上海市中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：尺規(guī)作圖（新題型）含詳解

專題08尺規(guī)作圖（24年新題型）、命題與證明（真題兩個(gè)考

點(diǎn)+模擬4個(gè)考點(diǎn)）

五年中考真超N

一.作圖一復(fù)雜作圖（共1小題）

1.（2024?上海）同學(xué)用兩幅三角板拼出了如圖的平行四邊形，且內(nèi)部留白部分也是平行四邊形（直角三角板互不

重疊）.

（1）若直角三角形斜邊上的高都為〃，求：

①兩個(gè)直角三角形的直角邊（結(jié)果用表示）；

②平行四邊形的底、高和面積（結(jié)果用〃表示）；

（2）請(qǐng)畫出同學(xué)拼出的另一種符合題意的圖，要求：①不與給定的圖形狀相同；②畫出三角形的邊.

二.命題與定理（共2小題）

2.（2022?上海）下列說(shuō)法正確的是（）

A.命題一定有逆命題

B.所有的定理一定有逆定理

C.真命題的逆命題一定是真命題

D.假命題的逆命題一定是假命題

3.（2020?上海）下列命題中，真命題是（）

A.對(duì)角線互相垂直的梯形是等腰梯形

B.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是正方形

C.對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形

D.對(duì)角線平分一組對(duì)角的梯形是直角梯形

一年模擬新期

一.作圖一基本作圖（共1小題）

1.（2023秋?虹口區(qū)期末）如圖①，已知線段a、6和AMON.如圖②，小明在射線OM上順次截取OA=2a,AB=3a,

在射線0V上順次截取OC=%,CD=3b.聯(lián)結(jié)AC、3c和33,AC=4,BC=6.

(1)求BD的長(zhǎng)；

（2）小明繼續(xù)作圖，如圖③，分別以點(diǎn)3、。為圓心，以大于gs。的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別相交于點(diǎn)尸、Q,

聯(lián)結(jié)P。，分別交皮）、QD于點(diǎn)E、F.如果BC_L8,

圖③

二.作圖一復(fù)雜作圖（共3小題）

2.（2024?崇明區(qū)二模）探究課上，小明畫出AABC,利用尺規(guī)作圖找一點(diǎn)。，使得四邊形ABCD為平行四邊形.①

~③是其作圖過(guò)程：

①以點(diǎn)C為圓心，/由長(zhǎng)為半徑畫弧；

②以點(diǎn)A為圓心，3c長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)。；

③聯(lián)結(jié)CD、AD,則四邊形A8CD即為所求作的圖形.

在小明的作法中，可直接判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（）

A.兩組對(duì)邊分別平行B.兩組對(duì)邊分別相等

C.對(duì)角線互相平分D.一組對(duì)邊平行且相等

3.(2024?普陀區(qū)校級(jí)三模)如圖，已知點(diǎn)A是上的一點(diǎn)，04=1.點(diǎn)5是射線AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以A為圓

心，以為半徑畫弧交。于點(diǎn)C,射線CB交(。于點(diǎn)。，射線DO與射線AC相交于點(diǎn)E.

(1)當(dāng)點(diǎn)3在半徑。4上，求證：AE=OE；

(2)當(dāng)點(diǎn)3在半徑Q4的反向延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E為弦AC的中點(diǎn)，求線段DE的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)5在半徑。4的反向延長(zhǎng)線上，且DE=DC，求線段QB的長(zhǎng).

備用圖備用圖

4.(2024?閔行區(qū))如圖，在平行四邊形ABCO中，點(diǎn)Af,N分別是邊DC、3c的中點(diǎn)，設(shè)A3=。，AD=b.

(1)DB=,MN=;(用含有向量a、6的式子表示)

(2)在圖中畫出4V在向量。和。方向上的分向量.(不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論)

三.作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖（共1小題）

5.（2024?奉賢區(qū)二模）上海之魚是奉賢區(qū)的核心景觀湖，湖面成魚型.如圖1,魚身外圍有一條圓弧形水道，在圓

弧形水道外側(cè)有一條圓弧形道路，它們的圓心相同.某學(xué)習(xí)小組想要借助所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)探索上海之魚的大小.

（1）利用圓規(guī)和直尺，在圖1上作出圓弧形水道的圓心O.（保留作圖痕跡）

（2）如圖2,學(xué)習(xí)小組來(lái)到了圓弧形道路內(nèi)側(cè)A處，將所攜帶的200米繩子拉直至圓弧道路內(nèi)側(cè)另一點(diǎn)6處，并

測(cè)得繩子中點(diǎn)C與圓弧形道路內(nèi)側(cè)中點(diǎn)。的距離為10米，圓弧形水道外側(cè)到道路內(nèi)側(cè)的距離DE為22米（點(diǎn)。、

C、E在同一直線上），請(qǐng)計(jì)算圓弧形水道外側(cè)的半徑.

圓弧形水道

圖1圖2

四.命題與定理（共14小題）

6.（2024?浦東新區(qū)二模）下列命題中，真命題是（）

A.對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形

B.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

D.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

7.（2024?長(zhǎng)寧區(qū)二模）下列命題是假命題的是（）

A.對(duì)邊之和相等的平行四邊形是菱形

B.一組鄰邊上的高相等的平行四邊形是菱形

C.一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，另一條對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角的四邊形是菱形

D.被一條對(duì)角線分割成兩個(gè)等腰三角形的平行四邊形是菱形

8.（2024?嘉定區(qū)二模）下列命題正確的是（）

A.對(duì)角線相等的平行四邊形是正方形

B.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

D.對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形

9.（2024?靜安區(qū)二模）對(duì)于命題：①如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等；②如果兩個(gè)圓心角相等，那

么它們所對(duì)的弧相等.下列判斷正確的是（）

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題

C.①、②都是真命題D.①、②都是假命題

10.（2024?金山區(qū)二模）下列命題中真命題是（）

A.相等的圓心角所對(duì)的弦相等

B.正多邊形都是中心對(duì)稱圖形

C.如果兩個(gè)圖形全等，那么他們一定能通過(guò)平移后互相重合

D.如果一個(gè)四邊形繞對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。后，所得圖形與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)四邊形是正方形

11.（2024?松江區(qū)二模）下列命題中假命題是（）

A.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

B.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C.對(duì)角線相等的菱形是正方形

D.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

12.（2024?楊浦區(qū)二模）下列命題中，真命題的是（）

A.四條邊相等的四邊形是正方形

B.四個(gè)內(nèi)角相等的四邊形是正方形

C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是正方形

D.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形

13.（2024?靜安區(qū)校級(jí)三模）下列命題中，假命題是（）

A.順次聯(lián)結(jié)任意四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形

B.順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形

C.順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形

D.順次聯(lián)結(jié)兩組鄰邊互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形

14.（2024?長(zhǎng)寧區(qū)三模）下列命題中，真命題是（）

A.對(duì)角線互相垂直的梯形是等腰梯形

B.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是正方形

C.對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形

D.對(duì)角線平分一組對(duì)角的梯形是直角梯形

15.（2023秋?黃浦區(qū)期末）下列命題中，真命題是（）

A.如果一個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角等于另一個(gè)直角三角形的銳角，那么這兩個(gè)三角形相似

B.如果一個(gè)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)等腰三角形的內(nèi)角，那么這兩個(gè)三角形相似

C.如果一個(gè)直角梯形的一個(gè)銳角等于另一個(gè)直角梯形的銳角，那么這兩個(gè)梯形相似

D.如果一個(gè)等腰梯形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)等腰梯形的內(nèi)角，那么這兩個(gè)梯形相似

16.（2024?閔行區(qū)）下列命題中，真命題是（）

A.兩個(gè)直角三角形一定相似B.兩個(gè)等腰三角形一定相似

C.兩個(gè)鈍角三角形一定相似D.兩個(gè)等邊三角形一定相似

17.（2023秋?浦東新區(qū)期末）下列命題中，說(shuō)法正確的是（）

A.如果一個(gè)直角三角形中有兩邊之比為1:2,那么所有這樣的直角三角形一定相似

B.如果一個(gè)等腰三角形中有兩邊之比為1:2,那么所有這樣的等腰三角形一定相似

C.如果一個(gè)直角三角形中有兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1:2,那么所有這樣的直角三角形一定相似

D.如果一個(gè)等腰三角形中有兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1:2,那么所有這樣的等腰三角形一定相似

18.（2023秋?嘉定區(qū)期末）下列命題是真命題的是（）

A.有一個(gè)角是36。的兩個(gè)等腰三角形相似

B.有一個(gè)角是45。的兩個(gè)等腰三角形相似

C.有一個(gè)角是60。的兩個(gè)等腰三角形相似

D.有一個(gè)角是鈍角的兩個(gè)等腰三角形相似

19.（2024?靜安區(qū)校級(jí)模擬）=0是—（選填“真命題”或“假命題”）.

專題08尺規(guī)作圖（24年新題型）、命題與證明（真題兩個(gè)考

點(diǎn)+模擬4個(gè)考點(diǎn)）

五年中考真超N

一.作圖一復(fù)雜作圖（共1小題）

1.（2024?上海）同學(xué)用兩幅三角板拼出了如圖的平行四邊形，且內(nèi)部留白部分也是平行四邊形（直角三角板互不

重疊）.

（1）若直角三角形斜邊上的高都為〃，求:

①兩個(gè)直角三角形的直角邊（結(jié)果用表示）；

②平行四邊形的底、高和面積（結(jié)果用〃表示）;

（2）請(qǐng)畫出同學(xué)拼出的另一種符合題意的圖，要求：①不與給定的圖形狀相同；②畫出三角形的邊.

【分析】（1）①解直角三角形即可求解；②由題意可知四邊形是矩形，利用線段的和差可求出矩形的邊長(zhǎng),

進(jìn)而可求出面積;

（2）根據(jù)題意畫出圖形即可.

bL

【解答】解：（1）①如圖，AABC為等腰直角三角板，NACB=90。，則AC=BC=---------=同,

sin45°

h

如圖，ADEF為含30。的直角三角形板，ZDEF=90。，N尸=30。，。=60。，則￡F=2/z,DE=--------=

sin6003

綜上，等腰直角三角板直角邊為同,含3。。的直角三角形板直角邊為筋和浮,

②由題意可知ZMNG=ZNGH=Z.GHM=ZHMN=90°,

四邊形是矩形,

2

由圖可得，MN=yf2h--h=^~^h,MH=2h-@i=Q-內(nèi)h,

33

,cm3拒-2君，/6夜-6-4石+2#.

-S矩形MNGH_MN?MH--hxy2-y/2jh--h,

故小平行四邊形的底為（2-拒）〃，高為3.一2—〃,面積為6--6-4〉+2、

33

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面積，圖形設(shè)計(jì)，正確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

二.命題與定理（共2小題）

2.（2022?上海）下列說(shuō)法正確的是（）

A.命題一定有逆命題

B.所有的定理一定有逆定理

C.真命題的逆命題一定是真命題

D.假命題的逆命題一定是假命題

【分析】根據(jù)逆命題的概念、真假命題的概念判斷即可.

【解答】解：A、命題一定有逆命題，本選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意，

3、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，沒(méi)有逆定理，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、真命題的逆命題不一定是真命題，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

D,假命題的逆命題不一定是假命題，例如假命題對(duì)應(yīng)角相等的三角形全等，其逆命題是真命題，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)

誤，不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，

而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命

題.

3.（2020?上海）下列命題中，真命題是（）

A.對(duì)角線互相垂直的梯形是等腰梯形

B.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是正方形

C.對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形

D.對(duì)角線平分一組對(duì)角的梯形是直角梯形

【分析】利用特殊四邊形的判定定理對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

【解答】解：A、對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形，故錯(cuò)誤；

B,對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故錯(cuò)誤；

C、正確；

D,有一個(gè)角是直角的梯形是直角梯形，故錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解特殊四邊形的判定定理，難度不大.

一年模擬新超N

一.作圖一基本作圖（共1小題）

1.（2023秋?虹口區(qū)期末）如圖①，已知線段°、6和NMON.如圖②，小明在射線QW上順次截取。4=2。，AB=3a,

在射線ON上順次截取OC=?,CD=3b.聯(lián)結(jié)AC、3c和BD,AC=4,BC=6.

（1）求區(qū)D的長(zhǎng)；

（2）小明繼續(xù)作圖‘如圖③‘分別以點(diǎn)3、。為圓心，以大于皿的長(zhǎng)為半徑作弧’兩弧分別相交于點(diǎn)P、

聯(lián)結(jié)尸Q,分別交BD、OD于點(diǎn)石、F.如果求￡F的長(zhǎng).

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及勾股定理求解.

【解答】解：（1）由作圖得：OD=5b,OB=5a,

.OC_OA_2

NO=NO,

,NOAC^NOBD,

.AC_OC_2

解得：BD=IO；

（2）連接班由作圖得：EF垂直平分BD,

:.FD=FB,EFYBD,

BCVOD,

:.CD2+BC2=DB2,

CD=8,

在RtACBF中，CF2+BC2=FB\BP(8-DF)2+62=FD2,

解得：。歹=6.25,

EF1.BD,EF工BD,NCDB=ZEDF,

空DFsbCDB,

DFEF6.25EF

---=——,即nn----=——

BDBC106

解得：EF=—.

圖①圖②圖③

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本作圖，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

二.作圖一復(fù)雜作圖（共3小題）

2.（2024?崇明區(qū)二模）探究課上，小明畫出AABC,利用尺規(guī)作圖找一點(diǎn)。，使得四邊形ABCD為平行四邊形.①

~③是其作圖過(guò)程：

①以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫??；

②以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)。；

③聯(lián)結(jié)CD、AD,則四邊形ABCD即為所求作的圖形.

在小明的作法中，可直接判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（）

A.兩組對(duì)邊分別平行B.兩組對(duì)邊分別相等

C.對(duì)角線互相平分D.一組對(duì)邊平行且相等

【分析】由作圖過(guò)程可知，AD=BC,CD=AB,根據(jù)平行四邊形的判定：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊

形，可得答案.

【解答】解：由作圖過(guò)程可知，AD=BC,CD=AB,

根據(jù)平行四邊形的判定：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可知四邊形ABCD為平行四邊形.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖一復(fù)雜作圖、平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是解答本題的關(guān)鍵.

3.(2024?普陀區(qū)校級(jí)三模)如圖，已知點(diǎn)A是上的一點(diǎn)，04=1.點(diǎn)5是射線AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以A為圓

心，以為半徑畫弧交。于點(diǎn)C,射線CB交(。于點(diǎn)。，射線DO與射線AC相交于點(diǎn)E.

(1)當(dāng)點(diǎn)3在半徑。4上，求證：AE=OE；

(2)當(dāng)點(diǎn)3在半徑Q4的反向延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E為弦AC的中點(diǎn)，求線段DE的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)5在半徑。4的反向延長(zhǎng)線上，且DE=DC,求線段QB的長(zhǎng).

備用圖備用圖

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)即可求證.

(2)設(shè)NCDO=x,由等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)得NCOE=N8C+NOCD=2x,再根據(jù)垂徑定理及

等腰三角形的性質(zhì)得ZAOE=NCOE=2x,再利用勾股定理即可求解.

(3)證明△CO3=ACOE(AS4),NOCB=NOCE=ZA=NCDO=工NABC,再證明ZABC+ZACB+ZA=180°,

2

△OBCSACBA,再利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】(1)證明：以A為圓心，以AB為半徑畫弧交。于點(diǎn)C,

AC=AB,

/.ZACB=ZABC=Z.OBD,

OC=OD,

:.ZD=NOCD,

/.NOBD+ZD=ZACB+/OCD=ZACO,

OA=OC,ZEOA=ZD+NOBD,

,\ZEOA=ZACO=ZOAE,

AE=OE.

(2)解：設(shè)NCDO=x,

OC=OD,:./ODC=NOCD=x,Z.COE=ZODC+Z.OCD=2x,

石是AC的中點(diǎn)，O石過(guò)圓心，

OE^AC,

OA=OC,

:.ZAOE=ZCOE=2x,

,\ZAOC=4x,ZABC=Z.CDO+ZDOB=ACDO+ZAOE=3x.

AC=AB,

,\ZACB=ZABC=3x,

OCA=3x—3=2x=/COE,

:.OE=CE,

OELAC,

:.0E=—

2

:.DE=OD+OE=1+—,

2

J?

故DE的長(zhǎng)為：1+

2

(3)解：-OA=OC,

:.ZA=Z.OCA,

CD=DE,AC=AB,

ZABC=ZACB=ZDEC,

NCDE+ZDCE+/CED=ZBAC+ZACB+ZACB,

:.Z.CDE=ZA,

ZCOE=2ZCDEfZCOB=2ZA,

:.NCOE=NCOB.NCEO=ZA+ZEOA,

/CBO=NCDO+ZBOD,ZBOD=ZAOE,

:.Z.CBO=Z.CEO,

CO=CO,

:.ACOB=ACOE(ASA)9

/.ZOCB=ZOCE=ZA=ZCDO=-ZABC,

2

ZABC+ZACB+ZA=180°,

,\ZA^CO=OCB=36°,

ZOBC=ACB=72°.

ZBOC=72°=ZACB=ZABC,

:.bOBCsNCBA,

AB=AC,OC=OB=1,

.OB_BC

"BC-BA?

即竺=」_,

1OB+1

解得：OB=避二1（負(fù)值舍去）,

2

故03的長(zhǎng)為叵口.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上

定理是解題的關(guān)鍵.

4.（2024?閔行區(qū)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)N分別是邊DC、3C的中點(diǎn)，設(shè)A3=。，AD=b.

（1）DB=_-b+a_,MN=；（用含有向量b的式子表示）

（2）在圖中畫出4V在向量。和。方向上的分向量.（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論）

【分析】(1)利用三角形法則求解；

(2)利用平行四邊形法則求解.

【解答】解：(1)DB=DA+AB=-b+a,

CM=DM,CN=NB,

:.MN//DB,MN^-DB,

2

MN=--b+-a.

22

故答案為：-b+a,-—b+—a?,

22

（2）如圖，AB,AT即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，三角形中位線定理，平行四邊形的性質(zhì)，三角形法則等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌

握三角形法則，平行四邊形法則.

三.作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖（共1小題）

5.（2024?奉賢區(qū)二模）上海之魚是奉賢區(qū)的核心景觀湖，湖面成魚型.如圖1,魚身外圍有一條圓弧形水道，在圓

弧形水道外側(cè)有一條圓弧形道路，它們的圓心相同.某學(xué)習(xí)小組想要借助所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)探索上海之魚的大小.

（1）利用圓規(guī)和直尺，在圖1上作出圓弧形水道的圓心O.（保留作圖痕跡）

（2）如圖2,學(xué)習(xí)小組來(lái)到了圓弧形道路內(nèi)側(cè)A處，將所攜帶的200米繩子拉直至圓弧道路內(nèi)側(cè)另一點(diǎn)6處，并

測(cè)得繩子中點(diǎn)C與圓弧形道路內(nèi)側(cè)中點(diǎn)。的距離為10米，圓弧形水道外側(cè)到道路內(nèi)側(cè)的距離DE為22米（點(diǎn)。、

C、E在同一直線上），請(qǐng)計(jì)算圓弧形水道外側(cè)的半徑.

圓弧形水道

圖1圖2

【分析】（1）分別取圓弧形道路的弦和圓弧形水道的弦KT，作跖V的垂直平分線P。，KT的垂直平分線KT,

交KT于O,點(diǎn)。即為所；

（2）連接。4,OC,OD,由C為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。為圓弧形道路內(nèi)側(cè)中點(diǎn)，可得OCLAB,OD±AB,

AC=1AB=100米，故。、E、C、。四點(diǎn)共線，設(shè)。l=OD=r米，可得/=（一10）2+10（）2,廠=§05,從而可

2

得圓弧形水道外側(cè)的半徑為483米.

【解答】解：（1）分別取圓弧形道路的弦施V和圓弧形水道的弦KT,作肱V的垂直平分線尸。，KT的垂直平分線

KT,PQ交KT于O,如圖：

圓弧形水道

W

點(diǎn)。即為所;

C為筋的中點(diǎn)，點(diǎn)。為圓弧形道路內(nèi)側(cè)中點(diǎn)，

;.OCLAB,OD±AB,AC=」AB=100米，

2

:.O,E、C、。四點(diǎn)共線，

設(shè)Q4=OD=r米，則OC=（r—10）米，

在RtAAOC中，OA2=OC2+AC2,

.-.r2=（r-10）2+1002,

解得廠=505,

OE=OD-DE=505-22=483（米），

答：圓弧形水道外側(cè)的半徑為483米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，涉及垂徑定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理列方程解決問(wèn)題.

四.命題與定理（共14小題）

6.（2024?浦東新區(qū)二模）下列命題中，真命題是（）

A.對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形

B.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

D.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

【分析】根據(jù)平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定定理逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：A.對(duì)角線相等的四邊形不一定是平行四邊形，故A是假命題，不符合題意；

B.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故3是真命題，符合題意；

C.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故C是假命題，不符合題意；

D.對(duì)角線相等且垂直平分的四邊形是正方形，故。是假命題，不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定定理.

7.（2024?長(zhǎng)寧區(qū)二模）下列命題是假命題的是（）

A.對(duì)邊之和相等的平行四邊形是菱形

B.一組鄰邊上的高相等的平行四邊形是菱形

C.一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，另一條對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角的四邊形是菱形

D.被一條對(duì)角線分割成兩個(gè)等腰三角形的平行四邊形是菱形

【分析】根據(jù)菱形的判定定理判斷即可.

【解答】解：A、，平行四邊形的對(duì)邊相等，

，對(duì)邊之和相等時(shí)，鄰邊相等，

對(duì)邊之和相等的平行四邊形是菱形，故本選項(xiàng)命題是真命題；

B,根據(jù)菱形的面積公式可知：一組鄰邊上的高相等的平行四邊形是菱形，故本選項(xiàng)命題是真命題；

C、一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，另一條對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角的四邊形是菱形，是真命題，不符合題意；

。、有一條對(duì)角線與一組鄰邊構(gòu)成等腰三角形的平行四邊形不一定是菱形，故被一條對(duì)角線分割成兩個(gè)等腰三角形

的平行四邊形是菱形是假命題，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關(guān)鍵是要

熟悉課本中的性質(zhì)定理.

8.（2024?嘉定區(qū)二模）下列命題正確的是（）

A.對(duì)角線相等的平行四邊形是正方形

B.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

D.對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形

【分析】根據(jù)正方形、矩形、菱形、等腰梯形的判定定理判斷即可.

【解答】解：A、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，不一定是正方形，故本選項(xiàng)命題是假命題，不符合題意；

B,對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項(xiàng)命題是假命題，不符合題意；

C、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故本選項(xiàng)命題是假命題，不符合題意；

￡）,對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形，是真命題，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關(guān)鍵是要

熟悉課本中的性質(zhì)定理.

9.（2024?靜安區(qū)二模）對(duì)于命題：①如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等；②如果兩個(gè)圓心角相等，那

么它們所對(duì)的弧相等.下列判斷正確的是（）

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題

C.①、②都是真命題D.①、②都是假命題

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理判斷即可.

【解答】解：①如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，是真命題；

②在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角相等，那么它們所對(duì)的弧相等，故本小題說(shuō)法是假命題

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關(guān)鍵是要

熟悉課本中的性質(zhì)定理.

10.（2024?金山區(qū)二模）下列命題中真命題是（）

A.相等的圓心角所對(duì)的弦相等

B.正多邊形都是中心對(duì)稱圖形

C.如果兩個(gè)圖形全等，那么他們一定能通過(guò)平移后互相重合

D.如果一個(gè)四邊形繞對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。后，所得圖形與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)四邊形是正方形

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理、中心對(duì)稱圖形的概念、平移的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換以及正方形的判定定理判

斷即可.

【解答】解：A、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，故本選項(xiàng)命題是假命題，不符合題意；

3、正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，但不都是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)命題是假命題，不符合題意；

C、兩個(gè)圖形全等，它們不一定能通過(guò)平移后互相重合，故本選項(xiàng)命題是假命題，不符合題意；

D.如果一個(gè)四邊形繞對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。后，所得圖形與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)四邊形是正方形，是真命

題，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關(guān)鍵是要

熟悉課本中的性質(zhì)定理.

11.（2024?松江區(qū)二模）下列命題中假命題是（）

A.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

B.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C.對(duì)角線相等的菱形是正方形

D.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

【分析】由對(duì)角線互相垂直的平行四邊形才是菱形，得。是假命題，而A,3,C是真命題，故選：D.

【解答】解：由對(duì)角線互相垂直的平行四邊形才是菱形，

得。是假命題，

而A,B,C是真命題，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了真命題，解題關(guān)鍵是正確判斷命題的真假.

12.（2024?楊浦區(qū)二模）下列命題中，真命題的是（）

A.四條邊相等的四邊形是正方形

B.四個(gè)內(nèi)角相等的四邊形是正方形

C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是正方形

D.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形

【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可.

【解答】解：A、四條邊相等的四邊形是菱形，不一定是正方形，故本選項(xiàng)命題錯(cuò)誤，不符合題意；

3、四個(gè)內(nèi)角相等的四邊形是矩形，不一定是正方形，故本選項(xiàng)命題錯(cuò)誤，不符合題意；

C、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是是菱形，不一定是正方形，故本選項(xiàng)命題錯(cuò)誤，不符合題意；

￡）、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形，命題正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關(guān)鍵是要

熟悉課本中的性質(zhì)定理.

13.（2024?靜安區(qū)校級(jí)三模）下列命題中，假命題是（）

A.順次聯(lián)結(jié)任意四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形

B.順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形

C.順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形

D.順次聯(lián)結(jié)兩組鄰邊互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形

【分析】根據(jù)三角形中位線定理、菱形、矩形的判定定理判斷.

【解答】解：連接班＞,

在AABD中，E、H是AB、AD中點(diǎn)，

:.EH//BD,EH=-BD.

2

?在A5CD中，G、F是DC、3c中點(diǎn)，

:.GF//BD,GF=-BD,

2

:.EH=GF,EH!/GF,

，四邊形￡FG"為平行四邊形，A是真命題；

當(dāng)AC=&）時(shí)，EH=EF,

，四邊形EFG”為菱形，3是真命題；

當(dāng)AC_L3Z）時(shí)，EH工EF,

，四邊形EFG”為正方形，C是真命題；

順次連接順次聯(lián)結(jié)兩組鄰邊互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是不一定是直角梯形，。是假命題;

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關(guān)鍵是要

熟悉課本中的性質(zhì)定理.

14.（2024?長(zhǎng)寧區(qū)三模）下列命題中，真命題是（）

A.對(duì)角線互相垂直的梯形是等腰梯形

B.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是正方形

C.對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形

D.對(duì)角線平分一組對(duì)角的梯形是直角梯形

【分析】利用特殊四邊形的判定定理對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

【解答】解：A、對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形，故錯(cuò)誤；

3、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故錯(cuò)誤；

C、正確；

D,有一個(gè)角是直角的梯形是直角梯形，故錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解特殊四邊形的判定定理，難度不大.

15.（2023秋?黃浦區(qū)期末）下列命題中，真命題是（）

A.如果一個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角等于另一個(gè)直角三角形的銳角，那么這兩個(gè)三角形相似

B.如果一個(gè)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)等腰三角形的內(nèi)角，那么這兩個(gè)三角形相似

C.如果一個(gè)直角梯形的一個(gè)銳角等于另一個(gè)直角梯形的銳角，那么這兩個(gè)梯形相似

D.如果一個(gè)等腰梯形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)等腰梯形的內(nèi)角，那么這兩個(gè)梯形相似

【分析】根據(jù)相似三角形和相似多邊形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

【解答】解：A、如果一個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角等于另一個(gè)直角三角形的銳角，由于兩個(gè)直角三角形的兩個(gè)直角

相等，那么這兩個(gè)三角形相似，正確，是真命題，符合題意；

B、如果一個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角等于另一個(gè)等腰三角形的頂角，那么這兩個(gè)三角形不一定相似，故原命題錯(cuò)誤，

是假命題，不符合題意；

C、如果一個(gè)直角梯形的一個(gè)銳角等于另一個(gè)直角梯形的