廣東省信宜市2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

廣東省信宜市2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.2．已知直線與直線垂直，則實數(shù)（）A.10 B.C.5 D.3．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，的面積為10，則的值為（）A. B.C. D.4．橢圓C：的焦點為，，點P在橢圓上，若，則的面積為（）A.48 B.40C.28 D.245．函數(shù)在的圖象大致為（）A. B.C D.6．如圖，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.7．若拋物線上一點到焦點的距離為5，則點的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.8．直線的傾斜角的大小為（）A. B.C. D.9．用斜二測畫法畫出邊長為2的正方形的直觀圖，則直觀圖的面積為（）A. B.C.4 D.10．直線l經(jīng)過兩條直線和的交點，且平行于直線，則直線l的方程為（）A. B.C. D.11．如圖，在正方體中，（）A. B.C. D.12．已知集合A＝{x|－2≤x≤0}，B＝{－2，－1，0，1}，則A∩B＝()A.{－2，－1，0，1} B.{－1，0，1}C.{－2，－1} D.{－2，－1，0}二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過且法向量的平面方程為，經(jīng)過且方向向量的直線方程為閱讀上面材料，并解決下列問題：給出平面的方程，經(jīng)過點的直線的方程為，則直線l與平面所成角的余弦值為___________.14．已知等差數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的前2022項的和為___________.15．已知關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.16．正四棱柱的高為底面邊長的倍，則其體對角線與底面所成角的大小為_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）將離心率相同的兩個橢圓如下放置，可以形成一個對稱性很強的幾何圖形，現(xiàn)已知.（1）若在第一象限內(nèi)公共點的橫坐標(biāo)為1，求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假設(shè)一條斜率為正的直線與依次切于兩點，與軸正半軸交于點，試求的最大值及此時的標(biāo)準(zhǔn)方程.18．（12分）若存在實常數(shù)k和b，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足：和恒成立，則稱此直線y＝kx＋b為和的“隔離直線”.已知函數(shù)，.（1）證明函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；（2）證明和之間存在“隔離直線”，且b的最小值為－4.19．（12分）已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求的解析式；（2）求函數(shù)圖象上的點到直線的距離的最小值.20．（12分）如圖所示，在三棱柱中，平面，，，，點，分別在棱和棱上，且，，點為棱的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點相同，且過點.（1）求雙曲線漸近線方程；（2）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.22．（10分）在如圖所示的多面體中，且，，，且，，且，平面，（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)集合交集和補集的概念及運算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，根據(jù)補集的運算，可得，所以.故選：C.2、B【解析】根據(jù)兩直線垂直，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，直線與直線垂直，可得，解得.故選：B.3、A【解析】由同角公式求出，根據(jù)三角形面積公式求出，根據(jù)余弦定理求出，根據(jù)正弦定理求出.【詳解】因為，所以，因為，的面積為10，所以，故，從而，解得，由正弦定理得：.故選：A.【點睛】本題考查了同角公式，考查了三角形的面積公式，考查了余弦定理，考查了正弦定理，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓定義求出，再判斷形狀計算作答.【詳解】橢圓C：的半焦距，長半軸長，由橢圓定義得，而，且，則有是直角三角形，，所以的面積為24.故選：D5、D【解析】函數(shù)|在[–2,2]上是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，因為，所以排除選項；當(dāng)時，有一零點，設(shè)為，當(dāng)時，為減函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)故選：D.6、A【解析】利用空間向量的三角形法則可得，結(jié)合平行六面體的性質(zhì)分析解答【詳解】平行六面體中，M為與的交點，，，，則有：，所以.故選：A7、C【解析】設(shè)，由拋物線的方程可得準(zhǔn)線方程為，由拋物線的性質(zhì)到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，求出，解出縱坐標(biāo)，進而求出【詳解】由題意可得，解得，代入拋物線的方程，解得，所以的坐標(biāo)，故選：C.8、B【解析】由直線方程,可知直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以，故選9、A【解析】畫出直觀圖，求出底和高，進而求出面積.【詳解】如圖，，，，過點C作CD⊥x軸于點D，則,所以直觀圖是底為2、高為的平行四邊形，所以面積為.故選：A.10、B【解析】聯(lián)立已知兩條直線方程求出交點，再根據(jù)兩直線平行則斜率相同求出斜率即可.【詳解】由得兩直線交點為(－1，0)，直線l斜率與相同，為，則直線l方程為y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.故選：B.11、B【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合向量加減法的幾何意義有，即可知所表示的向量.【詳解】∵，而，∴，故選：B12、D【解析】根據(jù)集合交集的運算法則計算即可.【詳解】∵A＝{x|－2≤x≤0}，B＝{－2，－1，0，1}，則A∩B＝{－2，－1，0}.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)材料結(jié)合已知條件求得平面的法向量以及直線的方向向量，即可用向量法求得線面角.【詳解】因為平面的方程，不妨令，則，故其過點,設(shè)其法向量為，根據(jù)題意則，即，又平面的方程為，則，不妨取，則，則平面的法向量；經(jīng)過點的直線的方程為，不妨取，則，則該直線過點，則直線的方向向量.設(shè)直線與平面所成的角為，則.又，故，即直線l與平面所成角的余弦值為.故答案為：.14、【解析】先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件，求出首項和公差，得出前項和，再由裂項相消的方法，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解得，因此，所以，所以數(shù)列的前2022項的和為.故答案：.15、【解析】參變分離，可得，設(shè)，求導(dǎo)分析單調(diào)性，可得，即得解【詳解】因為，所以不等式可化為，設(shè)，則，設(shè)，由于故在上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，則，即.故答案為：16、##【解析】如圖所示，其體對角線與底面所成角為，解三角形即得解.【詳解】解：如圖所示，設(shè)，所以.由題得平面,則其體對角線與底面所成角為,因為,所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）；【解析】（1）設(shè)，將點代入得出的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立與直線的方程，得出兩點的坐標(biāo)，進而得出，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)得出的最大值及此時的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問1詳解】由題意得：在第一象限的公共點為設(shè)，則有：的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】設(shè)y=kx+m則①，則②，，，又，由①有代入①有，令，則令，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，此時，則，代入②得，綜上：的最大值2，此時.18、（1）見解析（2）見解析【解析】（1）由導(dǎo)數(shù)得出在上的單調(diào)性；（2）設(shè)和之間的隔離直線為y＝kx＋b，由題設(shè)條件得出對任意恒成立，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增在內(nèi)單調(diào)遞增【小問2詳解】設(shè)和之間的隔離直線為y＝kx＋b則對任意恒成立，即對任意恒成立由對任意恒成立，得當(dāng)時，則有符合題意；當(dāng)時，則有對任意恒成立的對稱軸為又的對稱軸為即故和之間存在“隔離直線”，且b的最小值為－4.【點睛】關(guān)鍵點睛：在解決問題一時，求了一階導(dǎo)得不了函數(shù)的單調(diào)性，再次求導(dǎo)得，進而得出在恒成立，得在上的單調(diào)性.19、（1）；（2）.【解析】（1）由題可得，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即求；（2）由題可得切點到直線的距離最小，即得.【小問1詳解】∵函數(shù)，∴的定義域為，，∴在處切線的斜率為，由切線方程可知切點為，而切點也在函數(shù)圖象上，解得，∴的解析式為；【小問2詳解】由于直線與直線平行，直線與函數(shù)在處相切，所以切點到直線的距離最小，最小值為，故函數(shù)圖象上的點到直線的距離的最小值為.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，由已知確定相關(guān)點坐標(biāo)，進而求的方向向量、面的法向量，并應(yīng)用坐標(biāo)計算空間向量的數(shù)量積，即可證結(jié)論.（2）求的方向向量，結(jié)合（1）中面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】以為原點，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得：，，，，，，，.∴，，，設(shè)為面的法向量，則，令得，∴，即，∴平面；【小問2詳解】由（1）知：，為面的一個法向量，設(shè)與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.21、（1）（2）【解析】（1）將已知點代入雙曲線方程，然后可得；（2）由雙曲線右焦點與拋物線的焦點相同可解.【小問1詳解】因為雙曲線過點，所以所以，得又因為，所以所以雙曲線的漸近線方程【小問2詳解】由（1）得所以所以雙曲線的右焦點是所以拋物線的焦點是所以，所以所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程22、（1