人教版九年級數(shù)學(xué)上冊專項復(fù)習(xí)：圓周角（鞏固篇）（專項練習(xí)）

專題24.12圓周角（鞏固篇）（專項練習(xí)）

一、單選題

i.下列說法正確的是（）

A.等弧所對的圓周角相等B.平分弦的直徑垂直于弦

C.相等的圓心角所對的弧相等D.過弦的中點的直線必過圓心

2.如圖，四邊形ABCD的頂點A,B,C在圓上，且邊CD與該圓交于點E,AC,BE

交于點F.下列角中，弧AE所對的圓周角是（）

0

A.ZADEB.ZAFEC.ZABED.ZABC

3.如圖，菱形O48C的頂點A、B、C在圓。上，且NOAB=60。，若點尸是圓周上任

意一點且不與A、B、C重合，則/APC的度數(shù)為（）

0

B

A.60°B.120°C.60°或120°D.30?；?50°

4.如圖內(nèi)接于是：O的直徑，若48=20。，則NG4D的度數(shù)是（）

?

A.60°B.65°C.70°D.75°

5.如圖，。是一ABC的外接圓，ZB=60°,OD_LAC于點。，OD=2&,貝U。的

直徑為（）

A.45/3B.8C.8-73D.12

6.。是.ABC的外接圓，若3c長等于半徑，則NA的度數(shù)為（）

A.60°B.120°C.30?；?50°D.60°或30°

7.如圖，四邊形ABC。的外接圓為。O,BC=C。，/D4c=36。，ZAC￡>=44°,則/AOB

的度數(shù)為（）

8.如圖,C,。是。上直徑兩側(cè)的兩點，若ZABC=20。，則/BDC的度數(shù)是（）

A.50°B.60°C.80°D.70°

9.已知銳角NAO3,如圖，

（1）在射線。1上取一點C,以點。為圓心，OC長為半徑作弧尸。，交射線于點O,

連接8;

（2）分別以點C,。為圓心，CO長為半徑作弧，交弧尸。于點"，N；

（3）連接OM,MN.根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的（)

°歹

Q

A./COM=NCODB.若OM=MN.則/OCQ=80。

C.MN//CDD.MN=3CD

10.如圖，AB,分別是。。的直徑,連接8C、BD,如果弦且NCZ)E=

62。，則下列結(jié)論錯誤的是（）

B

A.CB上BDB.ZCBA=31°C.AC=AED.BD=DE

11.如圖，已知AB是O的直徑，弦CD與A5交于點E,設(shè)NABC=a,ZABD=J3,

ZAEC=7,則()

B

€

A

A.a+(3—y=90°B./3+y-a=90°

C.?+7一4=90。D.a+4+/=180。

二、填空題

12.如圖，AB為O的直徑，點C,O,E在。上，且&)=&)，/E=80。，則ZA3C

的度數(shù)為.

13.如圖，在菱形ABC。中，BC=6,NC=120。，點E是射線C。上一點，連接BE,

點P在BE上，連接AP,若NBAP=NCBE,則△AB尸面積的最大值為.

14.如圖，O是RCABC的外接圓，/54C=90°,44c的平分線交，O于點，ZABC

的平分線交4。于點E,連接8。，若。的直徑是四，則。E的長為.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A坐尸的坐標(biāo)分別為(-1，2),(L4),(2,1).若點C的

橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，且/ACB//AP3,則點C的坐標(biāo)為.(寫出一個正確

的坐標(biāo)即可)

±_I_________I___L_1____I_____I___.

16.如圖，半圓的直徑AB=5cm,弦AC=3cm,把AC沿直線AD對折，且AC恰好

17.如圖，ABC內(nèi)接于。O,N54C=25。，ABC外角N4BE的平分線交。。于點Q,

若BC=BD,則NC的度數(shù)為.

18.如圖，zkABC中，ZABC=90°,AB=4,8C=8,將A4BC終點A逆時針旋轉(zhuǎn)（B

與。為對應(yīng)點）至AADE,旋轉(zhuǎn)過程中直線BD,CE相交于R當(dāng)從第一次與平行

旋轉(zhuǎn)到第二次與2c平行時，點廠運動的路徑長為.

19.如圖，線段AB=4,以線段A3為斜邊作品ABC,AC>BC,NC的平分線CN與

線段AB的垂直平分線交于點加，則線段CM的取值范圍為.

1c

20.如圖，動點M在邊長為4的正方形A8CO內(nèi)，且P是C。邊上的一個

動點，E是邊的中點，則線段PE+PM的最小值為.

D__P

21.如圖，在。中，半徑為4,將三角板的60。、90。角頂點A,8放在圓上，AC,BC

兩邊分別與。交于。，E兩點，BE=DE,則△ABC的面積為.

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。加經(jīng)過原點，且與x軸交于點A(4,0),與y軸交

于點B,點C在第四象限的。M上，且/AOC=60。，OC=3,則點B的坐標(biāo)是.

三、解答題

23.如圖，CD是。。的直徑，NEO￡>=84。,，AE交。。于點B,且AB=OC,求BE的

度數(shù)

24.如圖，。是-ABC的8c邊上一點，連結(jié)AD,作的外接圓。，將一AOC沿

直線AD折疊，點C的對應(yīng)點E落在。上.

(1)若NABC=30。，如圖1.

①求ZACB的度數(shù).

②若AD=DE,求NE4B的度數(shù).

(2)若&。=8￡,43=4,。=2,如圖2.求BC的長.

C

25.如圖，已知A3是。0的直徑，點C,。在。。上，/。=60。且A8=6,過。點作

OE±AC,垂足為E.

(1)填空：ZCAB=度;

(2)求OE的長；

(3)若?！甑难娱L線交。。于點F求弦ARAC和尸C圍成的圖形(陰影部分)的面積

S.

26.如圖，。。是以△ABC的邊AC為直徑的外接圓，ZACB=54°,如圖所示，O為。。

上與點2關(guān)于AC的對稱點，尸為劣弧8C上的一點，DF交AC于N點、,8。交AC于M點.

(I)求/。8C的度數(shù)；

⑵若尸為弧BC的中點，求M黑N.

ON

D

27.如圖，CD與EF是。。的直徑，連接CE、CF,延長CE到A,連接并延長,

交CF的延長線于點8,過點廠作。。的切線交于點G,點。是AB的中點.

⑴求證：EFIIAB；

(2)若AC=3,CD=2.5,求PG的長.

A

28.已知P是。上一點，過點尸作不過圓心的弦尸。，在劣弧尸。和優(yōu)弧PQ上分別

有動點A、B(不與尸，。重合)，連接AP、BP.若ZAPQ=NBPQ.

(1)如圖1,當(dāng)ZAPQ=45。，AP=1,BP=2四時，求C的半徑；

(2)在(1)的條件下，求四邊形APB。的面積

(3)如圖2,連接交尸。于點點N在線段上(不與P、M重合)，連接

ON、OP,若/NOP+2/°PN=90。，探究直線小?與ON的位置關(guān)系，并說明理由.

參考答案

1.A

【分析】

根據(jù)圓周角定理，垂徑定理的推論，圓心角、弧、弦的關(guān)系，對稱軸的定義逐項排查即

可.

解：A同弧或等弧所對的圓周角相等，所以A選項正確；

B.平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，所以8選項錯誤；

C、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所以C選項錯

誤；

D圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，所以。選項錯誤.

故選A.

【點撥】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系,軸對稱圖形，垂徑定理，圓周角定理

等知識點.靈活運用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】

直接運用圓周角的定義進行判斷即可.

解:弧AE所對的圓周角是：NABE或/ACE

故選：C

【點撥】本題考查了圓周角的定義，掌握圓周角的定義是解題的關(guān)鍵.

3.C

【分析】

分兩種情況，由圓周角定理分別求解即可.

解：菱形0ABe的頂點A、B、C在圓。上，且NQ4B=60。，

\AB//OC,1AOC120?,

如圖，分兩種情況:

P

①當(dāng)點P在優(yōu)弧APC上時，由圓周角定理得：乙40c=呆120。=60。；

o

②當(dāng)點尸在劣弧AC上時，由圓周角定理得：ZAPC=180-60°=120°;

綜上所述，NAPC為60?；?20。，

故選：C.

【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌

握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

4.C

【分析】

首先連接C。,由是的直徑,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可求得ZACD=90°,

又由圓周角定理，可得"=4=20。，再用三角形內(nèi)角和定理求得答案.

解：連接CD,

是（。的直徑，

ZACD=90°.

：ZD=ZB=20°,

/.ZCAD=180°-90°-Z￡>=108°-90°-20°=70°.

故選：C.

【點撥】本題考查了圓周角定理、三角形的內(nèi)角和定理.熟練掌握圓周角定理是解此題

的關(guān)鍵.

5.C

【分析】

根據(jù)圓周角定理求出ZAOC=120°,再根據(jù)垂徑定理和30。所對直角邊是斜邊的一半計

算即可.

解：連接A。、CO

A

：，O是一ABC的外接圓，ZB=60°,

ZAOC=120°,

又：。4=OC,OD1AC,

：.ZAOD=60°,

：.NQW=30。，

OD=2道,

??OA=；

???。。的直徑為8g

故選：C.

【點撥】本題主要考查了圓周角定理和垂徑定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是結(jié)合30。所對直

角邊是斜邊的一半計算.

6.C

【分析】

利用等邊三角形的判定與性質(zhì)得出N3OC=60。,再利用圓周角定理得出答案.

解：如圖，連接80,CO,

：.ABC的邊8c等于圓的半徑,

.3OC是等邊三角形，

NBOC=60。,

：./A=30。，

若點A，在劣弧BC上，則NA'=150°,

/.NA=30?；?50。；

故選C.

【點撥】本題主要考查了三角形的外接圓與外心以及等邊三角形的判定與性質(zhì)和圓周角

定理，得出BOC是等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

7.B

【分析】

利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到￡>C=8C，再利用圓周角定理得到/BAC=/D4C=

36°,ZABD=ZACD=44°,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計算NADB的度數(shù).

解：,:BC=CD,

DC=BC，

,：ZABD和ZACD所對的弧都是AD,

：.ZBAC^ZDAC^36°,

ABAD=ABAC+ADAC=72°,

ZABD=ZACD=44°,

：.ZADB=180°-/BAD-ZABD=180°-72°-44°=64°,

故選：B.

【點撥】本題考查了圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握圓周角定理是解決

問題的關(guān)鍵.

8.D

【分析】

由A8是直徑可得乙4cB=90。，由NABC=20。可知/C48=70。，再根據(jù)圓周角定理可得

NBDC的度數(shù)，即可得出答案.

解：是。。的直徑，

ZACB=90°,

,?ZABC=2Q°,

.\ZCAB=70°,

/BDC=NCAB=7Q°,

故選：D.

【點撥】本題考查了圓周角定理，由是直徑求出NACB=90。是解題的關(guān)鍵.

9.D

【分析】

連接MD、ON,根據(jù)作法可得CM=C￡>=ON，即可得到NCOM=NCOD=NZXW,

則可判斷A選項；若OM=MN,可得NNOM=60。，推出/COD=20。即可求出NOCD的

度數(shù)，則可判斷B選項；根據(jù)CM=DN得到即可判斷C選項；根據(jù)

CM+CD+DN>MN即可判斷D選項.

解：連接M。、ON,如圖所示

???以點。為圓心，OC長為半徑作弧尸。，交射線OB于點。，分別以點C,。為

圓心，8長為半徑作弧，交弧PQ于點N

CM=CD=DN

：.ZCOM=ZCOD=ADON

；.A選項說法正確，不符合題意

若OM=MN

??OM=ON

：.MN=OM=ON

：.NNOM=60°

,/Z.COM=ZCOD=ADON

：.ZCOD^20°

又：OC=OD

???"3/皿=幽*8。。

，B選項說法正確，不符合題意

CM=DN

ZCDM=ZDMN

：.MN//CD

，C選項說法正確，不符合題意

??CM+CD+DN>MN

：.MN<3CD

，D選項說法錯誤，符合題意

故選D.

【點撥】本題考查了作圖、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、圓周

角定理、弧、弦和圓心角的關(guān)系等知識點，解決此題的關(guān)鍵是熟悉幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾

何圖形的性質(zhì)將復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

10.D

【分析】

根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，即可判斷A,根據(jù)圓周角定理可判斷B選項，根據(jù)圓

周角與弧的關(guān)系可判斷C,根據(jù)NCDEWNCDB判斷D選項.

解：CZ）分別是。。的直徑，

:.ACBD=9Q°,

C.CBLBD,

故A選項正確，

如圖，連接班，

DE//AB,且NCOE=62°,

:.ZBOD=ZCDE=62°,

??.ZBCD=-ZBOD=3r,

2

QOC=OB,

.\ZCBO=ZBCO=31°,

/.ZAOC=62°,

ZCBE=ZCDE=62°,

:.ZABC=ZABE=31°,

??AC=AE^

故B,C選項正確，

/BCD=31°,ZCBD=90°,

.?.ZBDC=59°,

ZCDE=62°f

；.NCDE手/CDB,

?..BD*DE,故D選項不正確，

故選D.

【點撥】本題考查了圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角，掌握圓周角定理是解題的

關(guān)鍵.

11.B

【分析】

連接AC根據(jù)同弧所對的圓周角相等，將〃+。轉(zhuǎn)化為ZA8,再根據(jù)直徑所對的圓

周角是直角即可得到4+7-。=90。.

解：連接AC,令/BCD=e,如圖所示：

在中，y=a+d（三角形一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）,

VZACD=ZABD=J3（同弧或等弧所對的圓周角相等），

.,./7+/—cr=AACD+cc+3—cc=AACD-\-0=^ACB,

又〈A3是直徑，???/ACS=90。（直徑所對的圓周角是直角），

故選:B.

【點撥】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，圓周角定理，正確作出輔助線，將分+7-。轉(zhuǎn)

化為ZACB是解題的關(guān)鍵.

12.20°

【分析】

連接AE、BD,由圓周角定理得出NA￡B=90。，進而結(jié)合題意得出NA￡D=10。，由圓

心角、弧、弦的關(guān)系定理/CB￡>=/DBA=/A￡E>=10。，即可求出NABC的度數(shù).

解：如圖，連接AE、BD,

QAB為。的直徑，

:.^AEB=90°,

,^DEB=80°,

ZAED=NAEB—NDEB=10°,

AD=CD^

NCBD=/DBA=/AED=10°,

ZABC=NABD+NCBD=100+10°=20°,

故答案為：20°.

【點撥】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握圓周角定理，圓心

角、弧、弦的關(guān)系定理是解決問題的關(guān)鍵.

13.36

【分析】

若要使△ABP的面積最大，底固定，故只要A2邊上的高最大時，即三角形面積最

大；可證NAPB=120。，故可知點P在AAPB的外接圓的劣弧AB上，當(dāng)點尸在劣弧AB的中

點處，AAPB的面積最大，求出4B邊上的高即可求解.

解：：四邊形ABC。是菱形，

：.AB=BC=6,AB//CD,

：.ZABC+ZBC￡)=180°,

ZC=120°,

ZABC=60°,即ZABP+ZPBC=60°,

??ZBAP=ZCBE,

：.ZABP+ZBAP=6O°,

?：ZAPB=180°-(ZABP+NBAP)=180°-60°=120°,

點P在在△APB的外接圓上，

若要使A4BP的面積最大，底AB固定，ZAPB=120°,故只要AB邊上的高最大

時，即三角形面積最大；此時點尸在劣弧AB的中點處，如圖，

設(shè)點。為△的外接圓的圓心，OPLAB于點R

AAF=-AB=3,ZAPF=-ZAPS=60°,

22

/.ZPAF=30°,

AP=2PF

由勾股定理得，AF2+PF2=AP2

二32+PF2=4PF2

：.PF=yl3

：.S^PB=；AB曠F=1x6xV3=35/3

即△ABP面積的最大值為3K.

故答案為：3K.

【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的面積公式，解直角三角形，垂徑定理等知識，

正確作出輔助圓，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

14.1

【分析】

連接C￡),根據(jù)分另I］平分/8AC和結(jié)合圓周角定理和三角形外角性質(zhì)，

得出NDBE=NBED,根據(jù)直徑所對的圓周角為90。，結(jié)合2。=。。，BCf，利用勾股定

理，求出現(xiàn))2=1，即可求出小=比＞=1.

解：連接CZ),如圖所示：

平分/8AC,

ZBAD=ZCAD,

:?BD=CD，

：.BD=CD,NCBD=NCAD=NBAD,

為直徑，且BC=應(yīng)，

ZBDC=9O°,

：.BD2+DC2=BC2=(V2)2=2,

BD2=1.

BD=1,

；BE平分/ABC,

/ABE=NCBE,

'：ZDBE=ZCBD+ZCBE,ZBED=ZABE+ZBAD,

/.ZDBEABED,

：.DE=BD=1.

故答案為：1.

【點撥】本題主要考查了角平分線的定義，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角

形的判定，勾股定理，作出輔助線，根據(jù)題意證明/=是解題的關(guān)鍵.

15.(5,2)或(3,4)或(5,0)或(1,-2)或(3,-2)或(-1,0)寫出其中一個就可以(答案不唯

一)

【分析】

直接利用圓周角定理，以P為圓心，用為半徑畫圓，圓上的格點即可作為C點.

解：由NAC3=aNAPB聯(lián)想到同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，

所以點C在以點尸為圓心，叢為半徑的圓上，進而得到滿足橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的六個

點C：(3,4)、(5,2)、(5,0)、(3,-2),(1,-2),(-1,0)

【點撥】本題考查了圓周角定理，解題關(guān)鍵是理解題意，能利用圓找出符合條件的點.

16.2A/5cm

【分析】

連接作。于E,OF±AC^F,運用圓周角定理，可證得

3

BPffiA所以。E=A尸=5°”，根據(jù)勾股定理，得DE=4cm,在直角三角形ADE

中，根據(jù)勾股定理，可求AD的長.

解：連接0。，AD,作。EJ_AB于E,0尸1_46'于/;'.

根據(jù)題意知，ZCAD=ZBAD,

??CD=BD，

.,.點。是弧2C的中點.

ZDOB=ZOAC=2ZBAD,

：.^AOF^AODE,

3

OE=AF=—cm,

2

DE=2cm,

X'-'AE=-+-=4cm,

22

?*-A0=>JAE2+DE2=A/42+22=2小cm.

【點撥】在圓的有關(guān)計算中，作弦的弦心距是常見的輔助線之一.熟練運用垂徑定理、

圓周角定理和勾股定理.

17.75°

【分析】

先求出ND4c的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出N08E的度數(shù)，再通過角平分

線求出/ABE的度數(shù)，最后通過三角形外角性質(zhì)求出NC的度數(shù).

解：,:BC=BD,ABAC=25°,

：.ZBAD=ZBAC=25°,

：.ZDAC=50°,

1/四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，

ZDAC+ZDBC=1SO°,

VZDBE+Z￡>BC=180°,

ZDBE=ZDAC=50°,

平分

ZABE=2ZDBE=100°,

：.ZC=ZABE-ZBAC=100°-25°=75°,

故答案為：75。

【點撥】本題考查了三角形外角的性質(zhì)、圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解決本題

的關(guān)鍵是熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

18.26萬

【分析】

由題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：ZABD=ZACE=45°,可知A、B、C、P四點共圓.隨

著4ABe的旋轉(zhuǎn)可知，點R運動的路徑是以A、B、C、/四點共圓的圓上，當(dāng)從第

一次與BC平行旋轉(zhuǎn)到第二次與8c平行時，點尸運動的軌跡是以AC為直徑的半圓，求出

AC的長就可以求出點尸的路徑長.

解：如圖所示：連接AF,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：和一ACE是等腰直角三角形.

NABD=NACF=45°,

:.A、B、C、尸四點共圓.

'：ZABC=90°,

該圓是以AC為直徑圓.

隨著，ABC的旋轉(zhuǎn)可知：點/運動的軌跡是以AC為直徑的圓上.

當(dāng)AD從第一次與BC平行旋轉(zhuǎn)到第二次與BC平行時,點F運動的軌跡是以AC

為直徑的圓的周長的一半.

由勾股定理可知：AC=y/AC2+BC2=742+82=4-75

...當(dāng)AD從第一次與3c平行旋轉(zhuǎn)到第二次與BC平行時，點/運動的路徑長為：

-TTXAC,

2

...點/運動的路徑長為：之乂4小x兀=2非兀.

故答案為：2也兀.

【點撥】本題考查了圓周角定理的推論、勾股定理等知識.通過圓周角定理的推論找到

四點共圓是解決本題的關(guān)鍵.

19.2-^2<CM<4

【分析】

因為A8是直角三角形的斜邊，可以看成是點C在以AB為直徑的圓上，通過AC>BC

可以判斷點C在圓弧班之間，而在點及點8位置是極限位置，求出在這兩點時CM的值

即可.

解：是直角三角形ABC的斜邊，

...點C在以AB為直徑的圓上，

VAC>BC,DM是AB的垂直平分線，

...點C在圓弧ECB之間的圓弧上，

：CN是/AC8的平分線，

；.CN與圓弧48相交于AB的中點，

?/DM是AB的垂直平分線，

與圓弧A5相交于AB的中點，

所以CMDM,AB交于一點，即M點,

?：AB=4,

：.BD=DM=2,

如圖1,當(dāng)8,C重合時，CM最小，

CM=y]BD2+DM2=V22+22=20，

因為此時三角形不存在（成為線段），所以應(yīng)取CAf>20,

如圖2,當(dāng)點C在E點時，CM最大，為圓。的直徑，

：.CM=4,

因為此時AC=8C,不符題意，所以應(yīng)取CM<4,

所以CM的范圍為2&<CM<4,

故答案為：26<CM<4.

【點撥】本題考查了圓直角三角形，熟練運用直徑所對的圓周角為直角、等弧對等角、

垂徑定理是解題關(guān)鍵.

20.2M-2

【分析】

作點E關(guān)于。C的對稱點E,設(shè)的中點為點。，連接OE',交DC于點P,連接PE,

由軸對稱的性質(zhì)及90。的圓周角所對的弦是直徑，可知線段尸E+PM的最小值為OE的值減

去以為直徑的圓的半徑OM,根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理計算即可.

解：作點E關(guān)于DC的對稱點E,設(shè)A3的中點為點。，連接OE,交。C于點尸，連接

PE,如圖所示：

E；、

:動點M在邊長為4的正方形ABC。內(nèi)，且

...點M在以AB為直徑的圓上，OM=^AB=2,

???正方形ABC。的邊長為4,

：.AD=AB^4,ZDAB=90°,

是A。的中點，

：.DE=^AD=^x4=2,

:點E與點E關(guān)于0c對稱，

:.DE=DE=2,PE=PE,

AE=AD+DE=4+2=6,

在RtAAOE中,OE'=y/AE'2+AO2=762+22=2a,

線段PE+PM的最小值為：

PE+PM=PE+PM=ME=OE'-OM^2M-2.

故答案為：2M-2.

【點撥】本題主要考查了軸對稱-最短路線問題、圓周角定理的推論、正方形的性質(zhì)及

勾股定理等知識點，作出輔助線，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理，是解題的關(guān)鍵.

21.24百

【分析】

連結(jié)AE,根據(jù)NCB4=90。所對的弦得出AE為,：。的直徑，得出AE=8,根據(jù)

得出可求NBAE=NZME=30。，利用30。直角三角形性質(zhì)求出

JAE=4,利用勾股定理求出=,82.42=46，然后利用直角三角形性質(zhì)

求出BC=BE+CE=12即可.

解：連結(jié)AE,

ZCBA=90°,

為（O的直徑，

：.AE=S,

,:BE=DE,

,,BE=DE，

I./BAE=/DAE,

???ZBAC=60°f

???NBAE=/DAE=30。,

2222

：,BE=DE=^AE=4fAB=yjAE-BE=A/8-4=473?

TAE為直徑，

ZEDA=90°,

,:ZA=180°-ZABC-ZBAC=180o-90°-60o=30°,

：.EC=2ED=8,

:?BC=BE+CE=12,

SAABC=-ABBC=-X4V3X12=246.

22

故答案為24出.

【點撥】本題考查直角所對弦和直徑所對圓周角性質(zhì)，30。直角三角形性質(zhì)，勾股定理，

三角形面積，掌握直角所對弦和直徑所對圓周角性質(zhì)，30。直角三角形性質(zhì)，勾股定理，三

角形面積是解題關(guān)鍵.

22.(0,-2^-)##(0,--V3)

33

【分析】

連接AC,AB,BC,過點C作于H,利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)及勾

股定理在放△OCH中，先后求得OH,CH,AH,再在AS中，求得AC,在RtAABC

中，利用勾股定理構(gòu)建方程求得BC,AB,再在中，利用勾股定理即可解決問題.

解：連接AC,AB,BC,過點C作CHLOA于X,

VZAOC=60°,貝！J/OCH=30°,且OC=3,

;點A(4,0),

；.AO=4,

：.AH=AO-OH=~,

2

在Rt&ACH中,

AC=y/AH2+CH2=.f->1+f—>1=V13,

??ZBOA=9Q°,

...AB為。M的直徑,

ZBCA=90°,

ZAOC=60°,

：.ZABC=60°,則ZBAC=30°,

在MAABC中，BC=-AB,

2

222

AB=AC+BC,即A82=（至）2+（；AB）2,

：.AB2=—,

3

4

在A08中，0爐=-AO2=~,

3

；.0B=^-,

3

點2的坐標(biāo)是：（0,—

3

【點撥】本題考查了圓周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識，

解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

23.68°

【分析】

連接OS如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得到/班0=2/4則

ZE=2ZA,再利用/EOD=84。得至！|2乙4+乙4=84。，解得乙4=28。，接著計算出NBOE的度

數(shù)，從而得到BE的度數(shù).

解：連接如圖，

??OB=OC,OC=AB,

???OB=AB,

：.ZA=ZBOA,

：.ZEBO=ZA+ZB0A=2ZA,

'：OB=OE,

：.ZE=ZEB0=2ZA,

*：ZEOD=ZE-^-ZAf

A2ZA+ZA=84°,解得乙4二28。，

???ZE=ZEBO=56°,

.\ZBOE=1800-ZE-ZEBO=180o-56o-56o=68°,

???5E的度數(shù)為68°.

【點撥】本題考查了圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，添加輔

助線，構(gòu)造等腰三角形，是解題的關(guān)鍵.

24.⑴①30。，②60。；(2)BC=6

【分析】

(1)①根據(jù)折疊的性質(zhì)可得NACD=NAED,根據(jù)等弧所對的圓周角即可求解；

②根據(jù)等邊對等角可得NZME=NDE4,根據(jù)(1)的結(jié)論可得NACB=NABC,進而根

據(jù)折疊的性質(zhì)求得ZCAE=60°,進而根據(jù)ZCAB-ZCAE即可求得ZBAE,

(2)根據(jù)A￡>+￡>石=5石+￡>6，可得AE=O3，AE=BE,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得

DB=AE=4,進而即可求解.

(1)@AD=AD^ZABC=30°,

:.ZAED=ZABD=30°,

「將...ADC沿直線AD折疊，點C的對應(yīng)點E落在：。上，

:.ZACB=ZAED=30°；

②，AD=DE,

:.ZDAE=ZDEA,

NDEA=NDBA,

.\ZDAE=30°,

將AADC沿直線AD折疊，點C的對應(yīng)點E落在：。上，

:.ZDAE=ZDAC=30°,

ABC中，XABC=ZACB=3O0f則NC4B=180。—ZABC—ZAC5=120。，

ZCAE=ZCAD-^ZEAD=60°f

ZEAB=ZCAB-ZCAE=120°-60°=60°,

:.ZEAB=6O°t

(2)AD=BE

AD+DE=BE+DE

AE=DB

:.AE=BE

?.?折疊

:.AC=AE

:.DB=AE=4

CD=2

:.BC=CD+DB=4+2=6

【點撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，同弧或等弧所對的圓周角相等，弧與弦的關(guān)系，三角

形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵.

33

25.(1)30(2)-(3)-^

【分析】

(1)利用圓周角定理解得="=60。，由直徑所對的圓周角是90。,得到ZACB=90°,

最后根據(jù)三角形內(nèi)角和180。解答即可；

(2)證明△CO3是等邊三角形，得到BC=3,再證明OE是二ABC的中位線，由中位線

的性質(zhì)解答；

(3)連接OC,證明VA尸E=VCOE(AS4),將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形FOC的面積，

再結(jié)合扇形面積公式解答.

⑴解：；/。=60。

:.ZB=G0°

AB是。。的直徑，

:.ZACB=90°

:.ZCAB=90°-60°=30°

故答案為：30；

(2)'ZZ>=60°

.?.4=60。

QOC=OB

??:COB是等邊三角形

BC=OB=—x6=3

2

AB是。。的直徑，

,\ZACB=90°

OELAC

:.OE//BC

。是A5中點

「.OE是-ABC的中位線

13

:.OE=-BC=-

22

(3)連接OC

QAO=OC9N045=30。

「.N石CO=30。

1111

QZFAC=-ZFOC=-x-ZAOC=-xl20°=30°

2224

:.ZFAE=ZECO

QAC±OF

/./FEA=ZOEC=90°,AE=CE

：yAFE^VCOE(ASA)

一^VAFE=COE

_60^X32_3

一》陰影一)扇形/oc——不兀.

【點撥】本題考查扇形的面積計算、含30。角的直角三角形、圓周角定理、垂徑定理等

知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

26.(1)36°；⑵，

【分析】

(1)利用對稱的性質(zhì)證明BDLAC,所以ND3C與NAC3互余，即可求出ND8C；

(2)利用等弧所對的圓周角等于圓心角的一半和三角形內(nèi)角和為180。，求出

N05M的度數(shù)并證明其相等，再根據(jù)證明=△￡WM(A&4),從而得到OM=NM,即可

求中蚣LJ_

本出ON2

解：(1)??,點3、點。關(guān)于AC對稱,

：.BD±AC,

：.ZDBC+ZACB=90°,

ZACB=54°,

???/。3。=90。-54。=36。,

故NO3C的度數(shù)為36°.

(2)連接OF,

???點/是5c的中點,

???ZBOF=ZCOF=2ZBDF9

???OC=OB,

：.ZOBC=ZOCB=54°,

：.ZOBM=ZOBC-Zr)BC=54°-36°=18°,ZBOC=180°-2x54°=72°,

???ZBOF=|1x72°=36°,

：./BDF=-ZBOF=工x36。=18。,

22

JZBDF=ZOBM,

???點3、點。關(guān)于AC對稱,

：.DM=BM,

，在430M和4DM0中,

ZOBM=NNDM

BM=DM

ZOMB=/NMD

:?叢BOMm叢DNM,

：.NM=OMf

.MN_MN_1

'*~ON~~OMTNM~2

【點撥】本題考查了軸對稱、圓和全等三角形，熟練利用對稱點連線與對稱軸垂直，圓

心角與圓周角的關(guān)系以及全等三角形的判定能有效幫助解此題.

27.⑴見分析;(