2024-2025學年山東省濟南市歷下區(qū)八年級（上）開學數(shù)學試卷+答案解析

2024-2025學年山東省濟南市歷下區(qū)八年級（上）開學數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.科學家發(fā)現(xiàn)人體最小的細胞是淋巴細胞,直徑約為0.0000061米，將數(shù)據(jù)0,0000061用科學記數(shù)法表示正

確的是（）

A.6.1x10-5B.0.61x10-5D.0.61x10-6

2.下列數(shù)中：8,—317T,_22人

舟9.121121112無理數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.下列運算不正確的是（）

A.3x—2x=xB.[x—1)2=—1

C.(2/)3=8/D.2/x=2x

4.估算后+2的值（）

A.在5和6之間B.在6和7之間C.在7和8之間D.在8和9之間

5.我市舉辦的“喜迎黨的二十大，奮進新征程一一鄉(xiāng)村振興成果展”吸引了

眾多市民前來參觀，如圖所示的是該展覽館出入口的示意圖.小穎8入口進

。出口的概率是（）

C出口

1

A.

5

1

B.

6

1

2

1

D.

3

6.已知。2+。_5=0,代數(shù)式（Q2—5）（a+l）的值是（)

A.4B.—5C.5D.-4

7.若，TB+（a—4戶=0,則化簡淄的結(jié)果是（）

人考B-竽

8.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為9、3和1,/和8

是這個臺階兩個相對的端點，/點有一只螞蟻，想到2點去吃可口的食物.

第1頁，共21頁B

則這只螞蟻沿著臺階面爬行的最短路程是（）

A.18B.15C.12D.8

9.如圖1,已知扇形點P從點。出發(fā)，沿0—A—B—O以lcm/s的速度運動，設點尸的運動時間

為xs,OP=gcm,y隨x變化的圖象如圖2所示，則扇形的面積為（）

圖I圖2

A.37rcm2B.7rcm2C.2ncm2D.1.57rcm2

10.如圖，已知點￡分別是等邊△A3。中8C、48邊上的中點，AB=6,點/

是線段ND上的動點，則+EF的最小值為（）

A.3

B.6

C.9

D.3^3

二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分。

11.已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是舐-2和52-14,則x的值為.

12.如圖，在△ABC中，CO是邊48上的中線，4ELBC，若BC=4,S^ACD=

則AE=.

13.如圖，長方體的長為15,寬為10,高為20,點8離點。的距離為5,一只螞蟻如

果要沿著長方體的表面從點A爬到點B,需要爬行的最短距離是.

第2頁，共21頁

14.如圖，矩形/BCD中，AB=4,BC=3,尸為4D上一點，將△4BP沿3PF

DC

翻折至△EBP,尸￡與CD相交于點。，且0E=0。，則/P的長為.\

15.如圖，等腰直角三角形N8C的兩直角邊分別為1,以斜邊2C為邊作第E

二個等腰直角三角形BCD,再以斜邊8。為邊作第三個等腰直角三角形D/

BDE,如此進行下去…記等腰直角三角形N8C的直角邊長為的=1,按上

C

述方法所作的等腰直角三角形的直角邊依次為3,^4,-Xn,則

^2023=.

三、解答題：本題共10小題，共90分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題7分)

先化簡再求值：[(3a+b)2+(6+3a)(b—3a)—Qb2]4-(26),其中a=—b=-2.

17.(本小題7分)

計算：

(2)^27+\/49-^+|1-\/2|.

18.(本小題7分)

如圖，在AABC中，4?！?射線AD平分NBA。，交于點E,點尸在邊48的延長線上，4F=4。,

連接EF.

(1)求證：4AEC沿AAEF.

⑵若N4EB=50°，求乙BEF的度數(shù).

第3頁，共21頁

19.（本小題8分）

如圖，在8x8正方形網(wǎng)格中，的頂點均在格點上.（圖中每個方格的邊長均為1個單位長度）

（1）請在圖中作出△ABC關于直線/成軸對稱的

（2）在直線/上找一點P,使得PA+最小.（保留必要的作圖痕跡）

n「

I

JI

20.（本小題8分）

概率與統(tǒng)計在我們?nèi)粘Ｉ钪袘梅浅V泛，請直接填出下列事件中所要求的結(jié)果：

（1）有5張背面相同的紙牌，其正面分別標上數(shù)字“5”、“7”、“8”、“2”、“0”將這5張紙牌背面

朝上洗勻后摸出一張牌是奇數(shù)的概率為.

（2）七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共

七塊板組成的.如圖是一個用七巧板拼成的正方形飛鏢游戲板，某人向該游戲板投擲飛鏢一次（假設飛鏢落

在游戲板上），則飛鏢落在陰影部分的概率是.

21.（本小題9分）

如圖，在RtZVLBC中，乙4cB=90°，48=13，AC=12,點。為△AB。外一點，連接AD,CD,測

得。。=4,BD=3,求四邊形/2DC的面積.

第4頁，共21頁

22.（本小題10分）

如圖，在RtZXABC中，乙4cB=90°，AB=20cm,4。=16cm,點尸從點/出發(fā)，以每秒1c機的速

度向點C運動，連接尸8,設運動時間為/秒?！?）.

⑴BC=cm.

（2）當P4=P3時，求，的值.

23.（本小題10分）

數(shù)學興趣小組利用所學數(shù)學知識來解決實際問題，實踐報告如下:

第5頁，共21頁

活動課題風箏離地面垂直高度探究

風箏由中國古代勞動人民發(fā)明于東周春秋時期，距今已2000多年，相傳墨翟以木頭制成木

問題背景鳥，研制三年而成，是人類最早的風箏起源.興趣小組在放風箏時想測量風箏離地面的垂直

高度.

小組成員測量了相關數(shù)據(jù)，并畫出了如圖所示的示意圖，測得水平距離2C的長為15米，

根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線43的長為17米，牽線放風箏的手到地面的距離為1.5

米.

測量數(shù)據(jù)

抽象模型

D

經(jīng)過討論，興趣小組得出以下問題：

問題產(chǎn)生(1)運用所學勾股定理相關知識，根據(jù)測量所得數(shù)據(jù)，計算出風箏離地面的垂直高度.

(2)如果想要風箏沿D4方向再上升12米，且3c長度不變，則他應該再放出多少米線？

問題解決...

該報告還沒有完成，請你幫助興趣小組解決以上問題.

24.(本小題12分)

甲騎電動車，乙騎自行車從公園門口出發(fā)沿同一路線勻速游玩，甲、乙兩人距出發(fā)點的路程S(km)與乙行

駛的時間加色)的關系如圖①所示，其中〃表示甲運動的圖象，甲、乙兩人之間的路程差"(km)與乙行駛的

時間武九)的關系如圖②所示，請你解決以下問題：

(1)圖②中的自變量是,因變量是；

(2)甲的速度是km/h,乙的速度是km/h-,

(3)結(jié)合題意和圖①，可知圖②中：a=,b=;

第6頁，共21頁

(4)求乙出發(fā)多長時間后，甲、乙兩人的路程差為7.5km?

圖①圖②

25.(本小題12分)

在本學期的數(shù)學學習中，老師提出了這樣一個問題：

如圖1,在△48。中，48=10，AC=6＞。是的中點，求8C邊上的中線4D的取值范圍.

【閱讀理解】小明在班內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：

(1)如圖1,延長/。到使DW=4D，連接3M.根據(jù)可以判定得出

=這樣就能把線段/8、AC,2/。集中在△4BM中.利用三角形三邊的關系，即可得出中線

的取值范圍.

【方法感悟】我們發(fā)現(xiàn)，幾何圖形中出現(xiàn)能表示相等數(shù)量關系的條件時，如：“中點”、“角平分線”等,

往往可以考慮作“輔助線”，構(gòu)造全等三角形，從而達到解決問題的目的.

【問題解決】

⑵如圖2,在△48。中，ZB=2ZC,/氏4。的平分線/。交2C邊于點。.若43=3，BD=2,求

NC的長.

【應用提升】

(3)已知：如圖3,△48。中，乙4=90°,AB=AC,=2.0、E是三角形邊NB、NC上兩個動點，

且4D=CE,連接BE,CD.求(BE+CD)?的最小值.

第7頁，共21頁

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：0.0000061=6,1x10-6,

故選：C.

根據(jù)科學記數(shù)法的一般形式為axWn,其中1(同<10,n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時,

小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值》10時，〃是正整數(shù)；當原數(shù)的

絕對值小于1時，〃是負整數(shù).

本題考查科學記數(shù)法的表示方法.表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

2.【答案】B

【解析】解：師=3>

7T

無理數(shù)有5，通，共有2個，

故選：B.

分別根據(jù)無理數(shù)、有理數(shù)的定義即可判定選擇項.

此題主要考查了無理數(shù)的定義,注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù).如7F,通,

0.8080080008-(每兩個8之間依次多1個0)等形式.

3.【答案】B

【解析】解：A.3x-2x=x,故選項/計算正確，不符合題意；

—1)2=/—24+1,故選項8計算錯誤，符合題意；

C(2/)3=8，，故選項C計算正確，不符合題意；

D.2X2^X=2X，故選項。計算正確，不符合題意；

故選：B.

根據(jù)合并同類項的法則，完全平方公式、積的乘方和單項式除以單項式可以計算出各個選項中式子的正確

結(jié)果，再進行判斷即可.

本題考查整式的混合運算，熟練掌握相關運算法則是解答本題的關鍵.

4.【答案】B

【解析】解：；4<\/24<5，

6<^24+2<7，

第8頁，共21頁

故選：B.

首先求出4<^24<5>進而得出724+2的取值范圍即可得出答案.

此題主要考查了估計無理數(shù)，根據(jù)題意得出4<^24<5是解題關鍵.

5.【答案】B

【解析】解:如圖可知，A,8為入口；C,D,￡為出口，

開始

入口AB

中4\/K

出口CDECDE

二.小穎8入口進。出口的概率為：

6

故選：B.

根據(jù)題意，畫出樹狀圖即可.

本題考查列舉法求概率，解題的關鍵是理解題意，畫出樹狀圖，得到所有的結(jié)果.

6.【答案】B

【解析】解：Q?+Q-5=0,

/.層—5——Q，/+Q=5，

(Q?—5)(a+1)

——Q(Q+1)

——Q2—CL

=—(a2+Q)

=-5.

故選：B.

先根據(jù)〃+Q—5=0得到Q2—5=—Q，再把Q2—5=—Q整體代入，即可求解.

本題主要考查了整式的混合運算■化簡求值，掌握運算法則和具有整體代入思想是解題關鍵.

7.【答案】A

【解析】解：?.M-3+(Q-4)2=0,

.\6-3=0,Q—4=0,

即。=4,b=3,

第9頁，共21頁

故選：A.

根據(jù)算術平方根、偶次方的性質(zhì)，求出.、b的值，再代入計算即可.

本題考查算術平方根、偶次方的性質(zhì)及二次根式的運算，掌握算術平方根、偶次方的性質(zhì)及二次根式的運

算方法是得出正確答案的關鍵.

8.【答案】B

【解析】解：將臺階展開，如圖，

因為40=3x3+1x3=12,BC=9,

所以4口2=AC2+BC2=225，

所以AB=15>

所以螞蟻爬行的最短線路為15.

答：螞蟻爬行的最短線路為15.

故選：B.

此類題目只需要將其展開便可直觀的得出解題思路.將臺階展開得到的是一個矩形，螞蟻要從5點到/點

的最短距離，便是矩形的對角線，利用勾股定理即可解出答案.

本題考查了平面展開-最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬是解題的關

鍵.

9.【答案】D

【解析】解：由圖象可知：點尸從點3運動到點。的時間為7T+6—（開+3）=3,

:.0B=3cm，即扇形的半徑為3cro,

由圖象可知，點P從點O運動到點B的時間為7T+3,

,弧長為7rcm,

設扇形的圓心角為"，根據(jù)弧長公式可得：。答=7T,

lot）

解得n=60°，

由扇形的面積公式可得：扇形的面積為6°,；27r=1.57T（cm2）.

故選：D.

先根據(jù)圖象確定弧長和半徑，然后再利用弧長公式求扇形圓心角，最后利用扇形的面積公式計算即可.

本題屬于動點函數(shù)圖象問題，主要考查了扇形的弧長、扇形的面積公式等知識點，根據(jù)圖象確定扇形的半

徑和弧長是解答本題的關鍵.

10.【答案】D

第10頁，共21頁

【解析】解：連接CE交/。于點R連接3凡

△ABC是等邊三角形，

:.BF=CF,BE=AE=^AB=3,

：,BF+EF=CF+EF=CE,

此時BF+EF的值最小，最小值為CE,

CE=,62—32=3—

BF+EF的最小值為3通，

故選：D.

連接CE交/。于點尸，連接此時RF+EP的值最小，最小值為。石.

本題考查軸對稱-最短路線問題，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，等邊

三角形的性質(zhì)是解題的關鍵.

11.【答案】2

【解析】解：?.?正數(shù)有兩個平方根，他們互為相反數(shù)，

3/—2+5x—14=0,

解得：/=2,

故答案為：2.

根據(jù)平方根的性質(zhì)即可求解.

本題主要考查了平方根，掌握平方根的性質(zhì)是解題的關鍵.

12.【答案】3

【解析】解：是邊N3上的中線，

:.AD=BD,

：.△/CD和等底同高，

S/XACD=S2BCD=3,

.-.SAABC=6,

第H頁，共21頁

S^ABC=；6aAE=6,

—x4-AE=6,

：.AE=3.

故答案為：3.

首先根據(jù)CO是邊N3上的中線得進而得SZ\ABC=6,然后根據(jù)三角形的面

積公式可求出/￡的長.

此題主要考查了三角形的面積，解答此題的關鍵是理解同底（等底）同高（等高）的兩個三角形的面積相等.

13.【答案】25

22

【解析】解：如圖：（1）48==y20+15=25；

⑶AB=+BC2=，3。2+52=5\/37.

所以需要爬行的最短距離是25.

第12頁，共21頁

BC

要求正方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將正方體展開，然后利用兩點之間線段最短解答.

解答此題要注意以下幾點：

(1)將立體圖形展開的能力；

⑵分類討論思想的應用；

(3)正確運用勾股定理.

14.【答案】2.4

【解析】解：如圖所示：?.?四邊形N3CD是矩形，

:"D=ZA=Z,C=90°>AD=BC=3,CD=AB=4,

根據(jù)題意得：LABP沿&EBP,

：,EP=AP,/E=/4=90°，BE=AB=4,

在△OOP和△OEG中，

ZD=AE

OD=OE,

NDOP=Z.EOG

△ODP烏/\OEG{ASA),

：,OP=OG,PD=GE,

：,DG=EP，

設4P=EP=/,則PD=GE=3—①，DG=x,

CG=4—/,BG=4—(3—2)=1+c,

根據(jù)勾股定理得：BC2+CG2=BG2,

即32+(4—x)2=(c+I)2,

解得：x=2.4,

：,AP=2A；

故答案為：2.4.

第13頁，共21頁

由折疊的性質(zhì)得出EP=4P，/E=/4=90°，BE=AB=4,由NS4證明△OOP之△OEG,得出

OP=OG，PD=GE,設4P=EP=c,則PZ>=GE=3—2,DG=x,求出CG、3G,根據(jù)勾股

定理得出方程，解方程即可.

本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握翻折變換和矩形的

性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解決問題的關鍵.

15.【答案】2i°n

【解析】解：第1個等腰直角三角形N3C的直角邊長為1,

.?.第2個等腰直角三角形N3C的直角邊長為22=

22/

第3個等腰直角三角形48。的直角邊長為X3=^/(72)+(v^)=V2T2==，區(qū)，

第4個等腰直角三角形48。的直角邊長為的=A/22+22=V8=回,

.?.第〃個等腰直角三角形NBC的直角邊長為孫=，后，

.-.①2023=回亞=回赤=21011.

故答案為：2i°u

分別求出第1個、第2個、第3個、第4個……，等腰直角三角形的直角邊的長，找出規(guī)律即可得出結(jié)論.

本題考查的是勾股定理，根據(jù)勾股定理找出直角三角形直角邊長的規(guī)律是解題的關鍵.

16.【答案】解：[(3a+6)2+(6+3a)(6-3a)-6b2]4-(26)

=(9a2+Gab+62+62-9a2—662)-j-(26)

=(6ab—462).(26)

=3a—2b,

當a=——,b=—2時，原式=3x(——)—2x(—2)=3.

【解析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式將括號內(nèi)的式子展開，然后合并同類項，再除以括號外的式子，

然后將a、6的值代入化簡后的式子計算即可.

本題考查整式化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握整式混合運算法則，準確計算.

17.【答案】解：(1)原式=5—4—3

=-2；

第14頁，共21頁

(2)原式=-3+7-\/2+\/2-1

=3.

【解析】(1)先根據(jù)數(shù)的開方法則計算出各數(shù)，再根據(jù)實數(shù)的運算法則進行計算即可；

(2)先根據(jù)數(shù)的開方法則及絕對值的性質(zhì)計算出各數(shù)，再根據(jù)實數(shù)的運算法則進行計算即可.

本題主要考查了實數(shù)的運算，熟知數(shù)的開方法則及絕對值的性質(zhì)是解題的關鍵.

18.【答案】(1)證明：射線/。平分/H4。，

:2CAE=NFAE,

在△4EC和△4EF中，

'AC=AF

<ZCAE=AFAE,

、AE^AE

.?.△AEC2△AEF(SAS)；

(2)解：?.?△AEC絲△4EF(S4S),

:2C=2F,

■：AAEB=NCAE+ZC=50°，

：,ZFAE+ZF=50°,

?：NFAE+NF+ZAEB+NBEF=180°,

：.NBEF=80°，

.?./BEF為80°.

【解析】(1)由射線平分NBA。，可得=進而可證△4EC^ZVLEF(S4S)；

(2)由△/ECgZ\AEP(SAS),可得/C=/F,由三角形外角的性質(zhì)可得N4EB=NCAE+NO=50°，

則NFAE+ZF=50°,根據(jù)AFAE+NF+AAEB+NBEF=180°,計算求解即可.

本題考查了角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理.解題的關鍵在

于對知識的熟練掌握與靈活運用.

19.【答案】解：(1)如圖，△ABC即為所求.

(2)如圖，連接48'，交直線/于點尸，連接3P，

則Pa+PB=PA+P_B'=AB'，為最小值，

第15頁，共21頁

則點P即為所求.

【解析】(1)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可.

(2)連接ylB，，交直線/于點P,則點尸即為所求.

本題考查作圖-軸對稱變換、軸對稱-最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關鍵.

20.【答案】2|7《

516

【解析】解：(1)將這5張紙牌背面朝上洗勻后摸出一張牌有5種等可能結(jié)果，其中是奇數(shù)的有2種結(jié)果，

.?.是奇數(shù)的概率為々2

5

2

故答案為：

5

(2)令最小的等腰直角三角形的面積為1,則大正方形的面積為16,陰影部分的面積為2+1+4=7,

所以飛鏢落在陰影部分的概率是二7，

16

故答案為：上7.

16

(1)將這5張紙牌背面朝上洗勻后摸出一張牌有5種等可能結(jié)果，其中是奇數(shù)的有2種結(jié)果，再根據(jù)概率公

式求解即可；

(2)令最小的等腰直角三角形的面積為1,則大正方形的面積為16,陰影部分的面積為2+1+4=7,再根

據(jù)概率公式求解即可.

本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件(4)；

然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件(4)發(fā)生的概率.

21.【答案】解：在中，/8。4=90°，AC=12,AB=13,

BC=VAB2-AC2=7132-122=5；

在△BOO中，CD=4,BD=3,BC=5,

：.CD2+BD2=BC2>

第16頁，共21頁

△BCD是直角三角形，

二.四邊形ABDC的面積=S/\ABC+S^BCD=；xl2x5+；x3x4=36.

【解析】在RtZS/BC中，根據(jù)勾股定理即可求得2C的長；再利用勾股定理逆定理即可證明是直

角三角形，再根據(jù)三角形的面積公式可求四邊形/8OC的面積.

本題考查了勾股定理及其逆定理.勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等

于斜邊長的平方.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長。，6,c滿足&2+臚=。2,那么這個三角形就

是直角三角形.掌握定理是解題的關鍵.

22.【答案】解：(1)12；

(2)設AP=3則PC=16—t,

在RtaPCB中，?：NPCB=90°,

由勾股定理，得：PC2+BC2=PB2,

BP(16-i)2+122=i2,

解得：力=12.5,

二當點尸運動到=時，f的值為12.5.

【解析】【分析】

考查了勾股定理，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用.

(1)根據(jù)勾股定理解答即可；

(2)設AP=3利用勾股定理列出方程解答即可.

【解答】

解：(1)?.?在中，AACB=90°.AB=20cm，AC=16cm，

：,BC=\/AB2-AC2=V202-162=12(cm);

故答案為：12；

⑵見答案.

23.【答案】解：(1)在中，AACB=90°,BC=15米，AB=17米，

由勾股定理，可得AC=y/AB2-BC2=8米，

AD=AC+CD=8+1.5=9.5(米)，

答：風箏離地面的垂直高度為9.5米；

(2)如圖，當風箏沿D/方向再上升12米，AC=20米，

第17頁，共21頁

A

D

在RtZVL'BC中，NACB=90°，8。=15米,

由勾股定理，可得A/B=y/A'C2+BC2=25米，

則應該再放出25—17=8(米)，

答：他應該再放出8米長的線.

【解析】(1)在RtZVIB。中，利用勾股定理求出的/C長，即可得到結(jié)論；

⑵在中，根據(jù)勾股定理求出AB，即可得到結(jié)論.

本題考查了用勾股定理解決實際問題，解題的關鍵是熟練掌握直角三角形中的三邊關系.

24.【答案】乙行駛的時間甲、乙兩人之間的路程差25101.510

【解析】解：(1)圖②中的自變量是乙行駛的時間，因變量是甲、乙兩人之間的路程差；

故答案為：乙行駛的時間；甲、乙兩人之間的路程差；

⑵由圖可得，

甲的速度為：25+(1.5-0.5)=254-1=25(fcm//i),

乙的速度為：25^2,5=

故答案為：25,10；

(3)由圖可得，

6=25x(1.5-0.5)-10x1.5=10,

a—1.5,

故答案為：1.5，10；

(4)由題意可得，

前0.5%，乙行駛的路程為：10x0.5=5<7.5,

則甲、乙兩人路程差為7.5人加是在甲乙相遇之后，

設乙出發(fā)時，甲、乙兩人路程差為7.5/cni,