江蘇省泰興市第三高級中學虹橋校區(qū)2024-2025學年高一數(shù)學下學期期中試題含解析

PAGE江蘇省泰興市第三高級中學虹橋校區(qū)2024-2025學年高一數(shù)學下學期期中試題（含解析）總分150分時間120分鐘一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應位置上）1.復數(shù)的虛部是 ()A. B. C. D.2.化簡= ()A. B.C. D.3.在中,為角的對邊,且,則的取值范圍是 ()A. B.C. D.4.的三邊長分別為,則的值為 ()A. B. C. D.5.在中,角的對邊分別為,向量,,若,且,則角的大小為 ()A. B.C. D.6.已知正三角形的邊長為,設(shè),那么的值是 ()A. B. C. D.7.我國古代人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)覺并應用勾股定理了,勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時給出的,被后人稱為“趙爽弦圖”.如圖,大正方形是由個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的,若,為的中點,則()A. B.C. D.8.下列關(guān)于函數(shù)的說法錯誤的是 ()A.最小正周期為B.最大值為,最小值為C.函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱D.函數(shù)圖象關(guān)于點對稱二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分．在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應位置上）9.已知是銳角,那么下列各值中不能取得的值是 ()A. B. C. D.10.設(shè)向量,則下列敘述錯誤的是 ()A.若,則與的夾角為鈍角B.的最小值為C.與共線的單位向量只有一個為D.若,則或11.下面關(guān)于復數(shù)的四個說法中,結(jié)論正確的是 ()A.若復數(shù),則B.若復數(shù)滿意,則C.若復數(shù)滿意,則D.若復數(shù)滿意,則12.在三角形中,下列說法正確的有 ()A.若,則三角形有兩解B.若,則肯定是鈍角三角形C.若,則肯定是等邊三角形D.若,則肯定是等腰三角形三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分．其中第15題共有2空，第1個空2分，第2個空3分；其余題均為一空，每空5分．請把答案填寫在答題卡相應位置上）13.在中,若,三角形的面積,則三角形外接圓的半徑為________.14.在中,設(shè)邊所對的角為,若,則的最大值為________.15.若點是所在平面內(nèi)的一點,且滿意,則與的面積之比為________.

16.我國南宋聞名數(shù)學家秦九韶發(fā)覺了由三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”,設(shè)的三個內(nèi)角的對邊分別為,面積為,則“三斜求積”公式為__________________________.若,,則用“三斜求積”公式求得的面積_____.四、解答題（本大題共6小題，共計70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知復數(shù),當取何值時復數(shù)是:(1)實數(shù);(2)純虛數(shù);(3).18.已知的內(nèi)角的對邊分別為,向量.(1)當時,求的值;(2)當且時,求的值.19.在中,.(1)求的大小;(2)求的最大值.20.在中,角的對邊分別為,已知.(1)求的值;(2)在邊上取一點,使得,求的值.21.在某次地震時,震中(產(chǎn)生振動的中心位置)的南面有三座東西方向的城市.已知兩城市相距,兩城市相距,市在兩市之間,如圖所示,某時刻市感到地表振動,后市感到地表振動,后市感到地表振動,已知震波在地表傳播的速度為每秒.求震中到三市的距離.22.在①;②;③的面積為,且,這三個條件中隨意選擇一個,填入下面的問題中,并求解.在銳角中,角所對的邊分別為,________,函數(shù)的最小正周期為,為在上的最大值,求的取值范圍.

注:假如選擇多個條件分別解答,那么按第一個解答計分.泰興市第三高級中學虹橋校區(qū)2024-2025高一數(shù)學期中試卷答案總分150分時間120分鐘20240426一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應位置上）1.復數(shù)11A.-310 B.-110 C.110【解析】選D.因為11-3i=1+3i(1-32.化簡2cos8+2-2A.2sin4 B.-2sin4C.2cos4 D.-2cos4【解析】選A.原式=4cos2因為π<4<3π所以原式=-2cos4+2(sin4+cos4)=2sin4.3.在△ABC中,a,b,c為角A,B,C的對邊,且b2=ac,則B的取值范圍是 ()A.0,π3 C.0,π6 【解析】選A.cosB=a2+c2-b22ac4.△ABC的三邊長分別為AB=7,BC=5,CA=6,則·的值為 ()A.19 B.14 C.-18 D.-19【解析】選D.由余弦定理的推論知cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=1935,所以·=||·5.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,向量m=(3,-1),n=(cosA,sinA),若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,則角A,B的大小為 ()A.π6,π3 B.2C.π3,π6 D.π【解析】選C.因為m⊥n,所以3cosA-sinA=0,所以tanA=3,則A=π3sinAcosB+sinBcosA=sin2C所以sin(A+B)=sin2C,所以sinC=sin2因為0<C<π,sinC≠0,所以sinC=1,所以C=π2,所以B=π6.已知正三角形ABC的邊長為1,設(shè)=c,=a,=b,那么a·b+b·c+c·a的值是 ()A.32 B.-32QUOTE12 C.12 D.-【解析】選B.因為a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,即|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以3+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以a·b+b·c+c·a=-327.我國古代人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)覺并應用勾股定理了,勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時給出的,被后人稱為“趙爽弦圖”.如圖,大正方形ABCD是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的,若=a,=b,E為BF的中點,則= ()A.45a+25b B.25aC.43a+23b D.23a【解題指南】建立平面直角坐標系.不妨設(shè)AB=1,BE=x,則AE=2x.利用勾股定理可得x,通過Rt△ABE的邊角關(guān)系,可得E的坐標,設(shè)=m+n,通過坐標運算性質(zhì)即可得出.【解析】選A.如圖所示,建立平面直角坐標系.不妨設(shè)AB=1,BE=x,則AE=2x.所以x2+4x2=1,解得x=55設(shè)∠BAE=θ,則sinθ=55,cosθ=2所以xE=255cosθ=45,yE=255設(shè)=m+n,則45所以m=45,n=25.所以=45a+28.下列關(guān)于函數(shù)f(x)=1-2sin2x-π4的說法錯誤的是A.最小正周期為πB.最大值為1,最小值為-1C.函數(shù)圖象關(guān)于直線x=0對稱D.函數(shù)圖象關(guān)于點π2【解析】選C.函數(shù)f(x)=1-2sin2x-π4=cos2最大值為1,最小值為-1,B正確.由2x=kπ+π2?x=kπ2+π4,k∈Z,得函數(shù)圖象關(guān)于直線x=kπ2+由2x=kπ?x=kπ2,k∈Z,得函數(shù)圖象關(guān)于點kπ2,二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分．在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應位置上）9.已知θ是銳角,那么下列各值中sinθ+cosθ不能取得的值是 ()A.43 B.34 C.5【解析】選BCD.因為0<θ<π2,所以θ+π4∈π4,3π4,所以22<sinθ+π4≤1,又sinθ+cos10.設(shè)向量a=k,2,b=A.若k<2,則a與b的夾角為鈍角B.a的最小值為2C.與b共線的單位向量只有一個為2D.若a=2b,則k=22或-22【解析】選ACD.對于選項A,若a與b的夾角為鈍角,則a·b<0且a與b不共線,則k-2<0且-k≠2,解得k<2且k≠-2,故選項A不正確,符合題意;對于選項B,a=k2+4對于選項C,b=2,與b共線的單位向量為±bb,即與b共線的單位向量為22,-對于選項D,a=2b=22,即k2+4=22,解得k=11.下面關(guān)于復數(shù)的四個說法中,結(jié)論正確的是 ()A.若復數(shù)z∈R,則z-B.若復數(shù)z滿意z2∈R,則z∈RC.若復數(shù)z滿意1zD.若復數(shù)z1,z2滿意z1z2∈R,則z1=z【解析】選AC.A選項,設(shè)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R),則z-=a-bi(a,b∈R),因為z∈R,所以b=0,因此z-=a∈R,即A正確;B選項,設(shè)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)則z2=a+bi2因為z2∈R,所以ab=0,若a=0,b≠0,則z?R,故B錯;C選項,設(shè)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R),則1z=1a+bi=a-因為1z∈R,所以ba2+b2=0,即b=0,所以z=a∈R,故C正確;D選項,設(shè)復數(shù)z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),則z1z2=因為z1z2∈R,所以ad+bc=0,若a=1,b=1,12.在三角形ABC中,下列說法正確的有 ()A.若A=30°,b=4,a=5,則三角形ABC有兩解B.若0<tanA·tanB<1,則△ABC肯定是鈍角三角形C.若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,則△ABC肯定是等邊三角形D.若a-b=c·cosB-c·cosA,則△ABC肯定是等腰三角形【解析】選BC.因為A=30°,b=4,a=5,所以由正弦定理得sinB=bsinAa=2所以B只有一個解,故A錯誤.由0<tanA·tanB<1,得0<sinAsinBcosAcosB所以cosAcosB-sinAsinB>0,即cos(A+B)>0,所以A+B<π2所以C=π-A-B>π2故△ABC肯定是鈍角三角形,故B正確.因為cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,所以cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,所以A=B=C=60°,故C正確.因為a-b=c·cosB-c·cosA,所以sinA-sinB=sinCcosB-sinCcosA,所以sinA-sinCcosB=sinB-sinCcosA,因為sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinBcosC=sinAcosC,所以cosC=0或sinA=sinB,所以C=π2或所以△ABC的形態(tài)是等腰或直角三角形.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分．其中第15題共有2空，第1個空2分，第2個空3分；其余題均為一空，每空5分．請把答案填寫在答題卡相應位置上）13.在△ABC中,若b=2,A=120°,三角形的面積S=3,則三角形外接圓的半徑為________.

【解析】在△ABC中,因為b=2,A=120°,三角形的面積S=3=12bc·sinA=c·3所以c=2=b,故B=C=12(180°-A)=30°再由正弦定理可得bsinB=2R=2所以三角形外接圓的半徑R=2.答案:214.在△ABC中,設(shè)邊a,b,c所對的角為A,B,C,若cosA=12,a=6,則bc的最大值為________【解析】依據(jù)題意,在△ABC中,若cosA=12a=6,則a2=b2+c2-2bccosA,即b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=6,又由(b+c)2≥4bc,則有4bc-3bc=bc≤6,即bc的最大值為6.答案:615.若點M是△ABC所在平面內(nèi)的一點,且滿意3--=0,則△ABM與△ABC的面積之比為________.

【解析】如圖,D為BC邊的中點,則=12(+).因為3--=0,所以3=2,所以=23,所以S△ABM=23S△ABD=13S△答案:1∶316.我國南宋聞名數(shù)學家秦九韶發(fā)覺了由三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”,設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為S,則“三斜求積”公式為________.若a2sinC=2sinA,(a+c)2=4+23+b2,則用“三斜求積”公式求得△ABC的面積為________.

【解析】由余弦定理得cosB=c2所以sinB=1-cos2所以S△ABC=12acsinB=12ac=14因為a2sinC=2sinA,所以a2c=2a又因為(a+c)2=4+23+b2,所以c2+a2-b2=23,S=14c2a2答案:S=14c四、解答題（本大題共6小題，共計70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知復數(shù)z:m(m-1)+(m2+2m-3)i,當m取何值時復數(shù)z是:(1)實數(shù);(2)純虛數(shù);(3)z=2+5i.【解析】(1)因為z為實數(shù),所以m2+2m-3=0,解得m=-3或m=1,所以當m=-3或m=1時,z為實數(shù);(2)由z為純虛數(shù),可得m(m-(3)因為z=2+5i,所以m(m-1)+(m2+2m-3)i=2+5i,所以m(18.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,向量m=(sinA,a),n=(1,sinB).(1)當m·n=2sinA時,求b的值;(2)當m∥n且cosC=12【解析】(1)由題意得m·n=sinA+asinB=2sinA,即asinA=1sinB.由正弦定理得asinA(2)由平行條件得a=sinA·sinB,cosC=-cosA+B=sinAsinB-cosAcosB=則可得到cosAcosB=12a,所以tanAtanB=sinAsinB19.在△ABC中,a2+c2=b2+2ac.(1)求B的大小;(2)求2cosA+cosC的最大值.【解析】(1)由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB.代入已知得,cosB=22.因為B∈(0,π),所以B=π(2)2cosA+cosC=2cosA+cos(π-B-A)=2cosA+cos3=22cosA+22sinA=sin因為B=π4,所以A∈0,3π4當A+π4=π2,即A=π4時,sinA20.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=3,c=2,B=45°.(1)求sinC的值;(2)在邊BC上取一點D,使得cos∠ADC=-45【解析】(1)由余弦定理,得cosB=cos45°=a2+c2-因此b2=5,即b=5,由正弦定理csinC=bsinB,得2sinC=5(2)因為cos∠ADC=-45所以sin∠ADC=1-cos2因為∠ADC∈π2,π,所以C所以cosC=1-sin2所以sin∠DAC=sin(π-∠DAC)=sin(∠ADC+∠C)=sin∠ADCcosC+cos∠ADCsinC=25因為∠DAC∈0,π2,所以cos∠DAC=1故tan∠DAC=sin∠DACcos21.在某次地震時,震中A(產(chǎn)生振動的中心位置)的南面有三座東西方向的城市B,C,D.已知B,C兩城市相距20km,C,D兩城市相距34km,C市在B,D兩市之間,如圖所示,某時刻C市感到地表振動,8s后B市感到地表振動,20s后D市感到地表振動,已知震波在地表傳播的速度為每秒1.5km.求震中A到B,C,D三市的距離.【解析】在△ABC中,由題意得AB-AC=1.5×8=12(km).在△ACD中,由題意得AD-AC=1.5×20=30(km).設(shè)AC=xkm,AB=(12+x)km,AD=(30+x)km.在△ABC中,cos∠ACB=x2+400-(12+x在△ACD中,cos∠ACD=x2+1156-(因為B,C,D在一條直線上,所以64-15x17x=-32解得x=487.所以AB=1327km,AD=即震中A到B,C,D三市的距離分別為1327km,487km,22.在①acosB+bcosA=2ccosC;②2asinAcosB+bsin2A=3a;③△ABC的面積為S,且4S=3(a2+b2-c2),這三個條件中隨意選擇一個,填入下面的問題中,并求解.在銳角△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,________,函數(shù)fx=23sinωxcosωx+2cos2ωx的最