浙江省溫州市十五校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE15-浙江省溫州市十五校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）Ⅰ選擇題部分（共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】干脆利用正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.【詳解】.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的基本計(jì)算實(shí)力，是一道簡潔題.2.在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)正弦定理,即可求得的值.【詳解】在中,角,,所對(duì)的邊分別是,,若,,由正弦定理可知代入可得解得故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的簡潔應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3.正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，那么（）A. B.C. D..【答案】D【解析】【分析】用向量的加法和數(shù)乘法則運(yùn)算?！驹斀狻坑深}意：點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，∴。故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，解題時(shí)可依據(jù)加法法則，從向量的起點(diǎn)到終點(diǎn)，然后結(jié)合向量的數(shù)乘運(yùn)算即可得。4.設(shè)是等差數(shù)列前n項(xiàng)和，且，則()A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知條件，求得的值.【詳解】由于等差數(shù)列滿意，所以，，.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5.下列函數(shù)中，最小正周期為，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱的函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先選項(xiàng)C中函數(shù)的周期為,故解除C,將,代入A,B,D求得函數(shù)值,而函數(shù)在對(duì)稱軸處取最值,即可求出結(jié)果.【詳解】先選項(xiàng)C中函數(shù)的周期為,故解除C,將,代入A,B,D求得函數(shù)值為,而函數(shù)在對(duì)稱軸處取最值.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性,難度較易.6.若，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】將兩端平方可得，即，分子分母同除以解方程即可.【詳解】將兩端平方，得，即，所以，分子分母同除以，得，即，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，涉及到構(gòu)造齊次式求的值，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道中檔題.7.在中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，若，則為（）A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等邊三角形【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理，將，轉(zhuǎn)化為，再利用兩角和與差的三角函數(shù)得到推斷.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，所以為鈍角三角形.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.8.已知是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項(xiàng)和是，若，，成等比數(shù)列，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由及是等差數(shù)列得到，再結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可得到結(jié)果.【詳解】由已知，，即，，又，所以，而，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量的計(jì)算，涉及到等差數(shù)列前n項(xiàng)和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道中檔題.9.設(shè)為兩個(gè)非零向量的夾角，已知對(duì)隨意實(shí)數(shù)t，的最小值為1，則（）A.若確定，則唯一確定 B.若確定，則唯一確定C.若確定，則唯一確定 D.若確定，則唯一確定【答案】B【解析】【分析】，令，易得時(shí)，，即，結(jié)合選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】，令，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，又的最小值為1，所以的最小值也為1，即，，所以，所以，故若確定，則唯一確定.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積、向量的模的計(jì)算，涉及到二次函數(shù)的最值，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解實(shí)力，是一道簡潔題.10.已知函數(shù)，，為x軸上的點(diǎn)，且滿意，，過點(diǎn)分別作x軸垂線交于點(diǎn)，若以為頂點(diǎn)的三角形與以為頂點(diǎn)的三角形相像，其中，則滿意條件的p，q共有（）A.0對(duì) B.1對(duì) C.2對(duì) D.多數(shù)對(duì)【答案】C【解析】【分析】由已知可得，，，，由與相像得到或，再分狀況探討即可得到答案.【詳解】如圖，由題意，，縱坐標(biāo)為，所以，，，，與均為直角三角形，故與相像或.當(dāng)時(shí)，，無解；當(dāng)時(shí)，，所以．故存在兩對(duì)滿意條件的，，分別為，或，．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與函數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生分類探討思想，數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道中檔題.Ⅱ非選擇題部分（共80分）二、填空題：本大題共6小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共30分．11.已知向量，，若∥且，則________，_______．【答案】(1).2(2).－3【解析】【分析】由已知得到，，解方程組即可得到答案.【詳解】因?yàn)椤危寓?，又，所以②，由①②，解?故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，涉及到向量共線與數(shù)量積的坐標(biāo)表示，是一道簡潔題.12.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，，則______；______．【答案】(1).1(2).121【解析】【分析】依據(jù)前項(xiàng)和與通項(xiàng)關(guān)系，求出通項(xiàng)公式，然后再求和.【詳解】由，解得，，當(dāng)時(shí)，由已知可得：，①，②①－②得，∴，又，∴是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．∴.故答案為:3,121【點(diǎn)睛】本題考查已知前項(xiàng)和求通項(xiàng)以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.13.在中，已知，，，則_________，_________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】由正弦定理得結(jié)合大角對(duì)大邊即可得到，及，再由結(jié)合兩角和的正弦公式計(jì)算即可得到答案.【詳解】由正弦定理，得，即，所以，又，所以，故，同理，由，得，即.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形，涉及到兩角和的正弦公式，考查學(xué)生的基本計(jì)算實(shí)力，是一道簡潔題.14.若函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的值為________．【答案】【解析】【分析】由圖可得到振幅A，周期T，即，再將代入解析式計(jì)算出即可解決本題.【詳解】由圖可得，，，所以，，，所以，又，即，解得，又，所以，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查由三角函數(shù)的圖象求解析式，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道中檔題.15.已知，，與的夾角為，與的夾角為銳角，則的取值范圍________．【答案】且【解析】【分析】與的夾角為銳角，等價(jià)于，且與不能共線且同向.分別求出時(shí)的范圍，剔除與共線且同向時(shí)的的值即可.【詳解】與的夾角為銳角，等價(jià)于，且與不能共線且同向.由，得，即，所以，解得；若與共線且同向時(shí)，設(shè)，即，，因?yàn)榕c不共線，所以，解得，綜上，的取值范圍為且.故答案為：且【點(diǎn)睛】本題考查已知向量的夾角求參數(shù)的范圍，涉及到向量數(shù)量積的定義、共線向量定理，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道中檔題.16.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，若對(duì)隨意恒成立，則的取值范圍是_____________.【答案】【解析】試題分析：由已知可得，，由條件得，解之得.考點(diǎn)：1、遞推公式；2、數(shù)列前項(xiàng)和為；3、等差數(shù)列.【方法點(diǎn)晴】本題考查遞推公式、數(shù)列前項(xiàng)和為、等差數(shù)列，涉及分類探討思想、方程思想、特別與一般思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維實(shí)力、等價(jià)轉(zhuǎn)化實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型.依據(jù)分類探討思想可得，，再由對(duì)隨意恒成立可建立不等式組，解之得.三、解答題：本大題共4小題，共50分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，求：（1）的單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的值域.【答案】（1）（2）[0,3]【解析】試題分析：（1）依據(jù)二倍角公式及配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù),再依據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求單調(diào)增區(qū)間；（2）依據(jù)自變量范圍求范圍,再依據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求值域試題解析：（1）由，得，函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為.（2）因?yàn)椋?，?18.如圖，在中，點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是靠近點(diǎn)B將OB分成2：1的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)，.（1）用表示向量，；（2）若，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)平行四邊形法則結(jié)合平面對(duì)量基本定理可得表示;(2)依據(jù)向量關(guān)系的條件建立方程關(guān)系,可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，所以，所以，又點(diǎn)D是靠近點(diǎn)B將OB分成2：1的個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，所以，所以.（2）因?yàn)镃，E，D三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，又，，所以,又不共線，則，解得.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形法則,平面對(duì)量基本定理,屬于基礎(chǔ)題.19.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）設(shè)邊的中點(diǎn)為，，求的面積．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）由得，又結(jié)合正弦定理可求得；（Ⅱ）在中由余弦定理可求得所以，從而求得的面積.試題解析：（Ⅰ）由，得，又，∴，由正弦定理有得，∴即，∴，；（Ⅱ）由余弦定理有，即，解得，∴，∴.考點(diǎn)：1.正余弦定理的應(yīng)用；2.兩角的和與差公式.20.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)積（）．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，證明：．【答案】（1）；（2）詳見解析．【解析】【分析】（1）由可得，進(jìn)一步可得數(shù)列是等差數(shù)列