共頂點模型的破解問題-2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（解析版）

專題18共頂點模型的破解問題

考向1等邊三角形共頂點

福題呈現(xiàn)

【母題來源】2021年中考貴州省黔西南州卷

【母題題文】如圖1,D為等邊AABC內(nèi)一點，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AE,

連接CE,BD的延長線與AC交于點G,與CE交于點F.

(1)求證：BD=CE；

(2)如圖2,連接FA,小穎對該圖形進行探究，得出結(jié)論：NBFC=NAFB=NAFE.小穎的

結(jié)論是否正確？若正確，請給出證明；若不正確，請說明理由.

圖1圖2

【答案】(1)證明：如圖1,??,線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE,

???AD=AE,NDAE=60°,

VZBAC=60°,

???NBAC=NDAE,

NBAD=NCAE,

在4ABD和4ACE中，

AB=AC

/BAD=ZCAE,

AD=AE

：.AABD^AACE(SAS),

ABD=CE,

(2)解：結(jié)論正確，理由如下：

如圖2,過A作BD,CF的垂線段分別交于點M,N,

圖2

AABD^AACE,

???NABD=NACE,

又?.?NAGB=NCGF,

ZBFC=ZBAC=60°,

AZBFE=120°,

AABD^AACE,

BD=CE,SAABD=SAACE，

.?.lxAMXBD=ixCEXAN,

22

；.AM=AN,一

在RSAFM和RtZkAFN中，

(AF=AF

14M=AN'

/.RtAAFM^RtAAFN(HL),

ZAFM=ZAFN,

.?.ZBFC=ZAFB=ZAFE=60°.

【試題解析】(1)通過SAS證明△ABDgACAE,可得BD=CE；(2)作AM_LBF,AN...1.CE,由

全等知AG=AH,從而得到AF平分/BFE,證出NAFM=NAFN=60°,從而證出結(jié)論.

【命題意圖】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【命題方向】一般為解答題，放置于壓軸位置，以類比探究為解決問題的基本思想方法.

【得分要點】等邊AABC與等邊ADCE,B、C、E三點共線.

連結(jié)BD、AE交于點F,BD交AC于點G,AE交DC于點H,連結(jié)CF、GH,貝!J：

(1)ABCD^AACE；(2)AE=BD；

(3)ZAFB=ZDFE=60°；(4)FC平分NBFE；

(5)BF=AF+FC,EF=DF+FC；

(6)ACGH為等邊三角形.

考向2等腰直角三角形共頂點

畫題星現(xiàn)

【母題來源】2021年中考貴州省畢節(jié)卷

【母題題文】如圖1,在RtZ^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,D為AABC內(nèi)一點，將線段AD

繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接CE,BD的延長線與CE交于點F.

(1)求證：BD=CE,BD±CE；

(2)如圖2,連接AF,DC,己知NBDC=135°,判斷AF與DC的位置關(guān)系，并說明理由.

EE

???AD=AE,NDAE=90°,

VZBAC=90°,

???NBAC=NDAE,

???ZBAD=ZCAE,

在AABD和AACE中，

AB=AC

ZBAD=ZCAE,

AD=AE

AABD^AACE(SAS),

???BD=CE,NABD=NACE,

又???/AOB=NCOF,

.\ZBFC=ZBAC=90°,

???BD_LCE；

如圖2,作AG_LBF于G,AH_LCE于H,

由(1)知△ABD—ACE,

?\BD=CE,SAABD=SAACE,

，AG=AH,

又?.,AG_LBF,AH±CE,

AAF平分NBFE,

又?.,NBFE=90°,

???NAFD=45°,

VZBDC=135°,

AZFDC=45°,

???NAFD=NFDC,

???AF〃CD.

【試題解析】(1)通過SAS證明AABD也Z^CAE,可得BD=CE,NABD=NACE,再利用三角

形內(nèi)角和定理可證BD_LCE；

(2)作AG_LBF,AH±CE,由全等知AG=AH,從而得到AF平分NBFE,證出NAFD=NFDC

=45°,從而證出平行.

【命題意圖】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【命題方向】一般設(shè)為解答題，具有很強的甄別性，為壓軸題

【得分要點】等腰直角三角形共頂點:等腰RtZ\ABC與等腰RtZ\DCE中，NACB=NDCE=90°.

如圖1,連結(jié)BD、AE交于點F,連結(jié)FC、AD、BE,貝|：

(1)ABCD^AACE；(2)AE=BD；

(3)AEXBD；(4)FC平分NBFE；

(5)AB2+DE2=AD2+BE2

(6)BF=AF+夜FC,EF=DF+V2FC；

(7)如圖2,若G、I分別為BE、AD的中點，則GCLAD、IC±BE(反之亦然);

(8)SAACD—SABCE.

1.（2021?山東膠州市模擬）如圖1,在Rt^ABC中，NACB=90°,E是邊AC上任意一點（點

E與點A,C不重合），以CE為一直角邊作RtZXECD,NECD=90°,連接BE,AD.若AC=BC,

CE=CD.

①猜想線段BE,AD之間的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，寫出結(jié)論并說明理由；

②現(xiàn)將圖1中的Rt^ECD繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)銳角a,得到圖2,請判斷①中的結(jié)論是否仍

然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

解：(1)BE=AD,BE±AD；

理由：在ABCE和AACD中,

CA=CB

VzXCB=2LACD=90°,

CE=CD

.'.△BCE^AACD(SAS),

ABE=AD,ZBEC=ZADC,

VZEBC+ZBEC=90°,

；.NEBC+NADC=90°,

ABEIAD；

(2)BE=AD,BE_LAD仍然成立;

理由：設(shè)BE與AC的交點為點F,BE與AD的交點為點G,如圖,

?.?NACB=NECD=90°,

???NACD=NBCE.

在4ACD和4BCE中，

AC=BC

Z.ACD=乙BCE,

CD=CE

AAACD^ABCE(SAS).

.\AD=BE,ZCAD=ZCBE.

VZBFC=ZAFG,NBFC+NCBE=90°,

.\ZAFG+ZCAD=90°.

???NAGF=90°.ABE±AD.

2.(2021?河南南陽一模)如圖，在AABC中，AB=AC,NBAC=a,過A作AD_LBC于點D,

點E為直線AD上一動點，把線段CE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)a,得到線段EF,連接FC、FB,直

線AD與BF相交于點G.

(1)［發(fā)現(xiàn)］如圖1,當(dāng)a=60°時，填空：

①若的值為1;

BF

②NAGB的度數(shù)為60°；

(2)［探究］如圖2,當(dāng)a=120。時，請寫出黨的值及/AGB的度數(shù)，并就圖2的情形給出

BF

證明；_

(3)［應(yīng)用］如圖3,當(dāng)a=90°時，若AB=2/,ZACE=15°,請直接寫出4DFG的面積.

解：⑴①：a=60°,

；.NBAC=NCEF=60°,

VAB=AC,線段CE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到線段EF(CE=EF),

AABC和4EFC是等邊三角形，

/.BC=AC,FC=EC,ZBCA=ZFCE=ZACB=60°,

.,.ZFCB=ZECA,

.'.△FCB^AECA(SAS),

；.BF=AE,

?AE1

??一=1；

BF

故答案為：1;

②由①得△FCBgAECA,

???NFBC=NEAC,

NBDG=NADC,

AZBGD=ZACD=60°,即NAGB=60°,

故答案為：60°；

⑵皆=W，ZAGB=30°,證明如下：

設(shè)CF與AD交于M,如圖：

E

,/a=120°,

???NBAC=NCEF=120°,

???AB=AC,線段CE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到線段EF(CE=EF),

ZBCA=ZFCE=30°

fEFCE

：.ZFCB=ZECA,AABC^AEFC,

,BC_AC

**CFCE'

.,.△FCB^AECA,

AJ7AC

NBFC=NAEC,

BFBC

VZFMG=ZEMC,

???NAGB=NFCE=30°,

在RtaACD中，y=cos300,

.AC_2

,?布=浮

.AE_AC_AC_V3

?.BF-BC一2CD-3'

(3)①當(dāng)E在線段AD上時，連接FD,過F作FKLAG于K,如圖:

???a=90。，AB=AC,線段CE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)a,得到線段EF,

???△ABC和4EFC是等腰直角三角形，

ZACB=45°,

VZACE=15°,

???NDCE=30°,

VAB=2V3,

.?.AC=2,V3,BC=2V6,

VAD±BC,

BD=CD=V6,

在RtZXECD中，cos30°=祭

；.CE=2/=EF,

：/DEC=90°-ZDCE=60°,

AZFEK=30°,

；.FK=-EF=V2,

2

.喘W，NBCF=45°-NBCE=NACE,

.,.△BCF^AACE,

；./FBC=/EAC=45°,

VAD±BC,

???△BDG時等腰直角三角形，

；.DG=BD=V6,

ADFG的面積為|DG?FK=|XV6XV2=V3；

②當(dāng)E在DA延長線上時，連接FD,過F作FTLAD于T,如圖:

VZACE=15°,NACD=45°,

AZECD=60°,

.".ZDEC=30°,ZEFD=60°,

VCD=V6,

.,.CE=FE=2V6,

在Rtz\EFT中，F(xiàn)T=FE?sin60°=3五,

?.隼=祟NBCF=45°-NACF=NACE=15"，

.".△BCF^AACE,

/.ZBFC=ZAEC=30°,

：.ZDGB=ZBFC+ZBCF=45°,

.?.△BDG是等腰直角三角形，

/.DG=BG=-BC=V6,

2

ADFG的面積為渺FT=|xV6x3企=373；

綜上所述，4DFG的面積為舊或3次.

3.（2021?浙江麗水模擬）如圖，在Rtz^ABC和Rt/XADE中,3A=90。,AB=AC,AD=AE,

點D,E分別在AB,AC±.現(xiàn)將AADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a角度（0。<a<180°）,連接

BD,CE.

(1)求證：△ADB0AAEC；

(2)已知AB=4,AD=3,求解以下問題:

①若0。＜a＜90°,且cosa＞；,求線段BD長度的取值范圍；

4

②若0。＜a＜180°,則點B,C,D,E中是否存在三點共線的情況？若存在，求出線段BD

的長度；若不存在，請說明理由.

(1)證明：VZDAE=ZBAC,

???ZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE,

即：ZBAD=ZCAE,

在ABAD和4CAE中，

AD=AE

Z-DAB=Z-CAE，

AB=AC

.'.△BAD^ACAE(SAS),

AF=AD?cosa=3,cosQ,

.,.DF2=AD2-AF2=32-(3cosa)2=9-9cos2a,

「?BF=AB-AF=4-3*cosa,

在RtZ^BDF中，由勾股定理得，

BD2=BF2+DF2=(4-3cosa)2+9-9cos2a=25-24*cosa,

Vcosa>-,

4

.'.25-24*cosQ<7,

A0<BD<7；

(3)如圖2,

當(dāng)D、E、C共線時，作AF_LDE于F,

.,.ZAFC=90°,

VAD=AE,

???NAED=NADE=45°,

；.AF=EF=AE?sin45=3x—=—,

22

在Rt^ACF中，AC=4,AF=薩，

...CF=不42"y=手,

；.CE=CF-EF=透％

2

由(1)知：AABD^AACE,

；.BD=CE,

當(dāng)D、E、B共線時，作AFLDE于F,

由上知：AF=DF=—,BF=—,

22

；.BD=BF+DF=屈+3低,

2

綜上所述：BD=V46-3V2^,V46+3V2

22

4.(2021?河南濮陽模擬)在4ABC中，CA=CB,ZACB=a,D為4ABC內(nèi)一點，將ACAD

繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角a得到ACBE,點A,D的對應(yīng)點分別為點B,E.

(1)如圖1,若A,D,E三點在同一直線上，則NCDE=竺f(用含a的代數(shù)式表示)；

(2)如圖2,若A,D,E三點在同一直線上，a=60°,過點C作CFLAE于點F,然后探

究線段CF,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)圖3中，若CA=2W,CD=2,將4DCE繞點C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CDLAC時,ZiCAD的面積

ffil圖2

解：(1)如圖1中,

\?將ACAD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角a得到^CBE,

/.△ACD^ABCE,ZDCE=a,

/.CD=CE,

；.NCDE=*^.故答案為：丑

⑵AE=BE+等CF.

理由如下：如圖2中,

:將ACAD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角60。得到ACBE,

.'.△ACD^ABCE,

；.AD=BE,CD=CE,ZDCE=60°,

.?.△CDE是等邊三角形，且CF_LDE,

.-.DF=EF=—CF,

3

\'AE=AD+DF+EF,

/.AE=BE+—CF.

3

(3)如圖，過點D作DFLAC于點F,

當(dāng)DF取得最大值時，ACAD面積最大，

又..,在△CFD中,DF<CD,

/.只有當(dāng)CD旋轉(zhuǎn)到與AC垂直時，F(xiàn)D才能取得最大值，即FD=CD=2,

ACAD的面積最大，最大面積是2V3,

故答案為：CD±AC；2V3.

5.(2021?福州模擬)如圖1,在Z\ABC中,ZBAC=90°,AB=AC=4,點E為邊AC上一點,

以AE為斜邊，在△ABC外，作AADE,使得/ADE=90°,且DE=DA.現(xiàn)將4ADE繞點A逆

時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(00<a<90°),連接BE.

(2)連接CE,設(shè)CE的中點為點F,AE的中點為點H,連接DF,直線DF與線段BE交于點G,

連接GH.

①求證：DF±BE；

②探索線段GH,GD,GE之間的數(shù)量關(guān)系.

(1)解：如圖2,過點A作AM_LBE于M,

D

圖2

VZADE=90°,DE=DA,

???NDAE=NDEA=45°,

VBE/7AD,

???NAEM=NDAE=45°,

VAM±BE,

???NEAM=NAEM=45°,

???AM=EM,

a=15°,

ZDAB=90°+15°+45°=150°,

VAD/7BE,

AZABE+ZDAB=180°,

???NABE=30°,

???AM=2AB=2=ME,BM=V3AM=2V3,

???BE=BM+ME=2百+2；

(2)①證明：如圖3,延長ED至N,使DN=DE,連接AN,連接NC交BE于點0,

VZADE=90°,DN=DE,

???AE=AN,

???NAEN=NANE=45°,

AZNAE=90°=NBAC,

???NBAE=NCAN,

又,.,AN=AE,AB=AC,

AABE^AACN(SAS),

工NABE=NACN,

VZABE+ZCBE+ZACB=90°,

???NCBE+NACB+NACN=90°,

ZB0C=90°,

.,.BEING,

???DN=DE,點F是EC中點，

???DF〃NC,

.'.DF±BE；

②解：GD-GE=V2GH,理由如下：

如圖4,連接DH,過點H作HPLHG,交DG于P,

D

圖4

VZADE=90°,DN=DE,點H是AE的中點，

，DH=HE,DH±AE,ZDEA=45°,

???NDHE=90°,

VHP±HG,

???NPHG=NDHE=90°,

/.ZDHP=ZEHG,

VDGXBE,

???NDGE=NDHE=90°,

???點D,點H,點G,點E四點共圓，

???NDEH=NDGH=45°,

???NHPG=NDGH=45°,

???PH=HG,

???PG=V2GH,

???PH=HG,NDHP=NEHG,DH=HE,

ADPH^AEHG（SAS）,

???DP=GE,

VDG-DP=PG,

.\DG-GE=V2HG.

6.（2021?山東臨沂模擬）問題情境：如圖1,AABC為等腰直角三角形，NACB=90°,F

是AC邊上的一個動點（點F與A、C不重合），以CF為一邊在等腰直角三角形外作正方形

CDEF連接BF、AD.

探究展示：（1）①猜想圖1中線段BF、AD的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)

論；

②將圖1中的正方形CDEF繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)角度a,得到如圖2的情形.圖2中

BF交AC于點H,交AD于點0,請你判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你

的判斷.

拓展延伸：（2）將原題中的等腰直角三角形ABC改為直角三角形ABC,NACB=90°,正方

形CDEF改為矩形CDEF,如圖3,且AC=4,BC=3,CD=CF=1,BF交AC于點H,交AD

于點0,連接BD、AF,求BD'+AF'的值.

圖1圖2圖3

（1）解：①:△ABC為等腰直角三角形，ZACB=90°,

.\AC=BC,

:四邊形CDEF是正方形，

???CF=CD,

VZACB=ZACD=90°,

AABCF^AACD(SAS),

???BF=AD,

延長BF交AD于點G,

VZCAD=ZCBA,

AZCAD+ZAFG=ZFBC+ZBFC=90°,

???NAGF=90°,

???BFJ_AD；

②BF=AD,BF,AD仍然成立，理由如下：

證明：:△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,

???AC=BC,

???四邊形CDEF是正方形，

???CD=CF,NFCD=90°,

???ZACB+ZACF=ZFCD+ZACF,即NBCF=ZACD,

AABCF^AACD(SAS),

???BF=AD,ZCBF=ZCAD,

XVZBHC=ZAHO,ZCBH+ZBHC=90°,

.\ZCAD+ZAH0=90°,

.,.ZA0H=90°,

???BFJ_AD；

(2)證明：連接DF,

???四邊形CDEF是矩形，

.?.ZFCD=90°,

又???NACB=90°,

.\ZACB=ZFCD,

JNACB+NACF=ZFCD+ZACF,

即NBCF=NACD,4

VAC=4,BC=3,3-CF=1,

.BCCF3

99AC~CD~4

AABCF^AACD,

??,NCBF=NCAD,

XVZBHC=ZAHO,ZCBH+ZBHC=90°,

.\ZCAD+ZAH0=90°,

???NA0H=90°,

ABF±AD,

???NB0D=NA0B=90°,

.,.BD2=OB2+OD2,AF2=OA2+OF2,AB2=OA2+OB2,DF2=OF2+OD2,

???BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2,

在RSABC中，NACB=90°，AC=4,BC=3,

22222

???AB=AC+BC=3+4=25,4

-cF

在RtZXFCD中，ZFCD=90°，T

CD-^

2222+-

：.DF=CD+CF=(1)l29

-

2952o

+-

ABD24-AF2=AB2+DF2=25-.

7.(2021?湖北宜昌模擬)已知正方形ABCD與正方形BEFG,正方形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)

E

(2)如圖2,當(dāng)點F在邊DC上時，NBCE的值是否會改變，若不變，請求出/BCE的度數(shù)，

若改變，請說明理由.

(3)若正方形ABCD的面積是正方形BEFG面積的5倍，直線AG與直線CB、CE分別相交于

點P、H,在旋轉(zhuǎn)的過