第六章《計(jì)數(shù)原理》章末復(fù)習(xí)提升與檢測(cè)

第六章《計(jì)數(shù)原理》章末復(fù)習(xí)提升與檢測(cè)知識(shí)體系能力整合一、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理1．分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，在進(jìn)行計(jì)數(shù)過程中，常因分類不明導(dǎo)致增(漏)解，因此在解題中既要保證類與類的互斥性，又要關(guān)注總數(shù)的完備性．2．掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．【例1】（1）設(shè)4名學(xué)生報(bào)名參加同一時(shí)間安排的3項(xiàng)課外活動(dòng)的方案有a種，這4名學(xué)生在運(yùn)動(dòng)會(huì)上共同爭(zhēng)奪100米、跳遠(yuǎn)、鉛球3項(xiàng)比賽的冠軍的可能結(jié)果有b種，則(a，b)為()A．(34，34) B．(43，34)C．(34，43) D．(Aeq\o\al(3,4)，Aeq\o\al(3,4))【答案】C【解析】首先每名學(xué)生報(bào)名有3種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知4名學(xué)生共有34種選擇，每項(xiàng)冠軍有4種可能結(jié)果，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知3項(xiàng)冠軍共有43種可能結(jié)果．(2)“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22,121,3443,94249等．顯然2位“回文數(shù)”有9個(gè)：11,22,33，…，99；3位“回文數(shù)”有90個(gè)：101,111,121，…，191,202，…，999；則①4位“回文數(shù)”有________個(gè)；②2n＋1(n∈N*)位“回文數(shù)”有________個(gè)．【答案】①90②9×10n．【解析】①4位“回文數(shù)”的特點(diǎn)為中間兩位相同，千位和個(gè)位數(shù)字相同但不能為零，第一步，選千位和個(gè)位數(shù)字，共有9種選法；第二步，選中間兩位數(shù)字，有10種選法，故4位“回文數(shù)”有9×10＝90(個(gè))．②第一步，選左邊第一個(gè)數(shù)字，有9種選法；第二步，分別選左邊第2,3,4，…，n，n＋1個(gè)數(shù)字，共有10×10×10×…×10＝10n(種)選法，故2n＋1(n∈N*)位“回文數(shù)”有9×10n個(gè)．【通性通法】應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的四個(gè)步驟(1)明確完成的這件事是什么．(2)思考如何完成這件事．(3)判斷它屬于分類還是分步，是先分類后分步，還是先分步后分類．(4)選擇計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算．【跟蹤訓(xùn)練】1.用紅、黃、藍(lán)、綠、橙五種不同顏色給如圖所示的5塊區(qū)域A，B，C，D，E涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，相鄰區(qū)域使用不同顏色，則共有涂色方法()A．120種 B．720種C．840種 D．960種【答案】D【解析】A有5種顏色可選，B有4種顏色可選，D有3種顏色可選，C，E均有4種顏色可選，故共有涂色方法5×4×3×4×4＝960(種)．2.《九章算術(shù)》、《數(shù)書九章》、《周髀算經(jīng)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作，甲、乙、丙三名同學(xué)計(jì)劃每人從中選擇一種來閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有種．【答案】【解析】若三人選書沒有要求，則有種，若三人選擇的書完全相同，則有種，所以三人選擇的書不全相同，不同的選法有種.二、排列與組合的綜合應(yīng)用1．排列、組合是兩類特殊的計(jì)數(shù)求解方式，在計(jì)數(shù)原理求解中起著舉足輕重的作用，解決排列與組合的綜合問題要遵守先選后排，特殊元素(特殊位置)優(yōu)先的原則．2．明確排列和組合的運(yùn)算，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)．【例2】（1）（2023?新高考Ⅰ）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．【答案】64．【解析】若選2門，則只能各選1門，有種，如選3門，則分體育類選修課選2，藝術(shù)類選修課選1，或體育類選修課選1，藝術(shù)類選修課選2，則有，綜上共有種不同的方案．故答案為：64．（2）（2023?甲卷（理））有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則兩天中恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為A．120 B．60 C．40 D．30【答案】【解析】先從5人中選1人連續(xù)兩天參加服務(wù)，共有種選法，然后從剩下4人中選1人參加星期六服務(wù)，剩下3人中選取1人參加星期日服務(wù)，共有種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有種選法．故選：．【通性通法】解決排列、組合綜合問題要注意以下幾點(diǎn)(1)首先要分清該問題是排列問題還是組合問題．(2)對(duì)于含有多個(gè)限制條件的復(fù)雜問題，應(yīng)認(rèn)真分析每個(gè)限制條件，再考慮是分類還是分步，分類時(shí)要不重不漏，分步時(shí)要步步相接．(3)對(duì)于含有“至多”“至少”的問題，常采用間接法，此時(shí)要考慮全面，排除干凈．【跟蹤訓(xùn)練】1.（2023?新高考Ⅱ）某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有A．種 B．種 C．種 D．種【答案】【解析】初中部和高中部分別有400和200名學(xué)生，人數(shù)比例為，則需要從初中部抽取40人，高中部取20人即可，則有種．故選：．2.（2023?乙卷（理））甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】【解析】根據(jù)題意可得滿足題意的選法種數(shù)為：．三、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用1．二項(xiàng)式定理有比較廣泛的應(yīng)用，可用于代數(shù)式的化簡(jiǎn)、變形、證明整除、近似計(jì)算、證明不等式等，其原理可以用于二項(xiàng)式相應(yīng)展開式項(xiàng)的系數(shù)求解．2．二項(xiàng)式定理所體現(xiàn)的是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．角度1二項(xiàng)展開式的“賦值問題”【例3】（1）（2022?北京）若，則A．40 B．41 C． D．【答案】【解析】法一：，可得，，，，故答案為：41．法二：，令，可得，再令，可得，兩式相加處以2可得，，故選：．【通性通法】在二項(xiàng)展開式中應(yīng)用“賦值法”的一般步驟(1)觀察：先觀察二項(xiàng)展開式左右兩邊式子的結(jié)構(gòu)特征．(2)賦值：結(jié)合待求和上述特征，對(duì)變量x賦值，常見的賦值有x＝－1，x＝0，x＝1等等，具體視情況而定．(3)解方程：賦值后結(jié)合待求建立方程(組)，求解便可．【跟蹤訓(xùn)練】（2022?浙江）已知多項(xiàng)式，則．【答案】8，．【解析】，；令，則，令，則，．角度2二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題【例4】（1）（2022?新高考Ⅰ）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】．【解析】的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的展開式中的系數(shù)為．故答案為：．（2）（2023?天津）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】60．【解析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令得，，項(xiàng)的系數(shù)為．【通性通法】二項(xiàng)式特定項(xiàng)的求解策略(1)確定二項(xiàng)式中的有關(guān)元素：一般是根據(jù)已知條件，列出等式，從而可解得所要求的二項(xiàng)式中的有關(guān)元素．(2)確定二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)：先寫出其通項(xiàng)，令未知數(shù)的指數(shù)為零，從而確定項(xiàng)數(shù)，然后代入通項(xiàng)，即可確定常數(shù)項(xiàng)．(3)求二項(xiàng)展開式中條件項(xiàng)的系數(shù)：先寫出其通項(xiàng)，再由條件確定項(xiàng)數(shù)，然后代入通項(xiàng)求出此項(xiàng)的系數(shù)．(4)確定二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最大或最小項(xiàng)：求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是【跟蹤訓(xùn)練】1.（2023?北京）的展開式中，的系數(shù)是A． B．40 C． D．80【答案】【解析】由二項(xiàng)式定理可知展開式的第項(xiàng)，，1，，令，可得．即含的項(xiàng)為第3項(xiàng)，，故的系數(shù)為80．故選：．2.（2022?天津）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．【答案】15．【解析】的展開式的通項(xiàng)是要求展開式中的常數(shù)項(xiàng)只要使得，即常數(shù)項(xiàng)是，章末檢測(cè)(時(shí)間：120分鐘，滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．（2024·晉城第一中學(xué)校高二月考）（

）A．74 B．98 C．124 D．148【答案】C【解析】．故選C．2．某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，要求這2名學(xué)生來自不同年級(jí)，則不同的選擇方法共有（

）A．4種 B．6種 C．8種 D．12種【答案】A【解析】由4名學(xué)生來自高一、高二各2名，則隨機(jī)選2名學(xué)生來自不同年級(jí)的選擇有種，故選A3．設(shè)直線的方程是，從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)中每次取兩個(gè)不同的數(shù)作為A、B的值，則所得不同的直線的條數(shù)是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解析】∵從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)中每次取兩個(gè)不同的數(shù)作為A、B的值有種結(jié)果，在這些直線中有重復(fù)的直線，當(dāng)和時(shí)，結(jié)果相同；當(dāng)和時(shí)，結(jié)果相同，∴所得不同直線的條數(shù)是，故選C．4．的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B．10 C． D．40【答案】C【解析】展開式的通項(xiàng)為，，所以的系數(shù)為，故選C5．近期浙江大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、南京大學(xué)三所學(xué)校發(fā)布了2024年冬令營(yíng)招生簡(jiǎn)章，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)報(bào)名，每位同學(xué)只能選一所大學(xué)，每所大學(xué)至少有一名同學(xué)報(bào)名，且甲同學(xué)不報(bào)南京大學(xué)，則不同的報(bào)名方法共有（

）A．16種 B．20種 C．24種 D．28種【答案】C【解析】由甲不報(bào)考南京大學(xué)，可分為兩類：第1類：甲單獨(dú)報(bào)名一個(gè)學(xué)校，則有種不同的報(bào)考方法；第2類，甲和其中一名同學(xué)報(bào)名一個(gè)學(xué)校，則有種不同的報(bào)考方法，由分類計(jì)數(shù)原理，可得共有12+12=24種不同的報(bào)考方法，故選C6．2023年5月21日，中國(guó)羽毛球隊(duì)在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團(tuán)體錦標(biāo)賽決賽中以總比分戰(zhàn)勝韓國(guó)隊(duì)，實(shí)現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場(chǎng)合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（

）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種【答案】C【解析】當(dāng)丙站在左端時(shí)，甲、丙必須相鄰，其余人全排列，有種站法；當(dāng)丙不站在左端時(shí)，從丁、戊兩人選一人站左邊，再將甲、丙捆綁，與余下的兩人全排，有種站法，所以一共有種不同的站法．故選C7．中國(guó)傳統(tǒng)木構(gòu)建筑的窗欞是框架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，它是傳統(tǒng)建筑中最重要的構(gòu)成要素之一，也是建筑的審美中心.如圖中矩形是某窗欞的一部分，圖中與矩形邊平行的橫線與豎線構(gòu)成矩形（

）個(gè)

A．24 B．27 C．36 D．60【答案】C【解析】在矩形中的條橫線任選條，有種方法，條豎線任選條，有種方法，這時(shí)一定會(huì)圍成一個(gè)封閉圖形，即為所求矩形，共有種方法，故選C8．若的展開式中不含項(xiàng)，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【解析】，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為：，令時(shí)，；令時(shí)，，所以的展開式中的系數(shù)為，因?yàn)榈恼归_式中不含項(xiàng)，所以，解得：，故選D.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9．現(xiàn)有不同的黃球5個(gè)，黑球6個(gè)，藍(lán)球4個(gè)，則下列說法正確的是（

）A．從中任選1個(gè)球，有15種不同的選法B．若每種顏色選出1個(gè)球，有120種不同的選法C．若要選出不同顏色的2個(gè)球，有31種不同的選法D．若要不放回地選出任意的2個(gè)球，有240種不同的選法【答案】AB【解析】對(duì)于A，從中任選1個(gè)球，共有種不同的選法，故A正確；對(duì)于B，每種顏色選出1個(gè)球，可分步從每種顏色分別選擇，共有種不同的選法，故B正確；對(duì)于C，若要選出不同顏色的2個(gè)球，首先按顏色分三類“黃，黑”，“黃，藍(lán)”，“黑，藍(lán)”，再進(jìn)行各類分步選擇，共有種不同的選法，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若要不放回地選出任意的2個(gè)球，直接分步計(jì)算，共有種不同的選法，故D錯(cuò)誤，故選AB．10．已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為64，則下列說法正確的是（

）A．B．展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32C．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為540D．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第四項(xiàng)【答案】ABD【解析】令，得，得，故A正確；展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故B正確，由上得二項(xiàng)式為，常數(shù)項(xiàng)為，故C錯(cuò)誤；最大的二項(xiàng)式系數(shù)為，即第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故D正確；故選ABD．11．某班準(zhǔn)備舉行一場(chǎng)小型班會(huì)，班會(huì)有3個(gè)歌唱節(jié)目和2個(gè)語言類節(jié)目，現(xiàn)要排出一個(gè)節(jié)目單，則下列說法正確的是（

）A．若3個(gè)歌唱節(jié)目排在一起，則有6種不同的排法B．若歌唱節(jié)目與語言類節(jié)目相間排列，則有12種不同的排法C．若2個(gè)語言類節(jié)目不排在一起，則有72種不同的排法D．若前2個(gè)節(jié)目中必須要有語言類節(jié)目，則有84種不同的排法【答案】BCD【解析】A選項(xiàng)，若3個(gè)歌唱節(jié)目排在一起，則有種情況，將3個(gè)歌唱節(jié)目看為一個(gè)整體，和2個(gè)語言類節(jié)目進(jìn)行排列，則有種情況，綜上，共有種情況，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，歌唱節(jié)目與語言類節(jié)目相間排列，則歌唱類節(jié)目在兩端和最中間，語言類放在歌唱類節(jié)目的之間，則有種情況，B正確；C選項(xiàng)，若2個(gè)語言類節(jié)目不排在一起，則采用插空法，先安排歌唱類節(jié)目，有種情況，再將語言類節(jié)目插入到3個(gè)節(jié)目形成的4個(gè)空格中，有種，綜上，共有種情況，C正確；D選項(xiàng)，前2個(gè)節(jié)目都是語言類節(jié)目，此時(shí)后3個(gè)為歌唱類節(jié)目，有種情況，前2個(gè)節(jié)目中有1個(gè)是語言類，有1個(gè)是歌唱類，則有種情況，剩余的3個(gè)節(jié)目進(jìn)行全排列，則有種情況，則共有種情況，綜上，有種不同的排法，D正確.故選BCD三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中橫線上)12．若，則.【答案】6【解析】因?yàn)?，，所?由，得（舍去）或.13．早在11世紀(jì)中葉，我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家賈憲在其著作《釋鎖算數(shù)》中就給出了二、三、四、五、六次冪的二項(xiàng)式系數(shù)表．已知的展開式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)；展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為．（用數(shù)字作答）【答案】21【解析】由題可知，，則，故．令，展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為．14．甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)參加某種技術(shù)競(jìng)賽，得出了第一名到第五名的五個(gè)名次，甲、乙去詢問成績(jī)，組織者對(duì)甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍．”對(duì)乙說：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的．”從組織者的回答分析，這五個(gè)人的名次排列的不同情況共有種．【答案】54【解析】根據(jù)題意知，甲、乙都沒有得到冠軍，且乙不是最后一名，分2種情況討論：①甲是最后一名，則乙可以是第二名、第三名或第四名，即乙有3種名次排列情況，剩下的三人有A＝6（種）名次排列情況，此時(shí)有3×6＝18（種）名次排列情況；②甲不是最后一名，則甲、乙需要排在第二、三、四名，有A＝6（種）名次排列情況，剩下的三人有A＝6（種）名次排列情況，此時(shí)有6×6＝36（種）名次排列情況．綜上可知，一共有36＋18＝54（種）不同的名次排列情況．四、解答題(本大題共5小題，共77分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．（本小題滿分13分）8人圍圓桌開會(huì)，其中正、副組長(zhǎng)各1人，記錄員1人．(1)若正、副組長(zhǎng)相鄰而坐，有多少種坐法？(2)若記錄員坐于正、副組長(zhǎng)之間（三者相鄰），有多少種坐法？【解析】（1）若正、副組長(zhǎng)相鄰而坐，可將此人看作人，即人圍一圓桌，有種，由于正、副組長(zhǎng)人可交換，有種，∴共有種，（2）若記錄員坐于正、副組長(zhǎng)之間（三者相鄰），可將人看作人，即人圍一圓桌，有種，∵正、副組長(zhǎng)人可交換，有種，∴共有種．16．（本小題滿分15分）某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生5名，外科醫(yī)生4名，現(xiàn)要派4名醫(yī)生參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì)，（1）一共有多少種選法？（2）其中某內(nèi)科醫(yī)生甲必須參加，某外科醫(yī)生乙因故不能參加，有幾種選法？（3）內(nèi)科醫(yī)生和外科醫(yī)生都要有人參加，有幾種選法？【解析】（1）從名醫(yī)生中選出4名醫(yī)生參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì)共有：種選法；（2）因?yàn)閮?nèi)科醫(yī)生甲必須參加，而外科醫(yī)生乙因故不能參加，所以只須從剩下的7名醫(yī)生中選出3名醫(yī)生即可，即種選法；（3）間接法，從9名醫(yī)生中選出4名有種方法，而選到的醫(yī)生全部是內(nèi)科醫(yī)生的有種，選到的醫(yī)生全部是外科醫(yī)生的有種，所以內(nèi)科醫(yī)生和外科醫(yī)生都要有人參加共有種選法.17．（本小題滿分15分）已知集合.(1)從中取出個(gè)不同的元素組成三位數(shù)，則可以組成多少個(gè)？(2)從集合中取出個(gè)元素，從集合中取出個(gè)元素，可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且比大的正整數(shù)？【解析】（1）由，得，所以，所以，所以，從中取出個(gè)不同的元素組成三位數(shù)，可以組成個(gè)三位數(shù).（2）由（1）得，而，若從集合中取元素，則不能作千位上的數(shù)字，有個(gè)滿足題意的正整數(shù)；若不從集