2024-2025學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：一元二次方程的應(yīng)用（壓軸題）解析版

一元二次方程的應(yīng)用

?典例分析

【典例1】正月十五是中華民族傳統(tǒng)的節(jié)日——元宵節(jié)，家家掛彩燈、戶戶吃湯圓已成為世代相沿的習(xí)

俗.位于北關(guān)古城內(nèi)的盼盼手工湯圓店，計(jì)劃在元宵節(jié)前用21天的時(shí)間生產(chǎn)袋裝手工湯圓，已知每袋湯圓

需要0.3斤湯圓餡和0.5斤湯圓粉，而湯圓店每天能生產(chǎn)450斤湯圓餡或300斤湯圓粉(每天只能生產(chǎn)其中

一種).

(1)若這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套，且全部及時(shí)加工成湯圓，則總共生產(chǎn)了多少袋手工湯

圓？

(2)為保證手工湯圓的最佳風(fēng)味，湯圓店計(jì)劃把達(dá)21天生產(chǎn)的湯圓在10天內(nèi)銷(xiāo)售完畢.據(jù)統(tǒng)計(jì)，每袋手

工湯圓的成本為13元，售價(jià)為25元時(shí)每天可售出225袋，售價(jià)每降低2元，每天可多售出75袋.湯圓店

按售價(jià)25元銷(xiāo)售2天后，余下8天進(jìn)行降價(jià)促銷(xiāo)，第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價(jià)格

全部賣(mài)給古城小吃店，若最終獲利40500元，則促銷(xiāo)時(shí)每袋應(yīng)降價(jià)多少元？

【思路點(diǎn)撥】

(1)設(shè)總共生產(chǎn)了a袋手工湯圓，利用這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套做等量關(guān)系列出方程即可;

(2)設(shè)促銷(xiāo)時(shí)每袋應(yīng)降價(jià)x元，利用最終獲利40500元做等量關(guān)系列出方程即可.

【解題過(guò)程】

解：(1)設(shè)總共生產(chǎn)了a袋手工湯圓，

依題意得，鬻+繇=21

解得a=9000,

經(jīng)檢驗(yàn)a=9000是原方程的解，

答：總共生產(chǎn)了9000袋手工湯圓

(2)設(shè)促銷(xiāo)時(shí)每袋應(yīng)降價(jià)x元，

當(dāng)剛好10天全部賣(mài)完時(shí)，

依題意得,225X2x(25-13)+8(25-13-x)(225+yX)=40500

整理得：x2-6x+45=0

△=62-4X45<0,

.?.方程無(wú)解

??.10天不能全部賣(mài)完

???第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價(jià)格全部賣(mài)給古城小吃店的利潤(rùn)為(15—13)

9000-2x225-8(225+年久)]=12600-600%

???依題意得，225X2x(25-13)+8(25-13-%)(225+年久)+12600-600%=40500

解得=l,x2=3

???要促銷(xiāo)

.,.x=3

即促銷(xiāo)時(shí)每袋應(yīng)降價(jià)3元.

?學(xué)霸必刷

1.(23-24九年級(jí)上?廣東深圳?階段練習(xí))五個(gè)連續(xù)整數(shù)，前三個(gè)數(shù)的平方和等于后兩個(gè)數(shù)的平方和，你能

求出這五個(gè)整數(shù)分別是.

【思路點(diǎn)撥】

設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)為x,x+l,x+2,x+3,x+4,根據(jù)題意列方程求解即可.

【解題過(guò)程】

解：將這五個(gè)連續(xù)整數(shù)中的第一個(gè)數(shù)設(shè)為X,

那么其余四個(gè)數(shù)依次為x+1,X+2,x+3,x+4,

根據(jù)題意，得/+(x+1尸+(%+2)2=(x+3)2+(%+4)2.

也就是二一8%-20=0.

根據(jù)方程久2-8%-20=0,

所以比=—2或x=10.

因此這五個(gè)連續(xù)整數(shù)依次為一2,-1,0,1,2或10,11,12,13,14.

故答案為：一2,-1,0,1,2或10,11,12,13,14.

2.(23-24九年級(jí)上?四川成都?期末)已知，數(shù)軸上從左到右有三點(diǎn)4B,C,它們?cè)跀?shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別

為a,b,c(a,b,c均不為整數(shù))，且6<c-a<7,k<b<k+1(k為正整數(shù)).在點(diǎn)4與點(diǎn)B之間的所

22

有整數(shù)依次記為P1，P2，P3……，Pm；在點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的所有整數(shù)分別記為01義2迎3,…….qn-^Pl+P2+

+……+Pm=Ql2+?22+Q32+……+q，，則/C的值為.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，數(shù)軸上兩點(diǎn)距離；根據(jù)題意得出/c之間共有6個(gè)或7個(gè)整數(shù)，進(jìn)而可得

m>3,設(shè)4C之間的數(shù)分別為久一2,%—1,工,工+1,%+2,%+3,%+4,根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程,

得出整數(shù)解，進(jìn)而即可求解.

【解題過(guò)程】

解：v6<c—a<7,

"C之間共有6個(gè)或7個(gè)整數(shù)，

2222222

,?,6個(gè)連續(xù)的整數(shù)滿足pF+p2+p3+......+Pm=Ql+<72+Q3+.......+Qn

>3,

當(dāng)m=3時(shí)，4c間有7個(gè)整數(shù)，貝IJ48之間的3個(gè)整數(shù)設(shè)為1—2,%—1以，8,C之間的4個(gè)整數(shù)為

%+l,x+2,x+3,x+4,

???(%—2)2+(x—I)2+x2=(x+I)2+(%+2)2+(x+3)2+(%+4)2,

解得：x=—25或%=—1

當(dāng)4C上有6個(gè)整數(shù)，(%—2)2+(%—1)2+%2=(%+1)2+(%+2)2+(%+3)2,無(wú)整數(shù)解；

當(dāng)m=4時(shí)，ZC間有7個(gè)整數(shù)，貝之間的4個(gè)整數(shù)設(shè)為％—2,%—SC之間的3個(gè)整數(shù)為

x+2,x+3,x+4,

/.(x—2)2+(%—l)2+/+(%+1)2=(%+2)2+(x+3)2+(%+4)2,

解得：％=23或%=—1,

當(dāng)血=4,4c間有6個(gè)整數(shù)，貝IJ4B之間的4個(gè)整數(shù)設(shè)為久一2,%—1丹%+1,SC之間的2個(gè)整數(shù)為

x+2,x+3,

??.(%—2)2+(X—I)2+/+(%+I)2=(%+2)2+(%+3)2,無(wú)整數(shù)解；

當(dāng)m=5時(shí),則43之間的5個(gè)整數(shù)設(shè)為％—2,%—1陽(yáng)%+1,%+2,之間的2個(gè)整數(shù)為％+3握+4,

/.(%—2>+(%—I)24-%2+(%+I)2=(%+2)2+(%+3)2,無(wú)整數(shù)解

或(％—2)2+(%—I)2+%24-(%+I)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2,無(wú)整數(shù)解

當(dāng)爪=6時(shí)，貝"1刀之間的5個(gè)整數(shù)設(shè)為％—+之間的2個(gè)整數(shù)為％+4,

.,.(%—2)2+(%—I)2+%2+(%+I)2+(%+2)2+(%+3)2=(x+4)2,無(wú)解，

綜上所述，%=—25或%=23或%=—1,

則一25<b<一24或24<b<25或0<b<1,

.?.k=—25,k=24或k=0

?是正整數(shù)，

：.k=24

故答案為：24.

3.(23-24九年級(jí)上?江蘇?期中)己知3個(gè)連續(xù)整數(shù)的和是小，它們的平方和是打，且?guī)?女2爪+3),求這3

個(gè)連續(xù)整數(shù).

【思路點(diǎn)撥】

本題考查有理數(shù)的加法和二元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程再進(jìn)行計(jì)算即可.

【解題過(guò)程】

解：設(shè)這3個(gè)連續(xù)整數(shù)為％,%+1,%+2,

由題意可得，x+x+l+x4-2=3x+3=7n,

x2+(%+I)2+(%+2)2=3久2+6%+5=n,

又知九=^(2m+3),

*7

即3/+6%+5=-(6%+9),

解得x=4或—g(舍去)，

故％=4,

%+1=5,%+2=6.

故這3個(gè)連續(xù)整數(shù)為4,5,6.

4.(23-24九年級(jí)上?山東德州?期中)今年4月，多國(guó)禽流感大暴發(fā)，大量蛋雞被撲殺，導(dǎo)致世界級(jí)的“雞

蛋荒”，若某國(guó)有一只蛋雞患有禽流感，經(jīng)過(guò)兩輪感染后共有64只蛋雞患病.

(1)每輪傳染中平均每只患病蛋雞傳染了幾只健康的蛋雞？

(2)如果不及時(shí)控制，那么三輪傳染后，患病的蛋雞會(huì)不會(huì)超過(guò)500只？

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)四則混合計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意列出方程和算

式求解是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)每輪傳染中平均每只患病蛋雞傳染了x只健康的蛋雞，則第一輪中有x只健康的蛋雞被傳染，第二

輪中有x(l+%)只健康的蛋雞被傳染，根據(jù)經(jīng)過(guò)兩輪感染后共有64只蛋雞患病列出方程求解即可；

(2)根據(jù)(1)所求求出三輪傳染后，患病的蛋雞的數(shù)量即可得到答案.

【解題過(guò)程】

(1)解：設(shè)每輪傳染中平均每只患病蛋雞傳染了X只健康的蛋雞，則第一輪中有X只健康的蛋雞被傳染，

第二輪中有x(l+X)只健康的蛋雞被傳染，

根據(jù)題意得：1+X+x(l+%)=64,

整理得：(1+x)2=64,

解得：=7,x2=—9(不符合題意，舍去)，

答：每輪傳染中平均每只患病蛋雞傳染了7只健康的蛋雞；

(2)解：64+64X7

=64+448

=512(只)，

???512>500,

??.如果不及時(shí)控制，那么三輪傳染后，患病的蛋雞會(huì)超過(guò)500只.

5.(23-24九年級(jí)上?河南洛陽(yáng)?階段練習(xí))暑假期間，河北涿州的洪澇災(zāi)害，牽動(dòng)著全國(guó)人民的心.某單位

開(kāi)展了“馳援涿州，我們?cè)诼飞稀辟c災(zāi)捐款活動(dòng)，第一天收到捐款8000元，第三天收到捐款11520元.

(1)如果第二天、第三天收到捐款的增長(zhǎng)率相同，求捐款增長(zhǎng)率；

(2)按照(1)中收到捐款的增長(zhǎng)速度，第四天該單位能收到多少捐款？

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，掌握題意是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)捐款增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意列出方程進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)增長(zhǎng)率進(jìn)行計(jì)算即可.

【解題過(guò)程】

(1)解：設(shè)捐款增長(zhǎng)率為x.由題意得：8000(1+%)2=11520,

(1+?X)X?2=—36,

1+x=+|,

x=±|-1,

Xi=I，%2=-三■（不合題意，舍去）,

20%.即捐款增長(zhǎng)率為20%.

（2）解：11520x（1+|）=1152013824（元）

即第四天該單位能收到13824元捐款.

6.（22-23九年級(jí)上?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí)）某種商品的標(biāo)價(jià)為200元/件，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格為162元/

件，并且兩次降價(jià)的百分率相同.

（1）求該種商品每次降價(jià)的百分率；

（2）若該種商品進(jìn)價(jià)為156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各種

費(fèi)用150元，在每件降價(jià)幅度不超過(guò)10元的情況下，若每件降價(jià)1元，則每天可多售出5件，如果每天盈

利1450元，每件應(yīng)降價(jià)多少元？

【思路點(diǎn)撥】

（1）設(shè)該種商品每次降價(jià)的百分率為x,根據(jù)該商品的原價(jià)及經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格，即可得出關(guān)于x的

一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論；

（2）每件商品的盈利x（原來(lái)的銷(xiāo)售量+增加的銷(xiāo)售量）-150=1450,為了減少庫(kù)存，計(jì)算得到的降價(jià)多

的數(shù)量即可.

【解題過(guò)程】

（1）解：設(shè)該種商品每次降價(jià)的百分率為X,

依題意，得：200（1-X）2=162,

解得：=0.1=10%,%2=1-9（不合題意，舍去）；

答：該種商品每次降價(jià)的百分率為10%.

（2）解：設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)題意，得：

（200-156-x）（20+5x）-150=1450,

解方程得=4,x2=36,

??在降價(jià)幅度不超過(guò)10元的情況下，

■-X=36不合題意舍去，

答：每件商品應(yīng)降價(jià)4元.

7.（22-23九年級(jí)上?重慶黎江?期中）溫潤(rùn)有度，為愛(ài)加溫.近年來(lái)設(shè)計(jì)精巧、物美價(jià)廉的暖風(fēng)機(jī)逐漸成為

人們冬天必備的“取暖神器”，今年11月下旬某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)/、8兩種型號(hào)的暖風(fēng)機(jī)共900臺(tái)，每臺(tái)4型號(hào)

暖風(fēng)機(jī)售價(jià)為600元，每臺(tái)3型號(hào)暖風(fēng)機(jī)售價(jià)為900元.

(1)若要使得/、8兩種型號(hào)暖風(fēng)機(jī)的銷(xiāo)售額不低于69萬(wàn)元，則至多購(gòu)進(jìn)多少臺(tái)/型號(hào)暖風(fēng)機(jī)？

(2)由于質(zhì)量超群、品質(zhì)卓越，11月下旬購(gòu)進(jìn)的/、8兩種型號(hào)的暖風(fēng)機(jī)全部售完.該商場(chǎng)在12上旬又

購(gòu)進(jìn)了/、2兩種型號(hào)的暖風(fēng)機(jī)若干臺(tái)，并且進(jìn)行“雙12”促銷(xiāo)活動(dòng)，每臺(tái)4型號(hào)暖風(fēng)機(jī)的售價(jià)比其11月下

旬的售價(jià)優(yōu)惠/％,/型號(hào)暖風(fēng)機(jī)12月上旬的銷(xiāo)售量比其在(1)問(wèn)條件下的最高購(gòu)進(jìn)量增加;a%,每臺(tái)8

Z4-

型號(hào)暖風(fēng)機(jī)的售價(jià)比其n月下旬的售價(jià)優(yōu)惠N％,2型號(hào)暖風(fēng)機(jī)12月上旬的銷(xiāo)售量比其在(1)問(wèn)條件下

的最低購(gòu)進(jìn)量增加。％,4、8兩種型號(hào)的暖風(fēng)機(jī)在12月上旬的銷(xiāo)售額比(1)問(wèn)中最低銷(xiāo)售額增加了蔓a%,

求a的值.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，

正確列出一元一次不等式；(2)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程.

(1)設(shè)購(gòu)進(jìn)x臺(tái)力型號(hào)暖風(fēng)機(jī)，則購(gòu)進(jìn)(900-%)臺(tái)B型號(hào)暖風(fēng)機(jī)，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)x數(shù)量結(jié)合銷(xiāo)售額不低

于69萬(wàn)元，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.

【解題過(guò)程】

(1)解：設(shè)購(gòu)進(jìn)x臺(tái)4型號(hào)暖風(fēng)機(jī)，則購(gòu)進(jìn)(900—x)臺(tái)B型號(hào)暖風(fēng)機(jī)，

依題意，得：600%+900(900-x)>690000,

解得：x<400.

答：至多購(gòu)進(jìn)400臺(tái)4型號(hào)暖風(fēng)機(jī).

111

(2)依題意，得：600(1--a%)x400(1+-a%)+900(1--a%)x(900-400)(1+a%)=690000(1+

3%)，

整理，得：150a—12a2=0,

解得:a[=12.5,a2=0(不合題意，舍去).

答:a的值為12.5.

8.(22-23八年級(jí)下?廣東江門(mén)?期末)我市茶葉專(zhuān)賣(mài)店銷(xiāo)售某品牌茶葉，其進(jìn)價(jià)為每千克240元，按每千克

400元出售，平均每周可售出200千克，后來(lái)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低10元，則平均每周的銷(xiāo)售量

可增加40千克.

(1)若該專(zhuān)賣(mài)店銷(xiāo)售這種品牌茶葉要想平均每周獲利41600元，請(qǐng)回答：

①每千克茶葉應(yīng)降價(jià)多少元？

②在平均每周獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售？

(2)在降價(jià)情況下，該專(zhuān)賣(mài)店銷(xiāo)售這種品牌茶葉平均每周獲利能達(dá)到50000元嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【思路點(diǎn)撥】

(1)①設(shè)每千克茶葉應(yīng)降價(jià)x元，利用銷(xiāo)售量x每件利潤(rùn)=41600元列出方程求解即可；②為了讓利于

顧客因此應(yīng)下降價(jià)80元，求出此時(shí)的銷(xiāo)售單價(jià)即可確定幾折.

(2)設(shè)每千克茶葉應(yīng)降價(jià)y元，列方程整理后為y2—110y+4500=0,代入根的判別式得A<0,方程無(wú)

解，故不能達(dá)到要求.

【解題過(guò)程】

(1)解：①設(shè)每千克茶葉應(yīng)降價(jià)x元.根據(jù)題意，得：

(400-%-240)(200+盤(pán)x40)=41600.

解得：X]=30,%2=80.

答：每千克茶葉應(yīng)降價(jià)30元或80元.

②由①可知每千克茶葉可降價(jià)30元或80元.因?yàn)橐M可能讓利于顧客，所以每千克茶葉某應(yīng)降價(jià)80元.

■29(1

此時(shí)，售價(jià)為：400—80=320元，—X10=8.

答：該店應(yīng)按原售價(jià)的八折出售.

(2)解：該專(zhuān)賣(mài)店銷(xiāo)售這種品牌茶葉平均每周獲利不能達(dá)到50000元，理由如下：

設(shè)每千克茶葉應(yīng)降價(jià)y元.根據(jù)題意，得：

(400-%-240)(200+捻x40)=50000,

整理得：y2-110y+4500=0,

=(-110)2-4X1x4500=-5900<0,

原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

即該專(zhuān)賣(mài)店銷(xiāo)售這種品牌茶葉平均每周獲利不能達(dá)到50000元.

9.(22-23八年級(jí)下?重慶北倍?期中)甲、乙兩工程隊(duì)合作完成某修路工程，該工程總長(zhǎng)為4800米，原計(jì)

劃32小時(shí)完成.甲工程隊(duì)每小時(shí)修路里程比乙工程隊(duì)的2倍多30米，剛好按時(shí)完成任務(wù).

(1)求甲工程隊(duì)每小時(shí)修的路面長(zhǎng)度；

(2)通過(guò)勘察，地下發(fā)現(xiàn)大型溶洞，此工程的實(shí)際施工里程比最初的4800米多了1000米，在實(shí)際施工中,

乙工程隊(duì)修路效率保持不變的情況下，時(shí)間比原計(jì)劃增加了⑺I+25)小時(shí)；甲工程隊(duì)的修路速度比原計(jì)劃每

小時(shí)下降了36米，而修路時(shí)間比原計(jì)劃增加加小時(shí)，求機(jī)的值.

【思路點(diǎn)撥】

(1)設(shè)乙兩工程隊(duì)每小時(shí)鋪設(shè)路面x米，則甲工程隊(duì)每小時(shí)鋪設(shè)路面(2x+30)米，根據(jù)題意列出方程求解

即可；

(2)根據(jù)“甲工程隊(duì)鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度+乙兩工程隊(duì)鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度=5800”列出方程，求解即可.

【解題過(guò)程】

(1)解：設(shè)乙兩工程隊(duì)每小時(shí)鋪設(shè)路面x米，則甲工程隊(duì)每小時(shí)鋪設(shè)路面(2x+30)米，

根據(jù)題意得，32x+32(2x+30)=4800,

解得：％=40,

則2x+30=110,

???甲工程隊(duì)每小時(shí)鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度為110米；

(2)解：根據(jù)題意得,

40(32+小+25)+(110-3m)(32+m)=4800+1000,

整理得，m2—18m-0,

解得：(舍去)，

mi=18,m2=0

■■m的值為18.

10.(22-23九年級(jí)上?重慶合川?期末)2022年暑期，我區(qū)遭遇連續(xù)高溫和干旱，一居民小區(qū)的部分綠化樹(shù)

枯死.小區(qū)物業(yè)管理公司決定補(bǔ)種綠化樹(shù)，計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)小葉榕和香樟共50棵進(jìn)行栽種.其中小葉榕每棵680

元，香樟每棵1000元，經(jīng)測(cè)算，購(gòu)買(mǎi)兩種樹(shù)共需38800元.

(1)原計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)小葉榕、香樟各多少棵？

(2)實(shí)際購(gòu)買(mǎi)時(shí)，經(jīng)物業(yè)管理公司與商家協(xié)商，每棵小葉榕和香樟的售價(jià)均下降10zn元(MW10)),且

兩種樹(shù)的售價(jià)每降低10元，物業(yè)管理公司將在原計(jì)劃的基礎(chǔ)上多購(gòu)買(mǎi)小葉榕2棵，香樟1棵.物業(yè)管理公

司實(shí)際購(gòu)買(mǎi)的費(fèi)用比原計(jì)劃多3600元，求物業(yè)管理公司實(shí)際購(gòu)買(mǎi)兩種樹(shù)共多少棵？

【思路點(diǎn)撥】

(1)設(shè)原計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)小葉榕萬(wàn)棵，則購(gòu)買(mǎi)香樟50—x棵，根據(jù)題意列出方程680x+1000(50—乃=38800即

可得出答案.

(2)根據(jù)給出的條件先列出小葉榕與香樟的單價(jià)表達(dá)式分別為(680-10巾)元每棵，(1000-10巾)元每棵,

再列出實(shí)際購(gòu)買(mǎi)棵樹(shù)的表達(dá)式，得到(680-10m)X(35+2m)+(1000-10m)X(15+m)=42400方程

式求出滿足條件小的值，即可得出答案.

【解題過(guò)程】

(1)設(shè)原計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)小葉榕X棵，則購(gòu)買(mǎi)香樟50-久棵，

根據(jù)題意，可得680x+1000(50-x)=38800,

解得，x=35.

答：原計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)小葉榕35棵、香樟15棵.

(2)根據(jù)題意，可得(680-10m)x(35+2m)+(1000-10m)x(15+m)=42400,

整理得，30m2-1860m+3600=0,

解得：巾1=2,m2=60,

?：m<10,：.m—2,

???購(gòu)買(mǎi)了39棵小葉榕，17棵香樟，

答：物業(yè)管理公司實(shí)際購(gòu)買(mǎi)兩種樹(shù)共56棵.

11.(2023?重慶?一模)甲、乙兩工程隊(duì)共同承建某高速鐵路橋梁工程，橋梁總長(zhǎng)5000米.甲，乙分別從

橋梁兩端向中間施工.計(jì)劃每天各施工5米，因地質(zhì)情況不同，兩支隊(duì)伍每合格完成1米橋梁施工所需成

本不一樣.甲每合格完成1米橋梁施工成本為10萬(wàn)元，乙每合格完成1米橋梁施工成本為12萬(wàn).

(1)若工程結(jié)算時(shí)，乙總施工成本不低于甲總施工成本的*求甲最多施工多少米.

(2)實(shí)際施工開(kāi)始后，因地質(zhì)情況及實(shí)際條件比預(yù)估更復(fù)雜，甲乙兩隊(duì)每日完成量和成本都發(fā)生變化，甲

每合格完成1米隧道施工成本增加。萬(wàn)元時(shí)，則每天可多挖與米.乙在施工成本不變的情況下，比計(jì)劃每

O

天少挖笳米.若最終每天實(shí)際總成本在少于150萬(wàn)的情況下比計(jì)劃多(7a—12)萬(wàn)元.求。的值.

【思路點(diǎn)撥】

(1)設(shè)甲工程隊(duì)施工x米，則乙工程隊(duì)施工(5000-x)米，由工程結(jié)算時(shí)乙總施工成本不低于甲總施工成

本的也即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)總成本=每米施工成本x每天施工的長(zhǎng)度結(jié)合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a萬(wàn)元時(shí)，則每

天可多挖1米.乙在施工成本不變的情況下，比計(jì)劃每天少挖白米，即可得出關(guān)于。的一元二次方程，解

oy

之即可得出結(jié)論.

【解題過(guò)程】

(1)解：設(shè)甲工程隊(duì)施工X米，則乙工程隊(duì)施工(5000-X)米,

依題意,得：12(5000-x)>|xlOx,

解得：爛2500,

答：甲最多施工2500米.

(2)依題意，得：(10+a)(54-ia)+12(5-1a)=12X5+10X5+(7a-12),

整理，得：a2-18a+72=0,

解得：ar=12,a2=6,

當(dāng)a1=12時(shí)，總成本為：12x5+10x5+7x12-12=182(萬(wàn)元)，

???182>150,

--a-i=12不符合題意舍去；

當(dāng)ci2=6時(shí)，總成本為：12x5+10x5+7x6—12=140(萬(wàn)元)，

??-140<150,

?,?<22=6符合題意；

答：a的值為6.

12.(22-23九年級(jí)下?重慶北倍?階段練習(xí))1月21日，重慶在除夕夜舉行了首屆重慶都市藝術(shù)節(jié)跨年焰火表

演，以跨年整點(diǎn)焰火的形式辭舊迎新，為感受喜慶、熱烈的現(xiàn)場(chǎng)氛圍，甲、乙兩人從各自家前往朝天門(mén)廣

場(chǎng)觀看焰火表演、由于當(dāng)晚觀看焰火表演的人較多，甲先將車(chē)開(kāi)到距離自己家50千米的4停車(chē)場(chǎng)后，再步行

1千米到達(dá)目的地，共花了1.5小時(shí)，此期間，已知甲開(kāi)車(chē)的平均速度是甲步行平均速度的25倍.

(1)求甲開(kāi)車(chē)的平均速度及步行的平均速度分別是多少？

(2)乙先將車(chē)開(kāi)到B停車(chē)場(chǎng)后，再步行前往目的地，總路程為46千米，此期間，己知乙開(kāi)車(chē)的平均速度比

甲開(kāi)車(chē)的平均速度快機(jī)千米/小時(shí)(機(jī)>0),乙開(kāi)車(chē)時(shí)間比甲開(kāi)車(chē)時(shí)間少表小小時(shí)；乙步行的平均速度比甲步

行的平均速度快3n千米/小時(shí)，乙步行了《小時(shí)后到達(dá)目的地，求小的值.

【思路點(diǎn)撥】

(1)設(shè)甲步行的平均速度是X千米/小時(shí)，則甲開(kāi)車(chē)的平均速度是25X千米/小時(shí)，根據(jù)甲先將車(chē)開(kāi)到距離自

己家50千米的力停車(chē)場(chǎng)后，再步行1千米到達(dá)目的地，共花了1.5小時(shí).列出分式方程，解方程即可；

(2)根據(jù)乙先將車(chē)開(kāi)到B停車(chē)場(chǎng)后，再步行前往目的地，總路程為46千米.列出一元二次方程，解之取其

正值即可.

本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程和

一元二次方程.

【解題過(guò)程】

(1)設(shè)甲步行的平均速度是X千米/小時(shí)，則甲開(kāi)車(chē)的平均速度是25X千米/小時(shí)，

由題意得：黑+§=1.5,

解得：%=2,

經(jīng)檢驗(yàn)，％=2是原方程的解，且符合題意，

.*.25%=25x2=50,

答：甲開(kāi)車(chē)的平均速度是50千米/小時(shí)，步行的平均速度是2千米/小時(shí)；

(2)由⑴可知，甲開(kāi)車(chē)的時(shí)間為50+50=1小時(shí))，則乙開(kāi)車(chē)的時(shí)間為(1—3嗎)小時(shí)，

由題意可知，乙開(kāi)車(chē)的速度為(50+巾)千米/小時(shí)，乙步行的速度為(2+"嗎)千米/小時(shí)，

由題意得：(50+m)(l—媒+1(2=46,

整理得：m2+24m-112=0,

解得：7711=4,62=-24(不符合題意，舍去)，

答：小的值為4.

13.(23-24九年級(jí)上?山東棗莊?期中)小明設(shè)計(jì)了點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)動(dòng)畫(huà)游戲，如圖所示，甲、乙兩點(diǎn)

分別從直徑的兩端點(diǎn)/、8以順時(shí)針、逆時(shí)針的方向同時(shí)沿圓周運(yùn)動(dòng)，甲運(yùn)動(dòng)的路程?cm)與時(shí)間t(s)滿足關(guān)

系：l=^2+|t(tN0)，乙以4cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，半圓的長(zhǎng)度為21cm.

(1)甲運(yùn)動(dòng)4s后的路程是多少？

(2)甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第三次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間？

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用.根據(jù)等量關(guān)系，正確的列一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

(1)將t=4代入，計(jì)算求解即可；

(2)由題意知，甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第三次相遇總路程為5個(gè)半圓，貝嶺2+|t+4t=5X21,計(jì)算求出

滿足要求的解即可.

【解題過(guò)程】

-1Q

⑴解：當(dāng)t=4時(shí)，Z=ix42+jx4=8+6=14,

答：甲運(yùn)動(dòng)4s后的路程是14cm；

(2)解：由題意知，甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第三次相遇總路程為5個(gè)半圓，

?,?木+|t+4t=5x21,整理得，t2+11-210=0,

.?.(t-10)(t+21)=0,

解得，t=10或t=一21(舍去).

答：它們運(yùn)動(dòng)了10秒.

14.(22-23九年級(jí)下?重慶豐都?階段練習(xí))周末，小明和小紅約著一起去公園跑步鍛煉身體若兩人同時(shí)從A

地出發(fā)，勻速跑向距離12000m處的B地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的1.2倍，那么小明比小紅早5

分鐘到達(dá)B地.

(1)求小明、小紅的跑步速度；

(2)若從A地到達(dá)B地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到C地(整個(gè)過(guò)程不休息)，據(jù)了解，在他從跑步

開(kāi)始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過(guò)30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的

熱量就增加1卡路里，在整個(gè)鍛煉過(guò)程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多

少分鐘.

【思路點(diǎn)撥】

(1)分別設(shè)小紅和小明的速度，根據(jù)等量關(guān)系(小明比小紅早5分鐘到達(dá)B地)列出等量關(guān)系式，按照分

式方程即可求解，求解后檢驗(yàn)所求解是不是方程解.

(2)先求出小明前30分鐘中的5分鐘是從B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的熱量列方程，最

后求解.

【解題過(guò)程】

(1)解：設(shè)小紅的速度為xm/min,則小明的速度為1.2xm/min,

12000

依據(jù)題意列方程得,

1.2%

???12000x1.2-12000=5x1.2%,

???x=400,

經(jīng)檢驗(yàn)，％=400是原式方程的解.

???1,2x400=480m/min.

???小紅的速度為400m/min,小明的速度為480m/min.

故答案為：480m/min；400m/min.

（2）解：??,小明的速度為480m/min,

?,?小明從A地道B地需要的時(shí)間為：12000+480=25min.

??,小明在他從跑步開(kāi)始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里,

???30—25=5min.

設(shè)B地到C地的距離為%m,依據(jù)題意列方程得，

(x-480X5)(%-480x5\

30X10+——<10+-480)=2300

.?.300+(--5)X(10+--5)=2300,

1480/V480/

--5)X(±+5)=2000,

\480/\480/

,益-25=2000,

?扃)2=2025,

=21600^x=-21600(舍去).

A地到C地所需要時(shí)間為：216喘2。。。=70min

故答案為：70min.

15.（23-24九年級(jí)上?貴州遵義?期中）某旅行社為吸引市民組團(tuán)去遵義某景區(qū)旅游，推出了如圖收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn):

/血果人數(shù)超過(guò)20人，每增加1為、

3口果人數(shù)不超過(guò)20人、人均旅游費(fèi)用降低10元，但人均

《游費(fèi)用不得低于420元。/

人均旅游費(fèi)用為600兀J

（1）若甲單位組織25名員工參加本次旅游，應(yīng)支付該旅行社費(fèi)用為元;

(2)若乙單位組織員工參加本次旅游，共支付旅行社費(fèi)用15000元，求出乙單位參加本次旅游的員工人數(shù).

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)四則混合計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用：

(1)利用總費(fèi)用=人均旅游費(fèi)x參加本次旅游的人數(shù)，即可求出結(jié)論；

(2)設(shè)乙單位參加本次旅游的員工人數(shù)為x人，求出人數(shù)為20人時(shí)所需總費(fèi)用及人均旅游費(fèi)為420元時(shí)

的人數(shù)，由12000元小于15000元及人均旅游費(fèi)為420元時(shí)的人數(shù)不為整數(shù)，可得出#>20且人均費(fèi)用不

能為420元，利用總費(fèi)用=人均旅游費(fèi)x參加本次旅游的人數(shù)，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其

符合題意的值，即可得出結(jié)論.

【解題過(guò)程】

⑴解:根據(jù)題意得：[600—10x(25—20)]x25

=(600-10x5)x25

=(600-50)x25

=550x25

=13750(元)，

???若甲單位組織25名員工參加本次旅游，應(yīng)支付該旅行社費(fèi)用為13750元.

故答案為：13750；

(2)解：設(shè)乙單位參加本次旅游的員工人數(shù)為無(wú)人，

???600x20=12000(元)，12000<15000,15000+420=35…300,

??.X>20且人均費(fèi)用不能為420元.

根據(jù)題意得：%[600-10x(x-20)]=15000,

整理得：%2-80%+1500=0,

解得：X1=30,x2=50,

當(dāng)x=30時(shí)，600-10(%-20)=600-10X(30-20)=500>420,符合題意；

當(dāng)x=50時(shí)，600-10(%-20)=600-10x(50-20)=300<420,不符合題意，舍去.

答：乙單位參加本次旅游的員工人數(shù)為30人.

16.(23-24八年級(jí)下?浙江杭州?階段練習(xí))致富新村要修建一個(gè)長(zhǎng)方形的養(yǎng)豬場(chǎng)，豬場(chǎng)的一面靠墻(墻長(zhǎng)

25米)，另外三邊用長(zhǎng)40米的木欄圍成.

墻

〃〃/〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃〃〃/

AD

(1)設(shè)4B長(zhǎng)為x米，貝U8C的長(zhǎng)為米；

(2)4B長(zhǎng)為多少時(shí)，養(yǎng)豬場(chǎng)的面積為150平方米？

(3)養(yǎng)豬場(chǎng)的面積能否為240平方米？若能，請(qǐng)求出AB的長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【思路點(diǎn)撥】

此題考查了一元二次方程的應(yīng)用和一元二次方程根據(jù)的判別式，理解題意，正確列出方程是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)BC=木欄長(zhǎng)一(AB+CD)求解即可；

(2)結(jié)合(1)可求出養(yǎng)豬場(chǎng)的面積為x(40—2x),從而得出方程工(40—2乃=150,解之，再求出x的取

值范圍，即可得出答案.

(3)按照(2)的方法列出方程，求出一元二次方程根的判別式，即可作出判斷.

【解題過(guò)程】

(1)解：設(shè)力B長(zhǎng)為x米，即2B=CD=x米，

???平行于墻的邊長(zhǎng)為(40-2x)米.

故答案為:(40—2%)；

(2)解：由(1)可得養(yǎng)豬場(chǎng)的面積為x(40-2x),

又???養(yǎng)豬場(chǎng)的面積為150平方米，

■,■%(40—2%)=150,

解得：%i=15,%2=5.

v0<BC=40—2%<25,

15

.-.y<%<20,

.,.x=15.

二垂直于墻的邊長(zhǎng)為15米，平行于墻的邊長(zhǎng)為10米.

即力B長(zhǎng)為15米時(shí)，養(yǎng)豬場(chǎng)的面積為150平方米；

(3)養(yǎng)豬場(chǎng)的面積不能為240平方米.理由如下：

由(1)可得養(yǎng)豬場(chǎng)的面積為x(40-2%),

又?.?養(yǎng)豬場(chǎng)的面積為240平方米，

?,■x(40—2%)=240,

.,,%2—20x+120=0,

■,-A=(-20)2-4X1X120=-80<0,

原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

即養(yǎng)豬場(chǎng)的面積不能為240平方米.

17.(23-24九年級(jí)上?河南洛陽(yáng)?階段練習(xí))為了促進(jìn)勞動(dòng)課程的開(kāi)展，某學(xué)校準(zhǔn)備利用一處墻角和一段籬

笆圍建一個(gè)矩形生態(tài)園.如圖，墻4F=8m,AE=4m,籬笆長(zhǎng)為28m,設(shè)CD的長(zhǎng)為xm,生態(tài)園的一邊

由墻2尸和一節(jié)籬笆構(gòu)成，另一邊由墻AE和一節(jié)籬笆CE構(gòu)成，其他邊由籬笆CD8圍成.

墻

IF

—E

cD

(1)BD=m；(用含x的代數(shù)式表示)

(2)若生態(tài)園的面積為75m2,求久的值；

(3)為了進(jìn)出生態(tài)園方便，現(xiàn)決定在CD邊上留出2m寬的門(mén)，此時(shí)生態(tài)園的面積能否達(dá)到110m2?如果能,

請(qǐng)求出生態(tài)園的長(zhǎng)CD；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查代數(shù)式，一元二次方程解應(yīng)用題，準(zhǔn)確將線段用代數(shù)式表示出來(lái)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意得到BF=x—8,EC=4C—4,再根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到答案；

(2)由面積公式計(jì)算即可；

(3)根據(jù)題意將此時(shí)的8。表示出來(lái)進(jìn)行計(jì)算即可.

【解題過(guò)程】

(1)解：由題意可得48=CD=%/C=

???BF—x—8,EC=AC—4,

由于籬笆長(zhǎng)為28m,

?,?%—8+%+BD+BD—4=28,

BD=20—%；

(2)解：由題意得：%(20-x)=75,

即0-15)0—5)=0,

解得％i=1512=5,

vAF—8,

???x>8,

???x=15.

(3)解：由題意可得8尸=比一8,"？=/。-4

由于籬笆長(zhǎng)為28m,

x—8+x—2+BD+BD—4=21—%,

BD=21—x

???%(21—%)=110

解得％1=10,%2=1L

當(dāng)CO=10或11時(shí)，生態(tài)園的面積能達(dá)到llOnA

18.(22-23八年級(jí)下?山東濟(jì)南?期末)如圖，在△ABC中，=90。/8=6cm,BC=8cm,點(diǎn)尸從/開(kāi)

始沿邊向點(diǎn)8以lcm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)3開(kāi)始沿邊向點(diǎn)。以2cm/s的速度移動(dòng).點(diǎn)

P,。同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間/秒.

(1)填空：BQ=cm,PB=cm；(用含，的代數(shù)式表示)；

(2)當(dāng)，為幾秒時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等于4金cm；

7

(3)是否存在某一時(shí)刻3使四邊形力PQC的面積等于△4BC面積的百？如果存在，求出t的值，如果不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)路程=速度X時(shí)間，BQ=2tcm,AP=tcm,結(jié)合已知解答即可.

(2)根據(jù)勾股定理PQ2=pF+BQ2,列式計(jì)算即可.

2

(3)根據(jù)S四邊形4PQC=SAABC—SAPBQ=§S△4BC列式計(jì)算即可.

【解題過(guò)程】

(1)=90。/8=6cm,BC=8cm,點(diǎn)。從4開(kāi)始沿邊向點(diǎn)3以lcm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)5開(kāi)

始沿邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng).

：.BQ=2tcm,AP=tcm,

:.PB=AB—AP=(6—t)cm,

故答案為：2t,(6—t).

(2),,2B=90°,AB=6cm,BC=8cm,BQ=2tcm,PB=(6—t)cm,

PQ2=PB2+BQ2,

7

.-.(4V2)=(6-t)2+(2t)2,

整理，得5t2—121+4=0,

9

解得=2tt2——,

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s或運(yùn)動(dòng)時(shí)間為|s時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等于4v丞m.

(3)vzB=90°,AB=6cm,BC=8cm,BQ=2tcmPB=(6—t)cm,

S四邊形4PQC=S^ABC~S2PBQ=

111

^-PB-BQ=-x-AB-BCf

i11c

?，?萬(wàn)x2tx（6—t）=-^x~x6x8,

整理，得/一6七+8=0,

解得力1=2,以=4（舍去），

故當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒時(shí)，四邊形4PQC的面積等于△4BC面積的芻

19.（22-23九年級(jí)上?廣東清遠(yuǎn)?期中）如圖，在△4BC中，Z.B=90°,AB=11cm,BC=8cm,點(diǎn)尸從

點(diǎn)/出發(fā)，以每秒1cm的速度沿向點(diǎn)2勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)2出發(fā)以每秒2cm的速度沿BC向點(diǎn)C

勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C后返回點(diǎn)8,當(dāng)有一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

ABA備用圖B

(1)當(dāng)t=l時(shí)，直接寫(xiě)出尸，。兩點(diǎn)間的距離.

(2)是否存在3使得ABPQ是等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)是否存在3使得ABP。的面積等于10cm2,若存在，請(qǐng)求出t的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【思路點(diǎn)撥】

(1)求出PB=10cm,BQ=2cm,再利用勾股定理即可求出PQ=JPB2+BQ2=酎。2+22=2履51；

(2)因?yàn)?90°,所以當(dāng)△BPQ是等腰三角形時(shí)，只有BP=BQ,表示出BP=(11-t)cm,當(dāng)04tW4

時(shí)，BQ-2tcm；當(dāng)4<￡式8時(shí)，BQ-(16—2t)cm；當(dāng)8VtW11時(shí)，BQ-(2t—16)cm；利用BP=BQ,

即可求出f的值；

(3)由(2)可知：BP=(11—t)cm,當(dāng)0W1W4時(shí)，BQ=2tcm；當(dāng)4ctW8時(shí)，BQ=(16—2t)cm；

當(dāng)8VtWll時(shí)，BQ=(2t-16)cm；利用S^BPQ=《XBPxBQ=10,解關(guān)于f的方程即可.

【解題過(guò)程】

(1)解：當(dāng)t=l時(shí)，由題意可知：AP=1cm,BQ=2cm,

'：AB=11cm,

：.PB=10cm,

MB=90°,

■■PQ=yJPB2+BQ2=V102+22=2V26cm；

(2)解：“=90°,

??.△BPQ是等腰三角形時(shí)，只有BP=BQ,

由題意可知：BP=(ll-t)cm,

???。從點(diǎn)8出發(fā)以每秒2cm的速度沿8C向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C后返回點(diǎn)8,當(dāng)有一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另

一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，

.?.當(dāng)0WtW4時(shí)，BQ=2tcm；當(dāng)4<1W8時(shí)，BQ=(16—2t)cm；當(dāng)8VtW11時(shí)，BQ=(2t-16)cm；

，:BP=BQ

.?.ll-t=2t,解得：t=?>4,故不符合題意；

ll—t=16—23解得：t=5,符合題意；

ll-t=2C-16,解得：t=9,符合題意；

綜上所述：1=5或力=9；

(3)解：假設(shè)存在/使得△BPQ的面積等于10cm2,

由(2)可知：BP=(11—t)cm,當(dāng)0<t<4時(shí)，BQ=2tcm；當(dāng)4Vt<8時(shí)，BQ=(16—2t)cm；當(dāng)8Vt<11

時(shí)，BQ=(2t-