四川省北京師范大學(xué)廣安實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期模擬考試試題理

PAGEPAGE14四川省北京師范高校廣安試驗(yàn)學(xué)校2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期模擬考試試題理一、選擇題1．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A．2 B． C． D．2．已知集合，，則（）A． B． C． D．3．已知向量，，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．我國古代名著《孫子算經(jīng)》中有如下好玩的問題：“今有三女，長女五日一歸，中女四日一歸，少女三日一歸．問三女何日會面？”．意思是：“一家有三個(gè)女兒都已出嫁，大女兒五天回一次娘家，二女兒四天回一次娘家，小女兒三天回一次娘家．三個(gè)女兒從娘家同一天走后，至少再隔多少天三人可以再次在娘家會面？”．三人再次在娘家會面，則要隔的天數(shù)可以為（）A．90 B．180 C．270 D．3905．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A． B． C． D．6．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．7．已知，，則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)若，且滿意，則的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．310．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)是最小正周期為的偶函數(shù)B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的最小值為D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增11．若不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．12．如圖所示，在三棱錐中，為邊長為2的正三角形，，與平面所成角的正弦值為，則三棱錐外接球的半徑為（）A． B． C． D．二、填空題13．若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則______．14．6個(gè)人排成一排，其中甲、乙恰好相鄰，且丙與甲和乙都不相鄰的概率為______．15．已知數(shù)列得到前項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，，則______．16．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作軸的垂線，與雙曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為外接圓的圓心，點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為______．三、解答題17．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范圍．18．如圖所示，在長方體中，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值．19．2024年4月9日起，運(yùn)用青島地鐵錢包支付掃碼乘車可享受乘坐地鐵階梯折扣實(shí)惠、公交乘車實(shí)惠與換乘實(shí)惠政策，青島地鐵將在原有微信、支付寶、銀聯(lián)三種支付方式的基礎(chǔ)上，新增錢包支付方式，乘車?yán)塾?jì)實(shí)惠最高到7折．依據(jù)相關(guān)實(shí)惠政策，同一乘車碼或同一乘坐地鐵，一個(gè)自然月內(nèi)，從第一筆消費(fèi)起先享受單程票價(jià)9折實(shí)惠；累計(jì)消費(fèi)滿100元及以上，每筆消費(fèi)享受單程票價(jià)8折實(shí)惠；累計(jì)消費(fèi)滿200元及以上，每筆消費(fèi)享受單程票價(jià)7折實(shí)惠；累計(jì)消費(fèi)達(dá)到300元及以上，復(fù)原9折實(shí)惠，月底清零，下一自然月重新累計(jì)．其中，補(bǔ)交超時(shí)費(fèi)、更新及自助補(bǔ)出站等涉及的金額不參與累計(jì)．（1）若甲乘客2024年3月份乘坐地鐵上下班的總費(fèi)用為200元，請估計(jì)2024年5月份甲乘客乘坐地鐵上下班的總費(fèi)用（結(jié)果精確到0.01）；（2）乘坐青島地鐵的購票方式一般有三種方式，一是通過自動售票機(jī)購票，二是購買專用的乘車卡支付，三是運(yùn)用青島地鐵錢包支付掃碼．現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了100名乘客，得到如下列聯(lián)表：運(yùn)用青島地鐵乘車運(yùn)用自動售票機(jī)購票或購買專用的乘車卡支付青年人4010中老年人3020試推斷能否有95%的把握認(rèn)為乘坐青島地鐵的購票方式與年齡有關(guān)？（3）在（2）的條件下，利用分層抽樣的方法從青年人中隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中運(yùn)用青島地鐵乘車的人數(shù)為，求分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.828220．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，使得，的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且，，，四點(diǎn)的橫坐標(biāo)均不相同，若直線與直線的斜率互為相反數(shù)，求證：直線和直線的斜率互為相反數(shù)．21．已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線和的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線，求的最小值．23．已知，，為正數(shù)，證明：（1）；（2）．理科數(shù)學(xué)參考答案題號123456789101112答案BACBDBCACDAD【答案提示】1．B因?yàn)?，所以，所以．故選B．2．A由，，所以．故選A．3．C由，則，所以，有，故“”是“”的充要條件．故選C．4．B由可知，要隔的天數(shù)為60的正整數(shù)倍．故選B．5．D．故選D．6．B設(shè)公差為，則，得，有，解得，所以．故選B．7．C由，得，可知，與聯(lián)立，得，，所以，所以．故選C．8．A由函數(shù)的圖象（如圖所示），可知，由得，所以，所以．故選A．9．C點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，直線的方程為，聯(lián)立方程消去后整理為，所以，，，，所以由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），所以，可得的最小值為．故選C．10．D由，可知函數(shù)為偶函數(shù)，由，可知不是函數(shù)的周期；由，可知，函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱；由，可知不是函數(shù)的最小值；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．故選D．11．A不等式可化為，有，令，則，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，所以．令，有，令，得，得，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，故有．故選A．12．D如圖所示，取的中點(diǎn)，連，，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，設(shè)三棱錐外接圓的半徑為．由?，，，可得，，有平面，可得，又由，可得平面，故為直線與平面所成的角，可得，，，，在中，，解得：或．①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)三棱錐為正三棱錐，有，解得；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)由，可得，同理可得，此時(shí)的中點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，得．由上可知三棱錐外接球的半徑為．故選D．13．0因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以，又由，可得函數(shù)的周期為4，所以．14．6個(gè)人排成一排，其中甲、乙恰好相鄰，且丙與甲和乙都不相鄰的排法數(shù)為，所求概率為．15．由，，得，則，所以，．16．把代入雙曲線的方程可求得，可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．由雙曲線的對稱可知點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為，所以直線的方程為，有①，又有，平方后解得，代入①式得，化簡，得，，，，，即，可得，所以．17．解：（1），所以，可得，即．由余弦定理得，又，所以．（2）由．因?yàn)?，所以，又，所以，所以，得，所以，所以?8．（1）證明：如圖1所示，取的中點(diǎn)，連接，．∵，，∴且．∵，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴．又∵平面，平面，∴平面．（2）解：以點(diǎn)為原點(diǎn)，向量，，方向分別為，，軸的正方向建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有解得取，得，∴；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有解得取，得，可得．由，，，∴，故平面與平面所成二面角的正弦值為．19．解：（1）2024年5月份甲乘客乘坐地鐵上下班的總費(fèi)用估計(jì)為元．（2）由，故有95%的把握認(rèn)為乘坐青島地鐵的購票方式與年齡有關(guān)．（3）這10人中運(yùn)用青島地鐵乘車的人數(shù)為8人，運(yùn)用自動售票機(jī)購票或購買專用的乘車卡支付的青年人數(shù)為2人，則的取值為1，2，3，所以，，．所以隨機(jī)變量的分布列為：123故．20．（1）解：設(shè)橢圓的焦距為，由題意有．由的面積為，即，所以．因?yàn)?，所以．在中，，又，所以，所以．故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：設(shè)點(diǎn)，，，的坐標(biāo)分別為，，，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程消去后整理為，則同理可得因?yàn)?，，，互不相等，故有：直線的斜率為，直線的斜率為，則，故直線和直線的斜率互為相反數(shù)．21．解：（1）由，，則，可得曲線在點(diǎn)處的切線為，即．又切線過點(diǎn)，所以，解得，故實(shí)數(shù)的值為．（2）因?yàn)椋睿瑒t函數(shù)與函數(shù)具有相同的零點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，令，則，令，有，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．由，可得，所以，此時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)；③由函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，有，令，可得；，得，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，若此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，必有，可得．下面證當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；（i）當(dāng)時(shí)，有，可得，，又由②得，可得，則，所以取時(shí)，又，且在單調(diào)遞增，故在有唯一零點(diǎn)；（ii）令，則，令，得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，可得，當(dāng)時(shí)，有，得，有，所以取，，又在單調(diào)遞減，所以在有唯一零點(diǎn)．由（i）（ii）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．故函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．22．解：（1）曲線的參數(shù)方程中消去