2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：等式與不等式的性質(zhì)（五大題型）講義（原卷版）

第03講等式與不等式的性質(zhì)

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：比較大小基本方法.....................................................................4

知識(shí)點(diǎn)2:不等式的性質(zhì).........................................................................4

解題方法總結(jié)...................................................................................5

題型一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用......................................................................6

題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式..................................................6

題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍..................................................7

題型四：不等式的綜合問(wèn)題......................................................................8

題型五：糖水不等式.............................................................................9

04真題練習(xí)?命題洞見(jiàn)...........................................................10

05課本典例?高考素材...........................................................10

06易錯(cuò)分析?答題模板...........................................................11

易錯(cuò)點(diǎn)：多次使用同向相加性質(zhì)，擴(kuò)大了取值范圍.................................................11

答題模板：利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的范圍.....................................................11

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

高考對(duì)不等式的性質(zhì)的考查相對(duì)較少，考查

(1)掌握等式性質(zhì).

內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，單獨(dú)考查的

(2)會(huì)比較兩個(gè)數(shù)的大

題目雖然不多，但不等式的性質(zhì)幾乎可以滲透到

小.2022年〃卷第12題，5分

高考的每一個(gè)考點(diǎn)，是進(jìn)行不等式變形、證明以

(3)理解不等式的性

及解不等式的依據(jù)，所以它不僅是數(shù)學(xué)中的不可

質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.

或缺的工具，也是高考考查的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1、理解用作差法、作商法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.

2、理解等式與不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

匐2

〃二知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

老占突硒?力理慳宙

知識(shí)固本

知識(shí)點(diǎn)1:比較大小基本方法

方法

關(guān)系做差法做商法

與0比較與1比較

a>ba-b>0

旦>1(〃，Z?>0)或@v1(々,Z?<0)

bb

a=ba—b=O￡=i0^：o)

b

a<ba—b=O

—<l(a,b>0)或8>l(a,b<0)

bb

【診斷自測(cè)】（2024?北京豐臺(tái)?二模）若。力￡R,且則（）

A，a1+1<b2+1B.a2b>ab2

-a+b,

C.a2>ab>b2D.a>----->b

2

知識(shí)點(diǎn)2：不等式的性質(zhì)

（1）基本性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容

對(duì)稱性a>b<=>b<a^a<b<=>b>a

傳遞性a>b,b>c^>a>c；a<b,b<c^a<c

可加性a>b<=>a+c>b>c

可乘性a>b,c>0^ac>bc；a>b,c<0^>ac<bc

同向a>c,c>d=>a+c>b+d

可加性

同向同正a>b>O,c>d>O^ac>bd

可乘性

可乘方性a>b>0,nenan>bn

【診斷自測(cè)】（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）已知—3<匕<1,則以下錯(cuò)誤的是（）

A.-15<ab<5B.-4<?+Z?<6

C.—2<ct—b<8D.—<—v5

3b

解題方法總結(jié)

1、應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，解題時(shí)要做到言必有據(jù)，特別提醒的是在

解決有關(guān)不等式的判斷題時(shí)，有時(shí)可用特殊值驗(yàn)證法，以提高解題的效率.

2、比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單

調(diào)性.

比較法又分為作差比較法和作商比較法.

作差法比較大小的步驟是：

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大?。唬?）下結(jié)論.

作商比較大小（一般用來(lái)比較兩個(gè)正數(shù)的大?。┑牟襟E是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大??；（4）下結(jié)論.

其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于?；?比較大

小.

作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，且是事或者因式

乘積的形式，也可考慮使用作商法.

題型一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用

【典例1-1】（2024?北京海淀?二模）設(shè)方W0,且。>》，則（）

baqba、

A.-<-B.-+->2

abab

C.sin（〃-5）<〃一匕D.3a>2b

【典例1-2】（多選題）（2024?高三?湖南常德-期末）已知a>b>0,則下列不等式一定成立的

是（）

22

Aab2abla+b

a+1b+la+bV2

C.a+b+in（ab]>2D.——-——<---

'71+lna1+lnZ?

【方法技巧】

1、判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說(shuō)明.

2、充分利用基本初等函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷.

3、小題可以利用特殊值排除法.

【變式（2024?北京房山-一模）已知。，反cwR,則下列命題為假命題的是（）

A.若,貝|a+c>Z?+cB.若a>b>0,貝!Jd”〉濟(jì)4

bb+c

C.若a>b,貝1D.若〃>b>0,c>0,貝yrl>

aa+c

【變式（?北京西城?一模）設(shè)〃=,一工,方=,+。=《

1-2]20241,2+f),其中貝U()

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式

32

【典例2-1】已知。>0且awl,P=loga（a+1）,2=loga（a+1）,貝療與。的大小關(guān)系為_(kāi)_______.

【典例2-2】（2024?高三?河南?開(kāi)學(xué)考試）已知：a>b>c>0,A=ab+be,B=ac+b2,C=a2+b2j

則A、B、。大小關(guān)系是

【方法技巧】

比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)

性.比較法又分為作差比較法和作商比較法.

2

a

【變式2-1］已知。力為正實(shí)數(shù).求證：—+—>a+b.

ba

【變式2-2］（1）比較廢戶與"股（。>0。>。）的大小;

（2）已知a>2,比較log（0_i）a與log“（a+D大小

【變式2-3】希羅平均數(shù)（Heronicmmean）是兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的一種平均，若。，b是兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，則

它們的希羅平均數(shù)己人G=疝，則AG*從小到大的關(guān)系為一（用什連接）

題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍

【典例3-1］已知3<a+b<4,則必的最大值為（）

A.—B.-C.3D.4

42

【典例3-2】已知的三邊長(zhǎng)分別為。，b,C,且滿足6+c43a,則二的取值范圍為（）

a

A.（l,+oo）B.（1,3）C.（0,2）D.（0,3）

【方法技巧】

在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時(shí)，不能離開(kāi)變量之間的約束關(guān)系而獨(dú)立分析每個(gè)變量的范圍,

否則會(huì)導(dǎo)致范圍變大，而只可以建立已知與未知的關(guān)系.

【變式3-1］（多選題）已知lva<6,2<b<4,則（）

C.ci—3bG（—11,0）D,a-3be（-6,-5）

【變式3-2］（多選題）己知實(shí)數(shù)無(wú)，y滿足-3<x+2y<2,-l<2x—y<4,貝U（）

A.x的取值范圍為（-1,2）B.>的取值范圍為（-2,1）

C.無(wú)+y的取值范圍為（-3,3）D.x-y的取值范圍為（-1,3）

【變式3-3］已知實(shí)數(shù)°,6滿足2/+3H一2/=1,Al<23b-a<2,則3a+6的取值范圍是（）

A.卜6,-2）（2,召）B.（2,0）C.卜石,0）（0,6）D.卜君2）

題型四：不等式的綜合問(wèn)題

【典例4-1】記max{%,尤2，展}表示冷巧這3個(gè)數(shù)中最大的數(shù).已知。，b,c都是正實(shí)數(shù)，

f12&cl

M=max<a,--\---,則Af的最小值為（）

［acb）

A.yj3B.eC.36D.372

【典例4-2】（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)實(shí)數(shù)。，b,c滿足，/+廿4CW1則o+3+c的最小值

為（）

A.--1B.--C.--D.-1

222

【方法技巧】

綜合利用等式與不等式的性質(zhì)

【變式4-11（多選題）若實(shí)數(shù)尤，y滿足4/+6盯+9/=3,則（）

A.4x+3y<2^3B.4%+3y2—1

C.4x2—6xy+9y2<8D.4x2—6xy+9y2>1

4151

【變式4?2］（多選題）已知，>0,b>O且滿足++則〃2+/的取值可以為（）

fabba

A.10B.11C.12D.20

題型五：糖水不等式

【典例5-1］（多選題）生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們："克糖水中有?？颂牵ā?gt;0,b>0,且a>"）,若再添加

加克糖（%>0）后，糖水會(huì)更甜.于是得出一個(gè)不等式：,趣稱之為“糖水不等式”.根據(jù)“糖水不

aa+m

等式”判斷下列命題一定正確的是（）

A.若a>b>0,m<0,則'v"一

aa+m

B.log32<log1510

C.若a,b,C為二ABC三條邊長(zhǎng)，則+丁2~>丁仁

1+a1+b1+c

D.若a,b,C為ABC三條邊長(zhǎng)，貝以〈二+上+^^<2

b+ca+ca+b

.b

【典例5-2］（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）若。克不飽和糖水中含有b克糖，則糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為一,

a

這個(gè)質(zhì)量分?jǐn)?shù)決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加加克糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水會(huì)變甜，從而可抽

象出不等式X>2（a>8>0,，">0）數(shù)學(xué)中常稱其為糖水不等式.依據(jù)糖水不等式可得出logs2

a+ma

log/。（用“〈”或“>”填空）；并寫(xiě)出上述結(jié)論所對(duì)應(yīng)的一個(gè)糖水不等式.

【方法技巧】

糖水不等式：^a>b>0,m>0,貝|絲二>2,或者

a+mab+mb

【變式5-1］（1）已知bg糖水中含有ag糖（3>a>0）,若再添加，〃g（/〃>0）糖完全溶解在其中，貝U

糖水變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大）.根據(jù)這個(gè)事實(shí)，則?_____警.（填<,=,>,W"之一）.

bb+m

,人2019201920192016E、、

(2)M=-------------,N=--------------,則MN(填“>,<,=,>,<,5Z,-).

2023202320232020------

【變式5-2］（2024?高三?安徽亳州?期中）已知b克糖水中含有。克糖（b>a>0）,再添加加克糖

（m>0）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.

（1）請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式成立；

ABC

（2）在銳角ABC中，根據(jù)（1）中的結(jié)論，證明：++

B+CC+AA+B

1.（多選題）（2022年新高考全國(guó)n卷數(shù)學(xué)真題）若尤，y滿足/+V-孫=1,貝u（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

2.（2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)II））若a>b,則（）

A.ln（a-Z?）>0B.3a<3b

C.a3-b3>0D.|a|>|Z?|

3.（2012年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（北京卷））已知｛%｝為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確

的是

A.%+%22azB.a：+>2a；

C.若4=%，則。i=/D.若%>%,則%>出

0

〃課本典例?高考素材,\

1.下列命題為真命題的是（）

A.若a>b>0,貝!JB.若a>b,貝!J區(qū)〉〃

C.若a<b<0,則D.若a<6<0,則!>!