湖南省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三年級上冊入學(xué)考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

湖南?2025屆高三入學(xué)考試

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁.全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試卷和答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑，如有改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無

效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知向量方=(加1)3=(1,2),且彳/<0,則加的取值范圍為()

A.(-oo,2)C.(-2,2)D.(-l,2)

2.已知集合N=<yy=。一目一；"8=卜|%2—5%-6,,0},則()

A.0B.[2,31C.—,3D.—,6

L4JL4

3.已知母線長為10的圓臺的側(cè)面積為100兀，且其上底面的半徑一與下底面的半徑尺滿足&=4升，則&=

()

A.2B.4C.8D.12

,Z2+irttll/、

4.已知——7=---，則2=()

z+i4

A.lC.2D.逐

5

5.記△43。的內(nèi)角4瓦。的對邊分別為。也。，若acosC-ccos/=6,則siib4=()

6.記拋物線E：F=4X的焦點(diǎn)為b，點(diǎn)/在E上，8(2,1),則|4F|+|48|的最小值為()

A.2B.3C.4D.5

1_1__2

7.記45為隨機(jī)事件，已知尸(8)=3尸(回4)=],尸(回])=§,則尸(4+4=()

1172

A.一B.一C.—D.一

32123

8.已知函數(shù)/(x)=sin(妙+°)?！?,0<°<：的部分圖象如圖所示，Z,8,C是/(x)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).

若小/臺。是直角三角形，且o5也/=手，則/

丁

\7

1RV2

A.-D.----------

22

二、多項(xiàng)選擇題:本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.北京時(shí)間2024年7月27日，我國射擊健將黃雨婷、李豪戰(zhàn)勝韓國選手，摘奪了射擊混合團(tuán)體10米氣步槍

金牌，通過賽后數(shù)據(jù)記錄得到其中一名選手的得分分別為7,12,13,17,18,20,32,則()

A.該組數(shù)據(jù)的極差為25

B.該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為19

C.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17

D.若該組數(shù)據(jù)去掉一個(gè)數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等

10.已知首項(xiàng)為1的數(shù)列｛4｝滿足(4+1+%)=0,記｛叫巾｝的前〃項(xiàng)和為(，則()

A.,4旦1可能為等差數(shù)列

[%J

Bq=(T)"T

C.若%〉0,則<=(〃+1)!—1

D.若anan+x<0,則T2n_1+T2n=0

11.已知函數(shù)/(x)=ln(l+e")—x是偶函數(shù)，點(diǎn)點(diǎn)8(%2，/(%2)),點(diǎn)在函

數(shù)/(x)的圖象上，且退一々%=1，記A/g。的邊ZC上的高為及，則()

A.Q=2

B.函數(shù)g（x）=/（%）-x在定義域內(nèi)單調(diào)遞減

C.點(diǎn)5可能在以ZC為直徑的圓上

2

D./z的最大值為In上e士4-1

2e

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知4cos6+sin。=0，則tan28=.

13.寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)的函數(shù)/（x）的解析式：.

①/（X）不是常函數(shù)

②/（x）的最小正周期為2

③/（x）不存在對稱中心

14.已知雙曲線。：二—二=1（。〉04〉0）的左，右焦點(diǎn)分別為片,乙，過F2的直線4交C的右支于點(diǎn)A,B

ab

（點(diǎn)/在點(diǎn)3上方），以巴|=2區(qū)片過點(diǎn)用作直線4〃/1,在第二象限交C于點(diǎn)￡,若直線與直線

a2

AFX的交點(diǎn)在直線％=—q-上，則C的離心率為.

C

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知橢圓/：4+\=1伍〉6〉0）過點(diǎn)（0,癡）和（1,、回）.

<1）求M的離心率；

（2）若直線/：y=x+掰與M有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求/的一般式方程.

16.（15分）中國能源生產(chǎn)量和消費(fèi)量持續(xù)攀升，目前已經(jīng)成為全球第一大能源生產(chǎn)國和消費(fèi)國，能源安全

是關(guān)乎國家經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展的全局性、戰(zhàn)略性問題，為了助力新形勢下中國能源高質(zhì)量發(fā)展和能源安全水平提

升，發(fā)展和開發(fā)新能源是當(dāng)務(wù)之急.近年來我國新能源汽車行業(yè)蓬勃發(fā)展，新能源汽車不僅對環(huán)境保護(hù)具有

重大的意義，而且還能夠減少對不可再生資源的開發(fā)，是全球汽車發(fā)展的重要方向.“保護(hù)環(huán)境，人人有責(zé)”,

在政府和有關(guān)企業(yè)的努力下，某地區(qū)近幾年新能源汽車的購買情況如下表所示：

年份X20192020202120222023

新能源汽車購買數(shù)量〉（萬

0.400.701.101.501.80

輛）

（1）計(jì)算歹與x的相關(guān)系數(shù)外（保留三位小數(shù)）；

（2）求歹關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測該地區(qū)2025年新能源汽車購買數(shù)量.

2(%-可(》-力，X(x,-三)(力-歹)，

參考公式r=，TI-----,g=----------------------------,&-y-bx..

；(—)不5-力2

5

參考數(shù)值：V13?3.6056,^(x;-x)(y;.-y)=3.6.

Z=1

17.（15分）如圖，三棱柱ABC-481G中，側(cè)面44。。是邊長為2的正方形，=2&，ZBB.A,=:.

（1）證明：AAXLBCl；

（2）若二面角/—8G—用的余弦值為—拽，求

5

18.（17分）已知函數(shù)/（x）=x—lnx,g（x）=ge2"—"1—e1—ae1+ax.

（1）求/（x）的極值；

（2）討論g（x）的單調(diào)性；

（3）若g（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)國,12（0<西<%），討論/（七）和/（%）的大小關(guān)系.

19.（17分）對于一個(gè)非零整數(shù)〃和質(zhì)數(shù)?，我們稱〃中含的夕幕次為匕,（〃）#"（〃）定義為最大的非負(fù)整數(shù)

k,使得存在非零整數(shù)加，有〃?加，例如%（8）=3,匕（36）=2等.定義一個(gè)非零有理數(shù)：的

nJ：］=0（s）一匕）（'），如匕］=-2,V5=3，且規(guī)定vp（0）=+<x>.現(xiàn)在對于任意一個(gè)有理數(shù)1,

我們定義其“夕示數(shù)"為|=5，其中規(guī)定noQ=0.記兩個(gè)有理數(shù)的“夕示數(shù)距離”

為dp(x,y)=llx-訓(xùn)p.

(1)直接寫出皿4412,的值;

(2)證明對于一個(gè)正整數(shù)a,存在一列非整數(shù)的正有理數(shù)再,々，…,您使

1><72)><72(a,x2)>■■■>d2(a,xn);

(3)給定質(zhì)數(shù)夕，若一個(gè)無窮集合/中任意一數(shù)列{%},對于任意歹右4］吧dp(x,/)wO,則我們稱

集合/是“夕-緊致的”，是否存在質(zhì)數(shù)。，使得整數(shù)集是“夕-緊致的”？若存在，求出所有夕；若不存

在，請說明理由.

湖南-2025屆高三入學(xué)考試-數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評分細(xì)則

1.【答案】A

【解析】由出3<0解得加<2,故答案選A.

2.【答案】D

【解析】y=—解Y—5x—6,,0得

-1,,6,:.B=\-\,6].:.Ar>B=--,6.故答案選D.

3.【答案】C

【解析】因?yàn)樵搱A臺的側(cè)面積為100兀，母線長/=10,所以兀9+4外卜10=100兀，解得r=2,R=8,故

選C.

4.【答案】A

z2+i,i44（2-i）_84i_j__3_4i

【解析】由二=丁有1+廠,（2+i）（2-i）-5-y5"!-,

5i（3+4i）34iI,

z==j+~|z|=1.故答案選A.

3-4i（3-4i）（3+4i）

5.【答案】D

【解析】由正弦定理得sirk4cosc-sinCcosZ=sinS,即sin（Z-C）=sinS,A-C=B或2-。+3=兀.

TT

若/一。+3=兀，結(jié)合Z+5+C=兀有C=0,故舍去，，力=5+C,.,.力=—sir"=1,故答案選

2

6.【答案】B

【解析】過點(diǎn)/作x=—l的垂線，垂足為￡>,則|AF|=H0,|4F|+|4B卜m川+^圖..3,故答案選B.

7.【答案】D

【解析】記尸(/)=x,由全概率公式有P(瓦)=P(Z)P(同Z)+P(0P(回①，代入數(shù)據(jù)有

112

-=—x~\—（1—x）,解得

233V7

11/

x=-,:.P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=l-P（A）P（B\A）=1--ll-P,故答案選

D.

8.【答案】C

【解析】由正弦函數(shù)性質(zhì)有/[―5,oJ,8（O,sin9）,c[P?,oJ,由△45C是直角三角形可得48工8C,

結(jié)合BO±AC<|OS|2=|CU|x|OC|,/.f—~—1—=sin2cp.（?sin^）2=（?！╬）（p=,解得

kCDICO9

71

（P=一

3

2c兀程,故答案選C.

J.CD—-------j=^

3V32

9【答案】ACD

【解析】對于A項(xiàng)，極差等于32—7=25,故A正確；對于B項(xiàng)，7x75%=5.25,故75%分位數(shù)為20,

7+12+13+17+18+20+32

故B錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，平均數(shù)等于=17,故C正確，對于D項(xiàng)，去掉17

7

后，這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故D正確，故答案選ACD.

10.【答案】ACD

【解析】由題意可得%+i=〃％或4+1+4=0.注意到若存在/〃eN*使得區(qū)“+1+4“=0,則%/%+1<0,

±1

則對于C項(xiàng)，只能滿足%+i=〃％，累乘得a“+i=n\,:.an=(〃-1)!(〃..2),當(dāng)〃=1時(shí)也符合,此時(shí)4_=〃，

an

故數(shù)列\(zhòng)，此時(shí)為等差數(shù)列，故A正確；na,M=小〃！=(〃+1-1)〃！=(〃+1)!-加,，北=(n+l)!-l,

.an,

故C正確；若%%+1<0,則%+1+%=0,故%=(—1)小，故B錯(cuò)誤；此時(shí)〃%+1=(—1)"〃，奇偶分類

-”上〃為奇數(shù)

討論有北=彳，此時(shí)心〃_1+%“=0，故D正確，故選ACD.

為偶數(shù)

12

11.【答案】ABD

【解析】對于A選項(xiàng)，由/(x)是偶函數(shù)有/(x)=/(—x),則ln(l+e*)—x=ln(l+e")+x,得a=2,

故A正確;對于B選項(xiàng)，g(x)=/(x)-x=山(1+e2x)-2x=In(1+e^2x),由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷有g(shù)(x)

為減函數(shù).故B正確；對于C選項(xiàng)，由B知g(%2)〉g(X3)，即/(》3)一/(》2)<1?由對稱性，可設(shè)退〉…°，

則/(%3)一/卜2)〉°?若點(diǎn)5在以ZC為直徑的圓上，則有瓦.瓦；=0，代入即

x3>x2>X?..0,則/（占）一/（》2）<0,不滿足題意；若

1

2e+e1

而e+一

X>X2>0..^..-1,/(xj-/(x2)eIn—pin—,而In—^<1

e+-一2

e

（/（七）一/（%））（/（七）一/（%））<1，故5不可能在以ZC為直徑的圓上.故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，過

點(diǎn)5作x軸的垂線交ZC于點(diǎn)。，則％5。（當(dāng)且僅當(dāng)々=。時(shí)取等），而

1+e2'2-2l+e2x2+2

In2

砧―/(“2-1)+/(%+1)l+e2"2，記e2*2=/,則

DU一-/(工2)=

22

入O+iIn1+

。+1)2,當(dāng)且僅當(dāng)/=1的時(shí)候取等，即吃=0時(shí)

In

e2+l

BD=—?In——

222e

2i

取等，所以兩個(gè)不等號能同時(shí)取等，故場的最大值為In上e+二，故D正確.故答案選ABD.

2e

Q

12.【答案】—

15

.c八2tan0-88

【解析】因?yàn)?cos8+sin。=0,所以tane=-4,所以tan2。=-------=-----=—

l-tan26?1-1615

Q

故答案為：--

15

71

13.【答案】/(%)=sin-X（滿足題意即可）

14.【答案】叵

3

2

【解析】記直線族與直線/片的交點(diǎn)為尸，則乙—,由對稱性有BE過坐標(biāo)原點(diǎn)O且怛胤=門馬.

C

￡p\\EP\1

由4〃4有AEF"ABAP,=

AD\/門=3.又

2〃2

v\E0\=\B0\,\EP\=\0P\,xE=2xP=——\EF,\=a,：.|^|=2a,|^|=4a,即

\BF1|=3a,\BF,\=a在AABF1中，cos/片48=儂2--9.在“心中,

2x4ax3a

4廠，解得e二』ll,故答案為

cos/片ZB=

2x4ax2a33

:二1a2=6

15.解：(1)由題意得＜,從而可得《b2=2,

c=2

c_2_V6

故M的離心率e

aa3

Iy2x2[

-----1—二I

(2)聯(lián)立《62,得412+2加x+加2—6=0，

y=x+m

由A=4加2_4x4(加2_6)=0,得m=±2亞,

???直線/的一般式方程為：X—y±2&=0.

16解⑴釬2021x5+(-2)+(-1)+。+1+20.40+0.70+1.10+1.50+1.80一八

=2021,歹=---------------------------------------=1.10,

55

5

￡(七—可2=(—2)2+(-1)2+02+12+22=10,

Z=1

5

222222

v.-y)=(-0.7)+(-0.4)+0+0.4+0.7=1.3,

Z=1

3.63.6

?0.998

V10xV133.6056

5

,Z(x;-x)(z.-y),

(2)由(1)知b=-----------------=—=0.36,a=v-bx=l.l-2021x0.36=-726.46,所以〉關(guān)

S(x,-x)210

1=1

于X的線

性回歸方程是，=0.36x-726.46,

當(dāng)x=2025時(shí)，y=0.36x2025-726.46=2.54（萬輛），

該地區(qū)2025年新能源汽車購買數(shù)量約為2.54萬輛.

17.解：（1）,.?側(cè)面是邊長為2的正方形，.:444G，'4=4G=2,ZG=.

7T

?.?側(cè)面AA^B是平行四邊形，：.NBB&=ZBAA=

X4

在4Al中，由余弦定理有44；+AB2-A.B2=?48cos/5/4.解得

4臺=2,.1△NZn是直角三角形，

c4G=4,,4Gu平面48G平面

AXBAA[±,

又BC[u平面A}BC{,:.AA{±BQ.

(2)取8G的中點(diǎn)，記為。，連接4D,ZQ.

???AB=AC,=2V2,=2,AD1BC?AQ±g,

ADr>AxD=D,AD,AQu平面ADAX,:.BCX±平面ADA,.:.ZADAX為二面角A-BCX-A,的平面角.

又AA]，平面48￡,44]//BBX,:.BB]±平面/田。1，

記二面角Z—BQ—用為，，貝I

2/7

6=]+/ADAX,:.cos?=一sin^ADAX,:.sin^ADAX=——tan^ADAX

ZZr-

=2.AyDu平面4[BC]，；.AA{_LAXD^.\----=2,/.AXD=1,/.BC、=2BD=2S

AXD

18.解：(1)/'(x)=l—-,xe(0,l)時(shí),/'(x)<0,xe(l,+oo)時(shí),/'(x)>0,.，J(x)在(0,1)上單調(diào)遞

X

減，在（1,+巧上單調(diào)遞增，，/（x）在X=1處取到極小值/（1）=1,沒有極大值.

(2)g'(x)=e^2x-a-l-a-e-X-a-e^x-1+a=ex-a-1)(ex-1-a

若q,0,則e*T-a>0,g'(a)=0,xe(-8,a)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,xe(a,+e)時(shí)，g'(x)〉0,

g（x）單調(diào)遞增;

若a=l,此時(shí)g'(x)=(e--1）2...O,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號，，g（x）單調(diào)遞增;

若aw