2025屆上海魯迅中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆上海魯迅中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在數(shù)列中，若，則稱(chēng)為“等方差數(shù)列”，下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷，其中不正確的為（）A.若是等方差數(shù)列，則是等差數(shù)列 B.若是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列C.是等方差數(shù)列 D.若是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列2．在中，B=30°，BC=2，AB=，則邊AC的長(zhǎng)等于（）A. B.1C. D.23．已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為A. B.C. D.4．已知F是拋物線的焦點(diǎn)，直線l是拋物線的準(zhǔn)線，則F到直線l的距離為（）A.2 B.4C.6 D.85．若向量則（）A. B.3C. D.6．的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則（）A. B.C. D.7．拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，則到拋物線焦點(diǎn)的距離等于（）A.12 B.10C.8 D.68．在等比數(shù)列{an}中，a1=8，a4=64，則a3等于（）A.16 B.16或-16C.32 D.32或-329．若數(shù)列滿足，則的值為（）A.2 B.C. D.10．已知數(shù)列是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為（）①②③A.0 B.1C.2 D.311．如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為（）A. B.C. D.12．在等差數(shù)列中，，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若圓心坐標(biāo)為圓被直線截得的弦長(zhǎng)為，則圓的半徑為_(kāi)_____.14．曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_(kāi)__________.15．設(shè)函數(shù)（1）求的最小正周期和的最大值；（2）已知銳角的內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，且，求的面積.16．若平面法向量，直線的方向向量為，則與所成角的大小為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）新型冠狀病毒的傳染主要是人與人之間進(jìn)行傳播，感染人群年齡大多數(shù)是歲以上人群.該病毒進(jìn)入人體后有潛伏期.潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時(shí)間.潛伏期越長(zhǎng)，感染到他人的可能性越高.現(xiàn)對(duì)個(gè)病例的潛伏期(單位：天)進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)潛伏期平均數(shù)為，方差為.如果認(rèn)為超過(guò)天的潛伏期屬于“長(zhǎng)潛伏期”，按照年齡統(tǒng)計(jì)樣本，得到下面的列聯(lián)表：年齡/人數(shù)長(zhǎng)期潛伏非長(zhǎng)期潛伏50歲以上6022050歲及50歲以下4080（1）是否有的把握認(rèn)為“長(zhǎng)期潛伏”與年齡有關(guān)；（2）假設(shè)潛伏期服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）現(xiàn)在很多省市對(duì)入境旅客一律要求隔離天，請(qǐng)用概率知識(shí)解釋其合理性；（ii）以題目中的樣本頻率估計(jì)概率，設(shè)個(gè)病例中恰有個(gè)屬于“長(zhǎng)期潛伏”的概率是，當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值.附：0.10.050.0102.7063.8416.635若，則，，.18．（12分）已知焦點(diǎn)為F的拋物線上一點(diǎn)到F的距離是4（1）求拋物線C的方程（2）若不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（A，B位于x軸兩側(cè)），C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)E，直線與分別交于點(diǎn)M，N，若，證明：直線l過(guò)定點(diǎn)19．（12分）已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，，，分別是，的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.20．（12分）已知等比數(shù)列的公比，且，的等差中項(xiàng)為5，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）已知關(guān)于的不等式的解集為.（1）求的值；（2）若，求的最小值，并求此時(shí)的值.22．（10分）已知直線，直線，直線（1）若與的傾斜角互補(bǔ)，求m的值；（2）當(dāng)m為何值時(shí)，三條直線能?chē)梢粋€(gè)直角三角形

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義逐一進(jìn)行判斷即可【詳解】選項(xiàng)A中，符合等差數(shù)列的定義，所以是等差數(shù)列，A正確；選項(xiàng)B中，不是常數(shù)，所以不是等方差數(shù)列，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，，所以是等方差數(shù)列，C正確；選項(xiàng)D中，所以是等方差數(shù)列，D正確故選：B2、B【解析】利用余弦定理即得【詳解】由余弦定理，得，解得AC=1故選：B.3、D【解析】設(shè)，則，.所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選D.4、B【解析】根據(jù)拋物線定義即可求解【詳解】由得，所以F到直線l的距離為故選：B5、D【解析】先求得，然后根據(jù)空間向量模的坐標(biāo)運(yùn)算求得【詳解】由于向量，，所以.故故選：D6、D【解析】利用正弦定理邊化角，角化邊計(jì)算即可.【詳解】由正弦定理邊化角得，，再由正弦定理角化邊得，即故選：D.7、C【解析】根據(jù)焦半徑公式即可求出【詳解】因?yàn)?，所以，所以故選：C8、C【解析】首先根據(jù)a4=a1q3，求得q=2，再由a3=即可得解.【詳解】由a4=a1q3，得q3=8，即q=2，所以a3==32.故選：C9、C【解析】通過(guò)列舉得到數(shù)列具有周期性，，所以.詳解】，同理可得：，可得，則.故選:C.10、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷【詳解】設(shè)的公差為，則，是等差數(shù)列，，是常數(shù)列，也是等差數(shù)列，若，則不是等差數(shù)列，故選：C11、D【解析】由向量線性運(yùn)算得，利用數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得，由此可求得.【詳解】由題意得：，，且，又，，，，.故選：D.12、A【解析】根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于的不等式，從而可求的取值范圍.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，，所以，即，從?故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用垂徑定理計(jì)算即可.【詳解】設(shè)圓的半徑為，則，得.故答案為：.14、【解析】先求導(dǎo)數(shù)，得出切線斜率，寫(xiě)出切線方程，然后可求三角形的面積.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以切線方程為，即；令可得，令可得；所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.故答案為：.15、（1）的最小正周期為，的最大值為1（2）【解析】（1）直接根據(jù)的表達(dá)式和正弦函數(shù)的性質(zhì)可得到的最小正周期和最大值；（2）先根據(jù)求得角的大小為，然后在中利用余弦定理求得，最后根據(jù)三角形的面積公式即可【小問(wèn)1詳解】已知?jiǎng)t的最小正周期為：則的最大值為：【小問(wèn)2詳解】由可得：（）或（）又為銳角，則可得：.在中，由余弦定理可得：，即又，解得：則的面積為：16、##【解析】設(shè)直線與平面所成角為，則，直接利用直線與平面所成的角的向量計(jì)算公式，即可求出直線與平面所成的角【詳解】解：已知直線的方向向量為，平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，，，所以直線與平面所成角為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）有；（2）（i）答案見(jiàn)解析；（ii）250.【解析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，利用求得，與臨界表值對(duì)比下結(jié)論；（2）(ⅰ)根據(jù)，利用小概率事件判斷；(ⅱ)易得一個(gè)患者屬于“長(zhǎng)潛伏期”的概率是，進(jìn)而得到，然后判斷其單調(diào)性求解.【詳解】（1）依題意有，由于，故有的把握認(rèn)為“長(zhǎng)期潛伏”與年齡有關(guān)；（2）(ⅰ)若潛伏期，由，得知潛伏期超過(guò)天的概率很低，因此隔離天是合理的；(ⅱ)由于個(gè)病例中有個(gè)屬于長(zhǎng)潛伏期，若以樣本頻率估計(jì)概率，一個(gè)患者屬于“長(zhǎng)潛伏期”的概率是，于是，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴，.故當(dāng)時(shí)，取得最大值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可以簡(jiǎn)化求概率的過(guò)程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式的三個(gè)條件：(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p；(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率18、（1）；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析.【解析】（1）利用拋物線的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解證明即可.【小問(wèn)1詳解】該拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)到F的距離是4，所以有，所以拋物線C的方程為：；【小問(wèn)2詳解】該拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線l的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，得，不妨設(shè)，因此，直線的斜率為：，所以方程為：，當(dāng)時(shí)，，即，同理，因?yàn)?，所以有，而，所以有，所以直線l的方程為：，因此直線l恒過(guò).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：把直線l的方程為：，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.19、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】分析：依題意可知兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，（1）利用直線的方向向量和平面的法向量垂直，即可證得線面平面；（2）求出兩個(gè)平面的法向量，利用兩個(gè)向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：依條件可知、、兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.根據(jù)條件容易求出如下各點(diǎn)坐標(biāo)：，，，，，，，.（Ⅰ）證明：∵，，是平面的一個(gè)法向量，且，所以.又∵平面，∴平面；（Ⅱ）設(shè)是平面的法向量，因?yàn)椋?，由，?解得平面的一個(gè)法向量，由已知，平面的一個(gè)法向量為，，∴二面角的余弦值是.點(diǎn)睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)條件列關(guān)于首項(xiàng)與公比的方程組，解得結(jié)果代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可；（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】解析：（1）由題意可得：，∴∵，∴，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）∴上述兩式相減可得∴【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法求和，考查基本分析求解能力，屬中檔題.21、（1）;（2），.【解析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到等式和不等式，最后求出的值；（2）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用基本不等式可以求出函數(shù)的最小值.【小問(wèn)1詳解】由題意知：，解得【小問(wèn)2詳解】由（1）知，∴，由對(duì)勾函