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文檔簡介
2025屆廣東省廣州三校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在四棱錐中,四邊形為菱形,平面,是中點(diǎn),下列敘述正確的是()A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面2.一個動圓與定圓相外切,且與直線相切,則動圓圓心的軌跡方程為()A. B.C. D.3.已知直線的方程為,則該直線的傾斜角為()A. B.C. D.4.已知,則“”是“直線與平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知函數(shù)是區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù),且導(dǎo)函數(shù)為,則“對任意的,”是“在上為增函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.曲線的離心率為()A. B.C. D.7.執(zhí)行如圖所示的算法框圖,則輸出的結(jié)果是()A. B.C. D.8.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,則△ABC()A.一定是銳角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是鈍角三角形 D.是銳角或直角三角形9.已知在空間直角坐標(biāo)系(O為坐標(biāo)原點(diǎn))中,點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B,則z軸與平面OAB所成的線面角為()A. B.C. D.10.一動圓與兩圓x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切,則動圓圓心軌跡為()A.圓 B.橢圓C.雙曲線的一支 D.拋物線11.已知點(diǎn)在拋物線:上,則的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為()A. B.C.1 D.212.如圖,在平行六面體中,AC與BD的交點(diǎn)為M.設(shè),則下列向量中與相等的向量是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若隨機(jī)變量,則______.14.已知四面體中,,分別在,上,且,,若,則________.15.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為,過作x軸垂線交橢圓于點(diǎn)P,若為等腰直角三角形,則橢圓的離心率是___________.16.已知雙曲線:的左、右焦點(diǎn)分別為,,為的右支上一點(diǎn),且,則的離心率為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓,左右焦點(diǎn)分別為,,離心率為,M,N分別為橢圓的上下頂點(diǎn),且滿足.(1)求橢圓方程;(2)已知點(diǎn)C滿足,點(diǎn)T在橢圓上(T異于橢圓的頂點(diǎn)),直線NT與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)P,若P為線段NT的中點(diǎn),求直線NT的方程;(3)過橢圓內(nèi)的一點(diǎn)D(0,t),作斜率為k的直線l,與橢圓交于A,B兩點(diǎn),直線OA,OB的斜率分別是,,若對于任意實數(shù)k,存在實數(shù)m,使得,求實數(shù)m的取值范圍.18.(12分)已知數(shù)列的各項均為正數(shù),,為自然對數(shù)的底數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并比較與的大??;(2)計算,,,由此推測計算的公式,并給出證明;19.(12分)已知圓與x軸交于A,B兩點(diǎn),P是該圓上任意一點(diǎn),AP,PB的延長線分別交直線于M,N兩點(diǎn).(1)若弦AP長為2,求直線PB的方程;(2)以線段MN為直徑作圓C,當(dāng)圓C面積最小時,求此時圓C的方程.20.(12分)已知離心率為的橢圓經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)若不過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),求面積的最大值.21.(12分)已知數(shù)列通項公式為:,其中.記為數(shù)列的前項和(1)求,;(2)數(shù)列的通項公式為,求的前項和22.(10分)如圖,在四棱錐中,已知平面ABCD,為等邊三角形,,,.(1)證明:平面PAD;(2)若M是BP的中點(diǎn),求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用反證法可判斷A選項;利用面面垂直的性質(zhì)可判斷BC選項;利用面面垂直的判定可判斷D選項.【詳解】對于A選項,因為四邊形為菱形,則,平面,平面,平面,若平面,因為,則平面平面,事實上,平面與平面相交,假設(shè)不成立,A錯;對于B選項,過點(diǎn)在平面內(nèi)作,垂足為點(diǎn),平面,平面,則,,,平面,而過作平面的垂線,有且只有一條,故與平面不垂直,B錯;對于C選項,過點(diǎn)在平面內(nèi)作,垂足為點(diǎn),因為平面,平面,則,,,則平面,若平面平面,過點(diǎn)在平面內(nèi)作,垂足為點(diǎn),因為平面平面,平面平面,平面,平面,而過點(diǎn)作平面的垂線,有且只有一條,即、重合,所以,平面平面,所以,,但四邊形為菱形,、不一定垂直,C錯;對于D選項,因為四邊形為菱形,則,平面,平面,,,平面,因為平面,因此,平面平面平面,D對.故選:D.2、D【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)之間距離的關(guān)系化簡即可.【詳解】定圓的圓心,半徑為2,設(shè)動圓圓心P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),動圓的半徑為r,d為動圓圓心到直線的距離,即r,則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切的性質(zhì)可得,所以,化簡得:∴動圓圓心軌跡方程為故選:D3、D【解析】設(shè)直線傾斜角為,則,即可求出.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為,則,又因為,所以.故選:D.4、A【解析】首先由兩直線平行的充要條件求出參數(shù)的取值,再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可;【詳解】因為直線與平行,所以,解得或,所以“”是“直線與平行”的充分不必要條件.故選:A.5、A【解析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念,由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性之間關(guān)系,即可得出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)是區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù),且導(dǎo)函數(shù)為,若“對任意的,”,則在上為增函數(shù);若在上為增函數(shù),則對任意的恒成立,即由“對任意的,”能推出“在上為增函數(shù)”;由“在上為增函數(shù)”不能推出“對任意的,”,因此“對任意的,”是“在上為增函數(shù)”的充分不必要條件.故選:A6、C【解析】由曲線方程直接求離心率即可.【詳解】由題設(shè),,,∴離心率.故選:C.7、B【解析】列舉出循環(huán)的每一步,利用裂項相消法可求得輸出結(jié)果.【詳解】第一次循環(huán),不成立,,;第二次循環(huán),不成立,,;第三次循環(huán),不成立,,;以此類推,最后一次循環(huán),不成立,,.成立,跳出循環(huán)體,輸出.故選:B.8、C【解析】由余弦定理確定角的范圍,從而判斷出三角形形狀【詳解】由得-cosC>0,所以cosC<0,從而C為鈍角,因此△ABC一定是鈍角三角形.故選:C9、B【解析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的性質(zhì),結(jié)合空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為,所以,設(shè)平面OAB的一個法向量為,則得所以,令,得,所以又z軸的一個方向向量為,設(shè)z軸與平面OAB所成的線面角為,則,所以所求的線面角為,故選:B10、C【解析】設(shè)動圓圓心,與兩圓x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切,列出幾何關(guān)系式,化簡,再根據(jù)圓錐曲線的定義,可得到動圓圓心軌跡.【詳解】設(shè)動圓圓心,半徑為,圓x2+y2=1的圓心為,半徑為,圓x2+y2﹣8x+12=0,得,則圓心,半徑為,根據(jù)圓與圓相切,則,,兩式相減得,根據(jù)定義可得動圓圓心軌跡為雙曲線的一支.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了兩圓的位置關(guān)系,圓錐曲線的定義,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】由點(diǎn)在拋物線上,求得參數(shù),焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離即為.【詳解】由點(diǎn)在拋物線上,易知,,故焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為.故選:B.12、B【解析】根據(jù)代入計算化簡即可.【詳解】故選:B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】根據(jù)給定條件利用二項分布的期望公式直接計算作答.【詳解】因為隨機(jī)變量,所以.故答案:214、【解析】連接,根據(jù)題意,結(jié)合空間向量加減法運(yùn)算求解即可.【詳解】解:連接∵四面體中,,分別在,上,且,∴∴∴.故答案為:15、##【解析】以為等腰直角三角形列方程組可得之間的關(guān)系式,進(jìn)而求得橢圓的離心率.【詳解】橢圓的左、右焦點(diǎn)為,點(diǎn)P由為等腰直角三角形可知,,即可化為,故或(舍)故答案為:16、【解析】由雙曲線定義可得a,代入點(diǎn)P坐標(biāo)可得b,然后可解.【詳解】由題知,故,又點(diǎn)在雙曲線上,所以,解得,所以.故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)1(2)或(3)【解析】(1)由已知可得,,再結(jié)合可求出,從而可求得橢圓方程,(2)設(shè)直線,代入橢圓方程中消去,解方程可求出點(diǎn)的坐標(biāo),從而可得NT中點(diǎn)的坐標(biāo),而,可得解方程可求出的值,即可得到直線NT的方程,(3)設(shè)直線,代入橢圓方程中消去,利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合直線的斜率公式可得,再由,可求出m的取值范圍【小問1詳解】設(shè)(c,0),M(0,b),N(0,b),①,又②,③,由①②③得,所以橢圓方程為1.【小問2詳解】由題C,0),設(shè)直線聯(lián)立得,那么,N(0,)NT中點(diǎn).所以,因為直線NT與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)P,所以所以所以得,解得或所以直線NT為:或.【小問3詳解】設(shè)直線,聯(lián)立方程得設(shè)A(,),B,),則…由對任意k成立,得點(diǎn)D在橢圓內(nèi),所以,所以,所以m的取值范圍為.18、(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;(2)詳見解析【解析】(1)求出的定義域,利用導(dǎo)數(shù)求其最大值,得到,取即可得出答案.(2)由,變形求得,,,由此推測:然后用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【小問1詳解】的定義域為,當(dāng),即時,單調(diào)遞增;當(dāng),即時,單調(diào)遞減故的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)時,,即令,得,即【小問2詳解】;;由此推測:①下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①(1)當(dāng)時,左邊右邊,①成立(2)假設(shè)當(dāng)時,①成立,即當(dāng)時,,由歸納假設(shè)可得所以當(dāng)時,①也成立根據(jù)(1)(2),可知①對一切正整數(shù)都成立19、(1)或;(2).【解析】(1)根據(jù)圓的直徑的性質(zhì),結(jié)合銳角三角函數(shù)定義進(jìn)行求解即可;(2)根據(jù)題意,結(jié)合基本不等式和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】在方程中,令,解得,或,因為AP,PB的延長線分別交直線于M,N兩點(diǎn),所以,圓心在x軸上,所以,因為,,所以有,當(dāng)P在x軸上方時,直線PB的斜率為:,所以直線PB的方程為:,當(dāng)P在x軸下方時,直線PB的斜率為:,所以直線PB的方程為:,因此直線PB的方程為或;【小問2詳解】由(1)知:,,所以設(shè)直線的斜率為,因此直線的斜率為,于是直線的方程為:,令,,即直線的方程為:,令,,即,因為同號,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,即當(dāng)時取等號,于是有以線段MN為直徑作圓C,當(dāng)圓C面積最小時,此時最小,當(dāng)時,和,中點(diǎn)坐標(biāo)為:,半徑為,所以圓的方程為:,同理當(dāng)時,和,中點(diǎn)坐標(biāo)為:,半徑為,所以圓的方程為:,綜上所述:圓C的方程為.20、(1);(2).【解析】(1)根據(jù),可設(shè),,求出,得到橢圓的方程,代入點(diǎn)的坐標(biāo),求出,即可得出結(jié)果.(2)設(shè)出點(diǎn),的坐標(biāo),直線與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理求出弦長,由點(diǎn)到直線的距離公式,三角形的面積公式及基本不等式可得結(jié)論.【詳解】(1)因為,所以設(shè),,則,橢圓的方程為.代入點(diǎn)的坐標(biāo)得,,所以橢圓的方程為.(2)設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,,由,得,即,,,,.,點(diǎn)到直線的距離,的面積,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立.所以當(dāng)時,面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì),直線與橢圓相交問題.屬于中檔題.21、(1);;(2).【解析】(1)驗證可知數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列,則,;(2)由(1)可求得,利用錯位相減法可求得結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,;數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列;,;【小問2詳解】由(1)得:,,,,兩式作差得:.22、(1)證明見解析(2)【解析】(1)根據(jù)條件先證明,再根據(jù)線面平行
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