專題04平面與平面的位置關(guān)系（原卷版）

【原卷版】專題04平面與平面的位置關(guān)系本章主要討論三維空間中的直線與平面，從四個(gè)簡單直觀的公理（也稱為“基本事實(shí)”)出發(fā)，通過演繹推理的方法建立起關(guān)于空間的點(diǎn)、直線與平面之間基本關(guān)系的比較系統(tǒng)完整的理論；這方面的要求與“二期課改“教材相比，有明顯的提高，因此課程的難度也略有增大；作這樣變化的目的在于克服學(xué)生空間直觀想象和邏輯推理上的不足；所以，充分利用教材的內(nèi)容但不要超越教材的難度，注意給學(xué)生鋪設(shè)好從平面到立體的臺(tái)階，聚焦培養(yǎng)學(xué)生的能力和索養(yǎng)；因此，在學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念與空間想象能力是學(xué)習(xí)立體幾何的關(guān)鍵；教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注空間圖形及其位置關(guān)系的多種表征方式；如實(shí)物、模型、圖形、符號(hào)及文字等，并通過不同表征方式的相互轉(zhuǎn)化來幫助學(xué)生理解空間概念、圖形和解決，用好長方體這一直觀的模型；．一、《必修第二冊》目錄與內(nèi)容提要【本章教材目錄】第10章空間直線與平面10.1平面及其基本性質(zhì)10.1.1空間的點(diǎn)、直線與平面；10.1.2相交平面；10.1.3空間圖形的平面直觀圖的畫法；10.2直線與直線的位置關(guān)系10.2.1空間的平行直線；10.2.2異面直線；10.2.3兩條異面直線所成的角；10.3直線與平面的位置關(guān)系10.3.1直線與平面平行；10.3.2直線與平面垂直；10.3.3直線與平面所成的角；10.3.4三垂線定理；10.4平面與平面的位置關(guān)系10.4.1平面與平面平行；10.4.2二面角*10.5異面直線間的距離【本章內(nèi)容提要】1、立體幾何中的公理及其推論（1）公理1如果一條直線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面上，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面上；（2）公理2不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面；推論1一條直線和這條直線外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面；推論2兩條相交直線確定一個(gè)平面；推論3兩條平行直線確定一個(gè)平面；（3）公理3如果兩個(gè)不同的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線；（4）公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行；2、直線與直線的位置關(guān)系（1）有三種可能的位置關(guān)系：相交、平行、異面；（2）等角定理如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等；推論1如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或者互補(bǔ)；推論2如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等；（3）異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面上的兩條直線叫做異面直線；（4）異面直線判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面上一點(diǎn)的直線，和此平面上不經(jīng)過該點(diǎn)的任何一條直線是異面直線；（5異面直線所成的角的定義：兩條異面直線平移到相交位置時(shí)所得到的銳角或直角，稱為這兩條異面直線所成的角；3、直線與平面的位置關(guān)系（1）直線與平面平行的判定定理：如果不在平面上的一條直線與這個(gè)平面上的一條直線平行，那么該直線與這個(gè)平面平行；（2）直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線與一個(gè)平面平行，過這條直線的一個(gè)平面與此平面相交，那么其交線必與該直線平行；（3）線面垂直的定義：如果一條直線與平面上的任意一條直線都垂直，就說這條直線與這個(gè)平面互相垂直；（4）直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與平面上的兩條相交直線都垂直，那么直線與該平面垂直；（5）直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行；推論1：過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與給定的直線垂直；推論:2：過一點(diǎn)有且只有一條直線與給定的平面垂直；（6）線面所成的角的定義：平面的一條斜線和它在平面上的投影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角；（7）三垂線定理：平面上的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜線在平面上的投影垂直；4、平面與平面的位置關(guān)系（1）兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面上的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行；（2）兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行；（3）一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，一個(gè)二面角的大小等于它的平面角的大?。唬?）平面與平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面垂直；（5）平面與平面垂直的性質(zhì)定理：如果果兩個(gè)平面垂直，那么其中一個(gè)平面上垂直于兩個(gè)平面交線的直線與另一個(gè)平面垂直；*5、異面直線間的距離（1）定理：對于任意給定的兩條異面直線，存在唯一的一條直線與這兩條直線都垂直并且相交；（2）定義：兩條異面直線的公垂線段的長度叫做這兩條異面直線的距離；1、兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示表示法公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩平面平行α∥β0個(gè)兩平面相交α∩β＝l無數(shù)個(gè)點(diǎn)(共線)【說明】如何從有無公共點(diǎn)的角度理解兩平面位置關(guān)系？如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么由公理3可知：這兩個(gè)平面相交于過這個(gè)點(diǎn)的一條直線；如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)平面相互平行；2、平面與平面平行的判定定理文字語言符號(hào)語言圖形語言平面與平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；【說明】可以由直線與平面平行判斷平面與平面平行；即將平面與平面的平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線與平面的平行關(guān)系；3、平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語言符號(hào)語言圖形語言兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行；若//β，∩β=b，∩=a，則a//b;結(jié)論：夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等4、二面角文字語言符號(hào)語言圖形語言二面角的定義：如圖，從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面；二面角的記法：①棱為AB，面為α、β的二面角記作二面角αABβ；②也可在α、β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點(diǎn)P、Q，將這個(gè)二面角記作二面角PABQ；③棱記作l，這個(gè)二面角記作二面角αlβ或PlQ；二面角的平面角的定義：在二面角αlβ的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角；二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度；二面角的平面角θ的取值范圍為0o≤θ≤180o．我們把平面角是直角的二面角叫做直二面角求二面角的一般步驟：（1）作：在棱上選擇恰當(dāng)?shù)囊粋€(gè)點(diǎn)，在兩半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，兩射線組成的角，即為二面角的平面角；（2）證：證明（1）中所作出的角就是二面角的平面角；注：關(guān)鍵證明線線垂直）（3）求：通過解三角形，求出(1)中所作的角的大??；用三垂法作二面角的平面角的一般步驟：（1）在其中一個(gè)半平面內(nèi)取恰當(dāng)?shù)囊稽c(diǎn)P，過點(diǎn)P作另一個(gè)平面的垂線，垂足設(shè)為Q；（2）過點(diǎn)Q作棱l的垂線，垂足為O，連接OP；（3）易知，l垂直O(jiān)P，所以∠POQ即為二面角的平面角；5、平面互相垂直的定義文字語言符號(hào)語言圖形語言當(dāng)兩個(gè)平面相交所成的二面角是直二面角時(shí)，我們就說這兩個(gè)平面互相垂直；β6、平面與平面垂直的判定定理文字語言符號(hào)語言圖形語言平面與平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面垂直若l,l?β，則β;7、平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言符號(hào)語言圖形語言平面與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么其中一個(gè)平面上垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直；若β，∩β=l，m?，且ml；，則mβ；【注意】這個(gè)定理說明了，可以由平面與平面垂直可以得到直線與平面垂直結(jié)論：如果α，β，γ是三個(gè)不同的平面，且α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l．那么：l⊥γ．題型1、準(zhǔn)確理解平面與平面的位置關(guān)系例1、（1）以下四個(gè)命題中，正確的命題有()①在平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行，那么這兩個(gè)平面平行；②在平面α內(nèi)有無數(shù)條直線和平面β平行，那么這兩個(gè)平面平行；③平面α內(nèi)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在平面β的同一側(cè)且到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個(gè)平面平行；④平面α內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個(gè)平面平行或相交.A．③④ B．②③④C．②④ D．①④（2）如果在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．垂直（1）平面與平面相交的判斷，主要以基本事實(shí)3為依據(jù)找出一個(gè)交點(diǎn).（2）平面與平面平行的判斷，主要說明兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn).2、常見平面與平面平行的幾何模型：長方體、正方體中三組相對的面平行；題型2、平面與平面平行的理解與應(yīng)用例2、（1）如圖，已知點(diǎn)P在三角形ABC外，D，E，F(xiàn)分別是棱PA，PB，PC的中點(diǎn)，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是________.（2）如圖，平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于點(diǎn)P，且AP＝1，BP＝4，CD＝6，那么CP＝________.題型3、平面與平面平行的判定方法例3、（1）已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中點(diǎn)，N是BB1的中點(diǎn)；求證：平面MDB1∥平面ANC.（2）如圖所示，點(diǎn)P在矩形ABCD所在平面外，E，F(xiàn)，H分別為AB，CD，PD的中點(diǎn)，求證：平面AFH∥平面PCE.【說明】1、證明兩個(gè)平面平行主要方法：（1）根據(jù)定義證明兩平面沒有公共點(diǎn)（采用反證法）；（2）判定定理；（3）利用平行平面的傳遞性；2、利用面面平行的判定定理，關(guān)鍵是在一個(gè)平面內(nèi)找（或作出）兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，在證明時(shí)一定要說明兩條直線相交；題型4、平面與平面平行的性質(zhì)定理及其應(yīng)用例4、（1）如圖，已知平面α∥平面β，點(diǎn)P是平面α，β外的一點(diǎn)(不在α與β之間)，直線PB，PD分別與α，β相交于點(diǎn)A，B和C，D.①求證：AC∥BD；②已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的長.（2）已知平面α∥平面β，若點(diǎn)P在平面α與β之間，其它條件不變.①求證：AC∥BD；②已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的長.【說明】1、利用面面平行的性質(zhì)定理判斷兩直線平行的步驟（1）先找兩個(gè)平面，使這兩個(gè)平面分別經(jīng)過這兩條直線中的一條；（2）判定這兩個(gè)平面平行(此條件有時(shí)題目會(huì)直接給出)；（3）再找一個(gè)平面，使這兩條直線都在這個(gè)平面上；（4）由定理得出結(jié)論；2、類比平面內(nèi)的平行直線分線段成比例定理，在空間中有平行平面分線段成比例；題型5、空間平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例5、（1）平面α∥平面β，點(diǎn)A，C∈α，B，D∈β，則直線AC∥直線BD的充要條件是()A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB與CD相交 D．A，B，C，D四點(diǎn)共面（2）如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是AD1，BD和B1C的中點(diǎn)，求證：①M(fèi)N∥平面CC1D1D；②平面MNP∥平面CC1D1D.【說明】1、常見的平行關(guān)系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種平行關(guān)系不是孤立存在的，而是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的，它們的聯(lián)系如下：2、判定是用低一級(jí)的平行關(guān)系證明高一級(jí)的平行關(guān)系；性質(zhì)是由高一級(jí)的平行關(guān)系推出低一級(jí)的平行關(guān)系；題型6、二面角及其求法例6、（1）在二面角α－l－β的棱l上任取一點(diǎn)O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，則必須具有的條件是()A．AO⊥BO，AO?α，BO?βB．.AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO?α，BO?βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β（2）如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)，且PA＝AC，求：二面角P－BC－A的大?。弧菊f明】1、二面角是一個(gè)空間圖形，其大小是利用二面角的平面角進(jìn)行度量，注意二面角與兩相交平面所成的角并不一致；2、求二面角大小主要分為三步“一作、二證、三計(jì)算”；3、作二面角的平面角常采用：（1）定義法；（2）垂面法；（3）垂線法（利用線面垂直轉(zhuǎn)化）；題型7、平面與平面垂直的判定例7、（1）如圖，空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AC，AD的中點(diǎn)，AD⊥CD，BA＝BD，求證：平面EFB⊥平面ABD.（2）在邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求證：平面PDB⊥平面PAC.【說明】證明平面與平面垂直的方法：1、利用定義：證明二面角的平面角為直角；2、利用面面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直；題型8、平面與平面垂直條件的探求例8、（1）如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面ABC，點(diǎn)C是圓上的任意一點(diǎn)，圖中有________對平面與平面垂直()A．1B．2C．3D．4（2）如圖，點(diǎn)P在四邊形ABCD外，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，側(cè)面△PAD為等邊三角形.①求證：AD⊥PB；②若E為BC邊上的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論.【說明】1、平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用：（1）本質(zhì)：通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直，即線面垂直?面面垂直.（2）證題思路：處理面面垂直問題轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題來解決；題型9、對平面與平面垂直的性質(zhì)定理的理解及其應(yīng)用例9、（1）已知直線l⊥平面α，直線m∥平面β，若α⊥β，則下列結(jié)論正確的是()A．l∥β或l?βB．l∥mC．m⊥αD．l⊥m（2）如圖，點(diǎn)P在三角形ABC外，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥AB.【說明】利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時(shí)，要注意以下三點(diǎn)：（1）兩個(gè)平面垂直；（2）直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)；（3）直線必須垂直于它們的交線；題型10、空間垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化例10、如圖，點(diǎn)P在四邊形ABCD所在平面外，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn).求證：（1）PA⊥底面ABCD；（2）BE∥平面PAD；（3）平面BEF⊥平面PCD.【說明】1、熟練垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化是解題的常規(guī)思路；2、垂直關(guān)系證明的核心是線面垂直，準(zhǔn)確確定要證明的直線是關(guān)鍵，再利用線線垂直證明；1、若點(diǎn)A∈α，B?α，C?α，則平面ABC與平面α的位置關(guān)系是____________________2、已知α，β，γ是三個(gè)不重合的平面，a，b是兩條不重合的直線.若α∩β＝a，β∩γ＝b，且α∥γ，則a與b的位置關(guān)系是________.3、二面角α－l－β的大小為60°，異面直線a，b分別垂直于α，β，則a與b所成角的大小是