解題.

【變式訓(xùn)練】

變式L1.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）已知塞函數(shù)y=〃x）的圖象過點(diǎn)（8,20）,則〃9）的值為（）

A.2B.3C.4D.9

變式1-2.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模）若函數(shù)y=的圖像經(jīng)過點(diǎn)（2,16）與（3,附，則機(jī)的值為.

題型二：幕函數(shù)的圖象

1

例2-2.（2023?全國?高三對口高考）給定一組函數(shù)解析式:

@y'②,二尤§；③y=%5;?-y=x3；⑤,=尤5;(§)y—x3;⑦,=彳3.

如圖所示一組函數(shù)圖象.圖象對應(yīng)的解析式號碼順序正確的是（）

C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①

x2,x>0,

例2-3.（2023?新疆阿勒泰?統(tǒng)考三模）已知函數(shù)則函數(shù)/（無）=，Ig(x)=/(-無)，則函數(shù)g(x)的圖象大

一,1v0,

致是（）

3

例2-4.（2023?陜西榆林??？寄M預(yù)測）直線/：x+y=:與x,V軸的交點(diǎn)分別是A,B,/與函數(shù)〉=丁，

y=x"（O<m<〃）的圖像的交點(diǎn)分別為C,D,若C,。是線段A3的三等分點(diǎn)，則”根的值為.

【規(guī)律方法】

函數(shù)y=x"的形式的圖象都過點(diǎn)（1,1）.它們的單調(diào)性要牢記第一象限的圖象特征：當(dāng)。>0時(shí)，第一象限圖

象是上坡遞增；當(dāng)。<0時(shí)，第一象限圖象是下坡遞減.然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定y軸左側(cè)的增減性即

可.

【變式訓(xùn)練】

R,且其圖像關(guān)于y軸成軸對稱，則機(jī)的值可以為（）

A.1B.4C.7D.10

變式23（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知幕函數(shù)、（P應(yīng)￡Z且，M互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如

y

圖所示，則（）

B.q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且‘<。

q

C.q為奇數(shù)，p為偶數(shù),且/>o

D.q為奇數(shù),p為偶數(shù)，且“<。

q

變式24（2023?寧夏銀川?銀川一中?？家荒＃┖瘮?shù)y=尤，y=4和y='的圖像都通過同一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)

X

坐標(biāo)為.

題型三：幕函數(shù)的性質(zhì)

【典例分析】

例3-1.（1993?全國?高考真題）函數(shù)y=［在［—1,1］上是（）

A.增函數(shù)且是奇函數(shù)B,增函數(shù)且是偶函數(shù)

C.減函數(shù)且是奇函數(shù)D.減函數(shù)且是偶函數(shù)

例3-2.（2007?山東?高考真題）設(shè)?！瓴?,11,3卜則使函數(shù)〉=丁的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有。值為

（）

A.1,3B.—1,1C.~1,3D.-1,1,3

例3-3.（2023?浙江?高三專題練習(xí)）已知〃=1.產(chǎn)/=I?1、c=13」，則（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.a<c<b

例3-4.（2023?江蘇淮安?江蘇省目于胎中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知塞函數(shù)/（%）=若〃a-l)<〃8-2a),

則a的取值范圍是.

【方法技巧】

1.在比較幕值的大小時(shí)，必須結(jié)合幕值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，既不同底又不

同次數(shù)的暴函數(shù)值比較大?。撼Ｕ业揭粋€(gè)中間值，通過比較累函數(shù)值與中間值的大小進(jìn)行判斷.準(zhǔn)確掌握

各個(gè)幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)底大圖高（逆時(shí)針方向底數(shù)依次變大）.當(dāng)幕的底數(shù)不確定時(shí)，要注意討論

底數(shù)的不同取值情況.

【變式訓(xùn)練】

變式3-1.（2020?全國?高三對口高考）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在定義域上是增函數(shù)的為（）.

A./(x)=-xB.=C.f(x)=x2D.f^X)-y[x

變式3-2.（2023?四川成都?石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）幕函數(shù)=（病-3〃L3卜"在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞

減，則下列說法正確的是（）

A.〃1=4B./（X）是減函數(shù)

C.“X）是奇函數(shù)D./⑴是偶函數(shù)

變式3-3.【多選題】（2023?江蘇?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)〃功=），且％<%，貝U（）

A.（^-^）（/（%1）-/（%2））>0B.^-/（^）>x2-/（x,）

C./（3）一々</（%）一占D.五|強(qiáng)］

變式3-4.（2023春?上海?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)了（耳=1，則關(guān)于t的表達(dá)式

/,_2.）+/（2產(chǎn)-1）<0的解集為.

題型四：塞函數(shù)綜合問題

【典例分析】

例4-1.（2023?山東聊城?統(tǒng)考三模）設(shè)°=0.2%Z7=O.5°\c=log050.2plij（）

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

例4-2.（2023?安徽滁州?校考模擬預(yù)測）函數(shù)/（司=/2與g（x）=。尸在（0,+e）均單調(diào)遞減的一個(gè)充分不

必要條件是（）

A.ae（0,2）B.ae[O,l）C.ae[1,2）D.ae（1,2]

例4-3.（江蘇省高考真題）在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，設(shè)定點(diǎn)A（a,a）,尸是函數(shù)（x>0）圖象上一動

x

點(diǎn).若點(diǎn)P,A之間的最短距離為20,則滿足條件的實(shí)數(shù)。的所有值為.

例44（2023?高三課時(shí)練習(xí)）已知幕函數(shù)=（加為正整數(shù)）的圖像關(guān)于>軸對稱，且在（0,+s）

上是嚴(yán)格減函數(shù)，求滿足g+1）號>（3-2a）號的實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【變式訓(xùn)練】

變式4-1.（2023?廣東佛山?校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)a=log°32,b=反,c=0.2@,則（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

變式42（2023?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)=g（x）=，，其中

xe[0,y）,0<夕<1）>1,若點(diǎn)滿足|MP|=|NQ],

貝IJ（）

A.4a—4尸=2,+尸B.4a+44=2'+4

C.2a—2尸=2。+0D.2&+2尸=2&+0

變式4-3.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）已知ae1-2,-1,-：,01，,1,21,若函數(shù)〃同=才滿足：當(dāng)xe（—l,0）U（0,l）

時(shí)，/（x）>|乂恒成立，則a的取值為.（寫出滿足條件的所有取值）

變式4-4.（2020秋?江西上饒?高三?？茧A段練習(xí)）已知幕函數(shù)“%）=（療-5根+7）產(chǎn)?為偶函數(shù).

⑴求〃x）的解析式;

（2）若g（x）=〃x）-辦-3在[1,3]上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

一、單選題

1.（2023?遼寧?校聯(lián)考一模）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在區(qū)間（-少,。）單調(diào)遞增的為（）

A.y=x-2B.、=國C.J=2HD.y=x3

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)〃尤）=桐的圖象大致為（）

3.（2023?遼寧錦州?渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）若暴函數(shù)/（x）=（病一2加-21Em+i在區(qū)間

（0,+8）上單調(diào)遞增，則加=（）

A.-1B.3C.-1或3D.1或-3

4.（2023?海南?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知〃x）=（加+m-5卜"'為幕函數(shù)，則（）.

A.在（-8,0）上單調(diào)遞增B.在（-⑦。）上單調(diào)遞減

C.“X）在（0,+8）上單調(diào)遞增D.〃尤）在（0,+8）上單調(diào)遞減

5.（2023秋?山東德州?高三統(tǒng)考期末）函數(shù)f（x）=（＞-機(jī)+1卜'~片3（0=機(jī)＜3,機(jī)eZ）同時(shí)滿足①對于定義

域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,都有/（-x）=f（x）；②在（0,—）上是減函數(shù)，則/中的值為（）

\1）

A.8B.4C.2D.1

6.（2023?江蘇?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)/（九）二%"是偶函數(shù)，且在區(qū)間（0,+e）上單調(diào)遞增，則下列實(shí)

數(shù)可作為a值的是（）

A.-2B.《C.2D.3

7.（2023?全國?高三對口高考）若〃，仇CER+,且a+b=c,當(dāng)a＞l時(shí)，則一定有（）

、.1c

8.(2012?山東借考真題)設(shè)函數(shù)/Cx)=-,g(%)=ax+fer(a,)￡R,awO),若＞=/(%)的圖象與y=g(%)圖象

x

有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)j），2（々，%）,則下列判斷正確的是

A.當(dāng)a<0時(shí)，再+9<0,必+%>0

B.當(dāng)a<0時(shí)，xl+x2>0,yl+y2<0

C.當(dāng)a>0時(shí)，占+%<。，%+%<0

D.當(dāng)。>0時(shí)，x1+x2>0,yi+y2>0

二、填空題

2

9.（2020?江蘇?統(tǒng)考高考真題）已知產(chǎn)船）是奇函數(shù)，當(dāng)定0時(shí)，〃力=/，則於8）的值是.

10.（2014.上海.高考真題）若然球=4_金則滿足〃X）<0的X取值范圍是.

11.（2023春?上海楊浦?高三復(fù)旦附中校考階段練習(xí)）已知幕函數(shù)>=/（尤）的圖像過點(diǎn)（9,3）,則/（2）的值為

12.（2023?上海徐匯?位育中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知幕函數(shù)>=/（尤）的圖像過點(diǎn)尸（2,8）,則函數(shù)y=/（x）-x的

零點(diǎn)為.

專題3.4募函數(shù)

【核心素養(yǎng)】

1.以常見幕函數(shù)為載體，考查函數(shù)的奇偶性與周期性，凸顯直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

2.與不等式、方程等相結(jié)合考查函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性，凸顯分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

3.與函數(shù)、不等式結(jié)合，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，凸顯直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

<---------------;

3怩

知識占一幕函數(shù)的定義

累函數(shù)的定義

一般地，形如y=x,的函數(shù)稱為幕函數(shù),其中尤是自變量，。為常數(shù).

知識點(diǎn)二常見的5種黑函數(shù)的圖象

常見的5種新函數(shù)的圖象

知識點(diǎn)三常見的5種幕函數(shù)的性質(zhì)

常見的5種塞函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)特征

—1

尸/2

性質(zhì)y=x

定義域RRR[0,+°°){x|xGR,且xWO}

值域R[0,+8)R[0,+°°){ylyGR,且y/0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

《一■一,一■一?一■一■一,一?一■一■一?7-

?？碱}型例析/

題型一：塞函數(shù)的概念

【典例分析】

例1-1.（2023秋?河北邯鄲?高三統(tǒng)考期末）已知募函數(shù)/（X）滿足曾=4,則/匕）的值為（）

A.2B.—C.—D.—2

44

【答案】B

【分析】設(shè)出基函數(shù)的解析式，根據(jù)已知，求出參數(shù)的關(guān)系式，即可計(jì)算作答.

【詳解】依題意，設(shè)〃力=算則等=1=3。=4,

/（2）2。

所以宿）=&$】?

故選:B

例1-2.（2022秋?重慶南岸?高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知事函數(shù)八尤）=尤"的圖象過點(diǎn)（2,4）,

則/Nin^U

【答案】1/0.5

【分析】根據(jù)募函數(shù)過點(diǎn)（2,4）,求出函數(shù)解析式，將數(shù)值代入即可計(jì)算.

【詳解】因?yàn)槟缓瘮?shù)/（%）=丁的圖象過點(diǎn)（2,4）,所以2。=4,解得：?=2,

所以/（x）=x2,則/（sin：）=（/）2=g,

故答案為：）.

【知識拓展】

1.形如的函數(shù)叫幕函數(shù)，這里需有：（1）系數(shù)為1,（2）指數(shù)為一常數(shù)，（3）后面不加任何項(xiàng).例如y=3x、

y=x'+i、y=/+l均不是募函數(shù)，再者注意與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別，例如：y=/是累函數(shù)，y=2*是指數(shù)函數(shù).

2.暴函數(shù)y=K的形式特點(diǎn)是“累指數(shù)坐在尤的肩膀上”，往往利用待定系數(shù)法，求累指數(shù)，得到函數(shù)解析

式，進(jìn)一步解題.

【變式訓(xùn)練】

變式L1.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）已知累函數(shù)y=/（x）的圖象過點(diǎn)卜,2?）,則/（9）的值為（）

A.2B.3C.4D.9

【答案】B

【分析】設(shè)幕函數(shù)為/（%）=￡，代入點(diǎn)計(jì)算得到々=計(jì)算得到答案.

【詳解】設(shè)幕函數(shù)為〃x）=x",圖象過點(diǎn)（8,20）,故〃8）=8〃=2&，故。=g,

〃尤）=尤晨/（9）=如=3.

故選：B

變式1-2.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模）若函數(shù)y=x"的圖像經(jīng)過點(diǎn)（2,16）與（3,m），則根的值為.

【答案】81

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象過的點(diǎn)求得參數(shù)。，可得函數(shù)解析式，再代入求值即得答案.

［詳解】由題意函數(shù)y=x"的圖像經(jīng)過點(diǎn)（2,16）與（3,m）,

則16=2",;.a=4,則y=/

故機(jī)=34=81,

故答案為：81

題型二：基函數(shù)的圖象

3—1

例2-1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)〃龍”土二匚的圖像大致為（）

【分析】利用特殊值法逐項(xiàng)進(jìn)行排除即可求解.

【詳解】由『（1）=0,排除A,D.當(dāng)x>l時(shí)，所以〃x）>0,排除C.

故選：B.

例2-2.（2023?全國?高三對口高考）給定一組函數(shù)解析式：

3232311

①,=尤1；②,二尤3；③,=了5；@y=x3；⑤,=了2；@y—x3；⑦,=尤3.

A.⑥③④②⑦①⑤B.⑥④②③⑦①⑤

C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①

【答案】C

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的圖象的性質(zhì)判斷各圖象對應(yīng)解析式的形式，即可得答案.

【詳解】圖象（1）關(guān)于原點(diǎn)對稱，為奇函數(shù)，且不過原點(diǎn)、第一象限遞減，故丫=/彳滿足;

圖象（2）關(guān)于y軸對稱，為偶函數(shù)，且不過原點(diǎn)、第一象限遞減，故y=滿足；

3

圖象(3)非奇非偶函數(shù)，且不過原點(diǎn)、第一象限遞減，故y=/5滿足；

圖象(4)關(guān)于y軸對稱，為偶函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，故y=j滿足；

圖象(5)關(guān)于原點(diǎn)對稱，為奇函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，故y滿足；

3

圖象(6)非奇非偶函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，而增長率隨x增大遞減，故滿足；

圖象(7)非奇非偶函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，而增長率隨尤增大遞增，故滿足；

故圖象對應(yīng)解析式順序?yàn)棰蔻堍邰冖撷佗?

故選：C

x2,x>0,

例2-3.(2023?新疆阿勒泰?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)則函數(shù)/(%)=1g(%)=/(r),則函數(shù)g(x)的圖象大

—,x<0,

【分析】由g(x)=/(-x)可知g(x)圖像與“X)的圖像關(guān)于y軸對稱，由/(X)的圖像即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)間(x)=/(-X),所以g(x)圖像與“X)的圖像關(guān)于y軸對稱,

由“X)解析式，作出“X)的圖像如圖

從而可得g(x)圖像為B選項(xiàng).

故選：B.

3

例24（2023?陜西榆林??？寄M預(yù)測）直線/：x+y=z與x,了軸的交點(diǎn)分別是A,B,/與函數(shù)、=都，

y=x"（O<m<〃）的圖像的交點(diǎn)分別為C,。，若C,。是線段A3的三等分點(diǎn)，則〃-機(jī)的值為.

【答案】43

2

【分析】求出點(diǎn)C、。的坐標(biāo)，代入相應(yīng)的塞函數(shù)解析式，求出加、〃的值，即可得解.

【詳解】直線/：x+y=：與x、y軸的交點(diǎn)分別是?°，￡|，

因?yàn)镃,D是線段A3的三等分點(diǎn)，可得c］；，￡|，

且/與函數(shù)>=無'"、y=x"的圖像交點(diǎn)分別是C、D,其中0<根<〃，

1

m=一—.3

解得2,所以,n-m--.

2

n=2

【規(guī)律方法】

函數(shù)y=/的形式的圖象都過點(diǎn)（1,1）.它們的單調(diào)性要牢記第一象限的圖象特征：當(dāng)〃>0時(shí)，第一象限圖

象是上坡遞增；當(dāng)。<0時(shí)，第一象限圖象是下坡遞減.然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定y軸左側(cè)的增減性即

可.

【變式訓(xùn)練】

【詳解】試題分析：先找出函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)（1,1）,（8,2）,（J,J）,再判斷函數(shù)的走向，結(jié)合圖形,

82

選出正確的答案.

解：函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)（1,1）,故排除A,D；

由特殊點(diǎn)（8,2）,（—,—）,可排除C.

82

故選B.

變式2-2.（2023春?上海浦東新?高三華師大二附中校考階段練習(xí)）設(shè)，"?R,若塞函數(shù)y=廿2口角定義域?yàn)?/p>

R,且其圖像關(guān)于y軸成軸對稱，則機(jī)的值可以為（）

A.1B.4C.7D.10

【答案】C

【分析】根據(jù)暴函數(shù)的定義域和幕函數(shù)的奇偶性可以確定m的值.

【詳解】解：由題意知/一2租+1>0二>租w1,

因?yàn)槠鋱D像關(guān)于y軸成軸對稱，則〃z=7.

故選：C.

變式2-3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知事函數(shù)、「4（p,?eZ且。應(yīng)互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如

圖所示，貝U（）

A.p,q均為奇數(shù)，且:>°

B.q為偶數(shù)，p為奇數(shù),且“<。

q

C.q為奇數(shù)，p為偶數(shù),且

D.鄉(xiāng)為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且“<0

q

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出“<。；根據(jù)函數(shù)的奇偶性及。，q互質(zhì)可判斷出?為偶數(shù)，q為奇數(shù).

q

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)J的定義域?yàn)椋?*0）U（0,+s）,且在（。，+8）上單調(diào)遞減，

所以“<0,

q

因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，

yv

所以函數(shù)、，一1為偶函數(shù)，即P為偶數(shù)，

又p、q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，

所以選項(xiàng)D正確，

故選：D.

變式2-4.（2023?寧夏銀川?銀川一中?？家荒＃┖瘮?shù)丁=?和丫=」的圖像都通過同一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)

X

坐標(biāo)為.

【答案】（1,1）

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)既可以求得.

【詳解】根據(jù)三個(gè)函數(shù)可得定義域?yàn)椋海?,+8）,則根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)可知這三個(gè)函數(shù)都經(jīng)過點(diǎn)（1,1）.

故答案為：（1,1）

題型三：塞函數(shù)的性質(zhì)

【典例分析】

3

例3-1.（1993?全國?高考真題）函數(shù)y=/在［-1,1］上是（）

A.增函數(shù)且是奇函數(shù)B.增函數(shù)且是偶函數(shù)

C.減函數(shù)且是奇函數(shù)D.減函數(shù)且是偶函數(shù)

【答案】A

3

考查幕函數(shù)>=必.

：（>（）,根據(jù)幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

可得在［-1,1］上的單調(diào)增函數(shù)，是奇函數(shù).

故選A.

點(diǎn)睛：對于形如丫=「的幕函數(shù)，研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，可以將函數(shù)化簡為y=0T，可知定義域及函數(shù)奇偶性，

塞函數(shù)的單調(diào)性可以只研究第一象限，再結(jié)合奇偶性即可得結(jié)論.

例32（2007?山東?高考真題）設(shè)ae卜則使函數(shù)y=x"的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有。值為

（）

A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3

【答案】A

【詳解】a=-l,a=；時(shí)，函數(shù)定義域不是R,不合題意；

a=l,a=3時(shí)，函數(shù)y=x"的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)，合題意，

故選A.

例3-3.（2023?浙江?高三專題練習(xí)）已知。=1.產(chǎn),6=1.213,。=1.3口，則（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

【分析】利用中間值1.212比較〃力的大小，再讓b,C與中間值13比較，判斷瓦。的大小，即可得解.

【詳解】a=l,l12<1,212<1,213=Z;,又因?yàn)橥ㄟ^計(jì)算知L2—1H,所以。毅片<。^廣，即1.2"<1.3。9,

又1.2°」<1.3%所以I2。v1.31<L3ii=c,所以

故選：B

1

例3-4.（2023?江蘇淮安?江蘇省旺胎中學(xué)校考模擬預(yù)測）己知塞函數(shù)/（無）=\了，若-2a）,

則a的取值范圍是.

【答案】（3,4）

【分析】根據(jù)題意得到幕函數(shù)/（x）的定義域和單調(diào)性，得到不等式〃。-1）<〃8-2a）的等價(jià)不等式組，

即可求解.

【詳解】由塞函數(shù)〃x）=1可得函數(shù)“X）的定義域?yàn)椋?,+/）,且是遞減函數(shù),

赤

。—1〉8—2〃

因?yàn)椤ā耙?)<〃8—2a),可得<。一1>0,解得3<°<4,

8—2a>0

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為（3,4）.

故答案為：（3,4）.

【方法技巧】

L在比較幕值的大小時(shí)，必須結(jié)合塞值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，既不同底又不

同次數(shù)的基函數(shù)值比較大小：常找到一個(gè)中間值，通過比較累函數(shù)值與中間值的大小進(jìn)行判斷.準(zhǔn)確掌握

各個(gè)幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)底大圖高（逆時(shí)針方向底數(shù)依次變大）.當(dāng)幕的底數(shù)不確定時(shí)，要注意討論

底數(shù)的不同取值情況.

【變式訓(xùn)練】

變式3-1.（2020?全國?高三對口高考）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在定義域上是增函數(shù)的為（）.

A./（x）=-xB.尤）=0C./（x）=x2D.f（x）=y[x

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性性質(zhì)即可求解.

【詳解】A：一次函數(shù)的性質(zhì)知/（力=-了在R上是減函數(shù)，不合題意.

B：/（力定義域?yàn)閰^(qū)且〃-幻=|￡|=（|）^±/（x）,為非奇非偶且是減函數(shù)，不合題意；

C：/（無）定義域?yàn)镽且/（T）=（-X）2=X2=/（X）,為偶函數(shù)且在R上不單調(diào)，不合題意.

D：”力定義域?yàn)镽且/（一招=。=-也=-/（犬），為奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，符合題意.

故選：D.

變式3-2.（2023?四川成都.石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）塞函數(shù)=（川-3m-3）/在區(qū)間（0,+動上單調(diào)遞

減，則下列說法正確的是（）

A.m=4B./（x）是減函數(shù)

C.”尤）是奇函數(shù)D.〃尤）是偶函數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義及單調(diào)性可判斷AB,再由奇函數(shù)的定義判斷CD.

【詳解】函數(shù)/'（》）=（*-3相-3）/為幕函數(shù)，貝“加一3m一3=1,解得山=4或〃7=-1.

當(dāng)777=4時(shí)，〃X）=f在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，不滿足條件，排除A;

當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，〃力=/在區(qū)間（。,+8）上單調(diào)遞減，滿足題意.

函數(shù)/（%）="在（-8,0）和（0,+8）上單調(diào)遞減，但不是減函數(shù)，排除B;

因?yàn)楹瘮?shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且/（-x）='=-/（x），

—X

所以函數(shù)/（X）是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C.

變式3-3.【多選題】（2023?江蘇?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)〃x）=x）且改＜々，則（）

A.-/（%,））＞0B.%-/（不）＞%—/伍）

C./（xl）-x2＜/（x2）-x1D.

【答案】AC

【分析】利用幕函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合特殊值法及構(gòu)造函數(shù)法即可求解.

【詳解】由塞函數(shù)的性質(zhì)知，/（x）=/在R上單調(diào)遞增.

因?yàn)闊o1＜%,所以/（占）＜/（尤2），即無一14＜。，占）一/（%）＜。，

所以（石_/）（/（3）一/（巧））＞0.故A正確；

令國=0,%=1,則。一/（0）=1-/（1）=（）,故B錯(cuò)誤；

_1

令g（x）=/（x）+X=X^+X'則

1

由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)知，〃x）=Q在R上單調(diào)遞增，y=x在R上單調(diào)遞增，

1

所以y=/（x）+x=x3+x在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)槲鳎加?，所以g（xJ＜g（X2），即/（芯）+占＜/（當(dāng)）+”2，于是有了（不）一馬＜/（尤2）-菁，故C正確;

令玉=一1,%=1,則受產(chǎn)=0,

所以因?yàn)?⑴[”-1）=/（。）=0,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

1

變式3-4.（2023春?上海?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)了（*=必，則關(guān)于r的表達(dá)式

/（r-2z）+/（2r-l）<0的解集為.

【答案】■，”

【分析】利用幕函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解.

【詳解】由題意可知，“X）的定義域?yàn)?/p>

11

所以/（-%）=（-%a=-戶=-/（%），

所以函數(shù)〃力是奇函數(shù)，

由塞函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)〃尤）=/在函數(shù)（-w,+w）上單調(diào)遞增，

由/（z2-2z）+/（2r-l）<o,得/（/_2）<-f（2t2-l）,即f（t2-2t）</（1-2/2）,

所以產(chǎn)一2/<1—2/，即3產(chǎn)-2-1<0,解得

所以關(guān)于f的表達(dá)式的解集為

故答案為：D

題型四：塞函數(shù)綜合問題

【典例分析】

例4-1.（2023?山東聊城?統(tǒng)考三模）設(shè)。=0.2°-5,6=0.5.2,。=1。8°.502則（）

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

[分析]根據(jù)指對累函數(shù)的單調(diào)性以及中間值進(jìn)行比較即可.

【詳解】由y=0.2”單調(diào)遞減可知:0.2°5<0.2°-2,

由〉=尤0-2單調(diào)遞增可知：0.2。2<0.5%所以0.20-5<0.5。2,即。<6,且匕<1.

由y=logo,5X單調(diào)遞減可知：c=log050.2>log050.5=1,所以c>A>a.

故選：D

例42（2023?安徽滁州?校考模擬預(yù)測）函數(shù)〃彳）=/2與g（x）=g）r在（0,+時(shí)均單調(diào)遞減的一個(gè)充分不

必要條件是（）

A.[￡（0,2）B.?e[0,l）C.?e[l,2)D.4￡(1,2]

【答案】C

【分析】分別求出函數(shù)/（x）=y與g（x）=?）在（。,+8）均單調(diào)遞減時(shí)，。的取值區(qū)間結(jié)合選項(xiàng)可得答案.

【詳解】函數(shù)/（%）=無心在（0,+8）均單調(diào)遞減可得。-2<0即。<2；

函數(shù)g（x）=g[=\）在（0,+8）均單調(diào)遞減可得0<51,解得0<°<4,

若函數(shù)/（外=/一2與g（x）=（￡|均單調(diào)遞減，可得0<a<2,

由題可得所求區(qū)間真包含于（0,2）,

結(jié)合選項(xiàng)，函數(shù)/（無）=/-2與g（x）=（，）均單調(diào)遞減的一個(gè)充分不必要條件是C

故選：C

例4-3.（江蘇省高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點(diǎn)A（a,a）,P是函數(shù)>=工（尤>0）圖象上一動

X

點(diǎn).若點(diǎn)P,A之間的最短距離為2夜，則滿足條件的實(shí)數(shù)。的所有值為.

【答案】一1或JIU

【解析】

設(shè)點(diǎn)（%>0）,則

X

令g（f）=產(chǎn)-2at+2礦-2=（f-a）+ci—2

（1）當(dāng)。22時(shí)，/=a時(shí)g（/）取得最小值8（。）=。2-2,7$一2=2抗,解得a=M

⑵當(dāng)a<2時(shí)，g⑺在區(qū)間[2,+。。）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)/=2時(shí)，g⑺取得最小值g（2）=2片—4a+2

.,.J2a2—4a+2=2&，解得a=-l

綜上可知：。=-1或4=9

所以答案應(yīng)填：-1或J而.

例44（2023?高三課時(shí)練習(xí)）已知暴函數(shù)〃尤）=/H-3（機(jī)為正整數(shù)）的圖像關(guān)于y軸對稱，且在（0,+8）

上是嚴(yán)格減函數(shù)，求滿足（4+l）號>（3_2a）中的實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】=，!>值'+』

【分析】根據(jù)函數(shù)為幕函數(shù)以及函數(shù)的性質(zhì)，可確定參數(shù)機(jī)的取值，結(jié)合幕函數(shù)y的單調(diào)性，分類討

論求解不等式，可得答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（尤）在（o,+8）上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以m-3<0,解得-1<祖<3.

由m為正整數(shù)，則〃2=1或〃?=2,

又函數(shù)/（尤）的圖像關(guān)于y軸對稱，得是偶函數(shù)，

而當(dāng)機(jī)=2時(shí)，22-2x2-3=-3,/（司=丁為奇函數(shù)，不符題意，

當(dāng)〃?=1時(shí)，F(xiàn)-2xl-3=T,為偶函數(shù)，于是m=1.

因?yàn)閥=為奇函數(shù)，在（-8,0）與（0,+8）上均為嚴(yán)格減函數(shù)，

11

所以+>（3-2〃戶等價(jià)于a+1v3—2aV?；?-2〃>a+l>0或a+l>0>3-2a,

解得一1<"|?或a〉,，Epae^-l,|juQ,+coy

【變式訓(xùn)練】

變式4-1.（2023?廣東佛山?校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)a=log°.32,b=辰,c=0.2^3,則（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】A

【分析】分別由指數(shù)、對數(shù)、幕函數(shù)的性質(zhì)可得。<0,0<6<1,ol,即可得出答案.

05

【詳解】由題知，a=log032<log031=0,0<b=703=O.3<0.3°=1,

1=0.2°<c=0.2^-3,所以。<b<c.

故選：A.

變式42(2023?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(彳卜產(chǎn)，g(x)=xj其中

閆0,同，0<&<1,/>1,若點(diǎn)“打出,叫"削,叫遭削，0*削滿足|網(wǎng)=|/

貝I()

A.4"-42=2"+'B.4a+42=2"+產(chǎn)

C.2a_2尸=2"尸D.2a+2尸=2&+尸

【答案】D

【分析】由|"P|=|NQ|且橫坐標(biāo)對應(yīng)相等，知縱坐標(biāo)差的絕對值對應(yīng)相等，化簡即得.

【詳解】因?yàn)橥?M，且ow”1,故：9曰.故：+1=1,

則2a+2夕=2"".

故選：D.

變式4-3.(2023?高三課時(shí)練習(xí))已知夕“-2,-1,-：,0，(1,1,2],若函數(shù)"力=^滿足：當(dāng)xe(—l,0)U(0,l)

時(shí)，/(x)>W恒成立，則a的取值為.(寫出滿足條件的所有取值)

【答案】—2、-22、0或彳2

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題意，根據(jù)函數(shù)值的正負(fù)情況，一一判斷a的取值是否符合題意，可得

答案.

【詳解】因?yàn)閤?-l,0)U(0,l),所以0<|無|<1,

要使〃x)>W則〃尤)=x"在區(qū)間(T0)U(0,l)上應(yīng)大于0,

所以a=-1,g,1時(shí)〃x)=X。在區(qū)間(-1,0)U(0,l)可取到負(fù)值，不合題意；

當(dāng)e=O時(shí)，/(x)=x°=l,在區(qū)間(T0)U(0,l)上恒有/(x)>|尤|成立，符合題意;

當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x2,當(dāng)xe(-1,0)時(shí)，x2+x=x(x+1)<0,x2<-x,

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，x2—x=x(x-1)<0,.'.x2<x,

即在區(qū)間(-l,0)U(0,l)上有<k|成立，不合題意；

當(dāng)a=-2時(shí)，/(x)=x-2,當(dāng)xe(-l,0)時(shí)，y=-+x為遞增函數(shù)，x-2+x>(-1)-2-1=0,貝!!彳>-x;

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，丫=彳以一%為遞減函數(shù)，x-2-x>(I)-2-1=0,貝1］彳-2>%，

故在區(qū)間(T0)U(0,1)上有〃x)>W恒成立，符合題意；

22IYIL

當(dāng)。=—公時(shí),/(%)=%),由"、=1XP，及。<國<1，

Irl-

知y=i無/<1,了⑶>|無膽成立,符合題意；

/(尤)

O2II1

當(dāng)"=§時(shí)，/(%)=#，由篇r=1嚇及0<N|<l，

知y=i尤|3<1,.-/(X)>ix?恒成立,符合題意，

/(尤)

綜上所述，a的取值為-2、-2.、0或25，

J。

22

故答案為：-2、-->。或Q

變式44(2020秋.江西上饒?高三?？茧A段練習(xí))已知幕函數(shù)"%)=(療-5根+7)產(chǎn)?為偶函數(shù).

⑴求“X)的解析式；

(2)若g(x)=〃x)-冰-3在［1,3］上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)/(尤)=/

(2)2<a<6

【分析】(1)根據(jù)基函數(shù)的定義和函數(shù)的奇偶性求出加的值，求出函數(shù)的解析式即可；

(2)求出函數(shù)g(x)的對稱軸，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出。的范圍即可.

【詳解】(1)由題意m2-5/71+7=1.

解得：帆=2或3,

若f。)是偶函數(shù)，則加=3,

故/(X)=%2;

(2)g(x)=f(x)-ax-3=x2-ax-3,

g(x)的對稱軸是X=p

若g(x)在［1,3］上不是單調(diào)函數(shù)，

則1<晟<3,解得：2<a<6.

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為2<a<6.

一、單選題

1.（2023?遼寧?校聯(lián)考一模）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在區(qū)間（-8,0）單調(diào)遞增的為（）

A.y-x'2B.y=|x]C.y=2忖D.y=x3

【答案】A

【分析】分別分析函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可選出結(jié)果.

【詳解】解：y=V為奇函數(shù)，y=|x|,八州為偶函數(shù),

但在（0,+8）單調(diào)遞增，所以在（-8,0）單調(diào)遞減,

而y=x"為偶函數(shù)且在（-0。）單調(diào)遞增.

故選:A

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)元）=桐的圖象大致為（）

【分析】利用函數(shù)的奇偶性及塞函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行排除可得答案.

【詳解】因?yàn)椤?力=屈=/。），所以為偶函數(shù)，排除A,B選項(xiàng)；

易知當(dāng)尤＞0時(shí)，/（*）=石為增函數(shù)，且增加幅度較為緩和，所以D不正確.

故選：C.

3.（2023?遼寧錦州?渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）若暴函數(shù)/（x）=（療-2加-21'在區(qū)間

（0,+8）上單調(diào)遞增，則加=（）

A.-1B.3C.一1或3D.1或-3

【答案】A

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的概念和單調(diào)性可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)=加-2b""""I為嘉函數(shù)，且在區(qū)間（0,+“）上單調(diào)遞增，

所以機(jī)2-2加一2=1且^—4m+1>0,

由"一2m-3=0,得根=-1或機(jī)=3,

當(dāng)加=-1