山東省膠州市實驗中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月階段性檢測試題

PAGE26-山東省膠州市試驗中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月階段性檢測試題一．選擇題（共8小題）1．設(shè)集合A＝{1，﹣2}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∩B＝B，則實數(shù)a的值的集合是（）A． B． C． D．2．將不超過實數(shù)x的最大整數(shù)記為[x]，設(shè)函數(shù)，則f（f（0.8））＝（）A．4 B．2 C．1 已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+4）＝﹣f（x），當(dāng)x∈[﹣2，0）時，f（x）＝ex，則f（2024）+f（2024）+f（2024）等于（）A． B．﹣ C．﹣e D．e4．函數(shù)在[﹣π，π]的圖象大致是（） BA．． C． D．5．設(shè)a，b＞0，若a+4b＝1，則log2a+log2bA．最小值為﹣2 B．最小值為﹣4 C．最大值為﹣2 D．最大值為﹣6．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n C．若m⊥α，m⊥n，則n∥α D．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β7．如圖1，圓形紙片的圓心為O，半徑為6cm，該紙片上的正方形ABCD的中心為O．點E，F(xiàn)，G，H為圓O上的點，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分別是以AB，BC，CD，DA為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DA為折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F(xiàn)，G，H重合得到一個四棱錐P﹣ABCD（如圖2）．當(dāng)四棱錐P﹣ABCD的側(cè)面積是底面積的2倍時，異面直線PB與CD B． C． D．8．已知函數(shù)f（x）＝2sin（x+），則下列結(jié)論不正確的有（）A．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（﹣，0）對稱 B．函數(shù)f（x）的圖象左移個單位可得函數(shù)g（x）＝2cos（x+）的圖象 C．函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）＝2sin（x﹣）的圖象關(guān)于x軸對稱 D．若實數(shù)m使得方程f（x）＝m在[0，2π]上恰好有三個實數(shù)解x1，x2，x3，則肯定有x1+x2+x3＝二．多選題（共4小題）9．如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AD，CD的中點，AF∩CE＝G，則（）A．B． C．D．10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE（A1?平面ABCD），若M，O分別為線段A1C，DE的中點，則在△ADEA．與平面A1DE垂直的直線必與直線BM垂直 B．異面直線BM與A1E所成的角是定值 C．肯定存在某個位置，使DE⊥MO D．三棱錐A1﹣ADE外接球半徑與棱AD的長之比為定值11．意大利聞名數(shù)學(xué)家斐波那契在探討兔子繁殖問題時，發(fā)覺有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為“斐波那契數(shù)列”，記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)6＝8 B．S7＝33 C．a(chǎn)1+a3+a5+…+a2024＝a2024 D．＝a202412．已知函數(shù)f（x）＝ex+x﹣2的零點為a，函數(shù)g（x）＝lnx+x﹣2的零點為b，則下列不等式中成立的是（）A．ea+lnb＞2 B．ea+lnb＜2 C．a(chǎn)2+b2＜3 D．a(chǎn)b三．填空題（共4小題）13．已知函數(shù)圖象的一條對稱軸為直線，若函數(shù)F（x）＝在[，]上的全部零點依次記為x1，x2，x3，…，xn，則x1+x2+…+xn＝．14．已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，＝，＝，則?＝．15．已知三個函數(shù)h（x）＝x2﹣2lnx，f（x）＝h′（x）﹣5lnx﹣5ln2，g（x）＝h（x）+2lnx﹣bx+4．若?x1∈（0，1]，?x2∈[1，2]，都有f（x1）≥g（x2）成立，則實數(shù)b的取值范圍是．16．設(shè)x＝θ是函數(shù)f（x）＝3cosx+sinx的一個極值點，則cos2θ+sin2θ＝．四．解答題（共8小題）17．在①，②2bsinA＝atanB，③（a﹣c）sinA+csin（A+B）＝bsinB這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若．（1）求角B；（2）若a+c＝4，求△ABC周長的最小值，并求出此時△ABC的面積．18．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E為線段PB的中點．（1）若F為線段BC上的動點，證明：平面AEF⊥平面PBC；（2）若F為線段BC的中點，求點P到平面AEF的距離．19．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且＝．（1）求A；（2）若等差數(shù)列{an}的公差不為0，a1sinA＝1，且a3，a6，a12成等比數(shù)列，求{}的前n項和Sn．20．已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n+1﹣r．（1）求r的值，并求出數(shù)列{an}的通項公式；（2）令bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．21、如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB上的中點．二面角P﹣AC﹣E的余弦值為．（1）求直線PA與平面EAC所成角的正弦值；（2）求點D到平面ACE的距離．22．已知函數(shù)f（x）＝ex+ax2﹣x．（1）當(dāng)a＝1時，探討f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍．

參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．．故選：D．【點評】本題考查了列舉法、描述法的定義，交集的定義及運算，子集的定義，分類探討的思想，考查了計算實力，屬于基礎(chǔ)題．2．將不超過實數(shù)x的最大整數(shù)記為[x]，設(shè)函數(shù)，則f（f（0.8））＝（）A．4 B．2 C．1 【分析】干脆依據(jù)定義以及解析式一步步求解即可．【解答】解：∵不超過實數(shù)x的最大整數(shù)記為[x]，設(shè)函數(shù)，∴f（0.8）＝5×0.8×[]＝4，∴f（f（0.8））＝f（4）＝log24＝2，故選：B．【點評】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)值的計算，屬于基礎(chǔ)題．3．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+4）＝﹣f（x），當(dāng)x∈[﹣2，0）時，f（x）＝ex，則f（2024）+f（2024）+f（2024）等于（）A． B．﹣ C．﹣e D．e【分析】依據(jù)題意，分析函數(shù)的周期，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與解析式求出f（2024）的值，而f（2024）+f（2024）+f（2024）＝f（2024）+f（2024）+f（2024+4）＝f（2024），計算可得答案．【解答】解：依據(jù)題意，f（x）滿意f（x+4）＝﹣f（x），則f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），則函數(shù)f（x）是周期為8的周期函數(shù)，則f（2024）＝f（﹣3+2024）＝f（﹣3），又由f（x）為奇函數(shù)，則f（﹣3）＝﹣f（3），而f（3）＝f（4﹣1）＝﹣f（﹣1），則f（﹣3）＝f（﹣1），又由當(dāng)x∈[﹣2，0）時，f（x）＝ex，則f（﹣1）＝e﹣1＝，則有f（2024）＝f（﹣3）＝f（﹣1）＝，則f（2024）+f（2024）+f（2024）＝f（2024）+f（2024）+f（2024+4）＝f（2024）+f（2024）﹣f（2024）＝f（2024）＝f（3）＝，故選：A．【點評】本題考查函數(shù)奇偶性、周期性的應(yīng)用，留意分析函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題．4．函數(shù)在[﹣π，π]的圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】由f（0）＝﹣1，可解除選項B和D；比較選項A和C，只需考慮f（x）的零點問題，于是令g（x）＝xsinx﹣1，再結(jié)合零點存在性定理進(jìn)行推斷即可作出選擇．【解答】解：∵f（0）＝＝﹣1，∴解除選項B和D；令g（x）＝xsinx﹣1，則g（0）＝﹣1＜0，g（）＝﹣1＞0，∵g（0）?g（）＜0，∴存在x0∈（0，），使得g（x0）＝0，即f（x0）＝0，∴解除選項A．故選：C．【點評】本題考查函數(shù)圖象的識別，一般可從函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、零點個數(shù)問題或特別點處的函數(shù)值等方面著手思索，考查學(xué)生的邏輯推理實力和運算實力，屬于基礎(chǔ)題．5．設(shè)a，b＞0，若a+4b＝1，則log2a+log2bA．最小值為﹣2 B．最小值為﹣4 C．最大值為﹣2 D．最大值為﹣【分析】先利用基本不等式得到，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)即可求出結(jié)果．【解答】解：∵a，b＞0，且a+4b＝1，∴由基本不等式得：，∴，∴l(xiāng)og2a+log2b＝log2（ab）＝﹣4，故選：D．【點評】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．6．設(shè)m，n是條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n C．若m⊥α，m⊥n，則n∥α D．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β【分析】依據(jù)條件舉反例說明錯誤或利用定理證明出結(jié)論．【解答】解：對于A，若m∥α，n∥α，則m，n平行或相交或異面，故A錯誤；對于B，若α∥β，m?α，n?β，則m，n沒有公共點，故m，n平行或異面，故B錯誤；對于C，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故C錯誤；對于D，若n∥β，則平面β內(nèi)必存在直線l使得l∥n，又m∥n，∴l(xiāng)∥m，又m⊥α，則l⊥α，故β⊥α，故D正確．故選：D．【點評】本題考查了空間線面位置關(guān)系的推斷，屬于基礎(chǔ)題．7．如圖1，圓形紙片的圓心為O，半徑為6cm，該紙片上的正方形ABCD的中心為O．點E，F(xiàn)，G，H為圓O上的點，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分別是以AB，BC，CD，DA為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DA為折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F(xiàn)，G，H重合得到一個四棱錐P﹣ABCD（如圖2）．當(dāng)四棱錐P﹣ABCD的側(cè)面積是底面積的2倍時，異面直線PB與CDA． B． C． D．【分析】依據(jù)題意，設(shè)正方形ABCD的邊長為x，由四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時，即可求解x，由AB∥CD，可得∠PBA即為異面直線PB與CD所成的角，利用余弦定理即可求解異面直線PB與CD所成角的余弦值．【解答】解：如圖，連接OE交AB于點I，設(shè)正方形ABCD的邊長為x．則OI＝，IE＝6﹣，由四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，可得4××（6﹣）＝2x2，解得x＝4．即AB＝4，BI＝2，EI＝4，所以BE＝AE＝2，所以在四棱錐P﹣ABCD中，PB＝PA＝2，因為AB∥CD，所以∠PBA即為異面直線PB與CD所成的角，所以cos∠PBA＝＝＝，即異面直線PB與CD所成角的余弦值為．故選：A．【點評】本題主要考查異面直線所成的角的求法，考查四棱錐的結(jié)構(gòu)特征、考查運算求解實力，屬于中檔題．8．已知函數(shù)f（x）＝2sin（x+），則下列結(jié)論不正確的有（）A．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（﹣，0）對稱 B．函數(shù)f（x）的圖象左移個單位可得函數(shù)g（x）＝2cos（x+）的圖象 C．函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）＝2sin（x﹣）的圖象關(guān)于x軸對稱 D．若實數(shù)m使得方程f（x）＝m在[0，2π]上恰好有三個實數(shù)解x1，x2，x3，則肯定有x1+x2+x3＝【分析】干脆利用函數(shù)的性質(zhì)：對稱性判定A、C，函數(shù)的平移變換判定B，函數(shù)的單調(diào)性和零點的關(guān)系判定D．【解答】解：函數(shù)f（x）＝2sin（x+），對于選項A：當(dāng)x＝﹣時，f（﹣）＝2sin（）＝1，故選項A錯誤．對于選項B：函數(shù)f（x）的圖象向左平移個單位，得到g（x）＝2sin（x+）＝2cos（x+），故選項B正確．對于選項C：f（x）＝﹣h（x）＝﹣2sin（x+）＝﹣2sin（x+），故選項C正確．對于選項D：當(dāng)x在[0，2π]上，時，函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞增，在（）上單調(diào)遞增，在（）上單調(diào)遞減，且f（0）＝f（2π），當(dāng)實數(shù)m使得方程f（x）＝m在[0，2π]上恰好有三個實數(shù)解x1，x2，x3，所以，x3＝2π，故肯定有x1+x2+x3＝，故選項D正確．故選：A．【點評】本題考查的學(xué)問要點：正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的對稱性和單調(diào)性的關(guān)系，主要考查學(xué)生的運算實力和轉(zhuǎn)換實力及思維實力，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）9．如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AD，CD的中點，AF∩CE＝G，則（）A． B． C． D．【分析】對于A：干脆利用三角形法則的應(yīng)用和線性運算的應(yīng)用求出結(jié)果．對于B：利用三角形法則的應(yīng)用和線性運算的應(yīng)用求出結(jié)果．對于C：利用平行線分線段成比例和三角形法則和線性運算的應(yīng)用求出結(jié)果．對于D：干脆利用平行線成比例的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AD，CD的中點，AF∩CE＝G，如圖所示：依據(jù)三角形法則：對于A：，故選項A正確．對于B：E，F(xiàn)分別為線段AD，CD的中點，所以，故選項B正確．對于C：過E作EH∥DC，所以，所以，故，整理得，所以，即＝，故選項C錯誤．對于D：依據(jù)平行線分線段成比例定理，點B、G、D共線，故選項D錯誤．故選：AB．【點評】本題考查的學(xué)問要點：平面對量共線基本定理，向量的線性運算，平行線分線段定理，三角形法則，主要考查學(xué)生的運算實力和轉(zhuǎn)換實力及思維實力，屬于中檔題型．10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE（A1?平面ABCD），若M，O分別為線段A1C，DE的中點，則在△ADEA．與平面A1DE垂直的直線必與直線BM垂直 B．異面直線BM與A1E所成的角是定值 C．肯定存在某個位置，使DE⊥MO D．三棱錐A1﹣ADE外接球半徑與棱AD的長之比為定值【分析】取DC中點N，連接MN，NB，證明MB∥平面A1DE，然后推斷A．取A1D的中點為F，連接MF，EF，說明∠A1EF為異面直線BM與A1E所成的角．求解即可推斷B；連接A1O．推出DE⊥A1C．推斷DE⊥A1E，推斷C．推出為定值，推斷D正確．【解答】解：取DC中點N，連接MN，NB．∵M(jìn)為A1C的中點，∴MN∥A1D，又∵E為AB的中點，∴DN∥EB且DN＝EB，∴四邊形BNDE為平行四邊形，∴NB∥DE．∵A1D∩DE＝D，MN∩NB＝N，∴平面MNB∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，∴與平面A1DE垂直的直線必與直線BM垂直，A正確；取A1D的中點為F，連接MF，EF，則MF∥EB且MF＝EB，∴四邊形BEFM是平行四邊形，∴BM∥EF，∴∠A1EF為異面直線BM與A1E所成的角．設(shè)AD＝1，則AB＝2AD＝2，A1D＝A1E＝1，∴，∴，故異面直線BM與A1E所成的角為定值，B正確；連接A1O．∵△A1DE為等腰直角三角形且O為斜邊DE中點，∴DE⊥A1O．若DE⊥MO，則DE⊥平面A1MO，∴DE⊥A1C．又∵，DC＝2，∴DE2+EC2＝DC2，∴DE⊥EC，又∵EC∩A1C＝C，∴DE⊥平面A1EC，∴DE⊥A1E，與已知沖突，C錯誤；∵OD＝OE＝OA＝OA1，∴O為三棱錐A1﹣ADE的外接球球心．又∵為定值，∴D正確；故選：ABD．【點評】本題考查直線與平面垂直，平面與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考查空間想象實力以及邏輯推理實力與計算實力，屬于中檔題．11．意大利聞名數(shù)學(xué)家斐波那契在探討兔子繁殖問題時，發(fā)覺有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為“斐波那契數(shù)列”，記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)6＝8 B．S7＝33 C．a(chǎn)1+a3+a5+…+a2024＝a2024 D．＝a2024【分析】依據(jù)數(shù)列的特點，求出其遞推關(guān)系式有an+2＝an+1+an，再對每一個選項逐個檢驗即可．【解答】解：A．由a1＝a2，a3＝a4﹣a2，a5＝a6﹣a4，可得a6＝8成立；B．由a1＝a2，a3＝a4﹣a2，a5＝a6﹣a4，可得a6＝8，a7＝13，∴s7＝1+1+2+3+5+8+13＝33成立；C．由a1＝a2，a3＝a4﹣a2，a5＝a6﹣a4，……，a2024＝a2024﹣a2024，可得：a1+a3+a5+…+a2024＝a2024．故a1+a3+a5+…+a2024是斐波那契數(shù)列中的第2024項．即答案C不成立；D．斐波那契數(shù)列總有an+2＝an+1+an，則a，，…，，∴即答案D成立故選：ABD．【點評】本題主要考察數(shù)列地推關(guān)系在解題中的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是得到遞推關(guān)系式有an+2＝an+1+an，考查閱讀實力和分析解決問題的實力，屬于中檔題．12．已知函數(shù)f（x）＝ex+x﹣2的零點為a，函數(shù)g（x）＝lnx+x﹣2的零點為b，則下列不等式中成立的是（）A．ea+lnb＞2 B．ea+lnb＜2 C．a(chǎn)2+b2＜3 D．a(chǎn)b【分析】由f（x）＝0，g（x）＝0得ex＝2﹣x，lnx＝2﹣x，函數(shù)y＝ex與y＝lnx互為反函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的圖象，A（a，ea），B（b，lnb），利用反函數(shù)的性質(zhì)推斷A、B、D的正誤；利用函數(shù)的單調(diào)性推斷C的正誤即可．【解答】解：由f（x）＝0，g（x）＝0得ex＝2﹣x，lnx＝2﹣x，函數(shù)y＝ex與y＝lnx互為反函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的圖象，如圖所示，則A（a，ea），B（b，lnb），由反函數(shù)性質(zhì)知A，B關(guān)于（1，1）對稱，則a+b＝2，ea+lnb＝2，，∴A、B錯誤，D正確．∵f'（x）＝ex+1＞0．∴f（x）在R上單調(diào)遞增，且f（0）＝﹣1＜0，，∴．∵點A（a，ea）在直線y＝2﹣x上，即ea＝2﹣a＝b，∴．C正確．故選：CD．【點評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點以及函數(shù)的圖象的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是中檔題．三．填空題（共4小題）13．已知函數(shù)圖象的一條對稱軸為直線，若函數(shù)F（x）＝在[，]上的全部零點依次記為x1，x2，x3，…，xn，則x1+x2+…+xn＝．【分析】由題意利用協(xié)助角公式化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦函數(shù)圖象的對稱性，求得結(jié)果．【解答】解：∵函數(shù)＝sin（x+θ）圖象的一條對稱軸為直線，∴當(dāng)x＝時，有|+|＝，解得a＝1，故f（x）＝sinx+cosx＝2sin（x+），函數(shù)F（x）＝的零點，即直線y＝和函數(shù)f（x）的圖象交點橫坐標(biāo)．由x∈[，]，可得x+∈[﹣，]，故函數(shù)F（x）＝在[，]上的全部零點共計4個．若函數(shù)F（x）＝在[，]上的全部零點依次記為x1，x2，x3，x4，則由圖象的對稱性可得x1++（x2+）＝2×，x3++（x4+）＝2×，∴x1+x2＝，x3+x4＝，∴x1+x2+x3+x4＝，故答案為：．【點評】本題主要考查協(xié)助角公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦函數(shù)圖象的對稱性，屬于中檔題．14．已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，＝，＝，則?＝．【分析】依據(jù)條件可畫出圖形，然后可得出，然后進(jìn)行數(shù)量積的運算即可求出的值．【解答】解：如圖，∵，∴＝，，又菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，∴＝＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了向量加法的幾何意義，相等向量和相反向量的定義，向量的數(shù)乘和數(shù)量積的運算，向量數(shù)量積的計算公式，考查了計算實力，屬于基礎(chǔ)題．15．已知三個函數(shù)h（x）＝x2﹣2lnx，f（x）＝h′（x）﹣5lnx﹣5ln2，g（x）＝h（x）+2lnx﹣bx+4．若?x1∈（0，1]，?x2∈[1，2]，都有f（x1）≥g（x2）成立，則實數(shù)b的取值范圍是[8，+∞）．【分析】求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，得到關(guān)于b的不等式組，解出即可．【解答】解：由題意知h′（x）＝2x﹣，故f（x）＝2x﹣﹣5lnx﹣5ln2，g（x）＝x2﹣bx+4，∴f′（x）＝2+﹣＝＝，∴f（x）在（0，）遞增，在（，2）遞減，易知f（x）在區(qū)間（0，1]上的最大值是f（）＝﹣3，若?x1∈（0，1]，?x2∈[1，2]，都有f（x1）≥g（x2）成立，即即，解得：b≥8，故答案為：[8，+∞）．【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道常規(guī)題．16．設(shè)x＝θ是函數(shù)f（x）＝3cosx+sinx的一個極值點，則cos2θ+sin2θ＝．【分析】先利用連續(xù)光滑曲線的極值點處的導(dǎo)數(shù)為0求出，再把cos2θ+sin2θ除以構(gòu)造齊次式，進(jìn)而分子分母同時除以即可實現(xiàn)弦化切的轉(zhuǎn)化．【解答】解：∵f′（θ）＝﹣3sinθ+cosθ＝0，∴，∴．故答案為：．【點評】本題考查極值點的概念，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共8小題）17．在①，②2bsinA＝atanB，③（a﹣c）sinA+csin（A+B）＝bsinB這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若①②③．（1）求角B；（2）若a+c＝4，求△ABC周長的最小值，并求出此時△ABC的面積．注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【分析】若選①：（1）由正弦定理，兩角差的正弦函數(shù)公式化簡已知等式，結(jié)合sinA≠0，可得sin（B﹣）＝，可求范圍B﹣∈（﹣，），進(jìn)而可求B的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求b≥2，進(jìn)而依據(jù)三角形的面積公式即可求解．若選②：（1）由正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡已知等式，結(jié)合sinA≠0，可求cosB＝，結(jié)合范圍B∈（0，π），可求B的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求b≥2，進(jìn)而依據(jù)三角形的面積公式即可求解．若選③：（1）由兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理化簡已知等式，整理可得：a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理可得cosB＝，結(jié)合范圍B∈（0，π），可求B的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求b≥2，進(jìn)而依據(jù)三角形的面積公式即可求解．【解答】解：若選①：（1）因為，由正弦定理可得：sinBsinA＝sinAcosB+sinA，因為A為三角形內(nèi)角，sinA≠0，所以sinB＝cosB+1，可得：2sin（B﹣）＝1，即sin（B﹣）＝，因為B∈（0，π），可得B﹣∈（﹣，），可得B﹣＝，所以可得B＝．（2）∵b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣3ac＝16﹣3ac，即3ac＝16﹣b2，∴16﹣b2≤3（）2，解得b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時，取等號，∴bmin＝2，△ABC周長的最小值為6，此時，△ABC的面積S＝acsinB＝．若選②：（1）∵2bsinA＝atanB，∴2bsinA＝，由正弦定理可得2sinBsinA＝sinA?，∵sinA≠0，∴可得cosB＝，∵B∈（0，π），∴B＝．（2）∵b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣3ac＝16﹣3ac，即3ac＝16﹣b2，∴16﹣b2≤3（）2，解得b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時，取等號，∴bmin＝2，△ABC周長的最小值為6，此時，△ABC的面積S＝acsinB＝．若選③：（1）因為（a﹣c）sinA+csin（A+B）＝bsinB，所以（a﹣c）sinA+csinC＝bsinB，由正弦定理可得：（a﹣c）a+c2＝b2，整理可得：a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理可得cosB＝＝＝，因為B∈（0，π），所以B＝．（2）∵b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣3ac＝16﹣3ac，即3ac＝16﹣b2，∴16﹣b2≤3（）2，解得b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時，取等號，∴bmin＝2，△ABC周長的最小值為6，此時，△ABC的面積S＝acsinB＝．【點評】本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算實力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．18．已知各項都不相等的等差數(shù)列{an}中，，又a1，a2，a6成等比數(shù)列．（I）求數(shù)列{an}的通項公式；（II）若函數(shù)，0＜φ＜π，的一部分圖象如圖所示，A（﹣1，a1），B（3，﹣a1）為圖象上的兩點，設(shè)∠AOB＝θ，其中O為坐標(biāo)原點，0＜θ＜π，求cos（θ+φ）的值．【分析】（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d（d≠0），則a4＝a1+3d①，再由等比數(shù)列中項公式可知＝a1?（a1+5d）②，解①②構(gòu)成的方程組即可．（II）把點A（﹣1，）代入函數(shù)y＝sin（x+φ）中，結(jié)合0＜φ＜π，可得φ＝；在△AOB中，由余弦定理可求得cosθ的值，從而得角θ；再利用余弦的兩角和公式將cos（θ+φ）綻開后，代入相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行運算即可得解．【解答】解：（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d（d≠0），則a4＝a1+3d＝①，∵a1，a2，a6成等比數(shù)列，∴＝a1?a6，即＝a1?（a1+5d）②，由①②解得，a1＝，d＝．∴an＝a1+（n﹣1）d＝n﹣（n∈N*）．（II）由（I）知，a1＝，∴A（﹣1，），B（3，﹣），把A（﹣1，）代入函數(shù)y＝sin（x+φ），得φ＝+2kπ，k∈Z．∵0＜φ＜π，∴φ＝．∵A（﹣1，），B（3，﹣），∴AO＝2，BO＝，AB＝．在△AOB中，由余弦定理知，cos∠AOB＝，即cosθ＝＝．又0＜θ＜π，∴θ＝．∴cos（θ+φ）＝cos（+）＝coscos﹣sinsin＝（）×（）﹣×＝．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、兩角和差公式，還涉及等差數(shù)列通項公式、等比數(shù)列中項公式、余弦定理等基礎(chǔ)公式，考查學(xué)生敏捷運用學(xué)問的實力、邏輯推理實力和運算實力，屬于中檔題．19．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且＝．（1）求A；（2）若等差數(shù)列{an}的公差不為0，a1sinA＝1，且a3，a6，a12成等比數(shù)列，求{}的前n項和Sn．【分析】（1）先由題設(shè)條件和正弦定理?b2+c2﹣a2＝﹣bc，進(jìn)而由余弦定理求得cosA，即可求得A；（2）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d（d≠0），先由題設(shè)求得a1與d，進(jìn)而求得an與，再利用裂項相消法求得數(shù)列{}的前n項和Sn即可．【解答】解：（1）由＝?a2﹣b2＝bc+c2，即b2+c2﹣a2＝﹣bc，∴cosA＝＝﹣，∵A∈（0，π），∴A＝；（2）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d（d≠0），由a1sinA＝1?a1＝2，∵a3，a6，a12成等比數(shù)列，∴a62＝a3a12，即（2+5d）2＝（2+2d）（2+11d），解得：d＝2，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n，∴＝＝＝（﹣），∴Sn＝[（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）]＝（1+﹣﹣）＝﹣．【點評】本題主要考查解三角形、等差數(shù)列基本量的計算及裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，屬于中檔題．20．已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n+1﹣r．（1）求r的值，并求出數(shù)列{an}的通項公式；（2）令bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．【分析】（1）利用題設(shè)求得a1與an的關(guān)系式，即可解決問題；（2）先求得bn，再利用裂項相消法求其前n項和即可．【解答】解：（1）∵Sn＝2n+1﹣r，∴當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝4﹣r，當(dāng)n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣r﹣（2n﹣r）＝2n，∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，∴a1＝4﹣r＝2，∴r＝2，∴an＝2n；（2）∵bn＝，∴bn＝＝﹣，∴Tn＝﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．【點評】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計算及裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，屬于中檔題．21．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E為線段PB的中點．（1）若F為線段BC上的動點，證明：平面AEF⊥平面PBC；（2）若F為線段BC的中點，求點P到平面AEF的距離．【分析】（1）利用AE⊥PB，AE⊥BC．可得AE⊥平面PBC，依據(jù)面面垂直的判定定理可證平面AEF⊥平面PBC；（2）由E為線段PB的中點，可將問題轉(zhuǎn)化為求點B到平面AEF的距離，利用VB﹣AEF＝VE﹣ABF即可求解．【解答】（1）證明：∵PA＝AB，E為線段PB的中點，∴AE⊥PB，∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥PA，∵底面ABCD為正方形，∴BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∵AE?平面PAB，∴AE⊥BC．∵PB∩BC＝B，∴AE⊥平面PBC，∵AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．（2）解：∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAB⊥底面ABCD，∵平面PAB∩底面ABCD＝AD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAB，∴CD⊥PD．∵，CD＝AB＝4∴PC＝4，∵E為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC的中點，∴，點P到面AEF的距離等于點B到面AEF的距離，設(shè)為h．∵，，由（1）知AE⊥EF，∴S△AEF＝2，S△ABF＝4，VB﹣AEF＝VE﹣ABF得即點P到面AEF的距離為．【點評】本題考查平面與平面垂直的判定定理，點到平面的距離的求法，考查學(xué)生空間想象實力，推理論證實力，運算求解實力，屬于中檔題．22．已知函數(shù)f（x）＝（x2﹣2x+a）ex．（1）探討函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)a＝1時，推斷函數(shù)g（x）＝f（x）﹣x2+lnx零點的個數(shù)，并說明理由．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過探討a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）代入a的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的零點即可．【解答】解：（1）f（x）的定義域是R，f′（x）＝（x2+a﹣2）ex，當(dāng)a≥2時，f′（x）≥0，則f（x）在R遞增，當(dāng)a＜2時，f′（x）＝（x+）（x﹣）ex，故f′（x）＝0?x＝±，f′（x）＞0?x＜﹣或x＞，f′（x）＜0?﹣＜x＜，故f（x）在（﹣，）遞減，在（﹣∞，﹣）和（，+∞）遞增；（2）當(dāng)a＝1時，g（x）＝（x﹣1）2ex﹣x2+lnx，其定義域是（0，+∞），則g′（x）＝（x+1）（x﹣1）（ex﹣），設(shè)h（x）＝ex﹣（x＞0），則h′（x）＝ex+＞0，從而h（x）在（0，+∞）遞增，又h（）＝﹣2＜0，h（1）＝e﹣1＞0，故存在x0∈（，1），使得h（x0）＝﹣＝0，即＝，x0＝﹣lnx0，列表如下：x（0，x0）x0（x0，1）1（1，+∞）g′（x）+0﹣0+g（x）遞增極大值遞減微小值遞增由表格知g（x）的微小值是g（1）＝﹣，g（x）的極大值是g（x0）＝﹣+lnx0＝﹣﹣x0＝﹣+﹣2，∵g（x0）是關(guān)于x0的減函數(shù)且x0∈（，1），故﹣＜g（x0）＜﹣，故g（x）在（0，1]內(nèi)沒有零點，又g（1）＝﹣＜0，g（2）＝e2﹣2+ln2＞0，故g（x）在（1，+∞）內(nèi)有1個零點，綜上，g（x）只有1個零點．【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類探討思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．23．已知函數(shù)f（x）